Resolución de triángulos rectángulos, identidades y ecuaciones trigonométricas

1. Álgebra, Trigonometría
y Geometría Analítica.
Paso 3_ Profundizar y
contextualizar el conocimiento de
la unidad 2.
Presentado por:
Javier E. Valencia
Mileidys Mendez
Omer Madera
Jamer Cruzate
Ailed Araujo
Grupo: 16
Marzo 21 de 2021

2. ¿Qué es la trigonometría?
Desde su significado etimológico, trigonometría significa medida de triángulos.
Tri = tres, gonos = ángulo, métrica = medida.
Se deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.
La trigonometría es una de las ramas de las matemáticas que trata la resolución de
triángulos por medio del cálculo.
La resolución de triángulos consiste, en la determinación de los elementos
desconocidos en función de los que se conocen
La geometría nos enseña a construir los triángulos con los tres datos dados que
contengan las incógnitas, en cambio la trigonometría nos permite calcular los
valores desconocidos
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones
trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante.

3. Temáticas necesarias para la resolución
de los ejercicios seleccionados.
 Ley del Seno y del Coseno.
 Razones trigonométricas del seno, coseno y tangente.
 Identidades trigonométricas.
 Ecuaciones Trigonométricas.

4. La ley del seno o teorema del seno es una relación que no se limita a los triángulos rectángulos como sucede con el
teorema de Pitágoras. Por ende, aplica a cualquier triángulo relacionando las longitudes de sus lados con la función
seno de sus respectivos ángulos opuestos.
Al observar la figura superior podemos ver que sus vértices son A, B, C; sus lados a, b, c y sus ángulos α, β, γ. La ley
del seno expresa que los cocientes de la relación de cada lado entre su ángulo opuesto tienen que ser iguales, es decir:
Esta relación solo puede ser aplicada en pareja, no se aplica en grupo de tres igualdades:
Para cualquier triángulo, usando estas relaciones y dependiendo de los datos que tengamos, podemos encontrar los
valores de ángulos o lados de dicho triángulo.
Se puede usar dicho teorema si:
• Conocemos un lado y dos ángulos del triángulo.
• Conocemos dos lados y la medida del ángulo entre ellos.

5. Frente a las limitaciones del teorema del seno al resolver un ejercicio de trigonometría
resulta muy útil el teorema del coseno, particularmente si solo tenemos los valores del
ángulo y la medida de sus dos lados adyacentes.
El teorema del coseno relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos, y
con el coseno del ángulo formado por estos últimos:
Dado un triángulo cualquiera, siendo “A”, “B”, “C” sus ángulos y a, b, c sus lados
(opuestos a dichos ángulos), entonces:
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑐𝐶𝑜𝑠𝐵
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠𝐶
Se puede usar dicho teorema si:
• Conocemos un ángulo y los dos ángulos que lo conforman.
• Conocemos las medidas de sus tres lados.

6. Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la ley del seno y coseno. Los triángulos se deben graficar
únicamente con el uso del programa GeoGebra, en su versión online o descargar el programa.
a = 17m b = 42m c = 31m Solución A = 20,7° B =119,2° C = 40,1°
Buscamos los valores de los ángulos:
𝒂𝟐
= 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
− 𝟐𝒃𝒄 𝑪𝒐𝒔𝑨
172
= 422
+ 312
− 2(42)(31) 𝐶𝑜𝑠𝐴 Reemplazamos por los valores dados.
289 = 1764 + 961 − 2604 𝐶𝑜𝑠𝐴 Operamos las potencias y multiplicaciones.
2604 𝐶𝑜𝑠 𝐴 = 1764 + 961 − 289 Sumamos 2604 𝐶𝑜𝑠𝐴 y restamos 289, en ambos lados de la ecuación.
𝐶𝑜𝑠 𝐴 =
1764+961−289
2604
Dividimos ambos lados de la ecuación por 2064 y sumamos en el segundo miembro
de la igualdad.
𝐶𝑜𝑠 𝐴 =
2436
2604
Realizamos la división en el segundo término.
𝐶𝑜𝑠 𝐴 = 0.935483871 Despejamos A.
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠−1
0.935483871 Hallamos el valor de la función trigonométrica
𝑨 = 𝟐𝟎. 𝟕°

