Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
1. Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar khususnya subgrup normal dan grup faktor.
2. Subgrup normal didefinisikan sebagai subgrup H dimana untuk setiap g dalam G dan h dalam H, g-1hg masuk dalam H.
3. Grup faktor G/H didefinisikan sebagai himpunan koset G terhadap H dengan operasi (g1H)*(g2H)= (g1g2)H.
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
1. Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar khususnya subgrup normal dan grup faktor.
2. Subgrup normal didefinisikan sebagai subgrup H dimana untuk setiap g dalam G dan h dalam H, g-1hg masuk dalam H.
3. Grup faktor G/H didefinisikan sebagai himpunan koset G terhadap H dengan operasi (g1H)*(g2H)= (g1g2)H.
Makalah ini membahas tentang pencerminan (refleksi) pada bidang datar. Definisi pencerminan dijelaskan sebagai fungsi yang memetakan titik ke titik lain sehingga membentuk sudut yang sama dengan sumbu refleksi. Sifat-sifat pencerminan seperti surjektif, injektif, dan melestarikan jarak juga dibuktikan sehingga pencerminan merupakan transformasi isometri. Contoh soal pencerminan juga diberikan unt
1. Dokumen tersebut membahas prinsip inklusi-eksklusi dalam menghitung banyaknya obyek yang memenuhi beberapa sifat tertentu.
2. Bentuk umum prinsip inklusi-eksklusi ditulis sebagai rumus yang menghitung jumlah obyek tanpa sifat tertentu berdasarkan jumlah obyek dengan berbagai kombinasi sifat.
3. Beberapa contoh penerapan prinsip inklusi-eksklusi untuk
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
1. Dokumen membahas tentang kemungkinan solusi persamaan binomial dan multinomial dengan syarat-syarat tertentu.
2. Terdapat rumusan teorema dan contoh soal untuk menghitung jumlah kemungkinan solusi persamaan tersebut menggunakan kombinasi dan koefisien binomial.
3. Dibahas pula ekspansi persamaan binomial menggunakan koefisien binomial sesuai teorema binomial.
Dokumen tersebut membahas relasi rekursif dan cara menyelesaikannya dengan menggunakan persamaan karakteristik dan teorema-teorema yang terkait. Secara singkat, relasi rekursif adalah persamaan yang menyatakan suatu deret bilangan dalam bentuk deret sebelumnya, dan dapat diselesaikan dengan menentukan akar-akar persamaan karakteristiknya.
This document contains exercises and solutions related to monotone sequences, convergent subsequences, and the Bolzano-Weierstrass theorem from an introduction to real analysis course. It includes 4 problems examining properties of specific sequences, showing whether they are bounded/monotone and finding their limits, as well as examples of an unbounded sequence with a convergent subsequence and sequences that diverge. The solutions provide detailed proofs of the properties of each sequence using induction and algebraic manipulations.
Dokumen tersebut merupakan soal-soal dan jawaban mengenai kalkulus III yang disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus III. Dokumen tersebut berisi daftar isi, barisan tak terhingga, deret tak terhingga, deret positif, deret kuasa dan operasi deret kuasa, deret Taylor dan Maclaurin, fungsi dua peubah atau lebih, turunan parsial, limit dan kekontinuan, dan aturan rantai.
Barisan merupakan susunan bilangan real yang teratur berdasarkan bilangan bulat positif. Terdapat beberapa cara untuk menentukan barisan, yaitu dengan memberikan suku awal, rumus eksplisit, atau rumus rekursif. Barisan dapat dibedakan menjadi tak terhingga, terbatas, konvergen, non-decreasing, dan non-increasing. Sifat-sifat limit pada barisan konvergen juga dijelaskan.
Makalah ini membahas tentang pencerminan (refleksi) pada bidang datar. Definisi pencerminan dijelaskan sebagai fungsi yang memetakan titik ke titik lain sehingga membentuk sudut yang sama dengan sumbu refleksi. Sifat-sifat pencerminan seperti surjektif, injektif, dan melestarikan jarak juga dibuktikan sehingga pencerminan merupakan transformasi isometri. Contoh soal pencerminan juga diberikan unt
1. Dokumen tersebut membahas prinsip inklusi-eksklusi dalam menghitung banyaknya obyek yang memenuhi beberapa sifat tertentu.
