Aljabar Dasar.

8,402 views

Published on

1 Comment
12 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
8,402
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
75
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
1
Likes
12
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Aljabar Dasar.

  1. 1. Aljabar DasarDiajukan untuk Memenuhi Tugas Ujian Semester IIMata Kuliah Bahasa IndonesiaDosen Pengampu : Indrya Mulyaningsih,M.PdVivi Fitri Falentina(14121520527)Kelas/ Semester : Matematika C/ IIFAKULTAS TARBIYAHIAIN SYEKH NURJATI CIREBON2013Jl. Perjuangan By Pass Sunyaragi Cirebon - Jawa Barat 45132Telp : (0231) 481264 Faxs : (0231) 489926Bab I
  2. 2. PendahuluanA. Latar BelakangPenemu aljabar adalah Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Kharizmi. Aljabar berasal dari bahasa Arab "al-jabr" yang berarti"pertemuan", "hubungan" atau "penyelesaian" adalah cabang matematikayang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmatika. Aljabarjuga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalamsebuah bidang.Bentuk aljabar sangat penting dalam matematika, ketikamenyelesaikan suatu masalah tidak jarang terlebih dahulu menyatakannyadalam bentuk aljabar untuk mempermudah dan menyederhanakan suatumasalah tersebut.Dalam aljabar terdapat bermacam-macam jenis aljabar yang dapatdipelajari diantaranya:1) Aljabar dasar yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan ril,menggunakan simbol sebagai "pengganti" untuk menandakankonstanta dan variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan danpersamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol tersebut.2) Aljabar abstak, yang secara aksiomatis mendefinisikan danmenyelidiki struktur aljabar seperti kelomok matematika, cinicinmatematika dan matematika bidang.3) Aljabr linear, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vekor(termasuk matriks).
  3. 3. 4) Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semuastruktur aljabar.5) Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis.Dalam makalah ini yang berjudul ”Aljabar Dasar” ini, akandibahas materi Aljabar Dasar yang biasa dipelajari ketika pengenalandengan materi aljabar.B. Rumusan Masalah1) Pengertian aljabar.2) Sistem bilangan dalam aljabar.3) Unsur-unsur aljabar.4) Operasi dalam bentuk aljabar.5) Penerapan aljabar.6) Pertidaksamaan.C. Tujuan1) Mengetahui aljabar dan operasinya.2) Mengetahui Penerapan aljabar dalam kehidupan sehari-hari.3) Menyelesaikan tugas UAS mata kuliah Bahasa Indonesia.D. Manfaat1) Mengetahui aljabar dan operasinya.2) Mengetahui Penerapan aljabar dalam kehidupan sehari-hari.3) Terselesaikannya UAS mata kuliah Bahasa Indonesia.
  4. 4. Bab IIPembahasanA. Pengertian AljabarAljabar berasal dari bahasa Arab "al-jabr" yang berarti"pertemuan", "hubungan" atau "penyelesaian" adalah cabang matematikayang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmatika.Aljabar adalah persamaan yang terdiri dari variabel (peubah) dankonstanta yang dihubungkan dengan tanda operasi hitung serta tidakmengunkan tanda sama dengan.1Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dapatmempermudah masalah-maslah yang sulit dengan menggunakan huruf.Huruf-huruf tersebut mewakilli bilangan yang belum diketahui dalamhitungan.2Bentuk aljabar adalah bentuk penulisan yang merupakankombinasi antara koefisien dan variabel.3B. Sistem Bilangan dalam AljabarDalam matematika mempelajari bilangan dan operasi-operasiterhadap bilangan-bilangan. Himpunan simbol tanpa akhir 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, …, yang digunakan dalam perhitungan atau disebut bilangan asli.Ketika menambahkan dua dari bilangan-bilangan tersebut,misalnya 5 dan 7, dimulai dengan 5 (atau dengan 7) dan menghitung ke1Joko Unarto, Buku Pintar SMP (Jakarta: Wahyu Media, 2007) hal. 69.2Puja Kesuma, Supriyanto dan Setyowati Budi Unarti, Matematika VII (Sukoharjo: AzetMedia Pratama, 2010) hal. 28.3Aspar, Buku Kerja Matematika 1 (Bogor: Quadra, 2009) hal. 50.
