ppt barisan dan deret

1. Barisan dan
Deret
Theodora Dian W., S. Pd.

2. Kompetensi Dasar dan Indikator
3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri
3.6.1 Menentukan barisan aritmetika
3.6.2 Menentukan barisan geometri
3.6.3 Menentukan deret aritmetika
3.6.4 Menentukan deret geometri
3.6.5 Menyelesaikan barisan aritmetika
3.6.6 Menyelesaikan barisan geometri
3.6.7 Menyelesaikan deret aritmetika
3.6.8 Menyelesaikan deret geometri barisan
4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan
masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas)
4.6.1 Menghitung masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri
4.6.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri

3. Peta Konsep
POLA, BARISAN, dan DERET BILANGAN
Pola Bilangan
Pengertian
Barisan bilangan
Penentuan suku ke-n
Barisan dan Deret Bilangan
Aritmetika
Barisan
Deret
Aplikasi
Geometri
Barisan Deret Aplikasi
Pertumbuhan
Peluruhan
Bunga majemuk
Anuitas

4. Materi
01 Notasi Sigma 02 Barisan dan Deret
Aritmetika
03 Barisan dan Deret
Geometri 04
Masalah yang
Melibatkan Barisan
dan Deret

5. Materi Pokok
• Notasi Sigma
• Barisan dan Deret Aritmetika
 𝑎, 𝑎 + 𝑏 , 𝑎 + 2𝑏 , …
 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
 𝑆𝑛 =
1
2
𝑛(2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏)
• Barisan dan Deret Geometri
 𝑎, 𝑎𝑟, 𝑎𝑟2
, …
 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1
 𝑆𝑛 =
𝑎(1−𝑟𝑛)
1−𝑟
, untuk 𝑟 < 1 atau 𝑆𝑛 =
𝑎(𝑟𝑛−1)
𝑟−1
, untuk 𝑟 > 1
• Deret Geometri Tak Hingga
 𝑆∞ =
𝑎
1−𝑟
• Masalah yang Melibatkan Barisan dan Deret
 Pertumbuhan
 Peluruhan
 Bunga Majemuk
 Anuitas

6. Notasi Sigma
01

7. Perhatikan penjumlahan lima belas bilangan asli pertama yaitu
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15
Penulisan penjumlahan tersebut tidaklah efisien. Ada cara untuk
menuliskan penjumlahan beruntun secara singkat ialah dengan
menggunakan notasi ∑ . Jika deret tersebut dinotasikan
menggunakan sigma menjadi
𝑘=1
15
𝑘
Dibaca : sigma 𝑘, dengan 𝑘 sama dengan 1 sampai 15. 𝑘 disebut
indeks, k = 1 disebut batas bawah, dan 15 disebut batas atas

8. Secara umum :
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 =
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖
Misalnya : 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
dapat dinyatakan sebagai berikut :
𝑘=1
6
𝑘2
dengan demikian :
𝑘=1
6
𝑘2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 1 + 4 + 9 + 16 + 36
= 91

9. Sifat-Sifat Notasi Sigma
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 =
𝑗=1
𝑛
𝑢𝑗
𝑖=1
𝑛
𝐶 = 𝐶𝑛 , di mana C merupakan konstanta
𝑖=1
𝑛
𝐶𝑢𝑖 = 𝐶
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 , di mana C merupakan konstanta
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 ± 𝑣𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 ±
𝑖=1
𝑛
𝑣𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 + 𝑣𝑖
2
=
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖
2
+ 2
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖𝑣𝑖 +
𝑖=1
𝑛
𝑣𝑖
2
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 +
𝑖=𝑛+1
𝑚
𝑢𝑖 =
𝑖=1
𝑚
𝑢𝑖 , di mana 1 < 𝑛 < 𝑚
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 =
𝑖=0
𝑛−1
𝑢𝑖+1 =
𝑖=2
𝑛+1
𝑢𝑖−1
𝑖=𝑚
𝑛
𝑢𝑖 = 𝑢𝑛, di mana 𝑚
= 1,2,3, … , 𝑛 yang merupakan elemen himpunan
bilangan asli

10. Contoh 1
Tuliskan bentuk notasi sigma dari :
1. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
2. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
3. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
Tuliskan bentuk deret dan hasil dari :
𝑘=1
7
𝑘 𝑘 + 1
𝑘=1
6
𝑘 + 1

11. Contoh 2
Buktikan bahwa :
𝑘=3
8
𝑘 =
𝑘=1
6
𝑘 + 2
(sifat :
𝑖=𝑘
𝑚
𝑢𝑖 =
𝑖=1
𝑚=𝑘+1
𝑢𝑖+𝑘−1)
𝑘=1
𝑛
3𝑘 − 2 2
= 9
𝑘=1
𝑛
𝑘2
− 12
𝑘=1
𝑛
𝑘 + 4𝑛
(sifat :
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 + 𝑣𝑖
2
=
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖
2
+ 2
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖𝑣𝑖 +
𝑖=1
𝑛
𝑣𝑖
2
)