2. Bentuk umum prinsip inklusi-eksklusi ditulis sebagai rumus yang menghitung jumlah obyek tanpa sifat tertentu berdasarkan jumlah obyek dengan berbagai kombinasi sifat.
3. Beberapa contoh penerapan prinsip inklusi-eksklusi untuk
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
1. Dokumen membahas tentang kemungkinan solusi persamaan binomial dan multinomial dengan syarat-syarat tertentu.
2. Terdapat rumusan teorema dan contoh soal untuk menghitung jumlah kemungkinan solusi persamaan tersebut menggunakan kombinasi dan koefisien binomial.
3. Dibahas pula ekspansi persamaan binomial menggunakan koefisien binomial sesuai teorema binomial.
Dokumen tersebut membahas relasi rekursif dan cara menyelesaikannya dengan menggunakan persamaan karakteristik dan teorema-teorema yang terkait. Secara singkat, relasi rekursif adalah persamaan yang menyatakan suatu deret bilangan dalam bentuk deret sebelumnya, dan dapat diselesaikan dengan menentukan akar-akar persamaan karakteristiknya.
This document contains exercises and solutions related to monotone sequences, convergent subsequences, and the Bolzano-Weierstrass theorem from an introduction to real analysis course. It includes 4 problems examining properties of specific sequences, showing whether they are bounded/monotone and finding their limits, as well as examples of an unbounded sequence with a convergent subsequence and sequences that diverge. The solutions provide detailed proofs of the properties of each sequence using induction and algebraic manipulations.
Dokumen tersebut merupakan soal-soal dan jawaban mengenai kalkulus III yang disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus III. Dokumen tersebut berisi daftar isi, barisan tak terhingga, deret tak terhingga, deret positif, deret kuasa dan operasi deret kuasa, deret Taylor dan Maclaurin, fungsi dua peubah atau lebih, turunan parsial, limit dan kekontinuan, dan aturan rantai.
Barisan merupakan susunan bilangan real yang teratur berdasarkan bilangan bulat positif. Terdapat beberapa cara untuk menentukan barisan, yaitu dengan memberikan suku awal, rumus eksplisit, atau rumus rekursif. Barisan dapat dibedakan menjadi tak terhingga, terbatas, konvergen, non-decreasing, dan non-increasing. Sifat-sifat limit pada barisan konvergen juga dijelaskan.
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5Arvina Frida Karela
Dokumen tersebut berisi penjelasan dan bukti sejumlah teorema terkait konvergensi dan divergensi barisan bilangan. Pertama, dibahas tentang sifat barisan yang divergen sejati jika tidak terbatas dan konvergen jika terbatas. Kemudian, diberikan contoh barisan yang divergen sejati dan konvergen. Selanjutnya, dibuktikan beberapa teorema terkait hubungan antara konvergensi dua barisan bilangan. Terakhir, diber
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom membahas tentang barisan dan deret, termasuk definisi barisan dan deret, kekonvergensian barisan dan deret, serta contoh-contoh soal.
Fungsi kontinu seragam pasti kontinu biasa tetapi fungsi kontinu biasa tidak selalu kontinu seragam. Fungsi kontinu seragam memiliki sifat bahwa batas fungsi sama dengan nilai fungsi.
Dokumen ini merangkum materi kuliah Analisis Real 2 yang meliputi konsep limit fungsi, kekontinuan fungsi, kombinasi fungsi kontinu, kekontinuan seragam, teorema nilai rata-rata, serta fungsi monoton dan teorema fungsi invers. Tulisan ini ditujukan untuk membantu pemahaman mahasiswa terhadap materi analisis matematika.
Dokumen tersebut berisi soal-soal ujian akhir semester (UAS) Kalkulus I dari tahun 2009 hingga 2000. Terdapat lima soal UAS Kalkulus I tahun 2009 yang meliputi penentuan luas daerah, volume benda putar, turunan fungsi, integral, dan kekonvergenan integral tak wajar.
Dokumen tersebut berisi 15 pertanyaan pilihan ganda tentang materi matematika, ilmu pengetahuan alam, dan pengenalan benda. Pertanyaan tersebut mencakup topik seperti persamaan, segitiga sama kaki, akar persamaan kuadrat, dan identifikasi bagian dari benda tertentu seperti kapal atau potongan buah-buahan.