  5. 5. kanan tujuh (atau lima) bilangan hingga angka 12. Jumlah bilangan asliadalah bilangan asli, yang berarti jumlah dua anggota himpunan diatasadalah salah satu anggota dari himpunan tersebut.41) Bilangan BulatPengurangan dapat dilakukan dengan memperluas himpunanbilangan. Menambah (+) di depan setiap bilangan asli (dalampraktiknya, lebih mudah jika tanda ini tidak dituliskan) untukmembentuk bilangan bulat positif, menambah tanda (–) di depansetiap bilangan asli (tanda ini harus selalu ditulis) untuk membentukbilangan bulat negatif, dan membuat sebuah simbol baru 0 (dibacanol), seperti yang ditunjukkan dalam gambar 1-1.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3Gambar 1-1Pada himpunan bilangan bulat… , -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, …Operasi-operasi penjumlahan dan pengurangan dapat dilakukan.Aturan 1: Untuk menjumlahkan dua bilangan yang memiliki tandayang sama, tambahkan nilai-nilai numeriknya dan beriawalan dengan tanda yang sama tersebut.Aturan 2: Untuk menjumlahkan dua bilangan yang memiliki tandayang berbeda, kurangkan nilai yang lebih kecil dari nilai4Frank Ayres, dkk, Matematika Universitas, terj Chisman Silaban (Jakarta: schaum’s EasyOutlines, 2006) hal.1.5Ibid., hal.2.
  6. 6. yang lebih besar, dan beri awalan dengan tanda yangdimliki oleh bilangan yang mempunyai nilai numerik yanglebih besar.Aturan 3: Untuk mengurangkan suatu bilangan, ubahlah tandanya lalutambahkan.Aturan 4: Untuk mengalikan atau membagi dua bilangan (janganpernah membagi dengan 0), kalikan atau bagilah nilai-nilainumeriknya, dengan memberikan awalan tanda (+) jikakedua bilangan memiliki tanda yang sama atau tanda (–)jika keduanya memiliki tanda yang berbeda.2) Bilangan RasionalHimpunan bilangan rasional terdiri dari semua bilanganberbentuk m/n, dimana m dan n ≠ 0 adalah bilangan bulat. Jadi,bilangan rasional meliputi bilangan-bilangan bulat dan pecahan biasa,seperti yang ditunjukkan pada gambar 1-2.6-2/3 ½ 5/3-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 34aturan 5: Nilai suatu bilangan rasional tidak berubah baik pembilangataupun penyebutnya, kedua-duanya dikalikan atau dibagidengan bilangan yang sama dan bukan nol.6Ibid., hal. 3.
  7. 7. Aturan 6: Jumlah (selisih) dari dua bilangan rasional yang memilikipenyebut yang sama adalah sebuah bilangan rasional yangpenyebunya adalah penyeut yang sama tersebut danpembilangnya adalah jumlah (selisih) dari pembilang keduabilangan tersebut.Aturan 7: Hasil kali dari dua atau lebih bilangan rasional adalahsebuah bilangan rasional yang pembilangnya adalah hasilkali dari pembilang-pembilangnya dan penyebuntnya adalahhasil kali penyebut-penyebutnya.Aturan 8: Hasil bagi dari dua bilangan rasional dapat dihitungmenggunakan atran 5 dengan penyebut persekutuan terkecildari kedua bilangan rasional tersebut sebagai pengalinya.3) DesimalDalam menuliskan bilangan menggunakan sistem proposionalyaitu suatu angka berdasarkan posisinya dalam urutan.7Contoh:a) 423, nilai proposional dari 4 adalah 4 (100) sedangkan dalam234, nilai proposional dari 4 adalah 4 (1).b) 42,35 berarti, 4 (10) + 2 (1) + 3 (101) + 5 (1001)7Ibid., hal.4.
  8. 8. Karena nilai proposional melibatkan bilangan 10, sistemnotasi ini disebut sistem desimal.4) PresentaseSymbol %, dibaca persen berarti per seratus. Jadi 5% samadengan 1005atau 0,05. Bilangan apapun ketika dinyatakan dalam notasidesimal dapat ditulis sebagai suatu persen dengan cara mengalikanbilangan tersebut dengan 100 kemudian memberi simbol %.Sebaliknya. Presentase dapat dinyatakan dalam bentuk desimal denganmenghilangkan simbol % dan membaginya dengan 100.85) Bilagan IrasionalKeberadaan bilangan lain selain bilangan rasional dapatdisimpulkan berdasarkan salah satu dari pertimbangan, banyangkansuatu desimal tidak berulang dalam waktu yang tidak terbatas dengancara memasukkan secara berturut-turut angaka yang dipilih secararandom.96) Bilangan RealHimpunan bilangan real terdiri dari bilanga rasional danirasional. Bilangan-bilangan real dapat diurutkan denganmembandingkan representasi desimalnya.108Ibid.9Ibid., hal. 5.10Ibid.
