This document provides instructions and solutions for 7 math exercises involving algebraic expressions and polynomials. It explains how to factor expressions using difference of squares formulas, perform polynomial division using synthetic division, find domains of rational functions, and simplify algebraic fractions. Step-by-step workings are shown for each exercise. Geogebra is used to check solutions for graphing and domains of functions.

1. Paso 2_ Contextualizar y profundizar el
conocimiento de la unidad 1
Presentado por:
Javier E. Valencia A.
Mileidys Mendez
Omer Madera
Jamer Cruzate
Ailed Araujo
Curso: Álgebra, trigonometría y geometría analítica.

2. Imagen tomada de:
https://cmapspublic2.ihmc.us/rid%3D1194436739524_512911812_6863/Expresiones
%2520algebraicas.cmap?rid=1194436739524_512911812_6863&partName=htmljpeg

3. Tarea 1. Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas.
𝟑 𝒙 + 𝟐 𝟐
− 𝟐 𝒙 − 𝟐 𝟐
Tenemos dos productos notables, uno de la forma: 𝑎 + 𝑏 2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de
ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Además, 𝑎 − 𝑏 2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del
primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
3 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 − 2 𝑥2
− 4𝑥 + 4
Aplicamos propiedad distributiva de la multiplicación
3𝑥2
+ 12𝑥 + 12 − 2𝑥2
+ 8𝑥 − 8
Realizamos las adiciones entre términos semejantes
𝒙𝟐
+ 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒 R/

4. Tarea 2. De la siguiente lista de polinomio realizar,
𝑃 𝑥 = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥
𝑁 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 + 1
Hallar 𝑃 𝑥 − 𝑁 𝑥
2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − (𝑥2 −2𝑥 + 1)
Calculamos el opuesto de cada término.
2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 𝑥2 +2𝑥 − 1
Operamos términos semejantes.
𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏 R/

5. Tarea 3. Realizar la siguiente división de
polinomios aplicando la división sintética.
Según Cárdenas A.J.C, 2012, la división sintética es un método para efectuar la división de
polinomios, siempre y cuando el divisor sea de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃, que sea lineal con grado 1.
2𝑥3
+ 3𝑥2
− 6𝑥 + 1 ÷ 𝑥 + 1
Los pasos para hacer la división serían:
Determinar para que valor de 𝑥 el divisor es cero, 𝑥 = −
𝑏
𝑎
Tenemos el divisor, 𝑥 + 1,
𝑥 = −
1
1
𝑥 = −1
Se hace la división sintética usando −1 como factor.

6. Tarea 3. Realizar la siguiente división de polinomios aplicando la
división sintética.
Continuación…
El resultado que de el cociente baja un grado respecto al polinomio original y se divide entre a.
𝟐𝒙𝟐
+ 𝒙 − 𝟕
El último término es el residuo.
Residuo 8.
Podríamos probarlo aplicando la forma (d * C) + r = D, donde d es el divisor; c es el cociente; r es
el residuo y D es el dividendo.
( 𝑥 + 1 𝟐𝒙𝟐
+ 𝒙 − 𝟕)) + 𝟖 Aplicamos la propiedad distributiva
2𝑥3
+ 𝑥2
− 7𝑥 + 2𝑥2
+ 𝒙 − 𝟕 + 𝟖 Reducimos términos semejantes
2𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 + 1, obtenemos entonces al dividendo, lo cual prueba que la división es correcta.