Bilangan Fibonacci pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India pada abad ke-12 untuk menyelidiki kemungkinan memasukkan barang ke dalam kantong. Matematikawan Italia Fibonacci memperkenalkan bilangan ini ke Barat dan menunjukkan manfaatnya untuk perhitungan bunga dan harga. Bilangan ini sering muncul dalam pola alam seperti susunan daun dan cabang pohon.
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret matematika. Barisan dan deret adalah pola yang penting dalam matematika karena banyak masalah nyata yang bersifat diskrit dapat dimodelkan menggunakan barisan atau deret. Beberapa contoh barisan dan deret yang dijelaskan adalah barisan bilangan, barisan geometri, dan deret aritmetika.
Media pembelajaran menggunakan Maplesoft dapat mempermudah siswa memahami konsep integral Riemann dan perubahan jumlah luasnya ketika dipartisi dengan berbagai nilai. Maple mampu menampilkan representasi grafis dan numerik dari suatu fungsi, integral, dan jumlah Riemann secara interaktif, sehingga siswa dapat melihat perubahan luas secara langsung ketika jumlah partisi diperbesar.
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret tak hingga, termasuk definisi barisan konstan, naik, turun, dan terbatas. Juga dibahas beberapa deret khusus seperti deret bilangan asli, kuadrat bilangan asli, dan kubik bilangan asli beserta rumus-rumusnya.
Dokumen tersebut membahas metode deret pangkat untuk menyelesaikan persamaan diferensial, yang menyatakan solusi dalam bentuk deret tak hingga. Metode ini memungkinkan penyelesaian untuk fungsi-fungsi analitik dengan mengembangkannya menjadi deret pangkat konvergen di sekitar titik tertentu.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep limit fungsi dalam kalkulus. Secara singkat, limit fungsi menjelaskan perilaku fungsi ketika nilai variabelnya mendekati suatu nilai tertentu tanpa harus sama dengan nilai tersebut. Dokumen ini juga menjelaskan beberapa teorema dan contoh perhitungan limit fungsi sederhana beserta penjelasan metode penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan real (R) yang meliputi sifat-sifat aljabar, urutan, dan kelengkapan dari R. Beberapa teorema yang dijelaskan antara lain mengenai operasi biner di R, aksioma dan sifat-sifat dasar aljabar dan urutan bilangan real, ketaksamaan segitiga, serta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen tersebut membahas tentang pola dan barisan bilangan, yang meliputi pola bilangan dan barisan bilangan. Terdapat beberapa jenis pola bilangan yang dijelaskan seperti pola garis lurus, persegi, segitiga, kubus, bilangan ganjil dan genap, serta pola bilangan Pascal dan Fibonacci. Dokumen juga menjelaskan tentang barisan bilangan dan rumus untuk menentukan suku berikutnya maupun suku ke-n dari suatu barisan.
Barisan dan deret tak hingga merupakan konsep penting dalam matematika yang sering diterapkan dalam bisnis dan ekonomi untuk menganalisis pertumbuhan variabel-variabel seperti produksi, biaya, dan pendapatan. Beberapa jenis barisan dan deret yang dijelaskan meliputi barisan aritmatika, barisan geometri, deret geometri, dan deret harmonis beserta sifat-sifat kekonvergensan masing-masing.
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret bilangan. Secara singkat, dibahas tentang (1) pengertian pola bilangan seperti bilangan ganjil, genap, segitiga, persegi, dan persegi panjang, (2) pola bilangan pada segitiga Pascal beserta rumusnya, dan (3) pengertian barisan aritmatika dan deret aritmatika serta rumus untuk menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama.
Barisan dan deret merupakan konsep penting dalam matematika. Barisan adalah urutan bilangan yang memiliki aturan tertentu antara suku-suku, sedangkan deret adalah penjumlahan suku-suku barisan. Terdapat dua jenis barisan yaitu aritmatika dan geometri, yang memiliki rumus berbeda untuk menghitung suku. Rumus deret juga berbeda bergantung pada jenis barisan asalnya.
Metode numerik untuk menentukan akar fungsi terbagi menjadi tiga yaitu metode grafik, metode tertutup, dan metode terbuka. Metode tertutup meliputi metode bagi dua dan metode posisi palsu yang mencari akar dengan membagi interval secara iteratif. Metode terbuka meliputi metode Newton-Raphson dan metode secant yang menggunakan garis segitiga untuk memperkirakan akar berikutnya.