  9. 9. 7) Bilangan KompleksDalam himpunan bilangan real, tidak ada bilangan yangkuadratnya adalah -1. Jika terdapat bilangan seperti itu, misalnya 1−maka menurut definisinya adalah ( 1− )2= -1.C. Unsur-Unsur Aljabar1) Variabel, Koefisien dan KonstantaVariabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belumdiketahui nilainya dengan jelas. Sedangkan koefisien adalah fakorkonstanta yang mendahului peubah berpangkat suatu bentuk bentukaljabar. Dan konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yangtidak memuat variabel.11Misalnya diketahui bentuk suatu aljabar adalah, xy – 7x + 2y+3, maka unsur-unsurnya adalah:a) variabel: xy, x, dan y.b) koefisien dari variabel (xy = 1), (x = -7), dan (y = 2).c) konstanta: 32) SukuSuku adalah tiap bentuk aljabar yang dituliskan sebagai jumlahdari beberapa bentuk aljabar lainnya. Jenis suku aljabar berdasarkanbanyaknya jumlah suku dalam suatu bentuk aljabar dibagi menjadi dua11Aspar, Op. Cit, hal. 28.
  10. 10. jenis suku yaitu suku tunggal dan suku banyak. Suku tunggal adalahbentukan yang terdiri dari suatu bilangan, hasil bagi atau hasil kali.Dan suku banyak adalah bentukan yang terdiri dari beberapa sukutunggal.12Sedangkan bedasarkan jenis variabelnya suatu aljabar aljabardibagi menjadi dua yaitu suku sejenis dan tidak sejenis.Dikutip dari Joko Unarto dalam Buku Pintar SMP (2007:70) “Suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat yang sama dan bersifat dapat dijumlahkan ataudikurangkan. Sedangkan suku tidak sejenis adalah suku yangvariabelnya berbeda bersifat tidak dapat dijumlah ataudikurangkan.”Contoh:a) Diketahui bentuk aljabar:(1) 5a(2) 3x + 2y(3) 5y2+ 3y + 6Dari bentuk aljabar pada contoh diketahui “a” adalah aljabarbersuku tunggal, “b” bersuku dua(suku banyak) dan “c”bersuku tiga (suku banyak).b) Diketahui 2x + 3y + 10x,maka : 2x + 10x disebut suku sejenis dan 3y disebut suku tidaksejenis.D. Operasi dalam Bentuk Aljabar12S. Teguh Arifin, dkk, Rumus – Rumus Matematika Lengkap (Surabaya: Apolo, 1987) hal. 65.
  11. 11. 1) Ketentuan operasi bentuk aljabar adalah:131) a + b = b + aContoh: 3 +7 = 7 +3+4 = 4 + 82) + (+a) = +aContoh: +3 + (+7)= +3 +7 = 10Ingat: + (+7) = +73) +(-a)= -aContoh : (+5) + (-7) = +5 -7= -2Ingat: + (-7) = -74) – (+a)= -aContoh : +4 - (+3) = 4 -3 = 1Ingat: -(+3) = -35) –(-a) = +aContoh: (+12) –(-5) = 12 + 5 = 17Ingat: - (-5) = +52) Penjumlahan dan PenguranganBentuk-bentuk aljabar adalah dapat dilakukan penjumlahanatau pengurangan dengan menggunakan sifat komutatif, distributif danmemperhatikan koefisien dari suku-suku sejenis.1413Ibid., hal. 63.14Panco Sudjatmiko, Pelajaran Matematika (Solo: Tiga Serangkai, 2003), hal. 151.
