5. Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena buku ini
akhirnya dapat diselesaikan. Buku ini penulis hadirkan sebagai panduan bagi
siswa dalam mempelajari matematika.
Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika sebagai pelajaran
yang sulit dan membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul karena cara
penyampaian materi yang berbelit-belit dan menggunakan bahasa yang sulit
dipahami.
Setelah mempelajari materi pada buku ini, siswa diharapkan memahami materi
yang disajikan. Oleh karena itu, konsep yang disajikan secara logis, sistematis,
dan menggunakan bahasa yang sederhana. Selain itu, buku ini juga memiliki
tampilan yang menarik sehingga siswa tidak akan merasa bosan.
Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah
membantu terwujudnya buku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat
dijadikan panduan dalam mempelajari matematika. Percayalah, matematika itu
mudah dan menyenangkan. Selamat belajar.
Tim shinobi
INTRO
SEJARAH
ISI
QUIS
PENUTUP
PRAKATA
6. INTRO
SEJARAH
ISI
QUIS
PENUTUP
Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī (Arab:
محمد
بن
موسى
الخوارزمي ) adalah seorang ahli
matematika, astronomi, astrologi dan geografi
yang berasal dari Persia. Beliau disebut sebagai
Bapak Aljabar meski sebagian orang banyak
yang mengatakan dia sebagai "Penemu Angka
Nol" dan itu sepertinya kurang tepat. Beliau
lahir sekitar tahun 780 di Khwārizm (sekarang
Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850
di Baghdad.
SEJARAH ILMUWAN ALJABAR
7. Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah
Kehormatan di Baghdad. Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama
yang membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Translasi
bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India,
kemudian diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di
dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan Geografi
Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan
astrologi. Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika,
tapi juga dalam kebahasaan. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari
dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang
tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari
kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap
dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo
yang berarti digit. Sedikit yang dapat diketahui dari hidup beliau, bahkan
lokasi tempat lahirnya sekalipun. Nama beliau mungkin berasal dari
Khwarizm (Khiva) yang berada di Provinsi Khurasan pada masa kekuasaan
Bani Abbasiyah (sekarang Xorazm, salah satu provinsi Uzbekistan). Gelar
beliau adalah Abū ‘Abdu llāh atau Abū Ja’far.
9. Berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia, aljabar (algebra) merupakan
cabang matematika yang menggunakan tanda-tanda atau huruf-huruf untuk
menggambarkan atau mewakili angka-angka.
Kita seringkali menjumpai masalah yang tidak dapat langsung kita
selesaikan, khususnya masalah yang berkaitan dengan aljabar. Agar lebih
mudah dalam menyelesaikan suatu masalah maka masalah tersebut harus
diubah dahulu dalam bentuk aljabar. Sebagai contoh, kita ingin
menentukan berapa banyak air yang harus ditambahkan ke 1 liter larutan
asam 30% agar larutan asam tersebut menjadi larutan asam 20%.
Materi yang akan kita pelajari antara lain bentuk aljabar dan unsur-
unsurnya, operasi bentuk aljabar, persamaan linear satu variabel, dan
pertidaksamaan linear satu variabel serta penyelesaiannya.
ALJABAR
10. Perhatikan ilustrasi berikut.
Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak boneka
Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rika dinyatakan dengan x
+ 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9
buah.
Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar.
Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya
memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.
BENTUK ALJABAR DAN APLIKASINYA
11. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam
kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya
bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak
yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang
dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.
Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, –3p, 4y + 5, 2x ² – 3x + 7, (x +
1)(x – 5), dan –5x(x – 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk
aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar
terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku
sejenis, dan suku tak sejenis.
Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar,
pelajarilah uraian berikut.
12. 1. Variabel, Konstanta, dan Faktor
Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9.
Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel.
Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya
dengan jelas.
Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil
a, b, c, ..., z.
Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta.
Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak
memuat variabel.
Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p x q dengan a, p, q bilangan bulat,
maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.
Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 x x atau 5x = 1 x 5x.
Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x.
Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada
bentuk aljabar.
Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y +
9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8,
dan pada suku –6y adalah –6.
13. 2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis
a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang
dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau
selisih.
c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau
selisih.
d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau
selisih.
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.
Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari
masing-masing variabel yang sama.
Contoh: 5x dan –2x, 3a ² dan a ², y dan 4y, ...
Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat
dari masing-masing variabel yang tidak sama.
Contoh: 2x dan –3x ², –y dan –x, 5x dan –2y, ...
Contoh: 3x, 2a ², –4xy, ...
Contoh: 2x + 3, a ² – 4, 3x ² – 4x, ...