12. Aktivitas 1
1. Tulislah dengan notasi sigma :
a) 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
b) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14
c) 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243
2. Misal 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3, 𝑥3 = 4, 𝑥4 = 5, 𝑥5 = 8, dan 𝑥6 = 10. Tentukan deret dan hasilnya
a) s
𝑖=1
5
𝑥𝑖
3. Buktikan bahwa
𝑘=1
𝑛
5𝑘2
= 5
𝑘=1
𝑛
𝑘2
4. Buktikan bahwa
6
𝑘=0
4
𝑘2
+
𝑘=4
8
𝑘 − 4 2
= 7
𝑘=4
8
𝑘2
− 56
𝑘=4
8
𝑘 + 560
b) d
𝑖=1
6
2𝑥𝑖
c) s
𝑖=1
6
𝑥𝑖
2

13. Barisan dan
Deret
Aritmetika
02

14. A. Barisan Aritmetika
● Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan-bilangan di mana beda (selisih) di antara dua
suku berurutan merupakan bilangan tetap
● Contoh :
2, 8, 14, 20, …
3, 5, 7, 9, …
25, 20, 15, 10, …
● Rumus umum suku ke-𝑛 barisan aritmetika
𝑼𝒏 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃
dengan 𝑎 adalah suku pertama dan 𝑏 adalah beda ⟺ 𝑏 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1

15. Contoh 3
1. Tentukan beda barisan aritmetika 3, 7, 11, 15, 19, …
2. Tentukan beda barisan aritmetika 16, 13, 10, 7, 4, …
3. Tentukan suku ke-20 barisan aritmetika -3, 2, 7, …
4. Tentukan suku ke-8 dan suku ke-𝑛 dari barisan aritmetika 2,
5
2
, 3,
7
2
, …
5. Diberikan barisan aritmetika
4
3
,
5
3
, 2,
7
3
, … , 5. Tentukan banyak suku pada barisan tersebut!
6. Diketahui 𝑥 − 1, 2𝑥, dan 4𝑥 − 3 merupakan tiga suku berurutan dari suatu barisan aritmetika.
Tentukan nilai 𝑥 dan barisan tersebut!
7. Dalam suatu barisan aritmetika, suku kelima adalah 5 dan suku kelima belas adalah 25,
tentukan :
a. Beda dan suku pertamanya
b. Suku ke-20
8. Nyatakan dalam notasi sigma 21 + 25 + 29 + 33 + ⋯ + 417

16. SISIPAN
Jika diantara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan
aritmetika dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain
sehingga menjadi barisan aritmetika yang baru, proses ini
disebut menyisipkan atau interpolasi.
Apabila beda barisan aritmetika yang baru dimisalkan 𝑏′, maka
barisan aritmetika baru adalah :
𝑼𝟏, (𝑼𝟏+𝒃′), (𝑼𝟏+𝟐𝒃′), … , (𝑼𝟏+𝒌𝒃′), 𝑼𝟐
di mana, 𝑏′
=
𝑏
𝑘+1

17. Contoh 3
1. Diketahui barisan aritmetika 1, 7, 13, 19. Jika diantara dua suku
berurutan disisipkan dua bilangan sehingga terjadi barisan aritmetika
baru, tentukan barisan aritmetika baru tersebut
2. Sisipkanlah sebelas bilangan di antara 23 dan 119 sehingga terjadi
sebuah barisan aritmetika. Tentukanlah barisan itu

18. SUKU TENGAH (𝒖𝒕)
Apabila banyak suku suatu barisan aritmetika ganjil, maka terdapat
sebuah suku tengah yang disebut 𝑈𝑡
𝑎, … , 𝑈𝑡, … 𝑈𝑛 ⇒ untuk 𝑛 ganjil
maka, 𝑼𝒕 =
𝟏
𝟐
(𝒂 + 𝑼𝒏)

19. Contoh 4
Tentukan suku tengah dari barisan aritmetika 1, 5, 9, 13, 17

20. Deret Aritmetika
● Jika diketahui 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, , 𝑈𝑛 merupakan suku-suku dari suatu
barisan aritmetika, 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 disebut deret
aritmetika.
Misal :
Dari barisan aritmetika 4, 7, 10, 13, 16, … dapat dibentuk suatu
deret yang merupakan penjumlahan berurutan dari suku
barisan tersebut, yaitu 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ⋯
● Rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
𝑺𝒏 =
𝟏
𝟐
𝒏 𝟐𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃

21. Contoh 5
1. Tentukan jumlah 100 suku pertama deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯
2. Pada deret aritmetika 3 + 6
1
2
+ 10 + ⋯
○ Hitunglah jumlah 21 suku pertama
○ Tentukan rumus jumlah suku ke-n
3. Hitunglah jumlah dari deret 3 + 8 + 13 + ⋯ + 93
4. Jumlah n suku suatu deret aritmetika adalah 𝑆𝑛 = 𝑛2 − 3𝑛. Tentukan suku
kesepuluh
5. Buktikan bahwa dalam suatu deret aritmetika berlaku 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = 𝑈𝑛
6. Tentukan suku kedua belas jika diketahui jumlah suku ke-n suatu deret
aritmetika adalah 𝑆𝑛 = 3𝑛 − 4𝑛2
7. Hitunglah
𝑘=11
210
4𝑘 + 1
8. Tentukan nilai 𝑚 dari deret berikut
𝑘=4
𝑚
2𝑘 − 1 = 160