  12. 12. Contoh:a) Tentukan hasil penjumlahan 4x4+ 3x3– 2xy + x dengan y + x2y –5x4.Jawab:= (4x4+ 3x3– 2xy + x) + (y + x2y – 5x4)= 4x4+ 5x4+ 3x3+ x2y + 2xy + x= x4+ 3x3+ x2y + 2xy + xb) Kurangkanlah 4x + 5 dari 2y + 3Jawab:(2y + 3) – (4x + 5) = 2y – 4x + (3 – 5)= 2y – 4x – 23) Perkalian Suku AljabarBentuk perkalian suku aljabar secara umum ditulis:15a) Suku tunggal dengan suku tunggal: k (ax) = kaxb) Perkalian satu bilangan dengan suku dua :k (ax + b) = (k . ax) + (kb)= kax + kbContoh:sederhanakan 2 (2x + 1) = 4x + 2c) Perkalian suku dua dengan suku dua:(ax + b) (px + q) = ax (px + q) + b (px + q)= ap x 2+ aqx + bpx + bq15Ibid., hal. 153.
  13. 13. = apx2+ (aq + bp) x + bqContoh:Tentukan (3x -1) (-2x + 5)Jawab:(1) Cara 1: (3x -1) (-2x + 5) = 3x (-2x + 5) – 1 (-2x + 5)= - 6x2+ 15x + 2x – 5= - 6x2+ 17x – 5(2) Cara 2 :x -2x 53x -6x215x1 2x -5Hasil yang di dapat cara pertaman dan kedua adalah sama.4) PembagianKetentuan pembagian:cba=, maka b x c = a.a) +=−−=++,b) −=−+=+−,c) Pembagian bilangan berpangkat: pa: pb= p(a-b),contoh:43: 42= 43-2= 4
  14. 14. = 367642525xyxyx=−−.d) Pembagian suku banyak dan suku tunggal: pbppappbpap+=+.Contoh:337375252xyxxyxyxyxxy+=+34512yy+=5) PerpangkatanKetentuan dalam memangkatkan adalah:a) Suatu bilangan positif jika dipangkatkan hasilnya selalu positif.16Contoh:(5)2= (5) x (5)= 25(+b)3= (+b) x (+b) x (+b)= +b3Keterangan:(1) 5 dan b disebut bilangan pokok.(2) 2 dan 3 disebut bilangan pangkat atau eksponen.b) Suatu bilangan negatif jika dipangkatkan dengan pangkat genaphasinya selalu positif.17Contoh:16Ibid., hal. 67.17Ibid.
  15. 15. (-5)2= (-5) x (-5)= 25c) Hanya bilangan negatif jika dipangkatkan dengan pangkat ganjilhasilnya selalu negatif.Contoh:(-4)3= (-4) x (-4) x (-4)= -64d) Bilangan nol jika dipangkatkan hasilnya selalu nol.Contoh :(0)2= 0e) Suatu bilangan yang berlawanan jika dipangkatkan sama dangenap, maka hasilnya selalu positif dan sama.Di tuliskan: (-a)2n= (+a)2nContoh:(-2)4= (-2) x (-2) x (-2) x (-2)= (+2)4= +16(+2)4= (+2) x (+2) x (+2) x (+2)= + 16f) Suatu bilangan yang berlawanan jika dipangkatkan sama danganjil, maka hasilnya selalu berlawanan.Dituliskan: (-a)2n-1Contoh:
  16. 16. (-a)5= (-a) x (-a) x (-a) x (-a) x (-a)= -a5(+a)5= (+a) x (+a) x (+a) x (+a) x (+a)= +a5g) Suatu bilangan berpangakat yang memiliki variabel yang samamemiliki ketentuan sebagai berikut:(1) Pengalian: papb= p(a+b)contoh: 2223= 2(2+3)= 25(2) Penguadratan: (pa)b= pabcontoh: (32)2= 32.2= 346) PemaktoranMemfaktorkan adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadibentuk perkalian.a) Bentuk ax + aysuatu bentuk penjumlahan dapat dinyatakan sebagai bentukperkalian jika suku-suku dalam bentuk penjumlahan memilikifactor yang sama.Ponco Sudjatmoko dalam Pelajaran Matematika (2003:156) menyebutkan hukum distributif: “ax + ay = a (x + y),dengan a, x, y adalah bilangan real.” a dan (x + y) merupakanfaktor-faktor dari ax + ay.Contoh:Faktor 6x – 2x3= 2x (3 – x2)b) Bentuk x2+ 2xy + y2dan x2– 2xy + y2
  17. 17. Memfaktorkan bentuk x2+ 2xy + y2dan x2– 2xy + y2:(1) x2+ 2xy + y2= x2+xy + xy + y2(mengubah 2xy menjadi xy + xy)= (x2+ xy) + (xy + y2)= x (x + y) + y (x + y)= (x + y) (x + y)(2) x2– 2xy + y2= x2– xy – xy + y2(mengubah -2xy menjadi –xy -xy)= (x2– xy) – (xy – y2)= x (x – y) – y (x – y)= (x – y) (x – y)Dari uraian tersebut diperoleh pernyataan:18x2+ 2xy + y2= (x + y) (x + y)x2– 2xy + y2= (x – y) (x – y)contoh:factor dari x2+ 6xy + 9y2= x2+ 3xy + 3xy + 9y2= (x2+ 3xy) + (3xy + 9y2)= x (x + 3y) + 3y (x + 3y)= (x + 3y) (x + 3yc) Bentuk x2– y2Bentuk x2– y2disebut selisih dua kuadrat karenamerupakan pengurangan atau selisih dari suku-suku yang masing-18Panco Sudjatmiko, Op. Cit, hal. 157.
