Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian relasi rekurens secara sistematis untuk relasi yang berbentuk homogen linier dengan menentukan persamaan karakteristik dan akar-akarnya untuk menemukan solusi relasi tersebut.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
1. Dokumen tersebut membahas prinsip inklusi-eksklusi dalam menghitung banyaknya obyek yang memenuhi beberapa sifat tertentu.
2. Bentuk umum prinsip inklusi-eksklusi ditulis sebagai rumus yang menghitung jumlah obyek tanpa sifat tertentu berdasarkan jumlah obyek dengan berbagai kombinasi sifat.
3. Beberapa contoh penerapan prinsip inklusi-eksklusi untuk
Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 03KuliahKita
Dokumen tersebut membahas tentang relasi rekurens dan contoh-contohnya seperti perhitungan bunga bank yang berbunga setiap tahun, permodelan menara hanoi, dan rumus untuk menghitung jumlah langkah pemindahan piringan pada menara hanoi.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
1. Dokumen tersebut membahas prinsip inklusi-eksklusi dalam menghitung banyaknya obyek yang memenuhi beberapa sifat tertentu.
2. Bentuk umum prinsip inklusi-eksklusi ditulis sebagai rumus yang menghitung jumlah obyek tanpa sifat tertentu berdasarkan jumlah obyek dengan berbagai kombinasi sifat.
3. Beberapa contoh penerapan prinsip inklusi-eksklusi untuk
Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 03KuliahKita
Dokumen tersebut membahas tentang relasi rekurens dan contoh-contohnya seperti perhitungan bunga bank yang berbunga setiap tahun, permodelan menara hanoi, dan rumus untuk menghitung jumlah langkah pemindahan piringan pada menara hanoi.
Dokumen tersebut membahas relasi rekursif dan cara menyelesaikannya dengan menggunakan persamaan karakteristik dan teorema-teorema yang terkait. Secara singkat, relasi rekursif adalah persamaan yang menyatakan suatu deret bilangan dalam bentuk deret sebelumnya, dan dapat diselesaikan dengan menentukan akar-akar persamaan karakteristiknya.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi bernilai vektor, termasuk definisi, notasi, contoh fungsi vektor, domain fungsi vektor, persamaan parameter garis dan kurva, grafik fungsi vektor, serta sifat-sifat fungsi vektor seperti ekivalensi dan limit fungsi vektor.
Dokumen tersebut membahas metode deret pangkat untuk menyelesaikan persamaan diferensial, yang menyatakan solusi dalam bentuk deret tak hingga. Metode ini memungkinkan penyelesaian untuk fungsi-fungsi analitik dengan mengembangkannya menjadi deret pangkat konvergen di sekitar titik tertentu.
Transformasi Laplace adalah transformasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan transformasi laplace terbukti cukup ampuh digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nilai awal.
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Mata kuliah Aljabar Linear membahas konsep-konsep dasar aljabar linear seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, transformasi linear, dan ruang eigen. Silabus mencakup delapan bab yang mendiskusikan topik-topik tersebut beserta contoh-contoh penerapannya.
Pt 2 turunan fungsi eksponen, logaritma, implisit dan cyclometri-d4lecturer
1. This document discusses calculus formulas for derivatives of common functions including exponential, logarithmic, trigonometric, and implicit functions. It provides the derivative formulas and works through examples of finding derivatives of various functions.
2. Several examples are worked through, applying the formulas to find the derivatives of functions like y = ecos5x, y = (e4x - e5x)4, and implicit functions like x3 + y4 = 0.
3. The document concludes by providing the basic derivative formulas for inverse trigonometric functions and working through an example of finding the derivative of y = arc sin (5 + x2).
Modul ini membahas tentang persamaan parabola, meliputi persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan puncak (a,b), bentuk umum persamaan parabola, serta garis singgung parabola. Modul ini memberikan contoh-contoh soal dan penyelesaiannya untuk memahami konsep-konsep tersebut.
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang silabus mata kuliah Aljabar Linear yang mencakup bab-bab seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, ruang hasil kali dalam, dan transformasi linear beserta contoh soalnya.
