Transformación de coordenadas Rectangulares a polares Polares a rectangulares Translación de coordenadas Rotación de coordenadas Ejemplos de cada una

1. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Maturín, diciembre de 2021.
Docente:
Doc. Ely Ramírez Bachiller:
Bello José
CI:27.287.508
Lapso 2021-2
Asignatura:
Control de Procesos
Sección A
2do corte
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN MATURÍN

2. TABLA DE CONTENIDO
DESARROLLO TEORICO................................................................ 3
Transformación de coordenadas ................................................... 3
Transformación de coordenadas polares a rectangulares ............. 3
Transformación de coordenadas rectangulares a polares ............. 4
Traslación de ejes.......................................................................... 5
Rotación de ejes ............................................................................ 7
Representación gráfica de una circunferencia y una parábola en
coordenadas polares.............................................................................. 9

3. 3
DESARROLLO TEORICO
Transformación de coordenadas
De acuerdo con Lehman (Geometría Analítica, 1989, pág. 134) “es el
proceso que consiste en cambiar una relación, expresión o figura en otra”
… “Así, podemos una ecuación algebraica en otra ecuación cada una de
cuyas raíces sea el triple de la raíz correspondiente de la ecuación dada; o
podemos transformar una expresión trigonométrica en otra usando las
relaciones trigonométricas fundamentales”.
Transformación de coordenadas polares a rectangulares
Para efectuar una transformación de coordenadas polares a
coordenadas rectangulares debemos conocer las relaciones que existen
entre ambas. Basándonos en la figura 2, Sea P un punto cualquiera que
tenga por coordenadas rectangulares (x, y) y por coordenadas polares (r,
θ), se puede determinar mediante el Teorema de Pitágoras,
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃,
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃,
Figura 1. Transformación de coordenadas polares a
rectangulares.

4. 4
Ejemplo:
Sea (4, 120º) las coordenadas de un punto polar, hallar sus
coordenadas rectangulares.
Solución:
Para un punto P (4, 120º), r=4 y θ=120. Usando las fórmulas
anteriores para transformación de polar a rectangular,
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 4 cos 120 = 4 (−
1
2
) = −2
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 = 4 sin 120 = 4
√3
2
= 2√3
Las coordenadas rectangulares del punto P son: 𝑃(−2, 2√3)
Transformación de coordenadas rectangulares a polares
Igual que en el punto anterior, mediante Pitágoras y trigonometría se
originan las siguientes ecuaciones,
𝑟 = ± √𝑥2 + 𝑦2,
sin 𝜃 = ±
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
,
cos 𝜃 = ±
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2
𝜃 = tan−1
𝑥
𝑦
Ejemplo:
Hallar las coordenadas polares en un punto P, donde cuyas
coordenadas rectangulares son (3, -5).
Solución:
Los puntos son x=3, y=-5. Sustituyendo en las ecuaciones anteriores
tenemos,
𝑟 = ± √𝑥2 + 𝑦2 = ± √32 + (−5)2 = ± √9 + 25 = √34
𝜃 = tan−1
𝑥
𝑦
= tan−1
3
−5
= 30º
Entonces, las coordenadas polares son, (√34, 30º)

5. 5
Traslación de ejes
Teorema de traslación de coordenadas:
Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O' (h, k), y si
las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son
(x, y) y (x’, y’), respectivamente, las ecuaciones de transformación del
sistema primitive al nuevo sistema de coordenadas son,
𝑥 = 𝑥′
+ ℎ,
𝑦 = 𝑦′
+ 𝑘
Sean (ver figura 3) X y Y los ejes primitivos y X’ y Y’ los nuevos ejes,
y sean (h, k) las coordenadas del nuevo origen O’ con referencia al sistema
original. Desde el punto P, trazamos perpendiculares a ambos sistemas de
ejes, y prolongamos los nuevos ejes hasta que corten los originales.
Usando la relación fundamental para segmentos rectilíneos dirigidos, se
tiene,
𝑥 = 𝑂𝐷
̅̅̅̅ = 𝑂𝐴
̅̅̅̅ + 𝐴𝐷
̅̅̅̅ = 𝑂𝐴
̅̅̅̅ + 𝑂′𝐶
̅̅̅̅̅ = ℎ + 𝑥′
Análogamente,
𝑦 = 𝑂𝐹
̅̅̅̅ = 𝑂𝐵
̅̅̅̅ + 𝐵𝐹
̅̅̅̅ = 𝑂𝐵
̅̅̅̅ + 𝑂′𝐸
̅̅̅̅̅ = 𝑘 + 𝑦′
Figura 2. Gráfica del ejemplo de transformación de coordenadas
rectangulares a polares.

