Dokumen tersebut membahas metode-metode untuk menemukan nilai minimum suatu fungsi satu variabel seperti metode Fibonacci, Golden Section Search, dan bracketing minimum. Metode Fibonacci dan Golden Section Search menggunakan rasio antar panjang interval untuk secara iteratif menyempitkan rentang pencarian nilai minimum, sedangkan bracketing minimum digunakan untuk mengapit titik minimum awal sebelum menerapkan metode optimasi lainnya.

1. Minimalisasi Satu Dimensi
Tanpa Kendala
Kelompok I :​
Rosalia I. T. (22071505003)
Tri Wahyu Y. (22071505002)
Arrahmad D. B. (22071505005)

2. Pembahasan
2.1 Introduction
2.2 Theory Related to Single-
Variable (Univariate)
Minimization
2.3 Unimodality and Bracketing
the Minimum
2.4 Fibonacci Method
2.5 Golden Section Search Method
Presentation title 2

3. 2.1 Introduction
Menentukan nilai fungsi minimum dari
satu variabel dan lokasi minimum
memiliki peranan penting dalam
optimasi nonlinier sehingga diperlukan
konsep dasar yang terlibat di dalamnya
Presentation title 3

4. 2.2 Theory Related to Single-Variable (Univariate)

5. Minimalisasi Variabel Tunggal
Presentation title 5
Meminimalkan f(x) untuk semua x
riil(nyata)
Titik x∗ adalah lokal minimum lemah
jika terdapat δ > 0, maka f (x∗) ≤ f (x) untuk
semua x, dimana |x – x∗| < δ,
sehingga (x∗) ≤ f (x) untuk semua x dalam
lingkungan δ dari x∗.
Titik x∗ adalah minimum lokal kuat (atau
ketat) jika f (x∗) ≤ f (x)
diganti dengan f (x∗) < f (x)
x∗ adalah minimum global jika f (x∗) < f (x)
untuk semua x.
Gambar Grafik Satu Variabel

6. Fungsi Cembung
Presentation title 6
Suatu fungsi (x) disebut
fungsi cembung yang
terdefinisi pada himpunan
cembung S jika untuk setiap
pasangan titik x1 dan x2 di S,
dan 0 ≤ α ≤ 1.
Kondisi terpenuhi :
Gambar Grafik Fungsi Cembung

7. Sifat Fungsi Cembung
Presentation title 7
1. Jika f memiliki turunan pertama kontinu maka f
cembung di atas himpunan cembung S jika dan hanya
jika untuk setiap x dan y di S,
𝑓 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥 + 𝑓′
𝑥 𝑦 − 𝑥
2. Jika f memiliki turunan kedua kontinu, maka f
cembung di atas himpunan cembung S jika dan hanya
jika untuk setiap x dalam S,
𝑓′′
𝑥 ≥ 0
3. Jika 𝑓 𝑥∗
adalah minimum lokal untuk fungsi
cembung f pada himpunan cembung S, maka 𝑓(𝑥∗
)
juga merupakan minimum global.
4. Jika f memiliki turunan pertama kontinu pada
himpunan cembung S dan untuk titik 𝑥∗
di S,
𝑓′
𝑥∗
𝑦 − 𝑥∗
≥ 0 untuk setiap y di S, maka 𝑥∗
adalah
titik minimum global dari f diatas S.

8. Minimum f pada maksimum dari 𝜑
Presentation title 8
Permasalahan menemukan maksimum suatu
fungsi 𝜑 sama dengan menentukan minimum 𝑓
Lokasi minimum 𝑥∗
adalah sama
Nilai fungsi 𝜑(𝑥∗
) diperoleh sebagai −𝑓(𝑥∗
)
Ketika 𝑓 positif, transformasi lain dapat
digunakan untuk memaksimalkan 𝑓, yaitu
meminimalkan 1/(1 + 𝑓)
Aspek konveksivitas dari fungsi aslinya diubah
seluruhnya

9. 2.3 Unimodality and Bracketing the Minimum

10. Fungsi Unimodal
Presentation title 10
1. Suatu fungsi f dikatakan unimodal dalam
interval S jika terdapat 𝑥∗ unik di S,
sehingga untuk setiap pasangan titik 𝑥1 dan
𝑥2 pada S dan 𝑥1 < 𝑥2
2. jika 𝑥2 < 𝑥∗
, maka 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 , atau
3. jika 𝑥1 > 𝑥∗ maka 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 .
4. Dengan kata lain, fungsi meningkat secara
monoton pada kedua sisi dari titik minimum
𝑥∗

11. Bracketing Minimum
Presentation title 11
Algoritma Bracketing / Tiga Titik Pola
1. Atur 𝑥2 = 𝑥1 + ∆
2. Evaluasi 𝑓1 dan 𝑓2
3. Jika 𝑓2 ≤ 𝑓1 lanjutkan ke langkah 5
4. Tukar 𝑓1 dan 𝑓2 , 𝑥1 dan 𝑥2 , lalu atur ∆ = - ∆
5. Atur ∆ = 𝛾, 𝑥3 = 𝑥2 + ∆, dan evaluasi 𝑓3
pada 𝑥3
6. Jika 𝑓3 > 𝑓2 , lanjutkan ke langkah 8
7. Ganti 𝑓2 sebagai 𝑓1 , 𝑓3 sebagai 𝑓2 , 𝑥2 sebagai
𝑥1 , 𝑥3 sebagai 𝑥2 , lanjutkan ke langkah 5
8. Titik 1, 2, dan 3 memenuhi 𝑓1 ≥ 𝑓2 < 𝑓3 (tiga
titik pola)

