1. ใบความรู้ ที 1
เรือง สั ญลักษณ์ แทนการบวก (Sigma notation)
สัญลักษณ์แทนการบวกจะใช้อกษรกรี ก Σ (อ่านว่า ซิ กมา) เป็ นสัญลักษณ์แทนการบวก
ั
n
โดยที$ a1 + a 2 + a 3 + . . . + a n = ∑ a i
i =1
∞
และ a1 + a2 + a3 + . . . = ∑ ai
i =1
n
ซึ$ ง ∑ a i อ่านว่า การบวก aI เมื$อ i = 1 ถึง i = n
i =1
∞
∑ a i อ่านว่า การบวก aI เมื$อ i มีค่าตั5งแต่ 1 ขึ5นไป
i =1
6
เช่น ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
i=1
∞ 2 2 2
∑ i2 = 1 + 2 + 3 + . . .
i =1
ตัวอย่ างที 1 จงเขียน 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 โดยใช้สัญลักษณ์การบวก
วิธีทา
ํ 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 = 2(x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7)
7
= ∑ 2x i
i= 2
ตัวอย่ างที 2 จงเขียน 2 + 4 + 6 + . . . + 100 โดยใช้เครื$ องหมาย Σ
วิธีทา
ํ 2 + 4 + 6 + . . . + 100 = 2(1) + 2(2) + 2(3) + . . . + 2(50)
50
= ∑ 2i
i=1
ตัวอย่ างที 3 จงเขียน 3 + 6 + 9 + . . . + 180 โดยใช้สัญลักษณ์การบวก
วิธีทา
ํ 3 + 6 + 9 + . . . + 180 = 3(1) + 3(2) + 3(3) + . . . + 3(60)
60
= ∑ 3i
i=1

2. ใบงานที 1
คําชี0แจง ให้นกเรี ยนเติมคําตอบลงในช่องว่าแต่ละข้อต่อไปนี5ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ั
ข้ อที คําถาม คําตอบ
1 จงเขียน 8 i ในรู ปการกระจายโดยไม่ใช้สัญลักษณ์การบวก
∑
i=1
2 6 i
จงเขียน ∑  1  ในรู ปการกระจายโดยไม่ใช้สัญลักษณ์การบวก
 
3
i=1
3 จงเขียนแต่ละข้อต่อไปนี5โดยใช้สัญลักษณ์การบวก
3.1 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 3.1 ………………
3.2 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + . . . + 100 3.2 ………………
3.3 10 + 13 + 16 + 19 + . . . + 160 3.3 ………………
3.4 12 + 32 + 52 + 72 + . . . + 192 3.4 ………………
4 5
จงหาค่าของ ∑ (3i + 2)
i=1
5 10
จงหาค่าของ ∑ (2i - 6)
i=1
คะแนนที$ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที$ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… เพือชั ยชนะในวันหน้ า
หมันศึกษาคณิตศาสตร์

3. โจทย์ แข่ งขันคณิตศาสตร์ เรือง ความหมายของสัญลักษณ์ การบวก
คําชี0แจง ให้นกเรี ยนหาคําตอบจากโจทย์ต่อไปนี5 โดยใช้เวลา 3 นาที
ั
1) จงเขียน 3a1 + 3a2 + 3a3 + 3a4 + 3a5 + 3a6 โดยใช้เครื$ องหมาย Σ
2) จงเขียน k1 + k2 + k3 + . . . + kn + . . . โดยใช้เครื$ องหมาย Σ
6
3) จงเขียน ∑ 5i (a i ) ในรู ปการกระจาย
i =1
7
4) จงหาค่าของ ∑ 4i
i=1
4
5) จงหาค่าของ ∑ (n + 3)
n =1

