1. Bài tập
Xác suất - Thống kê

2. Chương 1
Đại cương về Xác suất
Bài tập 1.1. Bắn 3 viên đạn vào một bia. Gọi Ai : “Viên đạn thứ i trúng bia” (i = 1, 2, 3).
Hãy biểu diễn các biến cố sau
a. Có đúng 1 viên đạn trúng bia.
b. Có ít nhất 2 viên trúng bia.
c. Cả 3 viên đều không trúng bia.
Bài tập 1.2. Kiểm tra theo thứ tự một lô hàng gồm N sản phẩm. Các sản phẩm đều
thuộc một trong 2 loại: tốt hoặc xấu. Ký hiệu Ak (k = 1, 2, . . . , N ) là biến cố chỉ sản
phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu. Viết bằng ký hiệu các biến cố sau đây
a. Cả N sản phẩm đều xấu.
b. Có ít nhất một sản phẩm xấu.
c. m sản phẩm đầu là tốt, các sản phẩm còn lại là xấu.
d. Các sản phẩm theo thứ tự chẵn là xấu, thứ tự lẻ là tốt.
e. Không gian các biến cố sơ cấp có bao nhiêu phần tử.
Bài tập 1.3. Thang máy của một tòa nhà 7 tầng, xuất phát từ tầng một với 3 người
khách. Tính xác suất để:
a. Tất cả cùng ra ở tầng bốn.
b. Tất cả cùng ra ở một tầng.
c. Mỗi người ra một tầng khác nhau.
Bài tập 1.4. Một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong đó có 30 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu
nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng.
a. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.
b. Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để trong 10 sản
phẩm lấy ra có đúng 8 sản phẩm tốt.
1

3. Bài tập 1.5. Hai người ném bóng rổ, mỗi người ném 3 quả. Xác suất ném trúng rổ
của họ lần lượt là 0, 7 và 0, 8. Tính xác suất sao cho:
a. Hai người bằng điểm nhau.
b. Người thứ nhất hơn điểm người thứ hai.
Bài tập 1.6. Hộp I đựng 30 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh. Hộp II chứa 10 bi trắng, 6 bi
đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu.
Bài tập 1.7. Một cuộc khảo sát 1000 người về hoạt động thể dục thấy có 80% số người
thích đi bộ và 60% thích đạp xe và buổi sáng, và tất cả mọi người đều tham gia ít nhất
một trong hai hoạt động trên. Chọn ngẫu nhiên một người, hỏi xác suất gặp được người
thích đi xe đạp mà không đi bộ là bao nhiêu?
Bài tập 1.8. Người ta thực hiện khảo sát trên một số lượng lớn những người đàn ông
trên 50 tuổi ở một thành phố cho kết quả sau
- Tỷ lệ đàn ông bị bệnh tiểu đường là 0.02.
- Tỷ lệ đàn ông bị bệnh tim là 0.03.
- Tỷ lệ không bị bệnh tim lẫn tiểu đường là 0.96.
Hãy tìm tỷ lệ đàn ông bị cả hai loại bệnh trên.
Bài tập 1.9. Một cái máy có hai thành phần hoạt động độc lập nhau, máy bị hư nếu
một trong hai thành phần bị hư. Biết rằng xác suất thành phần thứ hai bị hư gấp đôi
thành phần thứ nhất và hai thành phần hoạt động độc lập nhau. Nếu xác suất bị hư
của máy là 0.28, tìm xác suất thành phần thứ nhất bị hư.
Bài tập 1.10. Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tốt và 3 ống thuốc kém chất lượng. Từ
hộp đó, chọn ngẫu nhiên lần lượt không trả lại 2 ống. Tìm xác suất để
a. Cả hai ống thuốc chọn được đều tốt.
b. Chỉ ống thuốc chọn ra trước là tốt.
c. Trong hai ống thuốc chọn được có ít nhất một ống thuốc tốt.
Bài tập 1.11. Một hộp gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng kích thước và
trọng lượng. Từ hộp ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng bi một cho đến khi gặp được
bi đỏ thì dừng lại. Tìm xác suất để
a. Được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ.
b. Không có bi trắng nào được rút ra.
Bài tập 1.12. Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 6% là phế phẩm; một khác
hàng trước khi mua lô hàng chọn cách kiểm tra như sau: chọn ngẫu nhiên lần lượt 4
sản phẩm ra kiểm tra (không hoàn lại). Nếu thấy có bất kỳ phế phẩm nào thì trả lại lô
hàng. Tính xác suất khách hàng chấp nhận mua lô hàng.
2