22. Aktifitas 2
Tentukan penyelesaian dari setiap soal berikut!
1.
5
2
, 4,
11
2
, 7, … tentukan nilai 𝑈13 = ⋯
2.
9
2
, 7,
19
2
, 12, … tentukan nilai 𝑈9 = ⋯
3.
7
2
, 6,
17
2
, 11, … tentukan nilai 𝑈11 = ⋯
4. Diketahui barisan aritmetika memiliki suku ke-2 adalah 7 dan suku ke-10 adalah 19.
Tentukan suku ke-35 dari barisan tersebut
5. 6 + 9 + 12 + 15 + ⋯ 𝑆15 = ⋯
6. 5 + 9 + 13 + 17 + ⋯ 𝑆20 = ⋯
7. −3 + 1 + 5 + 9 + ⋯ 𝑆18 = ⋯
8. Seutas dawai yang panjangnya 78𝜋 cm dipotong sehingga membentuk 6 lingkaran seperti
yang ditunjukkan pada gambar berikut
Jari jari lingkaran itu berbeda 1 𝑐𝑚 antara satu dengan lainnya secara
berurutan. Tentukan :
a) Jari-jari lingkaran terkecil
b) Banyak lingkaran yang dapat dibentuk apabila panjang asal
dawai 260𝜋

23. Barisan Geometri
● Contoh barisan geometri
a.
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, …
b. 2, 6, 18, 54, …
c. 5, -10, 20, -40, …
d. 27, 9, 3, 1, …
• Secara umum dapat dikatakan barisan geometri jika :
𝑼𝟐
𝑼𝟏
=
𝑼𝟑
𝑼𝟐
= ⋯ =
𝑼𝒏
𝑼𝒏−𝟏
= 𝒓𝒂𝒔𝒊𝒐
• Rumus umum suku ke-𝑛 barisan geometri dapat ditentukan sebagai
berikut :
𝑼𝒏 = 𝒂𝒓𝒏−𝟏

24. Contoh 6
1. Manakah diantara barisan ini yang merupakan barisan geometri?
○ 1,
1
3
,
1
9
,
1
27
, …
○ 2, 4, 12, 48, …
2. Tentukan suku ke-7 dan suku ke-n dari barisan geometri berikut :
a) 9, 3, 1,
1
3
, … b)
3
2
,
1
2
,
1
6
, …
3. Tentukan banyak suku pada barisan geometri 81, 27, 9, …,
1
81
.
4. Jika 𝑥 − 8; 𝑥 − 4; 𝑥 + 8 adalah 3 suku berurutan dalam suatu barisan
geometri, tentukan nilai 𝑥!
5. Dalam suatu barisan geometri diketahui suku ketiga 3 lebihnya dari suku
pertama, dan jumlah suku kedua dan suku ketiga adalah 6. Tentukan suku
pertama dan rasio barisan geometri tersebut

25. Sisipan
● Secara umum, jika disisipkan 𝑘 suku di antara setiap dua suku yang
berurutan sehingga membentuk barisan geometri baru, maka rasio
barisan geometri baru adalah
𝒓′ = 𝒌+𝟏
𝒓
dan banyaknya suku adalah
𝒏′ = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒌
● Jika 𝑈𝑛 diwakili oleh 𝑈𝑘, maka 𝑈𝑛−1 diwakili oleh
𝑈𝑘
𝑟
dan
𝑈𝑛+1 diwakili oleh 𝑈𝑘. 𝑟 sehingga
𝑼𝒌
𝒓
, 𝑼𝒌 , 𝑼𝒌 . 𝒓
𝑼𝒌
𝟐
=
𝑼𝒌
𝒓
. 𝑼𝒌. 𝒓

26. Contoh 7
1. Tunjukkan bahwa 𝑈5
2 = 𝑈4 𝑈6
2. Di antara bilangan 7 dan 448 disisipkan dua bilangan
sehingga ke-4 bilangan tersebut membentuk barisan
geometri. Tentukan rasio dari barisan baru tersebut

27. Deret Geometri
Jika 𝑈1, 𝑈2 , 𝑈3, … , 𝑈𝑛 merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri,
maka 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 disebut deret geometri.
Rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah
𝑺𝒏 =
𝒂(𝟏 − 𝒓𝒏)
𝟏 − 𝒓
, untuk 𝒓 < 𝟏
𝑺𝒏 =
𝒂(𝒓𝒏 − 𝟏)
𝒓 − 𝟏
, untuk 𝒓 > 𝟏

28. Contoh 8
1. Hitunglah jumlah 7 suku pertama deret geometri −2 + 1 −
1
2
+
1
4
+ ⋯
2. Tentukan jumlah deretgeometri 5 + 1 +
1
5
+ ⋯ hinggasuku kelima!
3. Tentukan jumlah deret geometri
3
8
+
3
4
+
3
2
+ ⋯ + 12!
4. Diberikanderet geometri 32 + 16 + 8 + ⋯. Hitunglah jumlah suku
keenamsampaisuku kedelapan!

