Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số

1. facebook.com/hoitoanhoc
Page 1
Tác giả: facebook.com/msiro.tiny
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
TÍNH GIỚI HẠN CỦA
DÃY SỐ
INTRODUCE: Tài liệu này cung cấp cho các bạn một phương pháp mà ít bạn nào
học THPT quan tâm để ý vì phần dãy số và nguồn gốc tính tích phân ít ai quan
tâm. Cho nên đây coi như là một bài thường thức cho các bạn, hi vọng sẽ giúp ích
được cho ai đó 

2. facebook.com/hoitoanhoc
Page 2
Tác giả: facebook.com/msiro.tiny
Nhắc lại: Định nghĩa tích phân (điều này ít học sinh quan tâm vì chúng ta sẽ
được học các công thức nguyên hàm ngay sau bài mở đầu về tích phân trong
sách THPT).
Tích phân (Integral (Anh), 積分 (Trung)) là một khái niệm toán học, và cùng với
nghịch đảo của nó là vi phân (differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và
chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Có thể hiểu đơn giản tích phân như
là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng
được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản
hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình
chữ nhật... Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng
lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có
thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang
cong đó.
Hoặc giải thích bằng toán học như sau: Cho một hàm f của một biến thực x và
một miền giá trị thực  ;a b , khi đó một tích phân xác định (definite integral)
Tích phân xác định được định nghĩa là diện tích S giới hạn bởi đường cong
( )y f x và trục hoành, với x chạy từa đến b .
( )
b
a
f x dx được cho là diện tích vùng không gian phẳng Oxy được bao bởi đồ thị
hàm f , trục hoành, và các đường thẳng x a và x b sao cho các vùng trên trục
hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn những phần dưới trục hoành sẽ bị trừ
vào tổng diện tích.

3. facebook.com/hoitoanhoc
Page 3
Tác giả: facebook.com/msiro.tiny
Cho ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trong ( , )a b . Khi đó, tích phân bất định
(indefinite integral) được viết như sau:
( ) ( )f x dx F x C 
Ta bắt đầu vào nội dung của phương pháp 
Cho ( )f x xác định trên  ;a b .
Chia đoạn  ;a b thành n đoạn bằng nhau, giới hạn bởi ( 1)n  điểm chia
( 0, )ix i n như sau:
0 1 2 ... ...k nx a x x x x b        với 0x a 1
b a
x a
n

  ; 2
2( )b a
x a
n

  ; …
. .n
b a
x a n b
n

  
Lấy 1[ ; ]i i i ix x x   , 1,i n  .i
b a
a i
n


  . Tính ( ) .i
b a
f f a i
n

 
  
 
Theo định nghĩa thì ta lập tổng
1
1 1
( )( ) .
n n
n i i i
i i
b a b a
S f x x f a i
n n
 
 
  
     
 
 
2( )
( ... .
b a b a b a b a
f a f a f a n
n n n n
         
            
      
.
Nếu ( )f x liên tục trên  ;a b thì lim ( )
b
n an
S f x dx

  .
Để tìm giới hạn tổng  1 2 ... limn n n
n
S u u u S

    phụ thuộc vào n N trong nhiều
trường hợp ta có thể dẫn đến dạng tổng của tích phân
1
( )
n
i i
i
f 

 rồi tính tích phân
tương ứng. Bằng cách tính tích phân ta tính được giới hạn cần tìm.
Bài toán và cách trình bày: Cho 1 2 ...n nS u u u    tính lim .n
n
S

Lời giải: Ngoài cách tính trực tiếp tổng nS thông qua các công thức về dãy số như
cấp số cộng, cấp số nhân, ta có thể yêu em này bằng nhờ tích phân sau:

4. facebook.com/hoitoanhoc
Page 4
Tác giả: facebook.com/msiro.tiny
1. Biến đổi nS về dạng
1
1. 2. ... . . .
n
n
i
b a b a b a b a b a b a
S f a f a f a n f a i
n n n n n n
             
                
        

2. Chỉ ra hàm f và chứng minh f liên tục trên  ; .a b
3. Kết luận lim ( )
b
n an
S f x dx

 
Trong thực hành chúng ta thường gặp các dạng đơn giản 0,a  1.b  Khi đó các
giai đoạn bên trên được rút gọn cho dễ hiểu như sau:
1. Biến đổi nS về dạng
1
1 1 2 1
... .
n
n
i
n i
S f f f f
n n n n n n
        
            
        

2. Chỉ ra hàm f và chứng minh f liên tục trên  0;1 .
3. Kết luận
1
0
lim ( ) .n
n
S f x dx

 
Sau khi đọc hết phần lí thuyết khá lằng nhằng trên, chúng ta bắt đầu một số ví dụ
áp dụng:
Ví dụ 1. Tính 1 1 1
lim ...
1 2
n
n
S
n n n n
   
  
Lời giải.
Nhận xét rằng
1
1 1
1
n
n
i
S
in
n




Xét hàm số 1
( )
1
f x
x


trên đoạn  0;1 .
Chia đoạn  0;1 thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn bằng 1
,
n
giới hạn bởi
( 1)n  điểm chia:
0 1 2
1 2
0 ... ... 1i n
i
x x x x x
n n n
          