12. 2.4 Fibonacci Method

13. Presentation title 13
Bilangan Fibonacci ditemukan oleh Leonardo Pisano
(dijuluki Fibonacci) dari Pisa. Melalui penelitiannya
tentang studi reproduksi kelinci. Di dapatkan angka :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,………dst
Bilangan Fibonacci adalah barisan angka yang setiap
sukunya diperoleh dengan menambahkan dua angka
sebelumnya.
Bilangan Fibonacci dinotasikan :
𝐹0, 𝐹1, 𝐹2,……………….. 𝐹𝑛
urutan tersebut terdiri dari :
𝐹0 = 1, 𝐹1 = 1
𝐹𝑖 = 𝐹𝑖−1 + 𝐹𝑖−2, i = 2 sampai n
Gambar Populasi Kelinci dan Angka Fibonacci

14. Presentation title 14
Dari gambar disamping, didapatkan hubungan interval :
Untuk setiap interval dalam bentuk In didapatkan sbb :
Dari koefisien 2, 3, 5, 8, …. yang muncul diatas adalah bilangan
Fibonacci.
Untuk ukuran interval akhir :
Rasio Panjang interval akhir dan awal setelah n percobaan :
Gambar Hubungan Interval

15. Presentation title 15
1. Menentukan range awal yaitu batas atas dan batas
bawah (xL dan xU) yang mengapit titik
maksimum/minimum dari suatu fungsi
2. Menentukan jumlah iterasi yang diinginkan
3. Menghitung suku berikutnya dalam deret Fibonacci
Untuk F0 dan F1 = 1, n =1
Untuk Fn = Fn-1 + Fn-2, n = n+1
4. Menghitung nilai x1 dan x2, dimana
x1 = xL +
Fn−2
Fn
xu − xL
x2 = xL +
Fn−1
Fn
xu − xL
Hitung nilai fungsi f(x) pada kedua titik tersebut (x1 dan x2),
dari perhitungan tersebut untuk menentukan interval mana
yang akan di eliminasi.
Jika :
* f(x1) > f(x2), maka titik optimal berada antara xL dan x2
* f(x1) < f(x2), maka titik optimal berada antara xU dan x1
Algoritma Fibonacci:
5. Update batas dengan mengevaluasi nilai fungsi,
sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi
pada evaluasi Langkah berikutnya. Jadi hanya
diperlukan satu titik baru.
6. Ulangi terus sampai mencapai nilai iterasi yang
diinginkan tercapai.

16. 2.5 Golden Section Search Method

17. Metode Golden Section:
Metode Golden Section :
Salah satu metode yang digunakan untuk
menemukan minimum /maksimum dari fungsi
unimodal yang sempurna (strictly).
Fungsi Unimodal:
Fungsi yang hanya memiliki satu
maksimum/minimum dalam interval tertentu.
Ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang
lama sebagai nilai yang baru, secara iteratif. Sebagai
akibatnya, rentang/ interval awal variabel yang dipilih
semakin lama akan semakin menyempit, karena ada
sebagian sub-interval variabel yang dieliminasi,
hingga diperoleh tingkat konvergensi yang
diinginkan.
Presentation title 17

18. Presentation title 18
Dari gambar disamping, didapatkan
Substitusikan dan , sehingga
didapatkan
Nilai positif dari persamaan adalah
Selanjutnya nilai ini disebut golden ratio
Gambar Golden Section

19. Presentation title 19
1. Menentukan range awal yaitu batas atas dan batas
bawah (xL dan xU) yang mengapit titik
maksimum/minimum dari suatu fungsi
2. Menentukan nilai x1 dan x2 didalam rentang batas
xL dan xU menggunakan golden ratio, yaitu :
x1 = xU - d
x2 = xL + d
dengan d merupakan golden ratio = 0,61803
3. Hitung nilai fungsi f(x) pada kedua titik tersebut (x1
dan x2), dari perhitungan tersebut untuk
menentukan interval mana yang akan di eliminasi.
Jika :
* f(x1) > f(x2), maka titik optimal berada antara xL dan x2
* f(x1) < f(x2), maka titik optimal berada antara xU dan
x1
Algoritma Golden Section:
4. Update batas dengan mengevaluasi nilai fungsi,
sehingga salahsatu titik lama bisa dipakai lagi pada
evaluasi Langkah berikutnya. Jadi hanya diperlukan
satu titik baru.
5. Ulangi iterasi terus menerus sampai nilai
konvergensi yang diinginkan tercapai.

20. Contoh :
Perbandingan Panjang interval dari Fibonacci dan Golden
Section untuk n = 5 dan n=10
Presentation title 20
Dapat dilihat bahwa pemncarian menggunakan metode Fibonacci memberikan
interval ketidakpastian terkecil dibandingkan dengan metode Golden Section

21. Terima Kasih
“
”