4. Bài tập 1.13. Một hộp gồm 9 quả bóng, mỗi lần chơi người ta lấy ra 3 quả và khi chơi
xong lại bỏ vào hộp. Tìm xác suất để sau ba lần lấy bóng ra chơi các bóng đều được sử
dụng.
Bài tập 1.14. Một hộp chứ 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên
một quả cầu từ hộp. Gọi R là biến cố chọn được quả cầu có số chẵn, S là biến cố chọn
được quả cầu có số ≥ 6 và T là biến cố chọn được quả cầu có số ≤ 4. Hãy xét sự độc
lập của các cặp biến cố (R, S), (R, T ) và (S, T ) ?
Bài tập 1.15. Một người mua sổ số cào, người đó mua liên tiếp từng vé xổ số cho đến
khi nào được vé trúng thưởng thì dừng. Tìm xác suất sao cho người đó mua đến vé thứ
4 thì dừng biết rằng xác suất trúng thưởng của mỗi lần mua là như nhau và bằng 0.01.
Bài tập 1.16. Một nghiên cứu y học ghi nhận 937 người chết trong năm 1999 có:
+ 210 người chết do bệnh tim.
+ 312 người có bố hoặc mẹ có bệnh tim. Trong 312 người này có 102 người chết do
bệnh tim.
Chọn ngẫu nhiên 1 người trong 937 người chết này, thì xác suất người này chết do bệnh
tim bằng bao nhiêu, biết rằng người này có bố hoặc mẹ bị bệnh tim.
Bài tập 1.17. Xét không gian biến cố sơ cấp gồm 3 biến cố A, B, C, biết P (A) = 0.6,
P (B) = 0.5, P (C) = 0.4, P (A ∪ B) = 1, P (A ∪ C) = 0.7, P (B ∪ C) = 0.7. Tính
P (A ∩ B ∩ C|(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)).
Bài tập 1.18. Xét E1 , E2 , E3 là 3 biến có thỏa P (E1 |E2 ) = P (E2 |E3 ) = P (E3 |E1 ) = p,
P (E1 ∩ E2 ) = P (E1 ∩ E3 ) = P (E2 ∩ E3 ) = r, và P (E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = s. Hãy tìm xác suất
có ít nhất một biến cố xảy ra.
Bài tập 1.19. Học kỳ này một sinh viên được thi môn lý thuyết xác suất và thống kê
toán 3 lần. Xác suất để một sinh viên thi đỗ ở lần thứ nhất là 0.5. Nếu thi trượt ở lần
thứ nhất thì xác suất để thi đỗ ở lần thứ 2 là 0.7. Còn nến thi trượt cả 2 lần đầu thì
xác suất thi đỗ ở lần thứ 3 là 0.9. Tìm xác suất để sinh viên trên thi đỗ ở học kỳ này.
Bài tập 1.20. Trong một kì thi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 5 đáp án trong đó chỉ có 1
đáp án đúng. Xác suất để sinh viên biết câu trả lời đúng là 0.8. Một sinh viên biết trả
lời đúng câu hỏi thì anh ta chọn được đáp án đúng, nếu không biết trả lời thì anh ta
chọ một đáp án nào đó. Tìm xác suất để:
a. Anh ta chọn được đáp án đúng.
b. Giả sử câu hỏi chọn ngẫu nhiên được anh ta chọn đáp án đúng. Tìm xác suất
để anh ta thật sự biết câu trả lời cho hỏi đó.
Bài tập 1.21. Người ta biết rằng một cặp trẻ sinh đôi có thể là một cặp sinh đôi cùng
trứng hoặc một cặp sinh đôi không cùng trứng. Một cặp sinh đôi cùng trứng những đứa
trẻ bao giờ cũng cùng giới tính; còn sinh đôi khác trứng thì xác suất để chúng cùng giới
tính là 0,5. Giả sử cặp trẻ sinh đôi cùng trứng với xác suất là p. Tìm xác suất để cặp
trẻ sinh đôi cùng giới tính là cặp sinh đôi cùng trứng.
3

5. Bài tập 1.22. Có 3 cửa hàng I, II, và III cùng kinh doanh sản phẩm Y. Tỉ lệ sản phẩm
loại A trong 3 cửa hàng I, II, III lần lượt là 70%, 75% và 50%. Một khách hàng chọn
ngẫu nhiên 1 cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm.
a. Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A.
b. Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A. Hỏi khả năng người khách
hàng ấy chọn của hàng nào là nhiều nhất.
Bài tập 1.23. 60% số người mới học lái xe có bằng lái xe. Biết rằng trong năm đầu
tiên lái xe, xác suất người không có bằng lái gây tai nạn là 0.08 và xác suất người có
bằng lái gây tai nạn là 0.05. Nếu một người mới lái xe không gây tai nạn trong năm đầu
tiên, xác suất anh ta có bằng lái là bao nhiêu?
Bài tập 1.24. Tại một trung tâm xét nghiệm, biết rằng kết quả xét nghiệm một người
mắc bệnh chính xác với xác suất là 0.85. Tuy nhiên, sai sót trong kết quả là 0.01 tức là
nếu một người không mắc bệnh đi xét nghiệm mà kết quả kết luận người đó mắc bệnh
với xác suất là 0.1. Biết rằng 1% dân số bị mắc bệnh, hỏi xác suất một người khỏe mạnh
đi xét nghiệm cho kết quả bị bệnh là bao nhiêu?
Bài tập 1.25. Một nhà máy sản xuất một chi tiết của máy vi tính có tỷ lệ sản phẩm
đạt tiêu chuẩn chất lượng là 85%. Trước khi xuất xưởng người ta dùng một thiết bị
kiểm tra để kết luận sản phẩm có đạt yêu cầu chất lượng hay không. Thiết bị này có
khả năng phát hiện đúng sản phẩm đạt tiêu chuẩn với xác suất là 0, 9 và phát hiện đúng
sản phẩm không đạt tiêu chuẩn với xác suất là 0, 95. Tính xác suất để một sản phẩm
được chọn ngẫu nhiên sau khi kiểm tra:
a. Được kết luận là đạt tiêu chuẩn thì lại không đạt tiêu chuẩn.
b. Được kết luận đúng với thực chất của nó.
c. Được kết luận là đạt tiêu chuẩn.
4

6. Chương 2
Biến ngẫu nhiên và các phân phối
xác suất thường gặp
Bài tập 2.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi bảng
sau
X −2 −1 0 1 2
P 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8
a. Tìm hàm phân phối xác suất F (x).
b. Tính P (−1 ≤ X ≤ 1) và P X ≤ −1 hoặc X = 2 .
c. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X 2 .
Bài tập 2.2. Một nhóm 10 người gồm 4 nam, 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 3 người. Gọi
X là số nữ trong nhóm người được chọn.
a. Lập bảng phân phối xác suất của X.
b. Tìm hàm phân phối xác suất F (x).
c. Tính E(X), V ar(X), mod(X).
Bài tập 2.3. Tung đồng xu 4 lần, nếu sấp thì được được 1 đồng, ngửa thì thua 1 đồng.
Gọi X là số tiền thu được sau 4 lần tung. Tính E(X), V ar(X).
Bài tập 2.4. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối xác suất tương
ứng là
X −1 0 1 2 Y −1 0 1
P 0.2 0.3 0.3 0.2 P 0.3 0.4 0.3
Tìm phân phối xác suất X + Y . Tính kỳ vọng, phương sai của X + Y .
5