Relasi merupakan hubungan antara dua himpunan. Dokumen menjelaskan definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, transitif, dan operasi-operasi pada relasi seperti invers dan komposisi relasi. Dokumen juga membahas relasi kesetaraan, kelas kesetaraan, matriks relasi, dan klosur relasi.
[/ringkasan]
Dokumen tersebut membahas relasi rekursif dan cara menyelesaikannya dengan menggunakan persamaan karakteristik dan teorema-teorema yang terkait. Secara singkat, relasi rekursif adalah persamaan yang menyatakan suatu deret bilangan dalam bentuk deret sebelumnya, dan dapat diselesaikan dengan menentukan akar-akar persamaan karakteristiknya.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi bernilai vektor, termasuk definisi, notasi, contoh fungsi vektor, domain fungsi vektor, persamaan parameter garis dan kurva, grafik fungsi vektor, serta sifat-sifat fungsi vektor seperti ekivalensi dan limit fungsi vektor.
Dokumen tersebut membahas metode deret pangkat untuk menyelesaikan persamaan diferensial, yang menyatakan solusi dalam bentuk deret tak hingga. Metode ini memungkinkan penyelesaian untuk fungsi-fungsi analitik dengan mengembangkannya menjadi deret pangkat konvergen di sekitar titik tertentu.
Transformasi Laplace adalah transformasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan transformasi laplace terbukti cukup ampuh digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nilai awal.
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Mata kuliah Aljabar Linear membahas konsep-konsep dasar aljabar linear seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, transformasi linear, dan ruang eigen. Silabus mencakup delapan bab yang mendiskusikan topik-topik tersebut beserta contoh-contoh penerapannya.
Pt 2 turunan fungsi eksponen, logaritma, implisit dan cyclometri-d4lecturer
1. This document discusses calculus formulas for derivatives of common functions including exponential, logarithmic, trigonometric, and implicit functions. It provides the derivative formulas and works through examples of finding derivatives of various functions.
2. Several examples are worked through, applying the formulas to find the derivatives of functions like y = ecos5x, y = (e4x - e5x)4, and implicit functions like x3 + y4 = 0.
3. The document concludes by providing the basic derivative formulas for inverse trigonometric functions and working through an example of finding the derivative of y = arc sin (5 + x2).
Modul ini membahas tentang persamaan parabola, meliputi persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan puncak (a,b), bentuk umum persamaan parabola, serta garis singgung parabola. Modul ini memberikan contoh-contoh soal dan penyelesaiannya untuk memahami konsep-konsep tersebut.
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang silabus mata kuliah Aljabar Linear yang mencakup bab-bab seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, ruang hasil kali dalam, dan transformasi linear beserta contoh soalnya.
Relasi merupakan hubungan antara dua himpunan. Dokumen menjelaskan definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, transitif, dan operasi-operasi pada relasi seperti invers dan komposisi relasi. Dokumen juga membahas relasi kesetaraan, kelas kesetaraan, matriks relasi, dan klosur relasi.
[/ringkasan]
Relasi dan fungsi memberikan konsep penting dalam matematika untuk menghubungkan dua himpunan. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap elemen di himpunan asal dihubungkan dengan tepat satu elemen di himpunan hasil."
Dokumen membahas tentang relasi rekursif dan cara mencari solusi dari relasi rekursif tersebut. Secara singkat, relasi rekursif adalah hubungan antara suatu deret bilangan yang menghubungkan suatu bilangan dengan bilangan sebelumnya. Untuk mendapatkan solusi dari relasi rekursif, perlu dicari persamaan ciri dan akar-akarnya, kemudian digunakan nilai awal untuk menentukan konstanta dalam solusi.
Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 02KuliahKita
Dokumen tersebut membahas tentang relasi rekurens yang mendefinisikan suatu barisan secara rekursif dengan menggunakan satu atau lebih elemen sebelumnya. Relasi rekurens membutuhkan kondisi awal untuk memulai perhitungan elemen berikutnya. Solusi dari relasi rekurens adalah formula yang tidak lagi melibatkan istilah rekursif.