Contoh: 2x ² – x + 1, 3x + y – xy,
...
14. Catatan:
Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar
suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyak
disebut polinom..
15. Sebelum kita membahas mengenai operasi hitung pada bentuk aljabar sebaiknya
terlebih dahulu kalian memahami tentang perkalian suatu konstanta dengan suku
banyak dan tentang substitusi bilangan pada variabel (peubah) dari suku banyak.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.
1. 2(a + 3) = 2a + 6 (sifat distributif)
2. – (x – 3) = – x + 3
3. 3m(x + 2y + 3) = 3mx + 6my + 9m
Jika pada bentuk aljabar 3x + 5y, variabel x diganti dengan 2 dan variabel y diganti
dengan 4, maka diperoleh:
3x + 5y = 3(2) + 5(4) = 6 + 20
Proses mengganti variabel dengan suatu bilangan disebut proses substitusi.
OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
16. 1. Penjumlahan dan Pengurangan
Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat juga berlaku pada
bentuk aljabar tetapi operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar
hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. Operasi penjumlahan dan
pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
distributif. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini.
Contoh
1. 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x
2. 5a – 3a – 2a + 4a = (5– 3 – 2 + 4)a = 4a
3. 7a + 5b + a – 2b = 7a + a + 5b – 2b = (7 + 1)a + (5 – 2)b = 8a + 3b
4. 5x + 3y + 6
17. Operasi penjumlahan pada bentuk aljabar di atas tidak dapat dilakukan karena suku
sukunya tidak sejenis, yaitu 5x, 3y, dan 6 tidak sejenis.
5. Kurangkan bentuk aljabar berikut.
a. 8x –4y dari 5x – 7y
b. 6x ² + 5x + 2 dari 7x ² + 2x – 3
Penyelesaian:
a. 5x – 7y – (8x – 4y) = 5x – 7y – 8x+ 4y= –3x – 3y
b. 7x ² + 2x – 3– (6x ² + 5x + 2) = 7x ² + 2x– 3 – 6x ² – 5x – 2 = x ² – 3x – 5
18. 2. Operasi Hitung Perkalian dan Pembagian
Pada bentuk-bentuk aljabar berlaku sifat-sifat penjumlahan dan perkalian seperti
pada bilangan bulat. Beberapa sifat tersebut antara lain:
a. Sifat komutatif penjumlahan, yaitu a + b = b + a
b. Sifat asosiatif penjumlahan, yaitu a + (b + c) = (a + b) +c
c. Sifat komutatif perkalian, yaitu a × b = b ×
d. Sifat asosiatif perkalian, yaitu a × (b × c) = (a × b) ×c
e. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan,
yaitu: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Pada perkalian antarsuku
aljabar,kita dapat menggunakan sifat distributif sebagai konsep dasarnya.
Pada bahasan ini akan dipelajari mengenai perkalian suku satu dengan suku dua
atau dengan suku banyak dan perkalian antara suku dua dengan suku dua.
19. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua atau Suku Banyak
Berikut ini disajikan beberapa contoh perkalian suku satu, baik perkalian
dengan suku dua atau dengan suku banyak.
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut ini!
a. 4x (x - 2y)
b. 8a (3ab - 2ab ² - 8ab)
Penyelesaian:
Gunakan sifat distributif untuk menyelesaikan permasalahan di atas.
a. 4x (x – 2y) = (4x . x) – (4x (2y))
= 4x2 – 8xy
b. 8a (3ab – 2ab ² – 8ab) = 8a ((3ab – 8ab) – 2ab ²)
= 8a ((-5ab) – 2ab ²)
= (8a x (-5ab)) - (8a . 2ab ²)
= -40a ² b – 16a ² b ² (bagi dengan –8)
= 5a ² b + 2a ² b ²
20. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua
Masih sama dengan perkalian sebelumnya, penyelesaian perkalian suku dua atau binomial
tetap menggunakan konsep dasar sifat distributif. Misalkan kita mempunyai suku dua
(binomial) yang berbentuk (a + b) dan (c + d). Langkah- langkah penyelesaian yang harus
dilakukan adalah seperti terlihat pada gambar berikut. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Jadi (a + b)(c + d) = (ac + bc) + (ad + bd). Perkalian suku dua dengan suku dua
merupakan bentuk perkalian antara suku dua dengan dirinya sendiri atau dapat pula
diartikan sebagai pengkuadratan suku dua. Misalkan kita mempunyai suku dua (x+y),
maka langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
(x+y)² = (x + y)(x + y) (pengkuadratan)
= x (x + y) + y (x + y) (sifat distributif)
= ((x.x) + (x.y)) + ((y.x) + (y.y)) (sifat distributif)
= x² + xy + yx + y² (sifat komutatif)
= x² + 2xy + y² `
21. Contoh
Tentukan hasil kali dari (x + 2) ², kemudian
sederhanakan!