7. Bài tập 2.5. Có hai thùng thuốc A và B, trong đó:
- Thùng A có 20 lọ gồm 2 lọ hỏng và 18 lọ tốt,
- Thùng B có 20 lọ gồm 3 lọ hỏng và 17 lọ tốt.
a. Lấy ở mỗi thùng 1 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong hai lọ lấy ra. Lập bảng phân
phối xác suất cho X.
b. Lấy ở thùng B ra 3 lọ. Gọi Y là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Lập bảng phân
phối xác suất cho Y .
Bài tập 2.6. Một nhà đầu tư có 3 dự án. Gọi Xi (i = 1, 2, 3) là số tiền thu được khi
thực hiện dự án thứ i (giá trị âm chỉ số tiền bị thua lỗ). Qua nghiên cứu, nhà đầu tư
thu được số liệu như sau (Đv tính: 10 triệu đồng):
Xi -20 30 60
PX1 0.3 0.2 0.5
Xi -20 -10 100
PX2 0.4 0.2 0.4
Xi -25 -30 80
PX3 0.2 0.3 0.5
Nhà đầu tư nên chọn dự án nào? Tại sao?
Bài tập 2.7. Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm xác suất
2
f (x) = khi x = 1, 2, 3, . . .
3x
a. Lập bảng phân phối xác suất cho X.
b. Tính xác suất X nhận giá trị chẵn.
Bài tập 2.8. Xét biến ngẫu nhiên Y có hàm mật độ xác suất
20000
f (y) = khi y > 0
(100 + y)3
a. Chứng tỏ rằng f thỏa điều kiện của một hàm mật độ.
b. Tính P (Y > t) với t > 0.
c. Tính P (Y > t + y|Y > t) với t > 0.
Bài tập 2.9. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) cho như sau
kx(2 − x) khi 1 < x < 2
f (x) =
0 nơi khác
6

8. a. Xác định giá trị của k để f (x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Với k
vừa tìm được tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.
b. Tìm hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X.
c. Tìm hàm phân phối G(y) của biến ngẫu nhiên Y = X 3 .
Bài tập 2.10. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
e−x khi x > 0
f (x) =
0 khi x ≤ 0
a. Tính P (X ≥ 3).
b. Tìm giá trị của a sao cho P (X ≤ a) = 0, 1.
√
c. Xác định hàm phân phối và mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X.
Bài tập 2.11. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
3
x(2 − x) khi 0 ≤ x ≤ 2
f (x) = 4
0 nơi khác
a. Xác định hàm phân phối xác suất F (x) của biến ngẫu nhiên X.
b. Tính E(X), Var (X) và trung vị của biến ngẫu nhiên X.
√
c. Đặt Y = X, xác định hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu
nhiên Y .
Bài tập 2.12. Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên liên tục
X (đơn vị tháng) có hàm mật độ
kx2 (4 − x) khi 0 ≤ x ≤ 4
f (x) =
0 nơi khác
a. Tìm hằng số k.
b. Tìm F (x).
c. Tìm E (X), Var (X) và M od(X).
d. Tính xác suất để côn trùng chết trước một tháng tuổi.
Bài tập 2.13. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
kx2 e−2x khi x ≥ 0
f (x) =
0 nơi khác
7

9. a. Tìm hằng số k.
b. Tìm hàm phân phối xác suất F (x).
c. Tìm E (X), Var (X) và M od(X).
Bài tập 2.14. Một mẫu gồm có 4 biến ngẫu nhiên độc lập X1 , X2 , X3 , X4 . Mỗi biến
ngẫu nhiên Xi , i = 1, . . . , 4 có hàm mật độ như sau
2x khi 0 < x < 1
f (x) =
0 nơi khác
Đặt Y = max{X1 , X2 , X3 , X4 } và Z = min{X1 , X2 , X3 , X4 }. Tìm hàm mật độ của Y và
Z.
Bài tập 2.15. Trong một thành phố, thiệt hại hàng năm do thiên tai, hỏa hoạn và
trộm cắp là các biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ xác suất như sau
Thiên tai Hỏa hoạn Trộm cắp
2e−2x/3 5e−5x/12
f (x) e−x 3 12
Tính xác suất để thiệt hại lớn nhất trong số các thiệt hại trên vượt quá 3.
Bài tập 2.16. Một dây chuyền có 7 thành phần, tuổi thọ của mỗi thành phần là các
biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối với hàm mật độ xác suất
3
x4
khi x > 1
f (x) =
0 nơi khác
Dây chuyền ngừng hoạt động khi ít nhất một trong 7 thành phần bị hư. Tính thời gian
hoạt động trung bình (cho đến khi ngừng hoạt động) của dây chuyền.
Bài tập 2.17. An và Bình hai người cùng đi thi. Bài thi trắc nghiệm gồm 5 câu, mỗi
câu có 5 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng. Do chưa học bài nên An và Bình chọn các đáp
án một cách ngẫu nhiên.
a. Xác suất An làm đúng hết 5 câu là bao nhiêu?
b. Xác suất hai người có số câu làm đúng như nhau là bao nhiêu?
Bài tập 2.18. Trong một hệ thống, xác suất một cái máy bị hư trong một ngày bất kỳ
là 0.2 và độc lập với các ngày khác. Một cái máy chỉ có thể hư một lần trong một ngày.
Hỏi trong 10 ngày, khả năng một cái máy bị hư ít nhất 2 lần là bao nhiêu?
Bài tập 2.19. Mỗi khách uống cafe tại quán cafe Đông Hồ mỗi ngày đều được phát
ngẫu nhiên một vé bốc thăm, xác suất khách hàng trúng thăm là 0.1. Nếu khách hàng
trúng thăm liên tục trong năm ngày (từ thứ hai đến thứ sáu) thì sẽ được nhận 100$. An
uống cafe liên tục tại quán này 4 tuần liên tiếp. Gọi X là số tiền An được thưởng khi
bốc thăm. Tính EX, V arX.
8