  18. 18. masing adalah bentuk kuadrat. Selisih dua kuadrat difaktorkansebagai berikut.x2– y2= x2– xy - xy - y2= (x2– xy) – (xy – y2)= x (x – y) – y (x – y)= (x – y) (x – y)Pemfaktoran selisih dua kuadrat dikutip dari PoncoSudjatmoko dalam Pelajaran Matematika (2003: 156) adalah, “ x2–y2= (x – y) (x – y) “Contoh:Faktor dari x2– 16 = x2- 42= (x – 4) (x + 4)d) Bentuk ax2+ bx + c dengan a = 1Dikutip dari Ponco Sudjatmoko dalam PelajaranMatematika (2003: 156) ketentuan untuk memfaktorkan ax2+ bx +c dengan a = 1 adalah, “ax2+ bx + c = (x + p) (x + q), dengan c = x+ p dan b = x + q”.Contoh:Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.(1) x2+ 5x + 4(2) x2– x – 6
  19. 19. jawab:(1) x2+ 5x + 4, dua bilangan dengan hasil kali = 4 dan jumlah =5 adalah 1 dan 4,x2+ 5x + 4 = (x + 1) (x + 4)(2) x2– x – 6, dua bilangan dengan hasil kali = -6 dan jumlah =-1 adalah 2 dan -3,x2– x – 6= (x – 3) (x - 4)e) Bentuk ax2+ bx + c dengan a ≠ 1Ketentuan untuk aljabar yang bentuk ax2+ bx + c dengan a≠ 1 dikutip dari Sudjatmoko dalam Pelajaran Matematika (2003:156) adalah, “ ax2+ abx + ac = ax2+ a (p + q) x + pq, dengan ac =pq dan b = p + q.”Contoh:Faktorkan bentuk-bentuk berikut:(1) 3x2+ 10x – 8,(2) 4x2– 9x + 2.Jawab:(1) 3x2+ 10x – 8, b = 10 dan c = -8.Dua bilangan yang hasil kalinya = 3. (-8) = -24 danjumlahnya = 10 adalah -2 dan 12.Sehingga 3x2+ 10x – 8 = 3)123)(23( −− xx= 3)4.(3).23( −− xx
  20. 20. 3x2+ 10x – 8 = (3x – 2) (x + 4)(2) 4x2– 9x + 2, a = 2, b = 7, dan c = 3Dua bilangan yang hasil kalinya = 4 . 2 = 8 danjumlahnya = -9 adalah -1 dan -8,Sehingga 4x2– 9x + 2 = 4)84)(14( −− xx= 4)2.(4).14( −− xx4x2– 9x + 2 = (4x – 1) (x – 2)7) Pecahan dalam Bentuk Aljabara) Sifat-Sifat Pacahan Aljabar.19(1) Harga suatu bilangan tidak berubah jika pembilang danpenyebut dikalikan dengan suatu bilangan yang sama.(2) Mengalikan suatu pecahan dengan suatu bilangan adalahmengalikan pembilangnya dengan bilangan tersebut.(3) Pembilang dan penyebut memiliki tanda yang berlawananmaka pecahan tersebut adalah negatif.(4) Pembilang dan penyebut tandanya sama maka pecahan tersebutadalah positif.(5) Memangkatkan suatu pecahan dengan suatu bilangan adalahmemangkatkan pembilang dan penyebut dengan bilangan itu.(6) Membagi suatu pecahan dengan suatu bilangan adalahmengalikan pecahan tersebut dengan kebalikan bilangantersebut.19S. Teguh Arifin, Op. Cit, 78-79.