Penyelesaian:
(x + 2) ² = (x + 2)(x + 2)
= x ² + 2x + 2x + 2 × 2
= x ² + 2(2x) + 4
= x ² + 4x + 4
Jadi (x + 2)² = x ² + 4x + 4
22. Selisih Dua Kuadrat
Setelah kita mempelajari tentang perkalian suku dua dengan dirinya
sendiri (bentuk kuadrat), sekarang kita akan membahas perkalian suku
dua antara (x+y) dan (x-y).
Langkah-langkah penyelesaiannya sama saja dengan penyelesaian
bentuk (x + y) ² dan (x – y) ² yaitu:
(x + y)( x – y) = (x + y)(x - y) (selisih dua kuadrat)
= x (x - y) + y (x - y) (sifat distributif)
= ((x.x)–(x.y))+((y.x)–(y.y)) (sifat distributif)
= x ² – xy + yx + y ² (sifat komutatif)
= x ² + y ²
Bentuk di atas dikenal dengan istilah selisih dua kuadrat.
Agar lebih memahami tentang selisih dua kuadrat, pehatikan contoh
berikut ini!
23. Contoh
Tentukan hasil kali dari (x – 3)(x + 3)!
Penyelesaian:
(x – 3)(x + 3) = (x - 3)(x + 3)
= (x.x) + (x.3) + ((-3)x) + ((-3)(3))
= x ² + (3x) –3x – 9
= x ² – 9
Jadi (x – 3)(x + 3) = x ² – 9
24. Kalian masih ingat dengan istilah faktor suku aljabar? Bentuk
aljabar xy merupakan perkalian dari x dengan y (xy = x × y).
Maka yang menjadi faktor dari xy adalah x dan y. Begitu juga
dengan bentuk a(x + y), dimana faktor dari a(x + y) adalah a
dan (x + y). Jadi, yang dimaksud dengan pemfaktoran bentuk
aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke
dalam bentuk perkalian atau faktor.
PEMFAKTORAN SUKU ALJABAR
25. Hukum distributif dan faktor persekutuan al jabar
Masih ingat dengan hukum distributif untuk bilangan a, b, c anggota bilangan real?
pada hukum distributif berlaku aturan a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Faktor
Penjumlahan suku-suku Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan
hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor
persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar.
Perhatikan contoh berikut:
Contoh
Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini!
a. 2x ² + 8x ² y
b. 3x ² y – 15xy ² z
Penyelesaian:
a. 2x ² + 8x ² y = 2x ² (1 + 4y) (FPB 2x ² dan 8x ² y = 2x ²)
b. 3x ² y – 15xy ² z = 3xy(x - 5yz) (FPB 3x ² y dan 15xy ² z = 3xy)
26. Faktorisasi Bentuk x ² + 2xy +y ²
Ayo kita tinjau kembali hasil perkalian bentuk (x + y) ². Hasil perkalian dari (x + y) ² adalah x ² + 2xy +
y ². Bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk kuadrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna mempunyai
beberapa ciri khusus, yaitu:
a. Koefisien peubah pangkat dua (x ²) sama dengan 1.
b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x.
Perhatikan contoh berikut ini!
Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16!
Penyelesaian:
Konstanta = ( ½ × 8) ² = 42, maka x ² + 8x + 16
= x² + 8x + (4) ²
= (x +4) ² = (x + 4)(x + 4)
Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum
distributif. Caranya adalah mengubah suku 2xy menjadi penjumlahan dua suku (xy + xy), kemudian
suku-suku tersebut difaktorkan.
27. Perhatikan contoh berikut ini!
Contoh
Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16!
Penyelesaian:
x ² + 8x + 16 = x ² + 4x + 4x + 16
= (x ² + 4x) + (4x + 16)
= x (x + 4) + 4(x + 4
= (x + 4) (x + 4)
= (x + 4) ²
Jadi faktor dari x ² + 4x + 16 adalah (x + 4) ²
28. Faktorisasi bentuk kuadrat ax2 + bx + 0
Selain faktorisasi bentuk x ² + 2xy + y ², faktorisasi bentuk kuadrat terdapat pula dalam
bentuk ax ² + bx + c; dengan a, b, dan c merupakan bilangan real. a dan b merupakan
koefisien, c adalah konstanta. Sedangkan yang menjadi peubah atau variabel adalah x ²
dan x.
Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti ini, kalian harus memperhatikan bentuk
perkalian suku (x + y) dengan (x + z) berikut.