7. 𝒃𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒄𝟐
− 𝟐𝒂𝒄 𝑪𝒐𝒔𝑩
422
= 172
+ 312
− 2(17)(31) 𝐶𝑜𝑠𝐵 Reemplazamos por los valores dados.
1764 = 289 + 961 − 1054 𝐶𝑜𝑠𝐵 Operamos las potencias y multiplicaciones.
1054 𝐶𝑜𝑠 𝐵 = 289 + 961 − 1764 Sumamos 1054 𝐶𝑜𝑠𝐵 y restamos 1764, en ambos lados de la ecuación.
𝐶𝑜𝑠 𝐵 =
289+961−1764
1054
Dividimos ambos lados de la ecuación por 1054 y sumamos en el segundo miembro de la igualdad.
𝐶𝑜𝑠 𝐵 =
−514
1054
Realizamos la división en el segundo término.
𝐶𝑜𝑠 𝐵 = −0.4876660342 Despejamos B.
𝐵 = 𝑐𝑜𝑠−1
−0.4876660342 Hallamos el valor de la función trigonométrica.
𝑩 = 𝟏𝟏𝟗. 𝟐°
𝒄𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
− 𝟐𝒂𝒃 𝑪𝒐𝒔 𝑪
312
= 172
+ 422
− 2(17)(42) 𝐶𝑜𝑠𝐶 Reemplazamos por los valores dados.
961 = 289 + 1764 − 1428 𝐶𝑜𝑠𝐶 Operamos las potencias y multiplicaciones.
1428 𝐶𝑜𝑠 𝐶 = 289 + 1764 − 961 Sumamos 1428 𝐶𝑜𝑠C y restamos 961, en ambos lados de la ecuación.
𝐶𝑜𝑠 𝐶 =
289+1764−961
1428
Dividimos ambos lados de la ecuación por 1428 y sumamos en el segundo miembro de la igualdad.
𝐶𝑜𝑠 𝐶 =
1092
1428
Realizamos la división en el segundo término.
𝐶𝑜𝑠 𝐶 = 0.7647058824 Despejamos C.
𝐶 = 𝑐𝑜𝑠−1
0.7647058824 Hallamos el valor de la función trigonométrica.
𝑪 = 𝟒𝟎. 𝟏°

8. Siendo ABC un triángulo rectángulo, se pueden establecer las siguientes relaciones:
Gráfica razones trigonométricas. Creación propia. J. Valencia. 2021

9. Tarea 2: Calcula la razón trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos (A y B)
de cada triangulo rectángulo que aparecen abajo.
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎(𝐶) = 4.5𝑐𝑚
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜(𝐴) = 4𝑐𝑚
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒(𝐵) = ?
Se hace uso de la razón trigonométrica del seno.
𝑆𝑒𝑛𝜃 =
𝐶𝑜
ℎ
𝐶𝑜𝑠𝜃 =
𝐶𝑎
ℎ
𝑇𝑎𝑛𝑔𝜃 =
𝐶𝑜
𝐶𝑎
𝑺𝒆𝒏𝜷 =
𝑪𝒐
𝒉
𝑆𝑒𝑛 𝛽 =
4
4.5
= 0.8888888889
𝛽 = 𝑠𝑒𝑛−1
0.8888888889 = 62.73

