This document defines and provides examples of key concepts related to lines in geometry, including:
- Distance between two points, which is calculated using a formula involving the x- and y-coordinates of the points.
- Midpoint of a line segment, whose coordinates are the average of the x- and y-coordinates of the two endpoints.
- Slope of a line, which is calculated as the rise over the run between two points and defines the line's angle of inclination.
- Equation of a line, which can be written in point-slope or standard form using the slope and coordinates of a point on the line.
Several examples are provided of calculating the distance, midpoint, slope,
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Reference:
Nivera, G. C. (2013), Grade 7 Mathematics: Pattern and Practicalities. Don Bosco Press Inc. Makati City, Philippines.
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Cónicas:
Circunferencia.
Ecuación canónica de la circunferencia.
Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia en el plano.
Posición relativa de dos circunferencias en el plano.
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Cónicas:
Circunferencia.
Ecuación canónica de la circunferencia.
Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia en el plano.
Posición relativa de dos circunferencias en el plano.
Trigonometric Function of General Angles LectureFroyd Wess
More: www.PinoyBIX.org
Lesson Objectives
Trigonometric Functions of Angles
Trigonometric Function Values
Could find the Six Trigonometric Functions
Learn the signs of functions in different Quadrants
Could easily determine the signs of each Trigonometric Functions
Solve problems involving Quadrantal Angles
Find Coterminal Angles
Learn to solve using reference angle
Solve problems involving Trigonometric Functions of Common Angles
Solve problems involving Trigonometric Functions of Uncommon Angles
Los productos notables que vamos a trabajar en esta guía son:
1. Cuadrado de un binomio.
2. Cuadrado de un trinomio.
3. Producto de la suma por la diferencia.
Module 5 (Part 3-Revised)-Functions and Relations.pdfGaleJean
The Cavite Mutiny of 1872 was an uprising of military personnel of Fort San Felipe, the Spanish arsenal in Cavite, Philippines on January 20, 1872, about 200 Filipino military personnel of Fort San Felipe Arsenal in Cavite, Philippines, staged a mutiny which in a way led to the Philippine Revolution in 1896. The 1872 Cavite Mutiny was precipitated by the removal of long-standing personal benefits to the workers such as tax (tribute) and forced labor exemptions on order from the Governor General Rafael de Izquierdo. Many scholars believe that the Cavite Mutiny of 1872 was the beginning of Filipino nationalism that would eventually lead to the Philippine Revolution of 1896.
Límites de funciones indeterminadas:
1. Límite de funciones racionales.
2. Límite de funciones trigonométricas.
3. Límites infinitos.
4. Límites en el infinito.
5. Límites en el infinito de una función racional.
Técnicas de Conteo:
1. Permutaciones sin repeticiones:
1. 1. Tomando todos los elementos.
1. 2. Sin tomar todos los elementos.
2. Combinaciones sin repeticiones.
Números Complejos:
1. Representación gráfica de los números complejos.
2. Conjugado y opuesto de un número complejo.
3. Operaciones con números complejos.
Trabajaremos operaciones multiplicativas:
1. Multiplicación entre polinomios.
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio.
3. Multiplicación de un polinomio por otro polinomio.
Polinomios.
Características:
1. GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO.
2. TÉRMINOS SEMEJANTES DE UN POLINOMIO.
3. GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO CON RESPECTO A UNA VARIABLE.
4. TÉRMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO.
Tipos de polinomios:
1. POLINOMIO ORDENADO .
2. POLINOMIO COMPLETO.
3. POLINOMIO OPUESTO.
4. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO.
Medias Angulares:
ÁNGULO
1. Ángulo en posición normal.
2. Ángulo de referencia.
SISTEMA ANGULAR
1. Sistema sexagesimal o en grados.
2. Ángulos coterminales o Sentidos angulares.
3. Ángulos especiales.
Potenciación y sus propiedades:
1. Producto de Potencia de igual base.
2. Cociente de Potencias de igual base.
3. Potencia de una potencia.
4. Potencia de un producto.
5. Potencias de un cociente.
6. Exponente cero.
7. Exponente enteros negativos.
How to Split Bills in the Odoo 17 POS ModuleCeline George
Bills have a main role in point of sale procedure. It will help to track sales, handling payments and giving receipts to customers. Bill splitting also has an important role in POS. For example, If some friends come together for dinner and if they want to divide the bill then it is possible by POS bill splitting. This slide will show how to split bills in odoo 17 POS.
