La circonferenza - basi

1. La Circonferenza
Prof. Santi Caltabiano

2. Definizione
La Circonferenza
E’ il luogo geometrico dei punti equidistanti da uno stesso punto detto centro.
Cioè fissato un punto C (centro) del piano ed un numero r (raggio) positivo, allora
la circonferenza è formata da tutti i punti del piano che hanno distanza r da C.

3. Introduciamo la nomenclatura (minima)
La Circonferenza
Cerchio
Il cerchio è la figura piana formata dai punti della circonferenza e dai punti
interni alla circonferenza.
Ad esempio nella figura il
cerchio è formato sia dalla
linea rossa (circonferenza) che
dalla parte blu interna
Corda
Data una circonferenza e
fissati, su di essa, due punti A e
B allora si definisce corda il
segmento che unisce i due
punti A e B
Continua

4. Introduciamo la nomenclatura (minima)
La Circonferenza
Arco
Data una circonferenza e fissati, su di
essa, due punti A e B allora si
definisce arco la parte di
circonferenza compresa fra i due
punti.
Diremo che la corda di estremi A e B
sottende l’arco, oppure che l’arco è
sotteso dalla corda.
Continua

5. Introduciamo la nomenclatura (minima)
La Circonferenza
Diametro
In una circonferenza una qualunque corda
passante per il centro prende il nome di
diametro.
Fatti principali:
• Esistono infiniti diametri;
• Il diametro è la corda di lunghezza massima.
Non può esistere cioè una corda di lunghezza
superiore al diametro;
• Il diametro ha una lunghezza pari a due volte il
raggio;
Continua
Semicirconferenza
Un arco che sottende un
diametro prende il nome di
semicirconferenza.

6. Introduciamo la nomenclatura (minima)
La Circonferenza
Settore Circolare
Si definisce settore circolare la parte di cerchio
compresa tra un arco e i raggi che hanno per
estremi gli estremi dell’arco.

7. pi-greco
La Circonferenza
Per una qualunque circonferenza il rapporto tra la lunghezza della
circonferenza ed il suo diametro è costante. Cioè data una qualunque
circonferenza di lunghezza C e diametro d allora:

d
C
dove la costante π prende il nome di pi-greco e vale:
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 …
Nella pratica scolastica il pi-greco si approssima alle prime due cifre decimali:
π =3,14

8. Lunghezza della circonferenza
La Circonferenza
Data una circonferenza di raggio r allora lunghezza delle circonferenza è:
rC 2
Area del cerchio
Dato un cerchio di raggio r allora l’area è data dalla formula:
2
rA 
Esempio 01
Data la circonferenza di raggi r=10 cm calcolare perimetro e area:
Svolgimento
cmcmcmrC 8,621028,61014,322  
2222
31414,3100)14,3)10( cmcmcmrA  

9. Circonferenza nel piano cartesiano
La Circonferenza
Ci proponiamo di trovare l’equazione della circonferenza nel piano
cartesiano.
Sia data la circonferenza di centro C(α ; β) e di raggio r. Ricordando che la
circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro, allora
un punto P(x ; y) apparterà alla circonferenza se la sua distanza dal centro C
sarà r, cioè:
rPC  ryx  22
)()(  222
)()( ryx  
22222
22 ryyxx  
022 22222
 ryxyx 
Portando tutto a sinistra e raggruppando i termini simili:
2a
2b
222
rc  
Posto:
Continua

10. La Circonferenza
Otteniamo:
022
 cbyaxyx
che è l’equazione della circonferenza in forma canonica.

11. La Circonferenza
Esempio 02
Trovare l’equazione della circonferenza di centro C(0 ; 0) e raggio 1;
Svolgimento:
1)0()0( 22
 yx 122
 yx 122
 yx 0122
 yx

12. La Circonferenza
Esempio 03
Trovare l’equazione della circonferenza di centro C(0 ; 0) e raggio 2;
Svolgimento:
2)0()0( 22
 yx 222
 yx 422
 yx 0422
 yx

13. La Circonferenza
Esempio 04
Trovare l’equazione della circonferenza di centro C(1 ; 2) e raggio 3;
Svolgimento:
3)2()1( 22
 yx 9)2()1( 22
 yx 094421 22
 yyxx
044222
 yxyx

14. La Circonferenza
Esempio 05
Trovare l’equazione della circonferenza di centro C(-1 ; 1) e raggio 2;
Svolgimento:
2)1())1(( 22
 yx 2)1()1( 22
 yx 4)1()1( 22
 yx
042121 22
 yyxx 0222 22
 yyxx

15. La Circonferenza
Esempio 06
Trovare l’equazione della circonferenza di centro C(-1/2 ; -1/3) e raggio 1/2;
Svolgimento:
2
1
3
1
2
1
22
























 yx
2
1
3
1
2
1
22












 yx
4
1
3
1
2
1
22












 yx 0
4
1
3
2
9
1
4
1 22
 yyxx
0
3
2
9
122
 yyxx 0
9
1
3
222
 yxyx

16. La Circonferenza
Esempio 07
Trovare l’equazione della circonferenza di centro C(-1 ; 1) e passante per il
punto P(2 ; 3);
Svolgimento:
13)1())1(( 22
 yx
Bisogna trovare il raggio. Poiché P è un punto della circonferenza allora il
raggio è uguale alla distanza del punto P dal centro C;
1349)13()12()13())1(2( 2222
 PCr
Possiamo adesso trovare l’equazione della circonferenza:
13)1()1( 22
 yx
13)1()1( 22
 yx 0132121 22
 yyxx
0112222
 yxyx

17. La Circonferenza
022
 cbyaxyx
Trovare il centro e raggio data la circonferenza in forma canonica
Data la circonferenza in forma normale:
Si ha che:
2
:centrodelAscisse
a

2
:centrodelOrdinata
b

4
2
1
:Raggio 22
cbar 