4. ใบความรู้ ที 2
สมบัติของ Σ ทีควรทราบ
สมบัติของ Σ ที$ควรทราบ มีดงนี5
ั
n
1. ∑ c = nc เมื$อ c เป็ นค่าคงตัว
i=1
n
พิสูจน์ ∑c = c + c + c + . . . + c (n พจน์)
i=1
= nc
n
∴ ∑c = nc
i=1
n n
2. ∑ c a i = c ∑ a i เมื$อ c เป็ นค่าคงตัว
i=1 i=1
n
พิสูจน์ ∑ c ai = ca1 + ca2 + ca3 + . . . + can
i=1
= c(a1 + a2 + a3 + . . . + an)
n n
∴ ∑ c ai = c ∑ ai
i=1 i=1
n n n
3. ∑ (a i ± bi) = ∑ ai ± ∑ bi
i=1 i=1 i=1
n
พิสูจน์ ∑ (a i ± b i) = (a 1 ± b 1 ) + (a 2 ± b 2 ) + (a 3 ± b 3 ) + . . . + (a n ± b n )
i=1
= (a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n ) ± (b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n )
n n n
∴ ∑ (a i ± bi) = ∑ ai ± ∑ bi
i=1 i=1 i=1

5. ตัวอย่ างที 1 จงหาค่าของ
5
1.1 ∑ 6
i=1
4
1.2 ∑ 3i2
i=1
5
วิธีทา
ํ 1.1 ∑6 = 6+6+6+6+6
i=1
= 6×5
= 30
4 4
1.2 ∑ 3i2 = 3 ∑ i2
i=1 i=1
= 3(12 + 22 + 32 + 42)
= 3(30) = 90
5
ตัวอย่ างที 2 จงหาค่าของ ∑ (2i 2 - 3i + 7)
i =1
5 5 5 5
วิธีทา
ํ ∑ (2i 2 - 3i + 7) = ∑ 2i 2 - ∑ 3i + ∑7
i =1 i=1 i=1 i =1
5 5 5
= 2 ∑ i2 - 3 ∑i+ ∑7
i=1 i=1 i=1
2 2 2 2 2
= 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) – 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (5 × 7)
= 2(55) – 3(15) + 35
= 110 – 45 + 35
= 100

6. 3
ตัวอย่ างที 3 ถ้า f(n) = 4n + 7 จงหาค่าของ ∑ f(i3 )
i =1
วิธีทา จาก f(n)
ํ = 4n + 7
f(i3) = 4i3 + 7
3 3
∴ ∑ f(i3 ) = ∑ (4i 3 + 7)
i =1 i=1
3 3
= ∑ 4i 3 + ∑7
i=1 i=1
3
= 4 ∑ 4i3 + (3 × 7)
i=1
= 4(13 + 23 + 33) + 21
= 4(36) + 21
= 144 + 21
= 165

7. ใบงานที 3
คําชี0แจง ให้นกเรี ยนเติมคําตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี5ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ั
ข้ อที คําถาม คําตอบ
1 จงหาค่าของ 8 5
∑
k =1
2 4
จงหาค่าของ ∑ 5n 2
n =1
3 6
จงหาค่าของ ∑ (5i 2 + 3i + 6)
i =1
4 3
จงหาค่าของ ∑ (6i - 4)
i=1
5 10
จงหาค่าของ ∑ (5i - 2)
i=1
6 4
จงหาค่าของ ∑ 5(k + 3)
k =1
คะแนนที$ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที$ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… สมบัติของ Σ มีประโยชน์
สามารถนําไปใช้ ในเรื อง
ของอนุกรม

8. เอกสารฝึ กหัดเพิมเติมที 1
คําชี0แจง ให้นกเรี ยนแสดงวิธีทาโดยละเอียด
ั ํ
6
1. จงเขียน ∑ 3i - 1
3i + 1
ในรู ปการกระจายโดยไม่ใช้สัญลักษณ์การบวก
i=1
2. จงเขียน 0+
1 2 3 4 5
+ + + +
3 4 5 6 7
โดยใช้เครื$ องหมาย Σ
10
3. จงหาค่าของ ∑ (4i - 3)
i=1
5
4. จงหาค่าของ ∑ (3k 2 - 2k + 6)
k =1
10
5. จงหาค่าของ ∑ (7 - m)
m =0