The Roman Empire A Historical Colossus.pdfkaushalkr1407
The Roman Empire, a vast and enduring power, stands as one of history's most remarkable civilizations, leaving an indelible imprint on the world. It emerged from the Roman Republic, transitioning into an imperial powerhouse under the leadership of Augustus Caesar in 27 BCE. This transformation marked the beginning of an era defined by unprecedented territorial expansion, architectural marvels, and profound cultural influence.
The empire's roots lie in the city of Rome, founded, according to legend, by Romulus in 753 BCE. Over centuries, Rome evolved from a small settlement to a formidable republic, characterized by a complex political system with elected officials and checks on power. However, internal strife, class conflicts, and military ambitions paved the way for the end of the Republic. Julius Caesar’s dictatorship and subsequent assassination in 44 BCE created a power vacuum, leading to a civil war. Octavian, later Augustus, emerged victorious, heralding the Roman Empire’s birth.
Under Augustus, the empire experienced the Pax Romana, a 200-year period of relative peace and stability. Augustus reformed the military, established efficient administrative systems, and initiated grand construction projects. The empire's borders expanded, encompassing territories from Britain to Egypt and from Spain to the Euphrates. Roman legions, renowned for their discipline and engineering prowess, secured and maintained these vast territories, building roads, fortifications, and cities that facilitated control and integration.
The Roman Empire’s society was hierarchical, with a rigid class system. At the top were the patricians, wealthy elites who held significant political power. Below them were the plebeians, free citizens with limited political influence, and the vast numbers of slaves who formed the backbone of the economy. The family unit was central, governed by the paterfamilias, the male head who held absolute authority.
Culturally, the Romans were eclectic, absorbing and adapting elements from the civilizations they encountered, particularly the Greeks. Roman art, literature, and philosophy reflected this synthesis, creating a rich cultural tapestry. Latin, the Roman language, became the lingua franca of the Western world, influencing numerous modern languages.
Roman architecture and engineering achievements were monumental. They perfected the arch, vault, and dome, constructing enduring structures like the Colosseum, Pantheon, and aqueducts. These engineering marvels not only showcased Roman ingenuity but also served practical purposes, from public entertainment to water supply.
The Art Pastor's Guide to Sabbath | Steve ThomasonSteve Thomason
What is the purpose of the Sabbath Law in the Torah. It is interesting to compare how the context of the law shifts from Exodus to Deuteronomy. Who gets to rest, and why?
Students, digital devices and success - Andreas Schleicher - 27 May 2024..pptxEduSkills OECD
Andreas Schleicher presents at the OECD webinar ‘Digital devices in schools: detrimental distraction or secret to success?’ on 27 May 2024. The presentation was based on findings from PISA 2022 results and the webinar helped launch the PISA in Focus ‘Managing screen time: How to protect and equip students against distraction’ https://www.oecd-ilibrary.org/education/managing-screen-time_7c225af4-en and the OECD Education Policy Perspective ‘Students, digital devices and success’ can be found here - https://oe.cd/il/5yV
Operation “Blue Star” is the only event in the history of Independent India where the state went into war with its own people. Even after about 40 years it is not clear if it was culmination of states anger over people of the region, a political game of power or start of dictatorial chapter in the democratic setup.
The people of Punjab felt alienated from main stream due to denial of their just demands during a long democratic struggle since independence. As it happen all over the word, it led to militant struggle with great loss of lives of military, police and civilian personnel. Killing of Indira Gandhi and massacre of innocent Sikhs in Delhi and other India cities was also associated with this movement.
How to Make a Field invisible in Odoo 17Celine George
It is possible to hide or invisible some fields in odoo. Commonly using “invisible” attribute in the field definition to invisible the fields. This slide will show how to make a field invisible in odoo 17.
This is a presentation by Dada Robert in a Your Skill Boost masterclass organised by the Excellence Foundation for South Sudan (EFSS) on Saturday, the 25th and Sunday, the 26th of May 2024.