Barisan yang konvergen dan barisan yang divergen delima
1. KELOMPOK V
Delima panjaitan (09 050 148)
Subanul Waton (09 050 164)
Wanti roulina (09 050 137)
Butet ita maluhae ( 09 050 187)
Abinhot simamora (09 050 157)
Anti sihotang (09 050 181)
Elvira alia ( 08 050 014)
2. I. Pemetaan atau Fungsi
Merupakan suatu aturan yang
mengawankan setiap anggota / unsur h di H
dengan unsur tunggal k= f(h) di K.
f=H→K
Dimana :
H disebut domain
K disebut kodomain
k = f(h) disebut bayangan unsur h di H oleh f
3. Jika jangkauan f (H) = K, Maka f disebut onto
atau surjektif.
Jika Sembarang pasangan h1,h2 € H dan h1 ≠
h2 maka fungsi itu disebut injektif atau 1-1
Jika fungsi tersebut injektif dan surjektif maka
fungsi itu di sebut bijektif atau koresponden
satu-satu.
4. 1. Pemetaan f : H → H
Disebut pemetaan identitas jika f terdefinisi
oleh persamaan maka f(x) = x ,x € H
2. Pemetaan f : H → H
Disebut pemetaan konstanta jika f
terdefinisikan oleh persamaan f (x) = k , x € H dan
k konstanta
5. II. Definisi Barisan
Jika dalam pelajaran SMA kita mengetahui bahwa
barisan itu adalah
a1,a2,a3,a4,...
3,5,7,9,…
Yang dibentuk dengan cara atau aturan tertentu.
Tapi saat ini untuk mendefinisikan suatu barisan kita
akan menggunakan beberapa definisi, yaitu:
6. Definisi 2.1
Dengan menggunakan Notasi atau disebut pemetaan
terdaftar
f : Io → A
I = { 1,2,3,4,.....}disebut him bil asli urutan boleh sembarang
Io = < 1,2,3,…n,….> disebut him bil asli urutan alami
A = < a1,a2,a3,….an,…> disebut bil him asli
f = < (1,a1),(2,a2),(3,a3),(n,an),,,> disebut himpunan bil
sembarang
Definisi 2.2
Suatu barisan adalah suatu himpunan yang telah diberi
daftar/di urutkan.
Tetapi tidak setiap himpunan dapat dikatakan barisan,agar
suatu himpunan dapat dikatakan barisanmaka harus ada
terdapat suatu pengurutan titk-titik dalam himpunan itu
yang di peroleh dari urutan alami dari himpunanbilangan
asli melalui suatu pemetaan daftar.
7. Definisi 2.3
Barisan selalu di tandain oleh < an>
Teorema 2.1
Io adalah sebuah barisan.
Dimana pemetaan terdaftarnya adalah pemetaan
identitas dimana,
f : Io → Io, n € Io, f(n) = n.
Contoh 1.:
1. DiDefenisikan pemetaan onto f : lo → l , n € lo
8. f (n) = n+ 1 jika n genap
n-1 jika n genap
f (n) = n- (-1) pangkat n, n € Io
Maka jika n=1, f(1) = 1- (-1) = 2
n=2 ,f(2) = 2 – 1 = 1
n=3 ,f(3) = 3 – (-1)= 4
dst.....
Jadi ,pemetaan di f untuk menentukan barisan nya
adalah < 2,1,4,3,6,5,....>
Note : Ada kemungkinan mendifinisikan suatu barisan
yang merupakan himpunan terurut dari lo.
9. Contoh 2..
Misalkan A adalah himpunan bilangan asli genap, yang
didefinisikan dari pemetaan onto f : lo → A, n € lo dan
f(n)= 2n dimana lo<1,2,3,4,.....n>
Tentukanlah barisannya..
Penyelesaiannya:
f(n) = 2n
n= 1 → f(1) = 2
n= 2 → f(2) = 4
n= 3 → f(3) = 6
n = 4 → f(4) = 8
Dst......
Maka barisannya adalah ..
<2,4,6,8,.....>
Jika diBandingkan A dgn Io maka keduanya merupakan
A C Io
10. Definisi 2.4..
Barisan a = < ni > adalah subbarisan dari lo jika dan
hanya jika :
1.Setiap ni, merupakan suatu bilangan asli A C I.