9. ใบความรู้ ที 3
การหาสู ตรของ Σ i , Σ i2 และ Σ i3
n
n(n + 1)
1. ∑ i =
2
i =1
n
พิสูจน์ ∑ i = 1 + 2 + 3 + . . . + (n – 2) + (n – 1) + n …………
i=1
n
∑ i = n + (n – 1) + (n – 2) + . . . + 3 + 2 + 1 …………
i=1
n
+ 2∑i = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) (n วงเล็บ)
i=1
= n (n + 1)
n
n(n + 1)
∴ ∑i =
2
i =1
10
ตัวอย่ างที 1 จงหาค่าของ ∑ 4i
i=1
10 10
วิธีทา
ํ ∑ 4i = 4 ∑i
i=1 i=1
10(10 + 1) 
= 4 
 2 
= 4(55)
= 220

10. n
n(n + 1)(2n + 1)
2. ∑ i2 =
6
i=1
n
พิสูจน์ ให้ S = ∑ i2
i =1
= 12 + 22 + 32 + . . . + n 2
เนื$องจาก x3 – (x – 1)3 = 3x2 – 3x + 1
ถ้า x = 1 จะได้ 1 3 – 03 = 3(1)2 – 3(1) + 1
ถ้า x = 2 จะได้ 2 3 – 13 = 3(2)2 – 3(2) + 1
ถ้า x = 3 จะได้ 3 3 – 23 = 3(3)2 – 3(3) + 1
..
.
ถ้า x = n – 1 จะได้ (n – 1)3 – (n – 2)3 = 3(n – 1)2 – 3(n – 1) + 1
ถ้า x = n จะได้ n3 – (n – 1)3 = 3(n)2 – 3(n) + 1
นําพจน์ทางซ้ายมือของทุกสมการบวกกัน และนําพจน์ทางขวามือของทุกสมการบวกกัน
จะได้
n3 = 3(12 + 22 + 32 + . . . + n2) – 3(1 + 2 + 3 + . . . + n) + (1 41 + 1 +4.4+ 3
+
1 4 2 4
. . 1)
4
n พจน์
 n(n + 1) 
= 3S - 3   + n
 2 
3n(n + 1)
n3 = 3S -
2
+ n
3n(n + 1)
3S = n3 +
2
- n
6S = 2n3 + 3n2 + n
6S = n(2n2 + 3n + 1)
6S = n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)(2n + 1)
∴ S = 6

11. 4
ตัวอย่ างที 2 จงหาค่าของ ∑ - k 2
k =1
4 4
วิธีทา
ํ ∑ - k2 = ( −1) ∑ k2
k =1 k =1
= ( −1)[1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ]
 4(4 +1)(8 + 1) 
= ( −1)  
 6 
= (−1)( 30 )
= −30
n 2
 n(n + 1) 
3. ∑ i3 =  
i=1  2 
n
พิสูจน์ ให้ S = ∑ i3
i =1
= 13 + 23 + 33 + . . . + n 3
แต่ x4 – (x – 1)4 = 4x3 – 6x2 + 4x – 1
ถ้า x = 1 จะได้ 1 4 - 04 = 4(1)3 – 6(1)2 + 4(1) – 1
ถ้า x = 2 จะได้ 2 4 - 14 = 4(2)3 – 6(2)2 + 4(2) – 1
ถ้า x = 3 จะได้ 3 4 - 24 = 4(3)3 – 6(3)2 + 4(3) – 1
..
.
ถ้า x = n – 1 จะได้ (n – 1)4 – (n – 1)4 = 4(n – 1)3 – 6(n – 1)2 + 4(n – 1) – 1
ถ้า x = n จะได้ n4 – (n – 1)4 = 4(n)3 – 6(n)2 + 4(n) – 1
นําพจน์ทางซ้ายมือของทุกสมการบวกกัน และพจน์ทางขวามือของทุกสมการบวกกัน
จะได้
n4 = 4(13 + 23 + 33 + . . . + n3) – 6(12 + 22 + 32 + . . . + n2) + (1 + 2 + 3 + . . . + n)
+ (-144-42144.43
1
- 1 1 - - . . - 1)
n พจน์
+ 1)(2n + 1)] n 
n4 = 4S – 6 [(n(n + 4  (n + 1)  - n
6 2 
n4 = 4S – n(n + 1)(2n + 1) + 2n(n + 1) – n
4S = n4 + n(n + 1)(2n + 1) + 2n(n + 1) + n
4S = n [n3 + 2n2 + 3n + 1 – 2n – 2 + 1]
4S = n [n3 + 2n2 + n]
4S = n2 [n2 + 2n + 1]