(x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) (sifat distributif)
= ((x.x)+(x.z))+((y.x)+(y.z)) (sifat distributif)
= x ² + xz + xy + yz
= x ² + (y + z)x + yz
29. Contoh
Faktorkanlah bentuk aljabar dari x ² + 7x + 12!
Penyelesaian:
x ² + 7x + 12 = x ² + (y + z)x + yz
y + z = 7
yz = 12
y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4
atau y = 4 dan z = 3.
Jadi bentuk kuadrat dari x ² + 7x + 12 adalah:
(x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4) atau (x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3).
30.
31.
32. Penyelesaian:
Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = –4 dan q = 7, atau p
= 7 dan q = –4.
Jadi,
• Untuk p = –4 dan q = 7
2x2 + 3x – 14 = 2(x + -42 )( x + 72 ) = (x - 2)(2x + 7)
• Untuk p = 7 dan q = -4
2x2 + 3x – 14 = 2( x + 72 )(x + -42 ) = (2x + 7)(x - 2)
Jadi faktor dari 2x2 + 3x – 14 adalah (2x + 7)(x - 2)
37. Menyederhanakan pecahan bentuk aljabar
Suatu pecahan bentuk aljabar dapat disederhanakan apabila
pembilang dan penyebutnya memiliki faktor persekutuan atau
faktor yang sama. Maka untuk menyederhanakan pecahan ini,
kita harus mencari faktor persekutuan dari pembilang dan
penyebutnya terlebih dahulu. Perhatikan contoh berikut ini!
Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut ini!
Contoh
8ax2 + 24xy2
Penyelesaian:
8ax2 + 24xy2
= 8x (ax + 3y2)
(faktor dari 8ax2 dan 24xy2 = 8x).
38. Penggunaan Sifat Operasi Aljabar dalam Aritmetika
Pada awal bab ini kalian disuguhi persoalan tentang
pembelian barang di sebuah supermarket.
Kalian harus menghitung berapa harga yang harus
dibayar oleh si pembeli.
Persoalan seperti ini merupakan salah satu hal yang
dipelajari dalam aritmetika.
Aritmetika merupakan cabang ilmu matematika yang
berhubungan dengan kegiatan ekonomi, bisnis, dan sosial.
Dengan adanya bentuk aljabar dan operasi hitungnya,
kita dapat menyelesaikan perhitungan aritmetika sosial
dan bidang ilmu lainnya.
39. QUIS
1. Sederhanakanlah bentuk berikut.
a. (x – 5y + 2z) + (–10x + 3y – 10z)
b. (2x ² + 5x + 3) – (x ² + x – 3)
INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP
40. Penyelesaian:
a. x – 5y + 2z
–10x + 3y – 10z +
–9x – 2y – 8z
b. 2x ² + 5x + 3
x ² + 5x – 3 +
x ² + 4x + 6
45. Nama: Senna surya sentana
Tempat, tanggal lahir: Kuningan, 12
september 1993
Alamat: Ds. Cirea
Kec. Mandirancan
Kab.Kuningan
Cita – cita : Menjadikan seseorang berguna
Hobi : Bermain catur
Motto hidup : Sukses semuda mungkin
dan tetap berkarya hingga nafas terakhir
Deskripsi kerja sebagai pembuat link
dan msik n vidio di tim ini.
Nama: Afif Jamalullael
Tempat, tanggal lahir : Cirebon, 14
Agustus 1993
Alamat: Ds. Gombang
Kec.Plumbon
Kab.Cirebon
Cita – cita :Membahagiakan orang-orang
terdekat
Hobi : Main game
Motto hidup : Bahagia dunia akherat
Deskripsi kerja sebagai pembuat
skenario pembelajaran di tim ini.
Nama: Nandi Gunardi
Tempat, tanggal lahir: Cirebon, 24
Februari 1994
Alamat: Ds. Wangunharja
Kec.Jamblang
Kab.Cirebon
Cita – cita : Mengamalkan ilmu yang
bermanfaat.
Hobi: Membantu Orang tua
Motto hidup: Tiada hari tanpa bernapas
Deskropsi kerja sebagai pembuat
komik di tim ini.
Nama : Ramadhan Rahmatullah
Tempat, tanggal lahir: Cirebon, 22 Maret
1993
Alamat: BTN Karangsembung Permai
Cita – cita: Menjadi pengusaha yang
sukses
Hobi: Bulutangkis
Motto hidup: Hadapi masalah dengan
pikiran yang tenang, maka masalah
akan terselesaikan
Deskripsi kerja sebagai pembuat
data, slide dan animasi di tim ini.