  21. 21. (7) Hasil kali pecahan dengan pecahan yang lain diperoleh denganmengalikan pembilang dan penyebut dua pecahan tersebut.b) Operasi Hitung Pecahan(1) Penjumlahan dan PenguranganPada himpunan bilangan pecahan, hasil operaspenjumlahan dan penguragan dapat diperoleh dengan caramenyamakan penyebutnya terlebih dahulu kemudianmenjumlahan atau mengurangkan pembilangnya.20Contoh:Sederhanakanlah bentuk berikut.(a) 6132+(b) 4131−jawab:(a) 61646132+=+65=(b) 1231244131−=−121=Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku padaoperasi penjumlahan atau pengurangan dalam bentuk aljabar.Contoh:Sederhanakanlah!(a) 32xx+20Panco Sudjatmiko, Op. Cit, hal. 161
  22. 22. (b) xyx11+Jawab:(a) 626332xxxx+=+65623 xxx=+=(b) xyxyxyx111+=+= xyy 1+(2) Perkalian dan PembagianHasil perkalian dua pecahan dapat diperoleh dengan caramengalikan pembilang, dan penyebut dengan penyebut.21bqapqpxba=Contoh:Tentukan hasil perkalian berikut.(a) xaxyx632(b) 32bxaJawab:(a) yaxyaxxaxyx96.3.2632==(b) 632abbxa=c) Menyederhanakan PecahanPecahan dikatakan sedehana jika pembilang dan penyebutdari pecahan tersebut tidak memilki factor persekutuan kecuali 1.2221Ibid., hal. 162.22Ibid., hal. 164.
  23. 23. Contoh:pyxpyx 32264 +=+d) Menyederhanakan Pecahan BersusunSuatu pecahan dengan pembilang atau penyebut ataukedua-duanya memuat pecahan disebut pecahan bersusun. Untukmenyederhanakan pecahan bersusun dilakukan dengan caramengalikan pembilang dan penyebutnya dengan kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) dari penyebut pecahan yang terdapatpada pembilang maupun penyebut pecahan yang terdapat padapenyebut pecahan yang bersusun. Hal itu dilakukan agarpembilang dan penyebut pada pecahan bersusun tidak lagi memuatpecahan.23Contoh:)311(12)4121(123114121−+=−+= 41236−+= 81189=8) Persamaan dengan Dua Buah Bilangan Yang Tidak DiketahuiSuatu persamaan dimana akar persamaan yang satu tergantungpada harga persamaan yang lain.24Cara menyederhanakan dapat dilakukukan dengan metodepenyamaan, subsitusi (mengganti adalah pekerjaan menukar huruf-huruf dengan angka-angka.25), serta menjumlah dan mengurangkan.23Ibid., hal. 165.24S. Teguh Arifin, dkk, Op.cit, hal. 79.25Ibid., hal. 66.
  24. 24. Contoh:a) 4x + 3y = 24 (berarti harga x tergantung harga y, begitupunsebaliknya)b) tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut:4x – 2y = -20 …………… (i)x + 2y = 25 …………… (ii)jawab:(1) metode penyamaanPersamaan I: 4x – 2y = -204x = 2y – 20x = 4202 −ypersamaan II: x + 2y = 25x = -2y + 25maka: 4202 −y= -2y + 252y – 20 = 4 (-2y + 25)2y – 20 = -8y + 1002y + 8y = 100 + 2010y = 120y = 10120= 12 …………….. (iii)masukan persamaan (iii) ke (i)4x – 2y = -20
  25. 25. 4x – 2 (12) = -204x = -20 + 24x = 44= 1jadi nilai x = 1 dan y = 12(2) metode subsitusi bentuk aljabarPersamaan I: 4x – 2y = -204x = 2y – 20x = 4202 −yuntuk nilai x masukan ke persamaan (ii)x + 2y = 254202 −y- 2y = 2548202 yy +−= 252y – 20 + 8y = 25 . 42y+8y = 100 + 2010y = 120y = 10120= 12untuk nilai y = 12 maskan ke persamaan (i)x – 2y = - 204x – 2 (12) = -204x = -20 + 24x = 44= 1
  26. 26. (3) metode menjumlahkan dengan mengurangkan4x – 2y = -20x + 2y = 25 +5x = 5x =55= 1masukan persamaan (ii)x + 2y = 251 + 2y = 252y = 25 – 1y = 55= 19) KPK dan FPB Bentuk Aljabara) Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)KPK merupakan hasil kali semua faktorprima berbedadengan mengambil pangkat tertinggi untuk factor prima yangsama.26KPK atau pembagi persekutuan dapat didefinisikan jugaadalah suatu bilangan bulat a disebut pembagi (factor) persekutuanb dan c, jika a│b (a habis membagi b) dan a│c (a habis membagic).27Contoh:Tentukan KPK dari 4ab2dan 8a2b.26Puja Kesuma, Supriyanto dan Setyowati Budi Unarti, Op. Cit, hal. 30.27Eman dan Turmudi, Perkenalan dengan Teori Bilangan (Bandung: Wijayakusumah, 1993)hal. 135.