12. n 2 (n + 1) 2
S = 4
2
 n(n + 1) 
=  
 2 
n 2
 n(n + 1) 
∴ ∑ i3 =  
i=1  2 
10
ตัวอย่ างที 3 จงหาค่าของ ∑ (4i 3 - 5)
i=1
10 10 10
วิธีทา
ํ ∑ (4i 3 - 5) = ∑ 4i 3 - ∑5
i=1 i =1 i =1
10 10
= 4 ∑ i3 - ∑ 5
i=1 i=1
2
10(10 + 1) 
= 4  - (10 × 5)
 2 
= 4(55)2 – 50
= 4(3025) – 50
= 12100 – 50
= 12,050
ควรจํา
n(n + 1)
Σi =
2
n(n + 1)(2n + 1)
Σ i2 =
2
2
 n(n + 1) 
Σ i3 = 



 2 

13. ใบงานที 4
คําชี0แจง ให้นกเรี ยนเติมคําตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี5ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ั
ข้ อที คําถาม คําตอบ
1 จงหาค่าของ 12 5i
∑
i=1
2 8
จงหาค่าของ ∑ (5n 2 - 2n)
n =1
3 7
จงหาค่าของ ∑ (6i 3 - 2)
i=1
4 10
จงหาค่าของ ∑ (i3 + 9i2 + 18i)
i=1
5 20
จงหาค่าของ ∑ (3k 3 + k)
k = 11
คะแนนที$ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้ อ่ าน คิด ฟัง ถาม
วันที$ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… เป็ นหลักในการเรี ยนคณิตศาสตร์

14. เฉลยใบงานที 1
1) 1+2+3+4+5+6+7+8
2) 1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
3 3 3 3 3 36
7
3) 3.1 ∑ 2i
i=1
10
3.2 ∑ i2
i =1
50
3.3 ∑ (10 + 3i)
i= 0
10
3.4 ∑ (2i - 1) 2
i=1
4) 57
5) 50
เฉลยใบงานที 2
1) 40 2) 150
3) 554 4) 24
5) 255 6) 110
เฉลยใบงานที 3
1) 390 2) 948
3) 770 4) 7480
5) 7610

15. แบบทดสอบวัดผลสั มฤทธิ
เรือง สั ญลักษณ์ แทนการบวก
คําชี0แจง ให้นกเรี ยนแสดงวิธีทาทุกข้อโดยละเอียด
ั ํ
50
1. จงหาค่าของ ∑ (4x - 3)
x =1
15
2. จงหาค่าของ ∑ (n + 2) 2
n =1
20
3. จงหาค่าของ ∑ (6n 3 - 10)
n=9
10
4. จงหาค่าของ ∑ (x + 3) 3
x =5
7
5. กําหนดให้ x และ y เป็ นค่าคงตัว ถ้า ∑ (xn + y + 4) = 63 และ
n =1
16
∑ (yn + x + 8) = - 65 แล้ว จงหาค่าของ x และ y
n =1