29. Deret Geometri Tak Hingga
(𝑆∞)
• Deret Geometri Divergen (jika 𝑟 ≤ −1 atau 𝑟 ≥ 1)
Misal :
1 + 4 + 16 + 64 + ⋯
2 − 6 + 18 − 54 + ⋯
3 + 6 + 12 + 24 + ⋯
• Deret Geometri Konvergen (jika −1 < 𝑟 < 1)
Misal :
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ⋯
2 + 1 +
1
2
+
1
4
+ ⋯
sehingga :
𝑆∞ =
𝑎
1 − 𝑟

30. Contoh 9 :
1. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 36 − 12 + 4 −
4
3
+ ⋯
2. Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga
5
3
+
5
9
+
5
27
+ ⋯
3. Suku pertama suatu deret geometri 24 lebihnya dari suku kedua, dan jumlah tak hingga
deret geometri tersebut 54. Tentukan rasio deret geometri tersebut!
4. Nyatakan pecahan decimal 0,181818… sebagai pecahan biasa!

31. Masalah yang
melibatkan barisan
dan deret

32. 1. Pertumbuhan dan Peluruhan
A. Pertumbuhan
Pertumbuhan adalah perubahan secara kuantitas sebuah objek pada rentang waktu
tertentu dengan perubahan naik, artinya kuantitas objek tersebut bertambah
Secara umum, pertumbuhan ditulis
𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑, … , 𝒖𝒏 di mana 𝒖𝟏 < 𝒖𝟐 < 𝒖𝟑 < ⋯ < 𝒖𝒏

33. Contoh 10
1. Pada tahun 2000 penduduk suatu negara tercatat 25 juta jiwa. Jika tingkat
pertumbuhannya mencapai 3%per tahun, maka tentukan jumlah penduduk di negara
tersebut pada tahun 2020
a. 𝑼𝒏 = 𝒂. 𝒓𝒏−𝟏
b. 𝑯𝒕 = 𝑯𝒐. 𝒓𝒕
Keterangan :
𝐻𝑡 = pertumbuhan dalam waktu 𝑡
𝐻𝑜 = keadaan awal
𝑟 = ratio pertumbuhan 1 + 𝑖
𝑖 = presentase pertumbuhan
𝑡 = waktu
2. Seorang peneliti melakukan pengamatan terhadap bakteri tertentu. Setiap
1
4
hari bakteri
membelah diri menjadi dua. Jika pada awal pengamatan terdapat 3 bakteri, tentukan
banyaknya bakteri setelah 2 hari
𝑼𝒏 = 𝒂. 𝒓𝒏−𝟏
atau 𝑯𝒕 = 𝑯𝒐. 𝒓𝒕

34. B. Peluruhan
● Peluruhan adalah perubahan secara kuantitas sebuah objek pada rentang
waktu tertentu dengan perubahan turun, artinya kuantitas objek tersebut
berkurang.
● Secara umum, peluruhan ditulis
𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑, … , 𝒖𝒏 di mana 𝒖𝟏 > 𝒖𝟐 > 𝒖𝟑 > ⋯ > 𝒖𝒏

35. Contoh 10
1. Harga beli sepeda motor 𝑅𝑝15.000.000,00 dan harga jualnya menurun sebesar
10% setiap tahun. Tentukan harga jual sepeda motor tersebut setelah
pemakaian selama 5 tahun
𝑯𝒕 = 𝑯𝒐. 𝒓𝒕
Keterangan :
𝐻𝑡 = pertumbuhan dalam waktu 𝑡
𝐻𝑜 = keadaan awal
𝑟 = ratio pertumbuhan 1 − 𝑖
𝑖 = presentase pertumbuhan
𝑡 = waktu

36. 2. Sebuah sepeda motor dibeli dengan harga 𝑅𝑝20.000.000,00. Setiap tahun
nilai jualnya menjadi
3
4
dari harga sebelumnya. Tentukan nilai jual sepeda
motor tersebut setelah 3 tahun
𝑼𝒏 = 𝒂. 𝒓𝒏−𝟏
atau 𝑯𝒕 = 𝑯𝒐. 𝒓𝒕

37. 2. Bunga majemuk
● Bunga adalah uang yang dibayar oleh perorangan atau organisasi atas
penyesuaian sejumlah uang yang disebut uang pokok (modal)
● Jumlah uang adalah total dari uang pokok dan bunganya
● Suku bunga atau tingkat bunga adalah perbandingan antara bunga yang
dikenakan dalam satu satuan waktu tertentu dengan uang pokok. Suku
bunga dinyatakan dalam persentase (%)
● Suatu jumlah yang menyebabkan modal bertambah dalam sejumlah waktu
yang diberikan disebut bunga majemuk
● Jumlah bunga majemuk dan modal disebut jumlah uang majemuk
● Interval waktu yang sama yang berturut-turut disebut periode konversi atau
periode bunga
● Tingkat bunga (suku bunga) yang ditutup sebagai suku bunga tahunan
disebut tingkat nominal