10. Se halla el cateto adyacente del triángulo rectángulo utilizando la relación del coseno:
𝑪𝒐𝒔 𝜷 =
𝑪𝒂
𝒉
𝐂𝐨𝐬 𝟔𝟐. 𝟕𝟑 =
𝐂𝐚
𝟒. 𝟓
𝐂𝐚 = 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟐. 𝟕𝟑 ∗ 𝟒. 𝟓
𝐂𝐚 = 𝟐. 𝟎𝟔
𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝟐. 𝟎𝟔
𝑪𝒐𝒔 𝜷 =
𝑪𝒂
𝒉
𝑪𝒐𝒔 𝜷 =
𝟐. 𝟎𝟔𝟏𝟓𝟓𝟐𝟖𝟏𝟑
𝟒. 𝟓
= 𝟎. 𝟒𝟓𝟖𝟏𝟐𝟐𝟖𝟒𝟕𝟑
𝜷 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏
𝟎. 𝟒𝟓𝟖𝟏𝟐𝟐𝟖𝟒𝟕𝟑 = 𝟔𝟐. 𝟕𝟑

11. Se halla la medida del ángulo 𝛽 utilizando la relación de la tangente:
𝑻𝒂𝒏𝒈 𝛽 =
𝑪𝒐
𝑪𝒂
𝑇𝑎𝑛𝑔𝛽 =
4
2.061552813
= 1.940285
𝛽 = 𝑇𝑎𝑛𝑔−1
1.940285 = 62.73
Se tiene entonces que:
𝐶𝑜 = 12𝑐𝑚, 𝐶𝑎 = 13.41𝑐𝑚 𝑦 ℎ = 18𝑐𝑚
Se conoce además dos de los tres ángulos del triángulo, sabemos que uno es 90°. Se halló el ángulo β 62,73°
Siendo 𝐴 = 𝛼, 𝐵 = 𝛽 𝑦 𝐶 = 90° tenemos:
Hacemos uso del teorema que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo rectángulo es igual a
180°
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°
Procedemos a encontrar el ángulo 𝛼
90° + 62.73395555° = 152.7339556°
180° − 152.7339556° = 27.2660444°
𝛼 = 27.2660444°
𝐶 = 90°

12. Las identidades trigonométricas son una serie de relaciones o igualdades que existen entre las funciones
trigonométricas. Es, por definición, válido para los valores de los ángulos involucrados en la operación. Hay un
grupo de identidades básicas, que a menudo se usan en las funciones trigonométricas más simples; a partir de
estos, y con el uso de otras identidades, puede encontrar hasta 36 ecuaciones más, que se aplicarán de acuerdo
con la incógnita planteada.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES.
1 Relación entre seno y coseno
2 Relación entre secante y tangente
3 Relación entre cosecante y cotangente
4 Funciones trigonométricas recíprocas

13. Además de las identidades básicas, puede encontrar las identidades de múltiples ángulos, con la expresión: cos
(x) = Tang (cos (x)). Además, las identidades de los ángulos doble, triple y promedio y las identidades de la
reducción de exponentes se pueden aplicar en ciertos problemas.
Las identidades cocientes :
Las identidades co-función :
Las identidades pares-impares :
Las fórmulas de suma y diferencia Bhaskara Acharya :

14. Las fórmulas de ángulo doble :
Las fórmulas del ángulo medio o de reducción de potencias :
Las fórmulas suma al producto : Y las fórmulas producto a la suma :

15. Tarea 3: Realizar las siguientes identidades trigonométricas.
csc 𝑥
𝑐𝑡𝑔 𝑥
=
1
cos 𝑥
Se tendrán presentes las siguientes identidades trigonométricas:
csc 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
𝑐𝑡𝑔 𝑥 =
1
tan 𝑥
tan 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
Se reemplaza en la igualdad:
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= sec 𝑥
Se simplifica la expresión:
1
cos 𝑥
= sec 𝑥
Se usa la identidad sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
:
sec 𝑥 = sec 𝑥
Queda entonces verificada la igualdad como verdadera.