1. Dokumen membahas relasi rekurrens dan contohnya yaitu model populasi kelinci yang mengikuti bilangan Fibonacci
2. Relasi rekurrens adalah persamaan yang mengekspresikan suatu bilangan berdasarkan bilangan-bilangan sebelumnya
3. Contoh relasi rekurrens kelinci menyatakan bahwa jumlah pasangan setelah n bulan sama dengan jumlah di bulan sebelumnya ditambah yang dihasilkan bulan lalu
Dokumen tersebut membahas solusi persamaan Schrodinger untuk sistem atom hidrogen. Pemisahan variabel dilakukan untuk fungsi gelombang atom hidrogen menjadi fungsi radial, polar, dan azimutal, yang masing-masing memiliki bilangan kuantum n, l, dan ml. Pemisahan variabel tersebut menghasilkan persamaan yang dapat dipecah menjadi bagian yang hanya bergantung pada jari-jari, sudut polar, dan sudut azimutal.
Teks tersebut membahas tentang persamaan linear orde tinggi dengan koefisien konstan. Ia menjelaskan bahwa solusi umum dari persamaan tersebut dapat ditentukan dengan menemukan akar dari persamaan karakteristik yang dihasilkan dari koefisien persamaan. Jika akar tersebut nyata dan berbeda, solusi umum berupa kombinasi fungsi eksponensial. Jika akarnya kompleks, solusi umum dapat ditulis menggunak
Barisan dan deret tak hingga merupakan konsep penting dalam matematika yang sering diterapkan dalam bisnis dan ekonomi untuk menganalisis pertumbuhan variabel-variabel seperti produksi, biaya, dan pendapatan. Beberapa jenis barisan dan deret yang dijelaskan meliputi barisan aritmatika, barisan geometri, deret geometri, dan deret harmonis beserta sifat-sifat kekonvergensan masing-masing.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan linear dan kuadrat, serta pertidaksamaan linear dan kuadrat. Secara ringkas, dibahas bentuk umum dan cara penyelesaian persamaan-persamaan tersebut meliputi faktorisasi, lengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus. Juga dibahas sifat-sifat pertidaksamaan dan cara menentukan himpunan penyelesaian.
Makalah ini membahas tentang rangkuman materi Persamaan Diferensial Linier orde n dengan koefisien konstan dan variable serta sistem Persamaan Diferensial Linier simultan. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum PDL, jenis-jenisnya, dan langkah penyelesaian menggunakan metode invers operator dan variasi parameter.
Similar to Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 04 (20)
Pop-up konfirmasi dibuat menggunakan HTML, CSS dan JavaScript. HTML berisi elemen yang menggelontorkan pop-up dan elemen pop-up itu sendiri. CSS memposisikan dan mendekorasi elemen-elemen tersebut. JavaScript menangani interaksi pengguna dengan menampilkan dan menyembunyikan pop-up saat elemen dilakukan klik atau tombol 'escape' ditekan.