39. Contoh 11
Apabila Pak Dami meminjam uang modal sebesar 𝑅𝑝1.000.000,00 diperbungakan
dengan bunga majemuk 5% , maka setelah beberapa waktu ia harus
mengembalikan uang itu beserta bunganya. Jika setiap akhir tahun bunganya
tetap dibayarkan, modal yang menjadi dasar untuk perhitungan bunga dalam
tahun berikutnya akan tetap besarnya, bunga tetap ini disebut bunga tunggal.
Namun, jika pada akhir tahunnya bunga tidak dibayarkan, maka modal yang
menjadi dasar untuk perhitungan bunga dalam tahun berikutknya akan
bertambah besar, sebab bunga dalam tahun yang lampau turut pula
menghasilkan bunga dalam tahun berikutnya, bunga yang berbunga ini disebut
bunga majemuk (salah satu penerapan deret geometri)

40. A. Menentukan nilai akhir
Jika modal sebesar 𝑀 diperbungakan dengan bunga majemuk 𝑖 = 𝑝% per
tahun dan besar modal setelah 𝑛 tahun dinyatakan dengan 𝑀𝑛, rumus nilai
akhirnya adalah :
𝑴𝒏 = 𝑴 𝟏 + 𝒊 𝒏
Contoh :
Sebuah modal sebesar 𝑹𝒑𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 diperbungakan dengan bunga
majemuk 5% per tahun

41. Contoh :
Sebuah modal sebesar 𝑹𝒑𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 diperbungakan dengan bunga
majemuk 5% per tahun

42. Contoh 12
1. Sebuah modal sebesar 𝑅𝑝1.200.000,00 diperbungakan dengan bunga
majemuk 4% per tahun. Tentukan besar modal itu setelah 5 tahun
2. Berapakah nilai akhir sebuah modal yang besarnya 𝑅𝑝1.500.000,00 yang
diperbungakan selama 9 tahun dengan bunga majemuk 6% pertriwulan?
3. Tentukan nilai akhir sebuah modal yang besarnya 𝑅𝑝1.000.000,00 yang
diperbungakan dengan bunga majemuk selama 3 tahun 4 bulan, dengan
bunga 15% per tahun

44. B . M E N E N T U K A N P E R S E N
B U N G A
Rumus nilai akhir 𝑴𝒏 = 𝑴 𝟏 + 𝒊 𝒏
dapat juga digunakan untuk
menghitung besar persen bunga dari suatu modal yang diperbungakan
dengan bunga majemuk

45. Contoh 13
Sebuah modal sebesar 𝑅𝑝3.500.000,00 diperbungakan dengan bunga majemuk. Setelah 7 tahun, modal
tersebut menjadi 𝑅𝑝4.100.000,00. Tentukan presentase bunga dalam setahun

46. C. Menentukan nilai TUNAI
Hasil pengembangan rumus nilai akhir diperoleh rumus nilai tunai (NT) adalah
𝑵𝑻 =
𝑴𝒏
𝟏 + 𝒊 𝒏

47. Contoh 14
1. Tentukan besar nilai tunai dari 𝑅𝑝1.000.000,00 yang harus dibayarkan 5 tahun kemudian
dengan bunga majemuk 3% per tahun

49. 3. Anuitas
● Anuitas adalah pembayaran dengan jumlah tetap yang harus dilakukan secara
periodik
● Interval pembayaran adalah waktu antara pembayaran-pembayaran yang berurutan
dan berdekatan
● Jangka pembayaran adalah waktu mulainya interval pembayaran pertama sampai
dengan ujung interval pembayaran terakhir

50. Rumus anuitas
𝑨 = 𝑵𝑻 ×
𝟏
∑𝒏=𝟏
𝒑
𝟏 + 𝒊 −𝒏
Anuitas dibayar untuk melunasi utang,
maka dalam anuitas terdapat 2 bagian,
yaitu :
1. Bagian untuk melunasi pinjaman,
yang disebut angsuran
2. Bagian untuk membayar bunga

51. A. Rencana Angsuran
● Rencana angsuran atau rencana pelunasan adalah strategi pelunasan pembayaran
pinjaman dan pembayaran bunga

52. Contoh 9
Utang sebesar 𝑅𝑝800.000,00 dilunasi dalam 4 tahun dengan anuitas pertama dibayar
setelah satu tahun dengan bunga 6% per tahun
● Tentukan besar anuitas
● Buatlah rencana angsurannya

53. B. Hubungan antara anuitas dan angsuran

54. C. Hubungan antara utang, angsuran, dan sisa
utang
● Rumus hubungan antara utang (𝐻) dengan angsuran pada akhir tahun pertama
𝑯 = 𝒂𝟏 ×
𝟏 + 𝒊 𝒏
− 𝟏
𝒊
● Rumus hubungan antara utang, angsuran pada akhir tahun pertama, dan sisa utang
pada akhir tahun ke-𝑘
𝑺𝒌 = 𝑯 − 𝒂𝟏 ×
𝟏 + 𝒊 𝒌
− 𝟏
𝒊

55. Contoh 10
Suatu pinjaman akan dilunasi dengan 7 anuitas. Anuitas pertama dibayar setelah satu
tahun. Suku bunga 6% per tahun. Angsuran pada akhir tahun pertama adalah
𝑅𝑝2.382.843,53. Hitunglah :
● Besar pinjaman
● Sisa utang pada akhir tahun ke-4