He discussed the concept of quality improvement, emphasizing its applicability to various aspects of life, including personal, project, and program improvements. He defined quality as doing the right thing at the right time in the right way to achieve the best possible results and discussed the concept of the "gap" between what we know and what we do, and how this gap represents the areas we need to improve. He explained the scientific approach to quality improvement, which involves systematic performance analysis, testing and learning, and implementing change ideas. He also highlighted the importance of client focus and a team approach to quality improvement.
Chapter 3 - Islamic Banking Products and Services.pptx
Línea Recta
1.
2. LÍNEA RECTA
Un lugar geométrico es el conjunto de todos los
puntos que cumplen con una característica geométrica
común.
Las características y elementos de una recta:
1. Distancia entre dos puntos.
2. Punto medio.
3. Pendiente de una recta.
4. Ecuación de la recta.
3. 1. Distancia entre dos puntos:
Es la distancia que hay entre un punto 𝑃 y 𝑄.
Para deducir la fórmula de la distancia entre dos
puntos, se ubican los puntos 𝑃 𝑥1, 𝑦1 y 𝑄 𝑥2, 𝑦2
como se muestra en la figura.
La distancia entre dos puntos se simboliza 𝑑( 𝑃 𝑄) y se determina
mediante la expresión
𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
4. 2. Punto medio:
Las coordenadas del punto medio del segmento
que uno los puntos 𝑃 𝑥1, 𝑦1 y 𝑄 𝑥2, 𝑦2 son:
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
Como se muestra en la figura.
6. Dados los puntos 𝐴 4, −2 y 𝐵 10, 8 . Calcular la
distancia entre dos puntos y su punto medio.
Lo primero que debemos hacer es identificar quiénes son: 𝑥1, 𝑥2, 𝑦1, 𝑦2.
𝐴 4, −2 B 10, 8
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒙𝟐 𝒚𝟐
Si queremos hallar la distancia entre dos puntos, utilizamos la ecuación.
𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
𝑑 𝐴, 𝐵 = 10 − 4 2 + 8 − (−2) 2
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒙𝟐 𝒚𝟐
7. 𝑑 𝐴, 𝐵 = 10 − 4 2 + 8 − (−2) 2
𝑑 𝐴, 𝐵 = 6 2 + 10 2
𝑑 𝐴, 𝐵 = 36 + 100
𝑑 𝐴, 𝐵 = 136
𝑑 𝐴, 𝐵 = 2 34 ≈ 11,7
La distancia entre A y B es de 11,7
8. Si queremos hallar el punto medio, utilizamos la ecuación.
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
Como ya sabemos que valores tienen 𝑥1, 𝑥2, 𝑦1, 𝑦2 simplemente
reemplazamos, realizamos la suma o resta y por último la división.
4 + 10
2
,
−2 + 8
2
14
2
,
6
2
7, 3
El punto medio es una coordenada 𝒙, 𝒚 = (𝟕, 𝟑)
9. Luego de encontrar la distancia y el punto medio, graficamos todos los puntos
en un plano cartesiano.
Tenemos los puntos 𝑨 𝟒, −𝟐 y 𝑩 𝟏𝟎, 𝟖 , los cuales los ubicamos en el plano.
𝑨 𝟒, −𝟐
𝑩 𝟏𝟎, 𝟖
La distancia entre A y B es de 11,7
El punto medio es una
coordenada (𝟕, 𝟑)
(𝟕, 𝟑)
10. Ejercicios # 1
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
Hallar la distancia entre dos puntos y el punto
medio en las siguientes coordenadas. Ubícalos en
el plano cartesiano
a. 𝐴 −1,2 y 𝐵 4, −5
b. 𝐴 1,4 y 𝐵 −5, 1
11. LIBRO SANTILLANA
En el libro Santillana Vol. 2 pág. 71 podemos encontrar la definición y
ejemplos de distancia entre dos puntos y punto medio.
En el libro Santillana Vol. 2 pág. 72 podemos encontrar ejercicios de
distancia entre dos puntos y punto medio. Con estos ejercicios puedes
practicar y afianzar tus conocimientos.
Les sugiero que realizan los puntos 28 hasta 33 y 38 de la pág. 72. Cuando
tengan el resultado me pueden enviar una foto sólo del resultado y yo les
confirmo si está bien o no.
En la plataforma Santillana Compartir podrán encontrar ejemplos o
actividades didácticas. Visita el E-book – unidad 2 – pág. 71 encontrarás un
icono como este el cual tiene una actividad ilustrativa acerca del punto
medio.
12. Si quieren ver más ejercicios y ejemplos…
pueden visitar mi Instagram o pagina web, en
las cuales constantemente estaré publicando
contenido matemático.
https://www.instagram.com/joselprofe/
https://mathpage.wixsite.com/joselprofe
13. Pueden visitar los siguientes Links para ver más
ejemplos y explicación acerca de distancia entre
dos puntos y punto medio.
https://www.youtube.com/watch?v=kDzTTOvv5dc
https://www.youtube.com/watch?v=qzRxsVoUaMo
https://www.youtube.com/watch?v=J5l8HBvQhRE
14. 3. Pendiente de una recta:
La pendiente m de una recta no vertical en el plano cartesiano, que
pasa por los puntos 𝑃 𝑥1, 𝑦1 y 𝑄 𝑥2, 𝑦2 , se define como
Ángulo de inclinación se simboliza a partir de:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑐𝑜𝑛 𝑥2 ≠ 𝑥1
tan 𝜃 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
tan 𝜃 = 𝑚
𝜃 = tan−1(𝑚)
15. 4. Ecuación de una recta:
Si 𝑙 es una recta no vertical que pasa por el punto 𝑄 𝑥0, 𝑦0 y tiene
pendiente m, entonces, la ecuación de la recta 𝑙 es:
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
= 𝑚
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
Se despeja para que solo quede en términos de 𝑦:
Esto recibe el nombre de ecuación
punto-pendiente de la recta 𝑙.
La ecuación formal de la recta es: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Siempre estarán fijos
Se reemplazan con los valores del
punto que nos den
17. Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝐷 −3, 6 y
𝐸 5, −8 . Luego, hallar el ángulo de inclinación de la recta.
Utilizamos la ecuación de la pendiente, reemplazamos y solucionamos.
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
−8 − 6
5 − (−3)
=
−14
8
𝑚 = −
7
4
Con este resultado podemos hallar el ángulo de inclinación.
Pendiente
Como 𝑚 = tan 𝜃
Reemplazo 𝑚
Despejo el ángulo
−
7
4
= tan 𝜃
tan−1 −
7
4
= 𝜃
−60,25 ° = 𝜃
18. El ángulo de inclinación no puede quedar negativo. Si nos da un
número negativo lo sumamos con 180°.
Si nos da como resultado un ángulo mayor que 180°, al resultado le
restamos 180°.
−60,25 ° = 𝜃
𝜃 = −60,25 ° + 180°
𝜃 = 119,75° Ángulo de inclinación
𝑚 = −
7
4
Pendiente de la recta
20. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃 −5, 2 y tiene
como pendiente 𝑚 = 3.
Ecuación de la recta.
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
𝑦 − 2 = 3 𝑥 − −5 Reemplazo lo valores de P.
𝑦 − 2 = 3 𝑥 + 5 Ley de signos.
𝑦 − 2 = 3𝑥 + 15 Multiplico cada término.
𝑦 = 3𝑥 + 15 + 2 Despejo, que 𝑦 quede sola.
𝑦 = 3𝑥 + 17 Realizo la operación adecuada.
𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟏𝟕
Ecuación de la recta
22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑆 1, 3 y 𝑇 4, −3 .
Luego, determina su ángulo de inclinación.
Ecuación de la pendiente.
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝒎 = −𝟐
Pendiente de la recta
Se reemplazan las coordenadas 𝑆 𝑦 𝑇.
𝑚 =
−3 − 3
4 − 1
Se realiza la operación.
𝑚 =
−6
3
Se resuelve.
𝑚 = −2
23. Hasta el momento tenemos los puntos (coordenadas): 𝑆 1, 3 y 𝑇 4, −3
y la pendiente 𝒎 = −𝟐.
Para determinar la ecuación de la recta necesitamos:
La pendiente y un punto (coordenada). En este caso, cómo tenemos 2
puntos, podemos tomar cualquiera de los dos: 𝑆 𝑜 𝑇 y nos va a dar lo mismo.
Ecuación de la recta.
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
𝑦 − 3 = −2 𝑥 − 1 Se reemplaza 𝒎 y las coordenadas de 𝑆.
𝑦 − 3 = −2𝑥 + 2 Multiplico cada término.
𝑦 = −2𝑥 + 2 + 3 Despejo, que 𝑦 quede sola.
𝑦 = −2𝑥 + 5 Realizo la operación adecuada.
𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟓
Ecuación de la recta
24. Ahora tengo la pendiente 𝒎 = −𝟐 y la ecuación de la recta, me hace falta el
ángulo de inclinación.
Otra ecuación para escribir la pendiente.
𝑚 = tan 𝜃
𝜽 = 𝟏𝟏𝟔, 𝟓𝟕°
Ángulo de inclinación
Se reemplaza 𝒎.
−2 = tan 𝜃
Despejamos el ángulo 𝜃.
tan−1(−2) = 𝜃
Resolvemos.
−63,43° = 𝜃
Cómo el ángulo nos dió negativo, debemos sumarle 180°.
Le sumamos 180°.
−63,43° + 180° = 𝜃
Realizo la operación adecuada.
116,57° = 𝜃
25. Finalmente tenemos todo lo pedido:
𝜽 = 𝟏𝟏𝟔, 𝟓𝟕°
Ángulo de inclinación
𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟓
Ecuación de la recta
26. Ejercicios # 2
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
1. Hallar la ecuación de la recta que tiene como pendiente
𝑚 = −4 y pasa por el punto 𝐴 −5, 2 . Luego, encuentra su
ángulo de inclinación.
2. Determina la ecuación de la recta y el ángulo de inclinación
que pasan por los puntos 𝐵 −7, 2 y 𝐶 5, −3
27. LIBRO SANTILLANA
En el libro Santillana Vol. 2 pág. 73, 74 y 75 podemos encontrar la definición
y ejemplos de pendiente y ecuación de una recta.
En el libro Santillana Vol. 2 pág. 74 podemos encontrar ejercicios de
pendiente y ecuación de una recta. Con estos ejercicios puedes practicar y
afianzar tus conocimientos.
Les sugiero que realizan los puntos 46 hasta 51 de la pág. 74. Cuando
tengan el resultado me pueden enviar una foto sólo del resultado y yo les
confirmo si está bien o no.
En la plataforma Santillana Compartir podrán encontrar ejemplos o
actividades didácticas. Visita el E-book – unidad 6 – pág. 74 en la parte
superior izquierda encontrarás un icono como este el cual tiene una
actividad de repaso.
28. Si quieren ver más ejercicios y ejemplos…
pueden visitar mi Instagram o pagina web, en
las cuales constantemente estaré publicando
contenido matemático.
https://www.instagram.com/joselprofe/
https://mathpage.wixsite.com/joselprofe
29. Pueden visitar los siguientes Links para ver más
ejemplos y explicación acerca ángulo de
inclinación, ecuación y pendiente de una recta.
https://www.youtube.com/watch?v=KEENQd0B5dI
https://www.youtube.com/watch?v=9bWiXT5EjkM
https://www.youtube.com/watch?v=zPke-RBZIwI
30. Solución de ejercicios # 1
Punto 1:
Punto 2:
Distancia entre dos puntos: 𝟖, 𝟔
Punto medio:
𝟑
𝟐
, −
𝟑
𝟐
= 𝟏, 𝟓, −𝟏, 𝟓
Distancia entre dos puntos: 𝟑 𝟓 ≈ 𝟔, 𝟕
Punto medio: −𝟐,
𝟓
𝟐
= −𝟐, 𝟐, 𝟓
31. Solución de ejercicios # 2
Punto 1:
Punto 2:
Ecuación de la recta: 𝒚 = −𝟒𝒙 − 𝟏𝟖
Ángulo de inclinación: 𝜽 ≈ 𝟏𝟎𝟒°
Pendiente: 𝒎 = −
𝟓
𝟏𝟐
Ecuación de la recta: 𝒚 = −
𝟓
𝟏𝟐
𝒙 −
𝟏𝟏
𝟏𝟐
Ángulo de inclinación: 𝜽 ≈ 𝟏𝟓𝟕, 𝟑𝟖°