2. Untuk setiap bilangan asli i, ni < ni + 1
Definisi 2.5
Suatu barisan <bn> adalah subbarisan atau barisan-
barisan dari barisan <an> jika dan hanya jika
terdapat suatu barisan <n1> dari lo sedemikian
rupa sehingga bi = ani , i € A.
11. Contoh 1
Misalkan <an> adalah sebuah barisan : yakni <an>=
<a1,a2,a3,....>
Misalakn <ni> adalah subbarisan dari
lo, <ni>=<3,6,9,13..> didefinisikan ni=3i
Tentukanlah subbarisan <bi> dari barisan <ai>
,dimana untuk setiap i, bi = a3i..
Penyelesaian :
bi = a3i
bi = ani
Maka, b1 = a3
b2 = a6
b3 = a9 , dst....
Jadi sub barisan <bi> = <a3,a6,a9,..> yang terambil
dari setiap suku ke tiga dari barisan <an>.
12. Definisi 2.6
Semua barisan yang didefinisikan secara eksplisit
adalah merupakan sebuah barisan dengan suku-
suku yang berlaian.
Jika <an> adalah suatu barisan sedemikian rupa
sehingga ai ≠ aj apabila i ≠ j.
Maka <an> disebut sebuah barisan dengan suku-
suku yang berlainan.
13. Contoh 1.
Misalkan suatu k bilangan yang diketahui barisannya
adalah k =<k1,k2,k3,...> untuk setiap n € lo,f(n) = k.
Maka definisikanlah suatu pemetaannya dalam sebuah
daftar .
Penyelesaian:
k= <k1,k2,k3,...> , n € lo
f(n) = 1 jika n gajil
0 jika n genap
Maka f (n) = { 1 – (-1) pangkat n} / 2
n=1 → f(1) = 1
n=2 → f(2) = 0
n=3 → f(3) = 1
n=4 → f(4) = 0, dst..............
Maka pemetaan barisannya adalah <1,0,1,0,1,0,...>
14. Definisi 1
Bilangan nyata b adalah batas atas untuk barisan
<xn> jika dan hanya jika xn ≤ b untuk setiap n.
Bilangan real a adalah batas bawah untuk barisan
<xn> jika dan hanya jika xn ≥ a untuk setiap n.
Sedangkan barisan <xn> adalah terbatas ke atas jika
dan hanya jika barisan mempunyai batas atas :dan
Terbatas ke bawah jika dan hanya jika barisan
mempunyai batas bawah..
Terbatas jika dan hanya jika barisan itu memiliki
batas atas dan batas bawah.
15. Perhatikan barisan <an> dimana an= 2 + 3/n ,untuk
setiap n € lo..
Carilah pemetaan barisannya dan batas atas dan
bawahnya.
Penyelesaian:
Pemetaan barisannya= <5, 3 ½ , 3, 2 ¾,...>
Jadi
barisan ini terbatas keatas dengan batasnya : 5,6,7
,...
Barisan ini terbatas ke bawah dengan batasnya :
2,1,0,...
Sehingga <an> terbatas.
16. Barisan ,xn. Adalah barisan terbatas jika dan hanya
jika terdapat bilangan tag negatif M sedemikian
rupa sehingga Ixnl ≤ M untuk setiap n.
BUKTINYA:
Diketahui <xn> terbatas,sehingga menurut definisi 1
barisan mempunyai batas atas M1 dan M2 batas
bawahnya dengan sifat Xn ≤ M1 Dan Xn ≥ M2
untuk setiap n € lo..
Tetapkan M = Maks ( M1,M2) Maka;
-M ≤ Xn ≤ M atau lXnl ≤ M
Batas atas M
Batas bawah -M
17. Setiap subbarisan dari barisan yang terbatas adalah
terbatas,ternyata setiap batas untuk suatu barisan
induknya adalah batas atas untuk setiap
subbarisan ,dan setiap batas bawah untuk barisan
induknya adalah batas bawah untuk setiap
subbarisannya.
BUKTI :
Misalkan <bi> adalah subbarisan dari <an> yang
terbatas.
Sama dengan teorema 1.
