4. ใบความร้ ูที 4.2
เรือง สั งยคของจํานวนเชิ งซ้ อน
ุ
บทนิยาม ่
ให้ z = a + bi เป็ นจํานวนเชิงซ้อน จะเรี ยกจํานวนเชิ งซ้อน a − bi วา
เป็ นสังยุค (conjugate) ของ z และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ z นันคือ
z = a + bi = a − bi
สมบัติของสั งยคของจํานวนเชิ งซ้ อน
ุ
่
ให้ z, z1 และ z 2 เป็ นจํานวนเชิงซ้อน จะได้วา
1 1
1. Re(z) = (z + z) และ Im(z) = (z − z)
2 2i
2. z=z
1 1
3. ถ้า z≠0 แล้ว =
z z
4. z 1 + z 2 = z1 + z 2
5. z1 − z 2 = z1 − z 2
6. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
z1 z1
7.
z =
z เมือ z2 ≠ 0
2 2
ํ
ตัวอย่ างที 1 กาหนด z = a + bi จงหา
1. z + z
วิธีทา z + z = (a + bi) + (a − bi)
ํ
= a + bi + a − bi
= 2a
ดังนั% น z + z = 2a
2. z − z
วิธีทา z − z = (a + bi) − (a − bi)
ํ
= a + bi − a + bi
= 2bi
ดังนั% น z − z = 2bi
5. ํ
ตัวอย่ างที 2 กาหนด z1 = 3 − i และ z 2 = −5 + 2i จงหา
1. z1 ⋅ z 2
วิธีทา z1 ⋅ z 2 = (3 − i)(−5 + 2i)
ํ
= 3(−5 + 2i) − i(−5 + 2i)
= −15 + 6i + 5i − 2i 2
= 15 + 11i − 2(−1)
= 15 + 11i + 2
= 17 + 11i
ดังนั% น z1 ⋅ z 2 = 17 − 11i
2. z1 (z 2 + z 2 )
วิธีทา ํ z 2 + z 2 = (−5 + 2i) + (−5 − 2i)
= −5 + 2i − 5 − 2i
= −10
z 1 (z 2 + z 2 ) = (−5 + 2i)(−10)
= 50 − 20i
ดังนั% น z 1 (z 2 + z 2 ) = 50 − 20i
3. z 2 − z1
วิธีทา z 2 − z1 = (−5 + 2i) − (3 − i)
ํ
= −5 + 2i − 3 + i
= −8 + 3i
ดังนั% น z 2 − z 1 = −8 − 3i
6. แบบฝึ กทักษะที 4.2
ํ
1. กาหนดให้ z1 = 2 − i และ z 2 = −3 + 2i จงหา
1.1 z1
1.2 z 2
1.3 z1z 2
1.4 z1z 2
1.5 z1 ⋅ z 2
1.6 z1 + z 2
1.7 z1 + z 2
1.8 z1 + z 2
่
2. ถ้า z = 2 − 4i จงเขียนจํานวนในข้อตอไปนี% ในรู ป x + yi เมือ x, y ∈ R
2.1 z
2.2 z ⋅ z
2.3 z + z
2.4 z(z + z)
2.5 z − z
2.6 (z − z)i
2.7 z −1
2.8 z
i