10. Bài tập 2.20. Một công ty bảo hiểm có 5 hợp đồng bảo hiểm nhận thọ độc lập nhau
trong một năm. Giá trị mỗi hợp đồng là 100, 000$. Xác suất công ty phải trả tiền bồi
thường cho mỗi hợp đồng trong năm là 0.2. Hãy tìm xác suất mà công ty phải trả nhiều
số tiền bồi thường trung bình tổng cộng cho cả 5 hợp đồng.
Bài tập 2.21. Một công ty lập 1 quỹ gồm 120 triệu để khen thưởng cho 20 nhân viên
có thành tích cao sau 1 năm làm việc. Mỗi nhân viên đạt được thành tích cao sẽ nhận
được 1 số tiền bằng C và phải được thông báo vào đầu năm. Biết rằng xác suất mỗi
nhân viên đạt được thành tích cao trong năm làm việc bằng 2% và độc lập với các nhân
viên khác. Xác định giá trị lớn nhất của C sao cho khả năng vượt quá chi trả của quỹ
khen thưởng thấp hơn 1%.
Bài tập 2.22. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 300 lần gọi điện thoại
trong 1 giờ. Tìm xác suất để trung tâm này nhận được đúng 2 lần gọi trong 1 phút.
Bài tập 2.23. Công ty bảo hiểm sử dụng phân phối Poisson với trung bình là 4 cho số
yêu cầu bảo hành hàng tháng của một sản phẩm. Mỗi yêu cầu bảo hành sẽ được công
ty trả 1 khoản bồi thường. Tìm xác suất để số khoản bồi thường ít hơn số yêu cầu bảo
hành trung bình cộng với độ lệch tiêu chuẩn.
Bài tập 2.24. Xét X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình λ. Hãy
tính giá trị của λ nếu P (X = 1|X ≤ 1) = 0.8.
Bài tập 2.25. Một cửa hàng cho thuê xe ô-tô nhận thấy rằng số người đến thuê xe
ô-tô vào ngày thứ bảy là một đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số
λ = 2. Giả sử cửa hàng có 4 chiếc xe. Tính xác suất để
a. Tất cả 4 xe đều được thuê.
b. Không phải tất cả 4 xe đều được thuê.
c. Cửa hàng không đáp ứng được yêu cầu.
d. Cửa hàng cần ít nhất bao nhiêu xe ô-tô để xác suất không đáp ứng được yêu
cầu thuê bé hơn 2%.
Bài tập 2.26. Xét X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với E(X) = ln(2). Tính
E (cos(πX)).
Bài tập 2.27. Xác suất một người gặp phản ứng khi tiêm huyết thanh là 0,001. Tìm
xác suất sao cho trong 2000 người có
a. Đúng 3 người bị phản ứng.
b. Có nhiều hơn 2 người.
10
Bài tập 2.28. Nếu X có phân phối đều trên [0, 10]. Tính P X + X
>7 .
Bài tập 2.29. Ba vận động viên tham gia một cuộc thi điền kinh, thể loại 1000 m.
Thời gian hoàn thành đường đua của mỗi vận động viên là một biến ngẫu nhiên. Gọi
Xi , i = 1, 2, 3 (Đv: phút) là thời gian hoàn thành đường đua của người thứ i.
X1 : có phân phối đều trên [2.9, 3.1]
X2 : có phân phối đều trên [2.7, 3.1]
X3 : có phân phối đều trên [2.9, 3.3]
Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , X3 độc lập với nhau.
9

11. a. Tính xác suất để thời gian của người về đích sớm nhất ít hơn 3 phút.
b. Tính xác suất để thời gian của người về đích trễ nhất ít hơn 3 phút.
Bài tập 2.30. Chi phí đầu tư cho một cái máy là 3000$. Biết tuổi thọ của máy tuân
theo phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình bằng 3 năm. Nhà sản xuất cung cấp 2 loại
bảo hành. Loại I sẽ trả 3000$ nếu máy bị hư trong năm đầu tiên, 2000$ nếu máy bị hư
trong năm thứ hai và 1000$ nếu máy bị hư trong năm thứ ba và không chi trả từ năm
thứ ba trở đi. Loại II sẽ trả một khoản tiền là 3000 × e−t $ nếu máy bị hỏng tại năm thứ
t (tính từ thời điểm mua). Hãy tính số tiền bảo hành trung bình mà nhà sản xuất phải
trả theo từng loại hợp đồng trên.
Bài tập 2.31. Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất
1 2
f (x) = √ e−x /2 , −∞ < x < +∞
2π
Tính E (X|X ≥ 0).
Bài tập 2.32. Trọng lượng của con cừu là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với giá trị trung bình là 25 kg và độ lệch tiêu chuẩn là 4 kg. Chọn ngẫu nhiên 1
con cừu. Tính xác xuất để con cừu được chọn có trọng lượng
a. Nặng hơn 30 kg.
b. Nhẹ hơn 18 kg.
c. Lớn hơn 20 kg và bé hơn 27 kg.
Bài tập 2.33. Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối theo quy
luật chuẩn với tuổi thọ trung bình là 11 năm và độ lệch tiêu chuẩn là 2 năm.
a. Nếu nhà sản xuất quy định thời gian bảo hành là 10 năm thì tỷ lệ sản phẩm bảo
hành là bao nhiêu?
b. Nếu muốn tỷ lệ sản phẩm bảo hành là 10% thì phải quy định thời gian bảo hành
là bao nhiêu năm?
Bài tập 2.34. Một người cân nhắc giữa việc mua cổ phiếu của công ty A và công ty
B hoạt động ở hai lĩnh vực độc lập nhau. Biết lãi suất cổ phiếu (tính bằng %) của hai
công ty là các đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với các tham số đặc
trưng như sau
Trung bình Độ lệch tiêu chuẩn
Công ty A 12 3.5
Công ty B 11 2.8
a. Nếu người đó muốn đạt lãi suất tối thiểu là 10% thì nên mua cổ phiếu của công
ty nào?
b. Nếu người đó muốn hạn chế rủi ro bằng cách mua cổ phiếu của cả hai công ty thì
nên mua theo tỷ lệ bao nhiêu để mức độ rủi ro về lãi suất là nhỏ nhất?
10

12. Bài tập 2.35. Hai dụng cụ khác nhau được sử dụng để đo chiều cao h của một cái
tháp. Sai số khi đo bằng dụng cụ thứ nhất có phân phối chuẩn với trung bình 0 và độ
lệch chuẩn 0.0056h. Sai số khi đo bằng dụng cụ thứ hai có phân phối chuẩn với trung
bình 0 và độ lệch chuẩn 0.0044h. Giả sử việc đo chiều cao tháp thực hiện bởi hai dụng
cụ độc lập với nhau. Xác suất để trị tuyệt đối của sai số trung bình khi đo bởi hai dụng
cụ bé hơn 0.005h bằng bao nhiêu?
Bài tập 2.36. Xác suất sinh con trai là 0.51. Khảo sát 1000 ca sinh (mỗi ca sinh 1 con)
trong bệnh viện, xác suất số ca sinh con trai ít hơn con gái là bao nhiêu?
Bài tập 2.37. Trọng lượng của một loại sản phẩm được quan sát là đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50 kg và độ lệch tiêu chuẩn là 10 kg. Nhưng
sản phẩm có trọng lượng từ 45 kg đến 70 kg được xếp vào loại A. Chọn ngẫu nhiên 100
sản phẩm (trong rất nhiều sản phẩm). Tính xác suất để
a. Có đúng 70 sản phẩm loại A.
b. Có không quá 60 sản phẩm loại A.
c. Có ít nhất 65 sản phẩm loại A.
Bài tập 2.38. Sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng thành từng kiện. Mỗi
kiện 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách hàng chọn
cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2
sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 140 kiện hàng trong
số rất nhiều kiện. Tính xác suất để có
a. 93 kiện được nhận.
b. Từ 90 đến 110 kiện được nhận.
11