Ta có: 1
1
( ) ( )
n
n i i i
i
S x x f 

 

5. facebook.com/hoitoanhoc
Page 5
Tác giả: facebook.com/msiro.tiny
Chọn
1 1
1 1 1 1
( ) ( )
1 1
n n
i i i i n
i i
i
x f f x S
i in n i n
n n
 
 
       
 
 
Theo định nghĩa ta có
1
1
01 0
0 1
lim lim ( 1) | 2
1
n
n
n
i
n
dx
S ln x ln
x  
    

 
Vậy lim 2n
n
S ln


Ví dụ 2. Tính lim n
n
S

với
1 2 ( 1)
...n
n
S sin sin sin
n n n n
   
    
 
Lời giải:
Xét hàm số ( )f x sin x trên đoạn  0;1 .
Chia đoạn  0;1 thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn bằng 1
,
n
giới hạn bởi
( 1)n  điểm chia:
0 1 2
1 2
0 ... ... 1i n
i
x x x x x
n n n
          
Ta có: 1
1
( ) ( )
n
n i i i
i
S x x f 

 
Chọn
1
1
( ) ( ) sin
n
i i i i n
i
i i i
x f f x S sin
n n n n
 
 

       
Theo định nghĩa ta có:
1
1
01 0
0 1
1 1 1 2
lim lim | ( 1 1)
n
n
i
n
i
sin sin xdx cos x
n n

 
    
 
       
Vậy 2
lim n
n
S


Ví dụ 3. Tính lim n
n
S

với 2 2 2 2 2
1 1 1
...
4 1 4 2 4
nS
n n n n
 
    
   
Lời giải.

6. facebook.com/hoitoanhoc
Page 6
Tác giả: facebook.com/msiro.tiny
Ta có 2 2
2
1 1 1 1
...
1 24 4 4
n n
n n n
 
 
 
    
              
Xét 2
1
( )
4
f x
x


trên đoạn  0;1 thì ( )f x liên tục trên  0;1
Chia  0;1 thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia i
i
x
n
 , ( 0, )i n . Trên mỗi
đoạn  1,i ix x lấy ( 1, )i
i
i n
n
   , 1
1
.i i ix x
n
   
Ta có tổng tích phân:
2 2
1 1 1
1 1 1 1
( )
4 4
n n n
i i n
i i i
f S
n ni i
n n

  
    
   
    
   
  
Do đó
1 1
2 20 0
1
lim .
24
1
2
n
n
dx dx
S I
x x

  
  
 
 
 
Đặt
2
x
cost ,  0; 2t dx sintdt    ; 0
2
x t

   ; 1
3
x t

  
Do đó
3 2
2
3
2 3
1 2
| .
2 2 3 6
sintdt
I dt t
sint
 


 
  
      
Vậy lim
6
n
n
S



Tiếp theo chúng ta sẽ xét đến các bài mà đoạn lấy tích phân không còn là  0;1 mà
sẽ là  ;a b .

7. facebook.com/hoitoanhoc
Page 7
Tác giả: facebook.com/msiro.tiny
Ví dụ 4. Tính lim
n
2
2
2 2 2
2
sin 2sin sin
... .
2
1 cos 1 cos 1 cos
n
n
n n n
nn
n n n
  

  
 
 
   
              
      
Lời giải.
Đặt
2
2
2 2 2
2
sin 2sin sin
... .
2
1 cos 1 cos 1 cos
n
n
n
n n nS
nn
n n n
  

  
 
 
    
              
      
2 2 2
2 2
sin sin sin
...
2
1 cos 1 cos 1 cos
n n
n n n n n n
nn
n n n
     

  
 
 
    
              
      
1
. .
n
i
i
f
n n
 

 
  
 

Xét hàm số 2
( )
1
xsinx
f x
cos x


liên tục trên đoạn  0; .
Chia đoạn  0; thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia ( 0, )i
i
x i n
n

  .
Trên mỗi đoạn 1[ , ]i ix x chọn , 1,i
i
i n
n

   và .
n

 
Ta có
1 1 1
( ) .
n n n
i i n
i i i
i i
f f f S
n n n n
   

  
   
      
   
  
20
lim
1
n
n
xsinxdx
S J
cos x


  

Bằng phép đổi biến số x t  ta tính ngay được
2
4
J


Các bài tập tương tự:
Tính lim n
n
S

trong các trường hợp sau:
1.
1 2 ( 1)
cos cos ... cosn
n
S
n n n n
   
    
 
ĐS. 0

8. facebook.com/hoitoanhoc
Page 8
Tác giả: facebook.com/msiro.tiny
2.
1
1 2
1 1 ... 1
n
n
n
S
n n n
     
        
     
ĐS. 2 1ln
e 
3.
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
1 2
... ...
2 4 (2 ) (2 )
n
k n
S
n n k n n n
     
   
. ĐS.
3
12
ln
4.
5 5 5
6
1 2 ....
n
n
S
n
  

5.
1 1 1 1
...
2
1 1 1
2 2 2
nS
nn sin sin sin
n n n
  
 
 
    
   
 
(Khối A ĐHQG HN, năm 2005)
Chúc các bạn thành công trong học tập và làm việc 