16. Una ecuación trigonométrica es aquella igualdad en la que convergen una o más funciones
trigonométricas. No existe un procedimiento estándar, pues pueden intervenir métodos algebraicos o el
uso de las razones o identidades trigonométricas, siendo conveniente pasarlas a seno o coseno. Una
vez mencionada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se emplean los pasos
frecuentes en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se soluciona la
parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que
pasar a establecer cuál es ese ángulo. Para esto último se usa el ángulo unitario.

17. Tarea 4: Revisar y realizar las siguientes ecuaciones trigonométricas
𝟐𝑐𝑜𝑠2
𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟏
Para el desarrollo de este punto, debemos utilizar la siguiente identidad pitagórica:
𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1
Se despeja
2 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Se reemplaza
2 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 Se efectúa el producto en el primer término
2 − 2𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 Se restan 2 en ambos lados de la igualdad
−2𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1 Se iguala la ecuación a 0
−2𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0
−1 −2𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 =0 Se multiplica por −1 para eliminar el negativo del primer término.
2𝑠𝑒𝑛2
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0

18. Se utiliza la formula general para obtener los valores de x
𝑎 = 2
𝑏 = −1
𝑐 = −1
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−1) ± (−1)2−4(2)(−1)
2(2)
𝑥 =
1 ± 1 + 8
4
𝑥 =
1 ± 9
4
𝑥 =
1 ± 3
4
𝑥1 =
1 + 3
4
=
4
4
= 1
𝑥2 =
1 − 3
4
=
−2
4
= −
1
2
De acuerdo con el círculo unitario sus cuadrantes serian:
Conjunto solución: 90°,210°, 270°,330° en radianes
𝜋
2
,
7𝜋
6
,
3𝜋
2
,
11𝜋
6

19. ¿Cuál es su aplicación?
Entre otras aplicaciones la trigonometría:
 Nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se
establecen por medio de triángulos circunferencia y otros.
 En la vida real es muy utilizada ya que podemos medir alturas o
distancias, realizar medición de ángulos, entre otras cosas.
 Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro
empleando ciertos elementos como un triangulo escaleno, isósceles y
de cualquier tipo.
 Ayuda también para resolver situaciones problemáticas de la vida
cotidiana y de otros campos del conocimiento científico.

20. Tarea 5: Aplicaciones trigonométricas.
Halla los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 10cm y 18cm respectivamente
y forman un ángulo de 43°.
Datos conocidos
Diagonal a= 10 cm
𝑎1 = 5
𝑎2 = 5
Diagonal b=18 cm
𝑏1 = 9 https://www.geogebra.org/classic/expxmz44
𝑏2 = 9
Sabemos que uno de sus ángulos es de 43° , como la medida total de sus ángulos son 180°.
El ángulo dado se debe restar con 180°.
180° − 43 = 137°
Ángulos:
𝐴 = 43°
𝐵 = 137°

21. Ahora procedemos a hallar los lados (X, Y)
𝑋 = 𝑎12 + 𝑏12 − 2𝑎1𝑏1𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑋 = 52 + 92 − 2(5)(9)𝐶𝑜𝑠43°
𝑋 = 25 + 81 − 90𝐶𝑜𝑠43°
𝑋 = 6.338624997
𝑌 = 𝑎12 + 𝑏12 − 2𝑎1𝑏1𝐶𝑜𝑠𝐵
𝑌 = 52 + 92 − 2(5)(9)𝐶𝑜𝑠137°
𝑌 = 25 + 81 − 90𝐶𝑜𝑠137°
𝑌 = 13.10808274
Sus lados son:
𝑋 = 6.338624997
𝑌 = 13.10808274
Aplicamos la ley del coseno al tener la medida de uno de los ángulos
y la medida de dos de los lados del triángulo.

22. Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para estudiantes de ciencias.
Bogotá, CO: Universidad del Norte. Páginas 153 – 171. Recuperado de https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943?page=159
Henao, A. (2012). Funciones Trigonométricas Geogebra. Recuperado
de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7691
OVI Unidad 2 – Funciones Trigonométricas con la herramienta Geogebra
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. Recuperado
de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583