13. Chương 3
Vectơ ngẫu nhiên
Bài tập 3.1. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) có phân phối đồng thời cho ở bảng 3.1.
Xác định phân phối lề của biến ngẫu nhiên X và Y
HH
HH Y 1 2 3 4
X H H
1 16/136 3/136 2/136 13/136
2 5/136 10/136 11/136 8/136
3 9/136 6/136 7/136 12/136
4 4/136 15/136 14/136 1/136
Bảng 3.1
Bài tập 3.2. Phân phối xác suất đồng thời của véctơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) cho
bởi bảng 3.2
H
HH Y
HH 0 1 2 P (X = x)
X H
-1 ... ... ... 1/2
1 ... 1/2 ... 1/2
P (Y = y) 1/6 2/3 1/6 1
Bảng 3.2
a. Hoàn thành bảng phân phối.
b. Xét tính độc lập giữa X và Y .
c. Xác định E(XY ), Var(X + Y ) và Var(X − Y ).
12

14. Bài tập 3.3. Phân phối lề của các biến ngẫu nhiên X và Y cho như bảng 3.3 Cho biết
HH
HH Y 1 2 3 4 5 P (X = x)
X HH
1 ... ... ... ... ... 5/14
2 ... ... ... ... ... 4/14
3 ... ... ... ... ... 2/14
4 ... ... ... ... ... 2/14
5 ... ... ... ... ... 1/14
P (Y = y) 2/14 5/14 4/14 2/14 1/14 1
Bảng 3.3
giá trị xác suất đồng thời P (X = x, Y = y) là 0 hoặc 1/14. Xác định phân phối đồng
thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ).
Bài tập 3.4. Cho η là một số thực, xác suất đồng thời P (X = x, Y = y) của véctơ
ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) cho bởi bảng 3.4
HH
H Y
HH -1 0 1
X H
1 1
4 η− 16 4
−η 0
1 3 1
5 8 16 8
1 1 1
6 η+ 16 16 4
−η
Bảng 3.4
a. Xác định giá trị của η.
b. Có giá trị nào để X và Y độc lập.
Bài tập 3.5. Một xét nghiệm cho bệnh B cho hai kết quả: 1 nếu phát hiện ra bệnh và
0 nếu không phát hiện ra bệnh. Gọi X là trạng thái người đi xét nghiệm (bệnh hoặc
không có bệnh) và Y là kết quả xét nghiệm. Hàm xác suất đồng thời của X và Y cho
bởi
P (X = 0, Y = 0) = 0.800, P (X = 1, Y = 0) = 0.050
P (X = 0, Y = 1) = 0.025, P (X = 1, Y = 1) = 0.125
Tính Var(Y |X = 1).
Bài tập 3.6. Tuổi thọ (Đv: tháng) của hai thành phần trong một cái máy có hàm mật
độ xác suất đồng thời
6
125000
(50 − x − y) khi0 < x < 50 − y < 50
f (x, y) =
0 nơi khác
Tính xác suất cả hai thành phần tiếp tục hoạt động thêm 20 tháng nữa tính từ bây giờ.
13

15. Bài tập 3.7. Giả sử véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) có phân phối xác suất đồng thời
1 − e−2x − e−y + e−(2x+y) khi x > 0, y > 0
F (x, y) =
0 nơi khác
a. Xác định hàm phân phối xác suất lề của các biến ngẫu nhiên X và Y .
b. Xác định hàm mật độ xác suất đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ).
c. Xét tính độc lập giữa X và Y .
Bài tập 3.8. Cho véctơ ngẫu nhiên liên tục (X, Y ) với hàm mật độ xác suất đồng thời
12
xy(1 + y) khi 0 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ 1
f (x, y) = 5
0 nơi khác
1 1 1 2
a. Tìm xác suất P ≤X≤ , ≤Y ≤ .
4 2 3 3
b. Xác định hàm phân phối đồng thời F (x, y) của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) khi
x, y thuộc đoạn [0, 1].
c. Sữ dụng câu b, tìm hàm phân phối lề FX (x) của biến ngẫu nhiên X khi x
thuộc đoạn [0, 1].
d. Xét tính độc lập giữa X và Y .
e. Tính xác suất P (X < Y ).
Bài tập 3.9. Hàm mật độ đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y )
k(3x2 + 8xy) khi 0 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ 2
f (x, y) =
0 nơi khác
a. Xác định k.
b. Tính xác suất P (2X ≤ Y ).
c. Tìm hàm phân phối xác suất đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ).
d. Tìm hàm mật độ xác suất lề của X và Y .
e. Tính E(XY ) và ρ(X, Y ).
f. Tính E (X 2 ) , E (Y 2 ) và E ([X + Y ]2 ).
14

16. Bài tập 3.10. Véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời
k(x2 + y) khi 0 ≤ y ≤ 1 − x2
f (x, y) =
0 nơi khác
a. Xác định hằng số k.
1
b. Tính xác suất P 0 ≤ X ≤ , P (Y ≤ X + 1) và P (Y ≤ X 2 ).
2
Bài tập 3.11. Cho hàm mật độ đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y )
c(x + y 2 ) khi 0 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ 1
f (x, y) =
0 nơi khác
a. Xác định hằng số c.
1 1
b. Tìm FX (x|y) và tính P X < Y = .
2 2
Bài tập 3.12. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, chứng minh rằng
E(XY ) = E(X)E(Y )
Bài tập 3.13. Chứng minh công thức tính hiệp phương sai.
Bài tập 3.14. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y so cho
E(X) = 2, E(Y ) = 3, Var(X) = 4
a. Tính E (X 2 ).
b. Tính E (−2X 2 + Y ).
Bài tập 3.15. Xét X và Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất đồng thời
kx khi 0 < x < 1, 0 < y < 1
f (x, y) =
0 nơi khác
Tính Cov(X, Y ).
15