18. Suatu barisan < Xn > adalah monoton tidak turun
jika dan hanya jika Xn ≤ Xn + 1, n € asli
Suatu barisan <Xn> adalah monoton tidak
naik jika dan hanya jika Xn ≥ Xn + 1 , n € asli
Suatu barisan adalah monoton jika dan
hanya jika barisan itu monoton tidak turun
atau monoton tidak naik.
19. Suatu barisan monoton tidak turun adalah barisan
yang suku-suku nya boleh sama atau naik,tetapi
tidak pernah turun , <1,2,2,3,3,3......> disebut
barisan monoton tidak turun..
Dan <1,1,1,1,...> disebut barisan monoton tidak turun
dan tidak naik.
20. 1. Suatu barisan monoton <Xn> adalah monoton
naik jika dan hanya jika Xn < Xn +1 ,Untuk semua
bil.asli n
2. Suatu barisan <Xn> adalah monoton turun jika
dan hanya jika Xn> Xn + 1 untuk setiap bil.asli n
3. Suatu barisan < Xn> adalah monoton langsung
jika dan hanya jika barisan itu monoton naik atau
turun.
4. Teorema 3
5. Setiap subbarisan dari I o adalah monoton naik.
21. Teorema 4
1. Setiap subbarisan dari barisan monoton tidak naik
adalah monoton tidak naik
2. Setiap subbarisan dari barisan monoton tidak
turun adalah monoton tidak turun
3. Setiap subbarisan monoton naik adalah monoton
naik
4. Setiap subbarisan monoton turun adalah monoton
turun
22. 1. Contoh 1.
2. Diketahui sebuah barisan <1,2,1,4,1,6,1,8....>
tentukan apakan barisan ini dapat memuat
subbarisan monoton ?
3. Penyelesaiannya:
4. <1,2,1,4,1,6,1,8,.....> tidak lah merupakan
subbarisan monoton,tetapi memuat subbarisan
monoton tidak turun <1,1,1,1,..> dan juga memuat
subbarisan monoton naik <2,4,6,8,..>
5. Note : Setiap barisan bilangan real harus memuat
subbarisan monoton.
23. 1. BILANGAN AKSIOMA BAIK ( well-Ordering)
untuk Io
2. Himpunan bilangan asli lo adalah well-
ordered,yakni setiap himpunan tak hampa tetapi
mempunyai elemen terkecil
3. AKSIOMAN PILIHAN (Axiom of choice) untuk
barisan
4. Misalkan < An > suatu himpunan bagian tag
hampa dari semesta U. Maka terdapatlah
subbarisan <pn> terdiri atas titik-titik dari U
sedemikian rupa sehingga diberikan n € lo, Pn €
An.
24. Misalnya:
<an,0> = <a1,a2,a3,a4,....>
<an,1> = < a2,a3,a4,a5,...>
<an,2> = < a3,a4,a5,a6,...>
<an,3> = <a4,a5,a6.a7,....>
Note : Bahwa setiap barisan dalam daftar ini adalah
suatu subbarisan dari semua barisan yang
mendahului; yakni untuk setiap bilangan asli
n,Jika k adalah bil cacah <an,N+k> adalah
subbarisan dari <an,N>.
25. Misalkan <an> adalah barisan
sedemikian rupa sehingga untuk
setiap bilangan cacah N terdapat
suatu elemen dari barisan <an,N>
yang merupakan batas bawah dari
barisan <an>. Maka <an>
mempunyai subbarisan monoton
tidak turun.
26. Misalkana <an> adalah barisan dengan
sifat berikut:
1. Terdapat bilangan cacah N sedemikian
rupa sehinga tidak ada elemen dari
barisan < an,N> yang menjadi batas
bawah untuk <an,N>. Maka barisan
<an> mempunyai suatu barisan
monoton turun.
27. TEOREMA 5
Setiap barisan bilangan real mempunyai suatu
subbarisan monoton.
BUKTI :
Misalkan < an> Sembarang barisan bilangan real.
Maka tepat salah satu peryataan di bawah ini
adalah benar.
1. Untuk setiap bilangan cacah N , terdapat suatu
elemen dari barisan <an,N> yang merupakan batas
bawah untk barisan <an,N>, Disebut subbarisan
monoton tidak turun(lemma1)
2. Terdapat suatu bilangan cacah N sedemikian rupa
sehingga tidak ada elemen dari barisan <an,N>
yang merupakan batas bawah dari barisan
<an,N>,disebut subbarisan monoton
turun.(lemma2)