6. 6
Ejemplo:
Trasladando los ejes coordenados al nuevo origen (1,2) de la siguiente
ecuación,
𝑥3
− 3𝑥2
− 𝑦2
+ 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0
Solución: Por el teorema de traslación de coordenadas,
𝑥 = 𝑥′
+ 1 ; 𝑦 = 𝑦′
+ 2
Si sustituimos estos valores en la ecuación original, tenemos,
(𝑥′
+ 1)3
− 3(𝑥′
+ 1)2
− (𝑦′
+ 2)2
+ 3(𝑥′
+ 1) + 4(𝑦′
+ 2) − 5 = 0
Desarrollando y simplificando,
𝑥′3
− 𝑦′2
= 0
Figura 3. Traslación de ejes.

7. 7
Rotación de ejes
Teorema de rotación de ejes:
Si los ejes coordenados giran un ángulo 𝛷 en torno de su origen como
centro de rotación, y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y
después de la rotación son (x, y) y (x’, y’), respectivamente, las ecuaciones
de transformación del sistema original al nuevo sistema de coordenadas
están dadas por
𝑥 = 𝑥′
cos 𝜃 − 𝑦′
sin 𝜃 ,
𝑦 = 𝑥′
sin 𝜃 + 𝑦′
cos 𝜃
Basándonos en la figura 4, sean X y Y los ejes originales y X’ y Y’ los nuevos
ejes. Desde el punto P se traza la ordenada AP correspondiente al sistema
X, Y, la ordenada A’P correspondiente al sistema X’, Y’ y la recta OP. Sea
el ángulo 𝑃𝑂𝐴′
= θ y 𝑂𝑃
̅̅̅̅ = 𝑟. Por trigonometría se tiene,
𝑥 = 𝑂𝐴
̅̅̅̅ = 𝑟 cos(𝜃 + 𝛷),
𝑦 = 𝐴𝑃
̅̅̅̅ = 𝑟 sin(𝜃 + 𝛷) ,
𝑥′
= 𝑂𝐴′
̅̅̅̅̅ = 𝑟 cos 𝛷 , 𝑦 = 𝐴′𝑃
̅̅̅̅̅ = 𝑟 sin 𝛷
Aplicando trigonometría a la primera ecuación,
𝑥 = 𝑟 cos(𝜃 + 𝛷) = 𝑟 cos 𝜃 cos 𝛷 − 𝑟 sin 𝜃 sin 𝛷
Figura 4. Gráfica del ejemplo de traslación de coordenadas.

8. 8
Sustituyendo valores, obtenemos,
𝑥 = 𝑥′
cos 𝜃 − 𝑦′
sin 𝜃
Análogamente, tenemos que para y es,
𝑦 = 𝑟 sin(𝜃 + 𝛷) = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝛷 + 𝑟 cos 𝜃 sin 𝛷
Por lo tanto,
𝑦 = 𝑥′
sin 𝜃 + 𝑦′
cos 𝜃
Ejemplo:
Transformar la ecuación
2𝑥2
+ √3𝑥𝑦 + 𝑦2
= 4
Girando los ejes coordenados a un ángulo de 30º.
Solución: Implementando el teorema,
𝑥 = 𝑥′
cos 30 − 𝑦′
sin 30 =
√3
2
𝑥′
−
1
2
𝑦′
𝑦 = 𝑥′
sin 30 + 𝑦′
cos 30 =
1
2
𝑥′
+
√3
2
𝑦′
Sustituyendo los valores en la ecuación original,
2(
√3
2
𝑥′
−
1
2
𝑦′
)2
+ √3(
√3
2
𝑥′
−
1
2
𝑦′
)(
1
2
𝑥′
+
√3
2
𝑦′
) + (
1
2
𝑥′
+
√3
2
𝑦′
)2
= 4
Desarrollando y simplificando la ecuación, tenemos,
5𝑥′2
+ 𝑦′2
= 8
Figura 5. Rotación de ejes.

9. 9
Representación gráfica de una circunferencia y una parábola en
coordenadas polares
Circunferencia en coordenadas polares:
𝑟 = 4 cos(𝜃 −
𝜋
2
)
Figura 6. Gráfica del ejemplo de rotación de ejes.
Figura 7. Representación gráfica de una circunferencia en
coordenadas polares.

10. 10
Parábola en coordenadas polares:
𝑟 =
2 sin 𝜃
𝑐𝑜𝑠 2(𝜃)
Figura 8. Representación gráfica de una parábola en coordenadas polares.