17. Chương 4
Thống kê mô tả và Ước lượng tham
số
Bài tập 4.1. Xét một tổng thể có phân phối chuẩn với phương sai σ 2 đã biết, hỏi:
√ √
a. Độ tin cậy của khoảng tin cậy x − 2.14σ/ n ≤ µ ≤ x + 2.14σ/ n là bao
¯ ¯
nhiêu?
√ √
b. Độ tin cậy của khoảng tin cậy x − 2.49σ/ n ≤ µ ≤ x + 2.49σ/ n là bao
¯ ¯
nhiêu?
√ √
c. Độ tin cậy của khoảng tin cậy x − 1.85σ/ n ≤ µ ≤ x + 1.85σ/ n là bao
¯ ¯
nhiêu?
Bài tập 4.2. 100 mẫu nước được lấy từ các hồ nước và đo hàm lượng canxi (mg/l).
Tính được khoảng tin cậy 95% cho hàm lượng canxi trung bình là 0.49 ≤ µ ≤ 0.82.
a. Chiều dài khoảng tin cậy 99% được tính từ mẫu này sẽ dài hay ngắn hơn KTC
95%?
b. Xét phát biểu sau: có 95% khả năng giá trị µ từ 0.49 đến 0.82. Phát biểu này
đúng không? Giải thích?
c. Xét phát biểu sau: nếu một mẫu ngẫu nhiên cỡ n = 100 mẫu nước được chọn
và tính được KTC 95% cho µ, quá trình lấy mẫu này lặp lại 1000 lần, thì khoảng
950 KTC sẽ chứa µ? Phát biểu này đúng không? Giải thích?
Bài tập 4.3. Đo ion Na+ trên một số người và ghi nhận được kết quả như sau (đv:
mEq/lít)
129 132 140 141 138 143
133 137 140 143 138 140
a. Tính các tham số mẫu.
b. Ước lượng hàm lượng ion Na+ trung bình với độ tin cậy 95%.
c. Nếu muốn sai số ước lượng không quá 1 mEq/l với độ tin cậy 95% thì phải
quan sát mẫu ít nhất bao nhiêu người.
16

18. Bài tập 4.4. Điểm thi môn Toán của sinh viên một trường đại học có độ lệch chuẩn
là 11.3. Nếu một mẫu ngẫu nhiên gồm 81 sinh viên có điểm trung bình là 74.6. Tìm
khoảng tin cậy 90% cho điểm trung bình môn Toán của sinh viên trường đại học này.
Bài tập 4.5. Tuổi thọ (giờ) của loại bóng đèn sợi đốt 75W tuân theo phân phối chuẩn
với σ = 25 giờ. Một mẫu gồm 20 bóng đèn có x = 1014 giờ.
¯
a. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn này.
b. Với mẫu như trên, lập khoảng tin cậy cho tuổi thọ trung bình bóng đèn. Nếu
sai số ước lượng bằng 15 thì độ tin cậy bằng bao nhiêu?
Bài tập 4.6. Đo chiều cao (Đv: inch) của những nữ sinh viên trong một lớp học Toán,
kết quả như sau
62 64 66 67 65 68 61 65 67 65 64 63 67
68 64 66 68 69 65 67 62 66 68 67 66 65
69 65 70 65 67 68 65 63 64 67 67
a. Tính các tham số mẫu.
b. Vẽ đồ thị Stem & leaf cho chiều cao. Nhận xét.
c. Tính 3 số phân vị Q1 , Q2 và Q3 . Vẽ đồ thị Boxplot cho chiều cao.
d. Tìm khoảng tin cậy 99% cho chiều cao trung bình.
Bài tập 4.7. Xét X1 , X2 , . . . , Xn là một mẫu ngẫu nhiên chọn từ tổng thể có phân phối
¯
chuẩn với kỳ vọng µ và phương sai bằng 1. Đặt Xn = n Xi /n là trung bình tương
i=1
ứng với n phần tử.
¯
a. Xác định phân phối của Xn+1 − Xn .
¯
b. Nếu Xn = 4, tìm một khoảng chưa giá trị của Xn+1 với độ tin cậy 90%.
Bài tập 4.8. Cân một số trái cây vừa thu hoạch ở nông trường, thu được kết quả như
sau
Trọng lượng X (g) 200 - 210 210 - 220 220 - 230 230 - 240 240 - 250
Số trái 12 17 20 18 15
a. Vẽ đồ thị histogram cho trọng lượng trái cây.
b. Tính các tham số mẫu.
c. Ước lượng trọng lượng trung bình của trái cây ở nông trường với độ tin cậy
95%.
d. Với độ tin cậy 95%, nếu muốn sai số ước lượng không quá 2 g thì phải quan
sát ít nhất bao nhiêu trường hợp.
17

19. e. Trái cây có trọng lượng từ 230 g trở lên được xếp vào loại A. Hãy ước lượng tỷ
lệ trái cây loại A với độ tin cậy 95%. Nếu muốn sai số ước lượng không quá 0.04
thì phải quan sát ít nhất bao nhiêu trường hợp.
Bài tập 4.9. Tại một vùng rừng nguyên sinh, người ta theo dõi 1 loài chim bằng cách
đeo vòng cho chúng. Tiến hành đeo vòng cho 1000 con. Sau một thời gian, bắt lại 400
con thì thấy 80 con có đeo vòng. Hãy ước lượng số chim trong vùng rừng đó với độ tin
cậy 90%.
Bài tập 4.10. Chọn ngẫu nhiên 50 nón bảo hiểm từ những người đi xe máy và kiểm
tra độ chịu lực của nón. Sau khi kiểm tra thấy có 18 nón bị hỏng khi tác động lực.
a. Lập khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ nón bảo hiểm bị hỏng.
b. Sử dụng giá trị ước lượng cho tỷ lệ nón bảo hiểm bị hỏng của mẫu 50 nón bảo
hiểm đã được chọn. Hỏi cần phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu nón để sai số ước
lượng của khoảng tin cậy 95% bé hơn 0.02.
18