56. Strategy map & balanced scorecard
Financial
Insert your financial
text here
Insert your financial
text here
Insert your financial
text here
Customer
Insert your customer
text here
Insert your customer
text here
Insert your customer
text here
Internal
process
Insert your internal
process here
Insert your internal
process here
Insert your internal
process here
Learning &
growth
Insert your learning
and growth here
Insert your learning
and growth here
Insert your learning
and growth here
Strategy objectives
Perspectives

57. Task / Week 1 2 3 4 5 6 7 8
Key strategic objectives
Create strategy map
Identify objectives
Balanced scorecard
Getting to first report
Management changes
Strategic planning of goals

58. Strategic planning project plan
Vision
Saturn is a gas giant and the
only planet with rings
Mission
Jupiter is the biggest planet of
them all
Key initiatives
Despite being red, Mars is a very
cold place
Objectives
Mercury is the smallest planet of
the Solar System

59. Product
development
Diversification
and correlation
Market
penetration
Market
development
Strategic options: risks
Venus has a beautiful name,
but it’s terribly hot
Neptune is the farthest
planet from the Sun
Jupiter is the biggest planet
in the Solar System
Mars is terribly hot, even
hotter than Mercury
New
Current
Market
Products
Current New
Recommended strategy

60. Impact of the risks
Follow the link in the graph to modify its
data and then paste the new one here.
For more info, click here
Saturn
Saturn has
several rings
33%
Mars
Despite being
red, Mars is cold
16%
Moon
The moon is a
nice satellite
20%
Mercury
Mercury is the
smallest planet
31%

61. Corporate strategies
Team Beta
Saturn is the ringed planet.
It’s a gas giant composed
mostly of hydrogen
Team Alpha
Despite being red, Mars is
a cold place. The planet is
full of iron oxide dust
Team Gamma
Mercury is the closest
planet to the Sun and the
smallest of them all

62. Key drivers of the profit
Description Example
The situation
Saturn is a gas giant and
the only planet with rings
of them all
Venus has a beautiful
name and extremely
high temperatures
The complication
Jupiter is a gas giant and
the biggest planet in our
Solar System
Mars is a dusty, cold,
desert world with a very
thin atmosphere
The question
Mercury is the closest
planet to the Sun and the
smallest of them all
The Earth is the beautiful
planet where we all live.
It’s the blue planet

63. New market, new product, new company
Desirability
Saturn is the planet with
rings. It doesn’t have a
solid surface
Profitability Feasibility
Neptune is the farthest
planet from the Sun. It’s an
ice giant
Jupiter is a gas giant and
the biggest planet in our
Solar System
Sweet spot

64. Strategic perspectives
Saturn
❏ Write your strategic
perspectives here
❏ Write your strategic
perspectives here
❏ Write your strategic
perspectives here
Jupiter
❏ Write your strategic
perspectives here
❏ Write your strategic
perspectives here
❏ Write your strategic
perspectives here

65. Awesome
words

66. P E
Strong business plan
Social
Venus has a beautiful
name, but it’s terribly hot
Political
Neptune is the farthest
planet from the Sun
Legal
Despite being red, Mars is
a cold planet
Technological
Jupiter is the biggest
planet of them all
Economical
Mercury is the closest
planet to the Sun
Environmental
Earth is the beautiful
planet where we all live
E S T L

67. Project costs: $6M Tangible benefits: $11M Net present value $8M
Strong business case
2011 2014 2017 2019 2021
Cash flow (US $ millions)
Follow the link in the graph to modify
its data and then paste the new one
here. For more info, click here
Change impact
Low Medium High
Strategic alignment
Insert your own text here
Intangible benefits
Insert your own text here
Resources
Insert your own text here
Sponsor Manager
Sponsor name Manager name
2021
X

68. Financial model
Total
Goodwill
Property
Current assets
Inventory
Account
Cash
Assets
Balance sheet
Inc. model
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
2014
Historial results
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
2015
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
2016
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
2017
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
2018
Forecast period
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
2019
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
2020
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
2021
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
2022

69. Financial model
Venus
Venus is the second
planet from the Sun
Mars
Despite being red,
Mars is a cold place
62%
38%
2011
2014
2017
2019
2021
Saturn
Saturn is the ringed planet. It’s a gas giant
composed mostly of hydrogen
Follow the link in the graph to modify its data and then
paste the new one here. For more info, click here

70. Pricing strategy
Description
Mercury is the
closest planet
to the Sun
Neptune is the
farthest planet
from the Sun
Venus is an
extremely
hot planet
Ceres was the
first asteroid to
be discovered
Percentage 20% 70% 10% 1%
Level 1 2 3 4
Basic Standard Advanced Leading

71. Consulting proposal
Fees
Venus is the second
planet from the Sun
Services
Mercury is the closest
planet to the Sun
Invoices
Mars is actually a very
cold place
Materials
Saturn is a gas giant and
has rings
Expenses
Jupiter is the biggest
planet of them all
Terms
Neptune is very far away
from the Earth