  27. 27. Jawab:Factor dari 4ab2= 22. a . b2Factor dari 8a2b = 23. a2. bJadi KPK dari 4ab2dan 8a2b adalah 23. a2. b2.b) Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)FPB merupakan perkalian factor prima yang sama denganmengambil pangkat terendahnya.28FPB atau kelipatan perseekutuan adalah bilangan-bilanganbulat a dan b masing-masing tak nol, mempunyai kelipatanpersekutuan c, jika a│c dan b│c.29Contoh:Tentukan FPB dari 3x2y dan 6xyz.Jawab:Faktor dari 3x2y = 3 . x2. yFaktor dari 6xyz = 3 . 2 . x . y . zJadi FPB dari 3x2y dan 6xyz adalah 3xy.10) Derajat Aljabara) Derajat Suku TunggalDerajat suku tunggal ditentukan oleh jumlah faktorhurufnya.3028Puja Kesuma, Supriyanto dan Setyowati Budi Unarti, Op. Cit, hal.30.29Eman dan Turmudi, Op. Cit, hal 139.30S. Teguh Arifin, dkk, Op. Cit, hal. 70.
  28. 28. Contoh: 4 abc disebut suku berderajat 3, 1 faktor angka 4 dan 3faktor huruf abc.b) Derajat Suku BanyakDerajat suku banyak ditentukan oleh derajat suku tertinggidiantara suku tersebut.31Contoh: 6a5+ 6a4+ 5a2b – 15Disebut suku lima berderajat 6 (suku – suku iniberderajat : 5 ; 5 ; 3 ; 6 ; 0).E. Penerapan AljabarKetentuan untuk hubungan nilai keseluruhan dan nilai per unit adalah:1) Nilai keseluruhan = banyak unit x nilai per unit.2) Nilai per unit = nilai keseluruhan : nilai banyak unit.32Contoh:a) Harga sebuah buku tulis Rp.2000,00 berapakan harga 3 buku tulis?b) Ani diberi uang saku untuk satu minggu yaitu Rp 14000,00 berapakahuang saku Ani untuk sehari?c) Diatas meja terdapat 3 buah buku tulis dan lima buah pensil, karenaada angin yang besar pensil yang di meja jatuh 2 pensil, berapakahjumlah pensil yang ada di atas meja sekarang?Jawab:a) Nilai keseluruhan = banyak unit x nilai per unit= 3 . (Rp 2000,00)31Ibid., hal. 71.32Aspar, Op. Cit, hal. 60.
  29. 29. = Rp 6000,00.Jadi harga untuk tiga buah buku adalah Rp 6000,00.b) Nilai per unit = nilai keseluhan : banyak unit= Rp 14000,00 : 7= Rp 2000,00Jadi uang saku Ani sehari adalah Rp 2000,00.c) Dimisalkan buku dengan variabel x dan pensil dengan variabel y,maka: 3x + 5y – 2y = 3x + 3y.Jadi sisa pensil yang ada di atas meja adalal 3 buah.F. Pertidak SamaaanPertidak samaan (inequality) adalah pernyataan bahwa sebuahbilangan (real) lebih besar atau lebih kecildari pada sebuah bilangan yanglainnya, sebagai contoh : 3 > -2, -10 < -5.33Dua pertidaksamaan dikatakan mempunyai arah yang sama jikatandanya menunjuk kearah yang sama. Jadi, 3 > -2 dan -5 > -10mempunyai arah yang sama; 3 > -2 dan -10 < -5 mempunyai arah yangberlawanan.Ketentuan arah pertidaksamaan adalah tidak berubah:a) Jika bilangan yang sama ditambahkan atau dikurangkan pada keduasisi pertidaksamaan.b) Jika kedua sisi pertidaksamaan dikalikan atau dibagi bilanganpositif yang sama.33Frank Ayres, dkk, Op. Cit, hal.8.