Dokumen ini membahas implementasi card flip menggunakan CSS untuk menampilkan dua sisi konten. Elemen card dibuat dengan tag div dan memiliki dua bagian yaitu front dan back. Style diperkenalkan untuk card, front, dan back agar dapat berputar 180 derajat saat dihover, menampilkan sisi belakang. Implementasi ini dapat diubah sesuai selera untuk aplikasi seperti produk e-commerce.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang implementasi navigasi breadcrumb pada situs web. Navigasi ini digunakan ketika situs memiliki struktur halaman yang dalam agar pengguna tidak tersesat. Dokumen menjelaskan cara membuat navigasi breadcrumb dengan menggunakan tag-tag HTML dan melakukan styling dengan CSS untuk membentuk tampilan berbentuk roti panggang. Beberapa fitur yang ditambahkan antara lain menambahkan efek sudut bulat pada elemen pert
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang cara membuat layout grid menggunakan Flexbox CSS. Metode Flexbox dianggap lebih efisien dalam mengatur tata letak grid dibandingkan metode sebelumnya yang menggunakan floating. Dokumen tersebut menjelaskan properti-properti penting Flexbox seperti display, direction, wrap, flow, align-items, order, dan flex untuk mengatur arah, posisi, urutan, dan ukuran elemen grid. Kemudian diberikan contoh
Dokumen ini membahas tentang pentingnya membuat panduan pembuatan front-end situs web sebelum memulai koding. Panduan ini bertujuan untuk menjaga konsistensi desain dan kode serta mempermudah pemeliharaan dan perbaikan di kemudian hari. Diberikan contoh panduan penamaan untuk HTML dan CSS seperti penggunaan tanda kutip, susunan atribut, dan penamaan class/id yang baik. Secara umum panduan ini digunakan untuk memudahkan pro
Pasar Saham - 32 Discounted Cash Flow (DCF)KuliahKita
Dokumen ini membahas metode Discounted Cash Flow (DCF) untuk menentukan nilai intrinsik suatu perusahaan. DCF melibatkan pendiskonan arus kas masa depan ke nilai sekarang dengan mempertimbangkan nilai waktu dari uang dan biaya modal. Contoh penggunaan DCF untuk menilai harga mesin yang menghasilkan pendapatan tetap selama 10 tahun digunakan untuk menjelaskan konsep-konsep seperti nilai masa kini, nilai mas
Pasar Saham - Equity Research (bagian 1)KuliahKita
Dokumen tersebut membahas analisis saham dengan memahami bisnis perusahaan secara mendalam sebelum melakukan valuasi. Langkah-langkahnya adalah memahami bisnis perusahaan, menerapkan checklist keuangan, dan melakukan valuasi. Checklist keuangan digunakan untuk mengevaluasi pertumbuhan pendapatan, profitabilitas, tingkat utang, persediaan, piutang, arus kas, dan pengembalian ekuitas perusahaan.
Pasar Saham - 30 Investment Due DilligenceKuliahKita
Dokumen tersebut membahas proses due diligence dalam melakukan investasi saham, termasuk membuat checklist kriteria saham yang baik, memahami bisnis perusahaan melalui laporan tahunan, dan menganalisis valuasi saham menggunakan discounted cash flow.
Materi pasar saham yang menjelaskan mengenai rasio finansial yang merupakan salah satu pertimbangan investasi dalam bentuk angka-angka yang dikalkukasi
Tinjauan rasio keuangan perusahaan mencakup empat rasio utama: profitability, leverage, operating dan receivables. Leverage ratio mengukur kemampuan perusahaan membayar hutang dan risiko kegagalan pembayaran. Rasio operasi mengukur efisiensi aset dan modal kerja perusahaan.
Dokumen tersebut membahas berbagai rasio keuangan (financial ratios) yang digunakan untuk menganalisis laporan keuangan perusahaan. Terdapat empat jenis rasio keuangan yang dijelaskan yaitu profitability ratios, leverage ratios, valuation ratios, dan operating ratios, dengan profitability ratios lebih dikembangkan seperti EBITDA Margin, PAT Margin, ROE, ROA, dan ROCE.
Materi pasar saham yang menjelaskan mengenai Cash Flow Statement yang merupakan salah satu laporan yang diterbitkan perusaaah yang dapat dipakai untuk analisis fundamental
ANALISIS PENGARUH INDUSTRI BATU BARA TERHADAP PENCEMARAN UDARA.pdfnarayafiryal8
Industri batu bara telah menjadi salah satu penyumbang utama pencemaran udara global. Proses ekstraksi batu bara, baik melalui penambangan terbuka maupun penambangan bawah tanah, menghasilkan debu dan gas beracun yang dilepaskan ke atmosfer. Gas-gas tersebut termasuk sulfur dioksida (SO2), nitrogen oksida (NOx), dan partikel-partikel halus (PM2.5) yang berbahaya bagi kesehatan manusia dan lingkungan. Selain itu, pembakaran batu bara di pembangkit listrik dan industri menyebabkan emisi karbon dioksida (CO2), yang merupakan penyebab utama perubahan iklim global dan pemanasan global.