72. A picture is worth a
thousand words

73. Annual profitable growth
OCT 2022
JAN 2023
JUN 2024
FEB 2025
Plan
Adapt
Test
Report
Despite being red, Mars is a cold place.
The planet is full of iron oxide dust
Saturn is the planet with rings. It’s a gas
giant composed mostly of hydrogen
Mercury is the closest planet to the Sun
and the smallest one in the Solar System
Jupiter is a gas giant and the biggest
planet in the Solar System

74. Reduce costs by $5 millions through
operational improvements
Answers and supporting arguments
Outsource non-core
functions to save $3M
Evaluate cost and service
level of potential partners
Select non-core functions
Choose one partner for
each function
Simplify core function
processes to save $1M
Design current processes
Compare current process
to best-in-class
benchmarks
Adopt best practices based
on benchmarks
Review supplier cost to
save $1M
Select and review current
supplier costs
Evaluate cost of potential
alternative suppliers
Negotiate supplier
contracts/choose options

75. Unattractive Low value
Longer term
Initiative prioritization matrix
Assess the impact & effort level
associate with each initiative
List all your potential initiatives
and projects
Mainly focus on the initiatives
located in the top of the matrix
Insert the position each initiative
on the matrix
High Low
High
Low
Impact
Effort
To be prioritized

76. Prioritization matrix
Initiative 1
You can describe here
your initiative one
Jupiter is a gas giant and
the biggest planet in our
Solar System
Impact
Effort
Initiative 2
You can describe here
your initiative two
Initiative 3
You can describe here
your initiative three
Is the ringed one. It’s a
gas giant, composed
mostly of hydrogen
Is the closest planet to
the Sun and the smallest
one in the Solar System
Venus has a beautiful
name and is the second
planet from the Sun
Is a gas-giant planet and
therefore does not have
a solid surface
Earth is also the only
planet in our solar
system with liquid water

77. Change
management
You can enter a subtitle here if you need it
03

78. Ansoff growth matrix
Do you know what helps you make your point clear?
Lists like this one:
❏ They’re simple
❏ You can organize your ideas clearly
❏ You’ll never forget to buy milk!
And the most important thing: the audience won’t
miss the point of your presentation

79. Company
logo here
Business case
Business name
XX/XX/XX
1
Mercury is the
smallest planet
3
Mars is actually a
very cold place
2
Venus has a
beautiful name
4
Earth is the planet
we all live on
6
Neptune is very far
away from the Earth
5
Saturn is a gas giant
and has rings

80. Competitor comparison table
Competitor 1 Competitor 2 Competitor 3
Revenue 1,450,000$ 1,050,000$ 950,000$
Profit 295,000$ 325,000$ 145,000$
Market share 23% 14% 6%
Employees 165 78 52
Product quality

81. Target
Travel 20%
Tech 75%
News 10%
Industry 85%
Mercury is the closest planet to
the Sun and the smallest one in
the Solar System
Mercury
Earth
It’s the planet that
harbors life
58%
42%
Mars
Mars is actually a
very cold place
Name Anna Leave
Age 31
Job Engineer

82. Manage progress
Implement, track & manage progress
Progress Link
Status
Venus 10% www.yourlinkhere.com
Mars 20% www.yourlinkhere.com
Neptune 30% www.yourlinkhere.com
Jupiter 40% www.yourlinkhere.com
Earth 50% www.yourlinkhere.com
Ceres 60% www.yourlinkhere.com

83. Size of the change
Changing management strategy & plan
Insert name of
the change
Insert name of
the change
Insert name of
the change
Insert name of
the change
Insert name of
the change
Insert name of
the change
Insert name of
the change
Insert name of
the change
Insert name of
the change
Extreme
1 team impacted
Complexity
of
the
change
High
Medium
Moderat
e
Low
1 business unit 1 division Half company Extreme

84. Implementing
changes
You can enter a subtitle here if you need it
4

85. Sales strategy Sales plan
Internal analysis External analysis
Implementation
Sales and strategy plan
5 4
2 3
1

86. $489,300
Big numbers catch your audience’s attention

87. About the terms of the agreement
Venus
Venus is the second
planet from the Sun
Mars
Despite being red, Mars
is a very cold place
Follow the link in the graph to modify its data and then paste the new one here.
For more info, click here
Venus Jupiter Mars
Saturn Mercury

88. $20,000
Mercury is the smallest planet
$40,000
Mars is actually a cold place
$55,000
Venus has a beautiful name
$65,000
Saturn has several rings

89. Management approach
January
Venus is the
second planet
from the Sun
Jupiter is the
biggest planet of
them all
Despite being
red, Mars is a
very cold place
Saturn is a gas
giant and has
several rings
February April June August

90. Strategic alliances
Profitability Feasibility
Despite being red, Mars is
a very cold place full of
iron oxide dust
Jupiter is a gas giant and
the biggest planet in our
Solar System

91. Write here your answer
Write here your question
Answers and arguments
Saturn is the only
planet with rings
It’s the farthest planet
from the Sun
Sirius is the brightest
star in the night sky
Jupiter Saturn Sirius

92. Maintenance
Verification
Implementation
Design
Requirements
Waterfall management plan
Jupiter is a gas giant and
the biggest planet
Saturn is a gas giant and
the only planet with rings
Mercury is the closest
planet to the Sun
Venus terribly hot, even
hotter than Mercury
Neptune is the farthest
planet from the Sun

93. Advanced
Standard
Basic
Maturity model
Mercury is the
closest planet to the
Sun and the smallest
of them all
30%
Venus has a
beautiful name and
is the second planet
from the Sun
50%
Despite being red,
Mars is actually a
cold place. It’s full of
iron oxide dust
70%

94. Return on sales (%)
Profitability ratios
Company 1 Company 2 Company 3
Best peer
Worst
peer
Return on funds employed (%)
Return capital employed (%)
Return on net assets (%)
Return on equity (%)
% %
% %
%
% %
% %

95. Top 10 questions of business plans
What is your current situation?
What is your vision?
How will you reach your vision?
What do you offer?
How big is the market you are in?
What are the requirements?
What are the economics?
What will the marketing plan be?
What are the economics?
What are the requirements?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

96. Demo software & app
You can replace the image
on the screen with your own
work. Right click on it and
choose "Replace image" so
you can add yours

97. Our team
Ray Williams
You can replace the
image on the screen
with your own
Julia Martin
You can replace the
image on the screen
with your own

98. CREDITS: This presentation template was
created by Slidesgo, including icons by Flaticon,
infographics & images by Freepik
Thanks!
Do you have any questions?
Please, keep this slide for attribution
addyouremail@freepik.com
+91 620 421 838
yourcompany.com

99. Alternative resources

100. Alternative resources
❏ People working together in an warehouse I
❏ People working together in an warehouse II
❏ People in safety equipment working
❏ Men working with heavy objects
❏ Colleagues in safety equipment at work
❏ Manufacturing infographic concept
❏ Manufacturing infographic template
Vectors
Photos

101. Resources
❏ Man working with heavy box
❏ Logistic center with forklift
❏ Young man signing a document while looking at the camera
❏ Portrait young businesswoman with tablet
❏ Mid shot woman talking on phone at table
❏ Manufacturing infographic concept
❏ Flat printing industry landing page
Vectors
Photos

102. In order to use this template, you must credit Slidesgo by keeping the Thanks slide.
You are allowed to:
- Modify this template.
- Use it for both personal and commercial projects.
You are not allowed to:
- Sublicense, sell or rent any of Slidesgo Content (or a modified version of Slidesgo Content).
- Distribute Slidesgo Content unless it has been expressly authorized by Slidesgo.
- Include Slidesgo Content in an online or offline database or file.
- Offer Slidesgo templates (or modified versions of Slidesgo templates) for download.
- Acquire the copyright of Slidesgo Content.
For more information about editing slides, please read our FAQs or visit Slidesgo School:
https://slidesgo.com/faqs and https://slidesgo.com/slidesgo-school
Instructions for use

103. As a Premium user, you can use this template without attributing Slidesgo or keeping the "Thanks" slide.
You are allowed to:
● Modify this template.
● Use it for both personal and commercial purposes.
● Hide or delete the “Thanks” slide and the mention to Slidesgo in the credits.
● Share this template in an editable format with people who are not part of your team.
You are not allowed to:
● Sublicense, sell or rent this Slidesgo Template (or a modified version of this Slidesgo Template).
● Distribute this Slidesgo Template (or a modified version of this Slidesgo Template) or include it in a database or in
any other product or service that offers downloadable images, icons or presentations that may be subject to
distribution or resale.
● Use any of the elements that are part of this Slidesgo Template in an isolated and separated way from this
Template.
● Register any of the elements that are part of this template as a trademark or logo, or register it as a work in an
intellectual property registry or similar.
For more information about editing slides, please read our FAQs or visit Slidesgo School:
https://slidesgo.com/faqs and https://slidesgo.com/slidesgo-school
Instructions for use (premium users)

104. This presentation has been made using the following fonts:
Montserrat
(https://fonts.google.com/specimen/Montserrat)
Raleway
(https://fonts.google.com/specimen/Raleway)
#2d2958 #4b4bbb #9c88fa #f4d834
#e592f1 #ececec
#edc4f2
Fonts & colors used

105. Create your Story with our illustrated concepts. Choose the style you like the most, edit its colors, pick
the background and layers you want to show and bring them to life with the animator panel! It will boost
your presentation. Check out How it works.
Pana Amico Bro Rafiki Cuate
Storyset

106. You can easily resize these resources without losing quality. To change the color, just ungroup the resource
and click on the object you want to change. Then, click on the paint bucket and select the color you want.
Group the resource again when you’re done. You can also look for more infographics on Slidesgo.
Use our editable graphic resources...

109. JANUARY FEBRUARY MARCH APRIL MAY JUNE
PHASE 1
PHASE 2
Task 1
Task 2
Task 1
Task 2
JANUARY FEBRUARY MARCH APRIL
PHASE 1
Task 1
Task 2

112. You can resize these icons without losing quality.
You can change the stroke and fill color; just select the icon and click on the paint bucket/pen.
In Google Slides, you can also use Flaticon’s extension, allowing you to customize and add even more icons.
...and our sets of editable icons

113. Educational Icons Medical Icons

114. Business Icons Teamwork Icons

115. Help & Support Icons Avatar Icons

116. Creative Process Icons Performing Arts Icons

117. Nature Icons

118. SEO & Marketing Icons