20. Chương 5
Kiểm định giả thuyết thống kê
Bài tập 5.1. Trong một phản ứng hóa học, người ta sử dụng một chất lỏng để làm
chất xúc tác. Yêu cầu của phản ứng đòi hỏi độ pH của chất xúc tác phải bằng 8.20. Một
phương pháp được sử dụng để đo độ pH của chất lỏng cho biết độ pH tuân theo phân
phối chuẩn với độ lệch chuẩn bằng 0.02. Đo độ pH của 10 mẫu chất lỏng cho kết quả
8.18 8.16 8.17 8.22 8.19
8.17 8.15 8.21 8.16 8.18
a. Chất lỏng được sử dụng có thỏa yêu cầu cho phản ứng hóa học hay không?
Mức ý nghĩa 10%.
b. Cho kết luận với câu hỏi như câu a. với mức ý nghĩa 5%.
Bài tập 5.2. Trọng lượng những con cá hồi tại một trang trại nuôi cá tuân theo phân
phối chuẩn với độ lệch chuẩn 0.544 kg. Người chủ trang trại tuyên bố rằng trọng lượng
trung bình những con cá hồi trong năm nay thấp nhất là 3.447 kg. Chọn ngẫu nhiên
16 con cá và tính được trọng lượng trung bình bằng 3.266 kg. Với mẫu khảo sát, ta có
bằng chứng đủ mạnh để bác bỏ tuyên bố của người chủ trang trại hay không?
a. Với mức ý nghĩa 5%?
b. Với mức ý nghĩa 1%?
c. Tính p-giá trị?
Bài tập 5.3. Trong mỗi viên thuốc được sản xuất bởi một công ty dược, có sự biến
thiên về hàm lượng Phenolbarbitol (C12 H12 N2 O3 ). Tuy nhiên, nhà sản xuất khẳng định
rằng giá trị trung bình bằng 20.0 mg. Để kiểm tra điều này, một mẫu gồm 25 viên thuốc
được chọn tính được trung bình 19.7 mg và độ lệch tiêu chuẩn bằng 1.3 mg. Với mức ý
nghĩa 5%, hãy kiểm tra khẳng định của nhà sản xuất.
Bài tập 5.4. Một công ty sản xuất pin tuyên bố rằng tuổi thọ trung bình của một loại
pin do công ty sản xuất ra tối thiểu bằng 240 giờ. Khảo sát một mẫu gồm 18 cục pin
cho kết quả
237 242 244 262 225 218
242 258 243 234 236 228
232 230 254 220 232 240
19

21. Giả sử rằng tuổi thọ loại pin này tuân theo phân phối chuẩn.
a. Vẽ đồ thị Stem-&-leaf cho dữ liệu trên. Nhận xét.
b. Với mức ý nghĩa 5%, ta có thể bác bỏ tuyên bố của công ty sản xuất pin hay
không?
Bài tập 5.5. Một mẫu gồm 10 con cá được bắt lên tại hồ A và đo hàm lượng PCB
(Polychlorinated biphenyls) trong mỗi con cá bằng một phương pháp xác định. Kết quả
như sau (Đơn vị: một phần triệu - ppm):
Hồ A:11.5, 10.8, 11.6, 9.4, 12.4, 11.4, 12.2, 11, 10.6, 10.8
Tương tự, bắt 8 con cá ở hồ B và đo hàm lượng PCB theo một phương pháp khác, kết
quả:
Hồ B:11.8, 12.6, 12.2, 12.5, 11.7, 12.1, 10.4, 12.6
Biết rằng hàm lượng PCB thu được khi sử dụng phương pháp đo cho cá ở hồ A có
phương sai là 0.09, nếu dùng phương pháp áp dụng cho cá ở hồ B thì phương sai bằng
0.16. Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận hàm lượng PCB của cá trong hai hồ bằng
nhau hay không?
Bài tập 5.6. Một phương pháp đo độ pH của một loại chất lỏng cho kết quả là giá trị
của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 0.05. Một nhà khoa học về
môi trường khẳng định rằng nếu hai loại chất lỏng khác nhau có cùng chung một nguồn
thì độ pH của các chất lỏng đó sẽ bằng nhau. Để kiểm tra sự hợp lý của khẳng định
trên, người ta đo độ pH của hai loại chất lỏng A và B, mỗi loại 10 mẫu. Thu được kết
quả
Độ pH của Độ pH của
chất lỏng A chất lỏng B
6.24 6.27
6.31 6.25
6.28 6.33
6.30 6.27
6.25 6.24
6.26 6.31
6.24 6.28
6.29 6.29
6.22 6.34
6.28 6.27
a. Với dữ liệu khảo sát, ta thể bác bỏ khẳng định của nhà khoa học hay không?
Mức ý nghĩa 5%.
b. Tính p-giá trị.
Bài tập 5.7. Dữ liệu cho bởi bảng bên dưới là tuổi thọ (Đv: 100 giờ) của các ống phóng
điện tử thuộc hai loại khác nhau. Những nghiên cứu trong quá khứ chứng tỏ rằng tuổi
thọ các ống phóng điện tử tuân theo phân phối Logarit - chuẩn (Lognormal). Giả sử
phương sai hai tổng thể bằng nhau. Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra giả thuyết rằng phân
phối của hai tổng thể (tuổi thọ hai loại ống điện tử) là như nhau.
20