  30. 30. Arah pertidaksamaan menjadi berubah jika kedua sisi dikalikanatau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.Pertidaksamaan absolut adalah pertidaksamaan yang benar untuksemua nilai real dari huruf-huruf yang terlibat. Contoh: x + 2 > 5 adalahpertidaksamaan bersyarat karena pertidaksamaan inibenar untuk x = 4 tapisalah untuk x = 1.Ketentuan pertidaksamaan bersyarat dikutip dari Frank Ayres, dkk,pada Matematika Universitas (2006: hal.8) adalah “dalam suatu huruf,katakanlah x, terdiri dari semua nilai x yang membuat pertidaksamaantersebut benar. Nilai-nilai terletak pada suatu lebih atau interval pada skalabilangan real.”Bab IIIPenutupA. KesimpulanPenemu Aljabar adalah Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi. Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang berarti"pertemuan", "hubungan" atau "penyelesaian" adalah cabang matematikayang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmatika. Aljabarjuga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalamsebuah bidang.
  31. 31. Sistem bilangan dalam aljabar yaitu menggunakan bilanga real ataubilangan asli. Unsur-unsur aljabar yaitu variabel, koefisien, konstanta dansuku.Operasi dalam bentuk aljabar:1) a + b = b + aContoh: 3 +7 = 7 +3+4 = 4 + 82) + (+a) = +aContoh: +3 + (+7)= +3 +7 = 10Ingat: + (+7) = +73) +(-a)= -aContoh : (+5) + (-7) = +5 -7= -2Ingat: + (-7) = -74) – (+a)= -aContoh : +4 - (+3) = 4 -3 = 1Ingat: -(+3) = -35) –(-a) = +aContoh: (+12) –(-5) = 12 + 5 = 17Ingat: - (-5) = +5Penerapan aljabar memiliki ketentuan untuk hubungan nilaikeseluruhan dan nilai per unit adalah:1) Nilai keseluruhan = banyak unit x nilai per unit.2) Nilai per unit = nilai keseluruhan : nilai banyak unit.
  32. 32. Pertidak samaan (inequality) adalah pernyataan bahwa sebuahbilangan (real) lebih besar atau lebih kecildari pada sebuah bilangan yanglainnya. Ketentuan pertidaksamaan bersyarat dikutip dari Frank Ayres,dkk, pada Matematika Universitas (2006: hal.8) adalah “dalam suatuhuruf, katakanlah x, terdiri dari semua nilai x yang membuatpertidaksamaan tersebut benar. Nilai-nilai terletak pada suatu lebih atauinterval pada skala bilangan real.”B. SaranSemoga makalah ini dapat berguna sebagaimana mestinya dandapat memenuhi tugas mata kuliah Bahasa Indonesia.Daftar PustakaAnonim. http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar. 10 April 2013. Diuntuh 15April 2013 dan jam 15.06 WIB.Aspar. 2009. Buku Kerja Matematika 1. Bogor: Quadra.Ayres, Frank dkk. 2006. Matematika Universitas, terj Chrisman Silaban.Jakarta: Schaum’s Easy Outlines.Eman dan Turmudi. 1993. Perkenalan dengan Teori Bilangan. Bandung:Wijayakusumah.Kesuma, Puja, Supriyanto dan Setyowati Budi Unarti. 2010. MatematikaVII. Sukoharjo: Azet Media Pratama.Sudjatmiko, Panco. 2003. Pelajaran Matematika. Solo: Tiga Serangkai.Teguh, S. Arifin dkk.1987. Rumus – Rumus Matematika Lengkap.Surabaya: Apolo.Unarto, Joko. 2007. Buku Pintar SMP. Jakarta: Wahyu Media.

×