Pencemaran udara yang disebabkan oleh industri batu bara juga memiliki dampak lokal yang signifikan. Di sekitar area penambangan, debu batu bara yang dihasilkan dapat mengganggu kesehatan masyarakat dan ekosistem lokal. Paparan terus-menerus terhadap debu batu bara dapat menyebabkan masalah pernapasan seperti asma dan bronkitis, serta berkontribusi pada penyakit paru-paru yang lebih serius. Selain itu, hujan asam yang disebabkan oleh emisi sulfur dioksida dapat merusak tanaman, air tanah, dan ekosistem sungai, mengancam keberlanjutan lingkungan di sekitar lokasi industri batu bara.
2. Penyelesaian Relasi Rekurens
•Relasi rekurens dapat diselesaikan secara iteratif atau dengan metode yang sistematis.
•Secara iteratif misalnya pada contoh bunga majemuk (Contoh 10) dan Menara Hanoi (Contoh 11).
•Secara sistematis adalah untuk relasi rekurens yang berbentuk homogen lanjar (linear homogeneous).
•Relasi rekurens dikatakan homogen lanjar jika berbentuk
an = c1an–1 + c2an–2 + … + ckan–k
yang dalam hal ini c1, c2, …, ck adalah bilangan riil dan ck 0.
3. •Contoh 12. Pn = (1,11) Pn–1 homogen lanjar
fn = fn–1 + fn–2 homogen lanjar
an = 2an–1 – a2n–2 tidak homogen lanjar
Hn = 2Hn–1 – 1 tidak homogen lanjar
an = nan–1 tidak homogen lanjar
Penjelasan:
Hn = 2Hn–1 – 1 tidak homogen lanjar karena term -1 tidak dikali dengan nilai Hj untuk sembarang j
an = nan–1 tidak homogen lanjar karena koefisiennya bukan konstanta.
4. •Solusi relasi rekurens yang berbentuk homogen lanjar adalah mencari bentuk
an = rn
yang dalam hal ini r adalah konstanta.
•Sulihkan an = rn ke dalam relasi rekuren homugen lanjar:
an = c1an–1 + c2an–2 + … + ckan–k
menjadi
rn = c1rn–1 + c2rn–2 + … + ckrn–k
5. •Bagi kedua ruas dengan rn–k , menghasilkan
rk – c1rk–1 – c2rk–2 – … – ck – 1 r – ck = 0
•Persamaan di atas dinamakan persamaan karakteristik dari relasi rekurens.
•Solusi persamaan karakteristik disebut akar-akar karakteristik, dan merupakan komponen solusi relasi rekurens yang kita cari (an = rn).
6. •Untuk relasi rekurens homogen lanjar derajat k = 2,
an = c1an–1 + c2an–2
persamaan karakteristiknya berbentuk:
r2 – c1r – c2 = 0
•Akar persamaan karakteristik adalah r1 dan r2.
•Teorema 1: Barisan {an} adalah solusi relasi rekurens an = c1an–1 + c2an–2 jika dan hanya jika an = 1rn1 + 2rn2 untuk n = 0, 1, 2, … dengan 1 dan 2 adalah konstan.
8. •Jika persamaan karakteristik memiliki dua akar yang sama (akar kembar, r1 = r2), maka Teorema 1 tidak dapat dipakai. Terapkan Teorema 2 berikut ini.
•Teorema 2: Misalkan r2 – c1r – c2 = 0 mempunyai akar kembar r0. Barisan {an} adalah solusi relasi rekurens an = c1an–1 + c2an–2 jika dan hanya jika an = 1rn0 + 2nrn0 untuk n = 0, 1, 2, … dengan 1 dan 2 adalah konstan.
•Contoh 14. Tentukan solusi relasi rekurens berikut:
an = 6an–1 – 9an–2 ; a0 = 1 dan a1 = 6?
Penyelesaian: