This document defines and provides examples of key concepts related to lines in geometry, including: - Distance between two points, which is calculated using a formula involving the x- and y-coordinates of the points. - Midpoint of a line segment, whose coordinates are the average of the x- and y-coordinates of the two endpoints. - Slope of a line, which is calculated as the rise over the run between two points and defines the line's angle of inclination. - Equation of a line, which can be written in point-slope or standard form using the slope and coordinates of a point on the line. Several examples are provided of calculating the distance, midpoint, slope,

2. LÍNEA RECTA
Un lugar geométrico es el conjunto de todos los
puntos que cumplen con una característica geométrica
común.
Las características y elementos de una recta:
1. Distancia entre dos puntos.
2. Punto medio.
3. Pendiente de una recta.
4. Ecuación de la recta.

3. 1. Distancia entre dos puntos:
Es la distancia que hay entre un punto 𝑃 y 𝑄.
Para deducir la fórmula de la distancia entre dos
puntos, se ubican los puntos 𝑃 𝑥1, 𝑦1 y 𝑄 𝑥2, 𝑦2
como se muestra en la figura.
La distancia entre dos puntos se simboliza 𝑑( 𝑃 𝑄) y se determina
mediante la expresión
𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2

4. 2. Punto medio:
Las coordenadas del punto medio del segmento
que uno los puntos 𝑃 𝑥1, 𝑦1 y 𝑄 𝑥2, 𝑦2 son:
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
Como se muestra en la figura.

5. EJEMPLO 1

6. Dados los puntos 𝐴 4, −2 y 𝐵 10, 8 . Calcular la
distancia entre dos puntos y su punto medio.
Lo primero que debemos hacer es identificar quiénes son: 𝑥1, 𝑥2, 𝑦1, 𝑦2.
𝐴 4, −2 B 10, 8
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒙𝟐 𝒚𝟐
Si queremos hallar la distancia entre dos puntos, utilizamos la ecuación.
𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
𝑑 𝐴, 𝐵 = 10 − 4 2 + 8 − (−2) 2
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒙𝟐 𝒚𝟐

7. 𝑑 𝐴, 𝐵 = 10 − 4 2 + 8 − (−2) 2
𝑑 𝐴, 𝐵 = 6 2 + 10 2
𝑑 𝐴, 𝐵 = 36 + 100
𝑑 𝐴, 𝐵 = 136
𝑑 𝐴, 𝐵 = 2 34 ≈ 11,7
La distancia entre A y B es de 11,7

8. Si queremos hallar el punto medio, utilizamos la ecuación.
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
Como ya sabemos que valores tienen 𝑥1, 𝑥2, 𝑦1, 𝑦2 simplemente
reemplazamos, realizamos la suma o resta y por último la división.
4 + 10
2
,
−2 + 8
2
14
2
,
6
2
7, 3
El punto medio es una coordenada 𝒙, 𝒚 = (𝟕, 𝟑)

9. Luego de encontrar la distancia y el punto medio, graficamos todos los puntos
en un plano cartesiano.
Tenemos los puntos 𝑨 𝟒, −𝟐 y 𝑩 𝟏𝟎, 𝟖 , los cuales los ubicamos en el plano.
𝑨 𝟒, −𝟐
𝑩 𝟏𝟎, 𝟖
La distancia entre A y B es de 11,7
El punto medio es una
coordenada (𝟕, 𝟑)
(𝟕, 𝟑)

10. Ejercicios # 1
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
Hallar la distancia entre dos puntos y el punto
medio en las siguientes coordenadas. Ubícalos en
el plano cartesiano
a. 𝐴 −1,2 y 𝐵 4, −5
b. 𝐴 1,4 y 𝐵 −5, 1

11. LIBRO SANTILLANA
En el libro Santillana Vol. 2 pág. 71 podemos encontrar la definición y
ejemplos de distancia entre dos puntos y punto medio.
En el libro Santillana Vol. 2 pág. 72 podemos encontrar ejercicios de
distancia entre dos puntos y punto medio. Con estos ejercicios puedes
practicar y afianzar tus conocimientos.
Les sugiero que realizan los puntos 28 hasta 33 y 38 de la pág. 72. Cuando
tengan el resultado me pueden enviar una foto sólo del resultado y yo les
confirmo si está bien o no.
En la plataforma Santillana Compartir podrán encontrar ejemplos o
actividades didácticas. Visita el E-book – unidad 2 – pág. 71 encontrarás un
icono como este el cual tiene una actividad ilustrativa acerca del punto
medio.

12. Si quieren ver más ejercicios y ejemplos…
pueden visitar mi Instagram o pagina web, en
las cuales constantemente estaré publicando
contenido matemático.
https://www.instagram.com/joselprofe/
https://mathpage.wixsite.com/joselprofe

13. Pueden visitar los siguientes Links para ver más
ejemplos y explicación acerca de distancia entre
dos puntos y punto medio.
https://www.youtube.com/watch?v=kDzTTOvv5dc
https://www.youtube.com/watch?v=qzRxsVoUaMo
https://www.youtube.com/watch?v=J5l8HBvQhRE

14. 3. Pendiente de una recta:
La pendiente m de una recta no vertical en el plano cartesiano, que
pasa por los puntos 𝑃 𝑥1, 𝑦1 y 𝑄 𝑥2, 𝑦2 , se define como
Ángulo de inclinación se simboliza a partir de:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑐𝑜𝑛 𝑥2 ≠ 𝑥1
tan 𝜃 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
tan 𝜃 = 𝑚
𝜃 = tan−1(𝑚)

15. 4. Ecuación de una recta:
Si 𝑙 es una recta no vertical que pasa por el punto 𝑄 𝑥0, 𝑦0 y tiene
pendiente m, entonces, la ecuación de la recta 𝑙 es:
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
= 𝑚
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
Se despeja para que solo quede en términos de 𝑦:
Esto recibe el nombre de ecuación
punto-pendiente de la recta 𝑙.
La ecuación formal de la recta es: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Siempre estarán fijos
Se reemplazan con los valores del
punto que nos den

16. EJEMPLO 1

17. Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝐷 −3, 6 y
𝐸 5, −8 . Luego, hallar el ángulo de inclinación de la recta.
Utilizamos la ecuación de la pendiente, reemplazamos y solucionamos.
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
−8 − 6
5 − (−3)
=
−14
8
𝑚 = −
7
4
Con este resultado podemos hallar el ángulo de inclinación.
Pendiente
Como 𝑚 = tan 𝜃
Reemplazo 𝑚
Despejo el ángulo
−
7
4
= tan 𝜃
tan−1 −
7
4
= 𝜃
−60,25 ° = 𝜃

18. El ángulo de inclinación no puede quedar negativo. Si nos da un
número negativo lo sumamos con 180°.
Si nos da como resultado un ángulo mayor que 180°, al resultado le
restamos 180°.
−60,25 ° = 𝜃
𝜃 = −60,25 ° + 180°
𝜃 = 119,75° Ángulo de inclinación
𝑚 = −
7
4
Pendiente de la recta

19. EJEMPLO 2

20. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃 −5, 2 y tiene
como pendiente 𝑚 = 3.
Ecuación de la recta.
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
𝑦 − 2 = 3 𝑥 − −5 Reemplazo lo valores de P.
𝑦 − 2 = 3 𝑥 + 5 Ley de signos.
𝑦 − 2 = 3𝑥 + 15 Multiplico cada término.
𝑦 = 3𝑥 + 15 + 2 Despejo, que 𝑦 quede sola.
𝑦 = 3𝑥 + 17 Realizo la operación adecuada.
𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟏𝟕
Ecuación de la recta

21. EJEMPLO 3

22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑆 1, 3 y 𝑇 4, −3 .
Luego, determina su ángulo de inclinación.
Ecuación de la pendiente.
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝒎 = −𝟐
Pendiente de la recta
Se reemplazan las coordenadas 𝑆 𝑦 𝑇.
𝑚 =
−3 − 3
4 − 1
Se realiza la operación.
𝑚 =
−6
3
Se resuelve.
𝑚 = −2

23. Hasta el momento tenemos los puntos (coordenadas): 𝑆 1, 3 y 𝑇 4, −3
y la pendiente 𝒎 = −𝟐.
Para determinar la ecuación de la recta necesitamos:
La pendiente y un punto (coordenada). En este caso, cómo tenemos 2
puntos, podemos tomar cualquiera de los dos: 𝑆 𝑜 𝑇 y nos va a dar lo mismo.
Ecuación de la recta.
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
𝑦 − 3 = −2 𝑥 − 1 Se reemplaza 𝒎 y las coordenadas de 𝑆.
𝑦 − 3 = −2𝑥 + 2 Multiplico cada término.
𝑦 = −2𝑥 + 2 + 3 Despejo, que 𝑦 quede sola.
𝑦 = −2𝑥 + 5 Realizo la operación adecuada.
𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟓
Ecuación de la recta

24. Ahora tengo la pendiente 𝒎 = −𝟐 y la ecuación de la recta, me hace falta el
ángulo de inclinación.
Otra ecuación para escribir la pendiente.
𝑚 = tan 𝜃
𝜽 = 𝟏𝟏𝟔, 𝟓𝟕°
Ángulo de inclinación
Se reemplaza 𝒎.
−2 = tan 𝜃
Despejamos el ángulo 𝜃.
tan−1(−2) = 𝜃
Resolvemos.
−63,43° = 𝜃
Cómo el ángulo nos dió negativo, debemos sumarle 180°.
Le sumamos 180°.
−63,43° + 180° = 𝜃
Realizo la operación adecuada.
116,57° = 𝜃

25. Finalmente tenemos todo lo pedido:
𝜽 = 𝟏𝟏𝟔, 𝟓𝟕°
Ángulo de inclinación
𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟓
Ecuación de la recta

26. Ejercicios # 2
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
1. Hallar la ecuación de la recta que tiene como pendiente
𝑚 = −4 y pasa por el punto 𝐴 −5, 2 . Luego, encuentra su
ángulo de inclinación.
2. Determina la ecuación de la recta y el ángulo de inclinación
que pasan por los puntos 𝐵 −7, 2 y 𝐶 5, −3

27. LIBRO SANTILLANA
En el libro Santillana Vol. 2 pág. 73, 74 y 75 podemos encontrar la definición
y ejemplos de pendiente y ecuación de una recta.
En el libro Santillana Vol. 2 pág. 74 podemos encontrar ejercicios de
pendiente y ecuación de una recta. Con estos ejercicios puedes practicar y
afianzar tus conocimientos.
Les sugiero que realizan los puntos 46 hasta 51 de la pág. 74. Cuando
tengan el resultado me pueden enviar una foto sólo del resultado y yo les
confirmo si está bien o no.
En la plataforma Santillana Compartir podrán encontrar ejemplos o
actividades didácticas. Visita el E-book – unidad 6 – pág. 74 en la parte
superior izquierda encontrarás un icono como este el cual tiene una
actividad de repaso.

28. Si quieren ver más ejercicios y ejemplos…
pueden visitar mi Instagram o pagina web, en
las cuales constantemente estaré publicando
contenido matemático.
https://www.instagram.com/joselprofe/
https://mathpage.wixsite.com/joselprofe

29. Pueden visitar los siguientes Links para ver más
ejemplos y explicación acerca ángulo de
inclinación, ecuación y pendiente de una recta.
https://www.youtube.com/watch?v=KEENQd0B5dI
https://www.youtube.com/watch?v=9bWiXT5EjkM
https://www.youtube.com/watch?v=zPke-RBZIwI

30. Solución de ejercicios # 1
Punto 1:
Punto 2:
Distancia entre dos puntos: 𝟖, 𝟔
Punto medio:
𝟑
𝟐
, −
𝟑
𝟐
= 𝟏, 𝟓, −𝟏, 𝟓
Distancia entre dos puntos: 𝟑 𝟓 ≈ 𝟔, 𝟕
Punto medio: −𝟐,
𝟓
𝟐
= −𝟐, 𝟐, 𝟓

31. Solución de ejercicios # 2
Punto 1:
Punto 2:
Ecuación de la recta: 𝒚 = −𝟒𝒙 − 𝟏𝟖
Ángulo de inclinación: 𝜽 ≈ 𝟏𝟎𝟒°
Pendiente: 𝒎 = −
𝟓
𝟏𝟐
Ecuación de la recta: 𝒚 = −
𝟓
𝟏𝟐
𝒙 −
𝟏𝟏
𝟏𝟐
Ángulo de inclinación: 𝜽 ≈ 𝟏𝟓𝟕, 𝟑𝟖°

32. ¡GRACIAS!