22. Loại 1 32 84 37 42 78 62 59 74
Loại 2 39 111 55 106 90 87 85
Biết rằng nếu X là một biến ngẫu nhiên có phân phối Logarit - chuẩn thì Y = ln(X) là
biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Bài tập 5.8. Để kiểm tra giả thuyết rằng hàm lượng chì trong máu của những đứa
trẻ có cha mẹ làm trong các nhà máy có sử dụng chì trong dây chuyền sản xuất. Các
nhà khoa học khảo sát hàm lượng chì trong máu của 33 đứa trẻ có cha mẹ làm trong
một nhà máy sản xuất pin (Nghiên cứ thực hiện bởi Morton, D., Saah, A., Silberg, S.,
Owens, W., Roberts, M., and Saah, M., “Lead Absorption in Children of Employees in a
Lead-Related Industry,” American Journal of Epidemiology , 115 , 549–555, 1982). Sau
đó, người ta khảo sát trên 33 đứa trẻ ở cùng độ tuổi, sống trong những khu vực có hoàn
cảnh môi trường, giao thông, . . . tương tự với 33 đứa trẻ khảo sát lần đầu nhưng có cha
mẹ làm trong nhà máy không tiếp xúc với chì. Kết quả từ hai mẫu khảo sát như sau:
x1 = 0.015,
¯ s1 = 0.004, x2 = 0.006,
¯ s2 = 0.006
Hàm lượng chì trong máu của những đứa trẻ có cha mẹ làm việc trong môi trường tiếp
xúc với chì và không tiếp xúc với chì có như nhau hay không? Mức ý nghĩa 5%. Giả sử
phương sai bằng nhau.
Bài tập 5.9. 10 sản phụ được tiêm pitocin để làm giảm cơn đau (co thắt dạ con). Huyết
áp của họ được đo trước và sau khi tiêm như sau
Bệnh nhân Trước Sau Bệnh nhân Trước Sau
1 134 140 6 140 138
2 122 130 7 118 124
3 132 135 8 127 126
4 130 126 9 125 132
5 128 134 10 142 144
Dữ liệu khảo sát trên có chứng tỏ rằng việc tiêm thuốc làm thay đổi huyết áp hay không?
Mức ý nghĩa 5%.
Bài tập 5.10. Trong y học, một câu hỏi được đặt ra là liệu việc chạy bộ có làm giảm
nhịp tim của một người hay không? Để kiểm tra giả thuyết này, 8 chưa chạy bộ bao giờ
tình nguyện tham gia một chương trình chạy bộ trong vòng 1 tháng. Sau một tháng,
nhịp tim của họ được đo và so sánh với nhịp tim trước khi họ tham gia chương trình.
Dữ liệu khảo sát cho bởi:
Người tham gia 1 2 3 4 5 6 7 8
Nhịp tim trước 74 86 98 102 78 84 79 70
Nhịp tim sau 70 85 90 110 71 80 69 74
Ta có thể kết luận rằng việc chạy bộ làm giảm nhịp tim hay không? Mức ý nghĩa 5%.
Bài tập 5.11. Trong điều trị một loại bệnh truyền nhiễm, một loại thuốc được biết
có hiệu quả điều trị thành công 72% số ca nhiễm bệnh. Một loại thuốc mới được phát
triển và thử nghiệm cho thấy có hiệu quả điều trị thành công 42 ca trong số 50 ca nhiễm
bệnh. Ta có bằng chứng đủ mạnh để kết luận rằng loại thuốc mới hiệu quả hơn loại
thuốc cũ hay không? Tính p - giá trị.
21

23. Bài tập 5.12. Ba cuộc khảo sát độc lập được thực hiện trong một thành phố để xác
định xem có phải tỷ lệ người dân ủng hộ việc hạn chế tốc độ xe máy trong nội thành
trên 50% hay không? Giả thuyết cần kiểm định trong 3 cuộc khảo sát là
H0 : p ≤ 0.5
H1 : p > 0.5
với p là tỷ lệ người dân ủng hộ việc hạn chế tốc độ.
a. Cuộc khảo sát thứ nhất hỏi ý kiến 100 người, thấy có 56 người đồng ý. Với
mức ý nghĩa 5%, có thể bác bỏ giả thuyết H0 hay không?
b. Cuộc khảo sát thứ hai hỏi ý kiến 120 người, thấy có 68 người đồng ý. Với mức
ý nghĩa 5%, có thể bác bỏ giả thuyết H0 hay không?
c. Cuộc khảo sát thứ ba hỏi ý kiến 110 người, thấy có 62 người đồng ý. Với mức
ý nghĩa 5%, có thể bác bỏ giả thuyết H0 hay không?
d. Kết hợp ba cuộc khảo sát lại, được một mẫu gồm 330 người và thấy có 186
người đồng ý. Mẫu khảo sát trên đã cung cấp bằng chứng đủ mạnh để bác bỏ giả
thuyết H0 hay không? Mức ý nghĩa 5%.
Bài tập 5.13. Theo khảo sát của bộ Y tế, 25.5% thanh niên trên 18 tuổi hút thuốc
trong năm 1990. Một nhà khoa học tuyên bố rằng tỷ lệ thanh nhiên trên 18 tuổi hút
thuốc đang tăng lên. Để củng cố cho khẳng định của mình, cô ta chọn ngẫu nhiên 500
thanh niên. Nếu có 138 người hút thuốc, khẳng định của nhà khoa học có đúng không?
Mức ý nghĩa 5%.
Bài tập 5.14. Khảo sát 1100 trận động đất với độ lớn trung bình trở lên (ít nhất 4.4
độ Richter) ở miền nam California, kết quả như sau:
Ngày Chủ nhật Hai Ba Tư Năm Sáu Bảy
Số trận động đất 156 144 170 158 172 148 152
Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định xem động đất có phụ thuộc vào ngày trong tuần
hay không?
Bài tập 5.15. Có một lô hàng có rất nhiều sản phẩm. Người bán hàng cho biết: tỷ
lệ sản phẩm hỏng là 10%, đạt là 60% và tốt là 30%. Khách hàng kiểm tra một số sản
phẩm thấy có 30 sản phẩm hỏng, 80 sản phẩm đạt và 40 sản phẩm tốt. Hỏi người bán
hàng có nói đúng không? Mức ý nghĩa 5%.
Bài tập 5.16. Số liệu cho bởi bảng bên dưới liên quan đến tuổi các bà mẹ và trọng
lượng (g) của những đứa bé sơ sinh (của các bà mẹ)
Trọng lượng trẻ sơ sinh
Tuổi của mẹ < 2, 500 g ≥ 2, 500 g
≤ 20 tuổi 10 40
> 20 tuổi 15 135
Hỏi trọng lượng trẻ sơ sinh có phụ thuộc vào độ tuổi của mẹ không? Mức ý nghĩa 5%.
22

24. Bài tập 5.17. Có hai phương pháp giảng dạy A và B được áp dụng cho hai nhóm học
sinh có cùng trình độ ban đầu. Kết quả thi cuối khóa như sau
Giỏi Khá Đạt Kém
Phương pháp A 25 42 22 11
Phương pháp B 25 58 53 14
Hỏi hiệu quả của hai phương pháp có như nhau hay không? (Mức ý nghĩa 5%)
23