7. Tarea 4. A los siguientes polinomios propuestos determine el valor de la variable
𝒙 en las siguientes expresiones racionales y compruebe su solución con
Geogebra.
13+2𝑥
4𝑥+1
=
3
4
multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 4 4𝑥 + 1
4 13 + 2𝑥 = 3 4𝑥 + 1 aplicamos la propiedad distributiva para multiplicar 4 por 13 + 2𝑥
52 + 8𝑥 = 3 4𝑥 + 1
se usa la propiedad distributiva para multiplicar 3 por 4𝑥 + 1
52 + 8𝑥 = 12𝑥 + 3 restamos 12𝑥 en ambos lados de la igualdad.
52 + 8𝑥 − 12𝑥 = 3 reducimos términos semejantes del lado izquierdo de la ecuación
52 − 4𝑥 = 3 restamos 52 en ambos lados
−4𝑥 = 3 − 52 realizamos la sustracción

8. Tarea 4. A los siguientes polinomios propuestos determine el valor de la variable
𝒙 en las siguientes expresiones racionales y compruebe su solución con
Geogebra.
−4𝑥 = −49 dividimos los dos lados por −4
𝑥 =
−49
−4
simplificamos quitando el signo del numerador y del denominador multiplicando por −1
𝑥 =
49
4
o si hacemos la división de la fracción 𝑥 es igual a 12.25
Prueba en Geogebra

9. Tarea 5. Determine el dominio de la siguiente función y comprobar
con el recurso Geogebra.
𝑓 𝑥 =
𝑥−2
𝑥+1 𝑥−3
La función es de la forma 𝑓 𝑥 =
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
Por tanto, su forma general viene dada por el cociente de dos polinomios:
𝑓 𝑥 =
𝑝(𝑥)
Q(x)
El dominio se refiere a aquellos valores de la variable x para los cuales la función se
encuentra definida, es decirlos valores de x para los cuales la función existe.
Su única restricción es que la división por 0 no se encuentra definida.
𝑓 𝑥 =
𝑝(𝑥)
Q(x)
→ Q(x) ≠ 0
Se debe respetar la restricción de nuestro dominio. Por tanto, 𝑓 𝑥 =
𝑥−2
𝑥+1 𝑥−3
→
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) ≠ 0

10. Tarea 5. Determine el dominio de la siguiente función y comprobar
con el recurso Geogebra.
Continuación…
Nos preguntamos, ¿Qué valores de 𝑥 hace que se obtenga 0 en el denominador?
Resolvemos, 𝑥 + 1 = 0 𝑥 − 3 = 0
𝑥 = −1 𝑥 = 3
Esto quiere decir que cuando x toma los valores de −1 y 3, el polinomio denominador vale 0. Por lo
tanto, el dominio de nuestra función son todos los números reales, excepto −1 y 3.
𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ R ; 𝑥 ≠ −1 ^ 𝑥 ≠ 3

11. Tarea 5. Determine el dominio de la siguiente función y comprobar
con el recurso Geogebra.
Continuación… En Geogebra observamos la gráfica correspondiente a 𝑓 𝑥 =
𝑥−2
𝑥+1 𝑥−3
La función asume valores bastantes
cercanos a -1 y a 3 pero jamás lo va a tocar.

12. Tarea 6. Factorizar el siguiente ejercicio.
b) 𝑎2𝑏2 − 16
Podemos escribir 𝑎2
𝑏2
− 16 como 𝑎𝑏 2
− 42
, tenemos entonces una diferencia de
cuadrados.
𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦
𝑎𝑏 − 4 𝑎𝑏 + 4 R/
𝑥2 − 49
Tenemos una diferencia de cuadrados, ya que 𝑥2
= 𝑥 ∗ 𝑥 y 7 ∗ 7 = 49
Podemos escribirlo como 𝑥2 − 7 2
Se puede factorizar mediante la regla: 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦
Entonces, 𝑥2
− 49 = (𝑥 − 7)(𝑥 + 7) R/

13. Tarea 7. Efectuar las operaciones de la siguiente expresión algebraica y
simplificarla.
99𝑎𝑐3
27𝑏
÷
54𝑎2𝑐2
12𝑎𝑏
Invertimos la segunda fracción y pasamos a multiplicar.
99𝑎𝑐3
27𝑏
∗
12𝑎𝑏
54𝑎2𝑐2
Anulamos 2*3*9𝑎2𝑏𝑐2 tanto en el numerador como en el
denominador.
2∗11𝑐
27
multiplicamos 2 y 11 para obtener 22
22𝑐
27
R/