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1. La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Mascheroni CAD Team
Liceo Scientifico Isacco Newton - Roma
Le lezioni multimediali di GeoGebra Italia
Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti

2. Definizioni
Luogo Geometrico
Insieme di tutti e soli punti del piano che godono di una
certa propriet` , detta proprie` caratteristica del centro.
a a
Circonferenza
`
E il luogo geometrico dei punti di un piano aventi la stessa
distanza da un punto detto centro.
Cerchio
`
E quella figura piana formata dai punti di una
circonferenza e da quelli interni alla circonferenza.
Arco
Parte di circonferenza compresa fra due punti della stessa
circonferenza.
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3. Definizioni (cont.)
Settore Circolare
`
E quella parte di circonferenza compresa tra un arco e due
raggi.
Corda
La corda e quel segmento avente come vertici due punti
`
della circonferenza. Il diametro e quella corda passante per
`
il centro.
Angolo al centro
Angolo avente il vertice nel centro della circonferenza.
Angolo alla circonferenza
Un angolo alla circonferenza e un angolo convesso che ha
`
il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la
circonferenza stessa, oppure un lato secante e l’altro
tangente.
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4. Unicit` del centro della circonferenza
a
Consideriamo la circonferenza di
centro O e passante per i tre punti
non allineati A, B e C. Come gi` a
affermato precedentemente, il
centro di una circonferenza sar`a
equidistante da tutti i punti
appartenenti alla circonferenza.
O Consideriamo ora i segmenti AB e
BC, il punto equidistante dai loro
A
D estremi sar` il punto d’intersezione
a
dei loro assi. Essendo l’asse di un
C segmento una retta, il punto
E d’intersezione tra due rette sar`
a
B unico. Di conseguenza ci sar` un
a
unico punto equidistante da
A, B e C.
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5. Primo teorema sulle corde
Teorema
A C In una circonferenza, ogni
diametro e maggiore di qualunque
`
altra corda non passante per il
centro.
D O
Dimostrazione.
Essendo AOC un triangolo
AO + OC > AC.
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6. Secondo teorema sulle corde
Teorema
Se in una circonferenza un
A
diametro e perpendicolare ad una
`
corda non passante per il centro,
allora la corda, l’angolo al centro
D C E e l’arco corrispondenti
risulteranno divisi a met` da tale
a
U diametro.
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7. Seconda teorema sulle corde (cont.)
Dimostrazione.
A
AD AE, poich´ raggi; AC ⊥ DE, per
e
ipotesi ∴ L’angolo DAC CAE e
DU UE, poich´ nel triangolo isoscele
e
D C E l’altezza relativa alla base corrisponde
alla bisettrice e alla mediana.
U
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8. Terzo teorema sulle corde
Teorema
A Se in una circonferenza un diametro
interseca una corda non passante per il
centro, nel suo punto medio, allora il
D C E diametro e perpendicolare alla corda.
`
U
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9. Primo teorema sulle corde (cont.)
Dimostrazione.
A
AD AE, poich´ raggi; AC ⊥ DE, per
e
ipotesi. ∴ L’angolo DAC CAE e
D C E DU UE
U
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10. Terzo teorema sulle corde (cont.)
Dimostrazione.
A `
Il triangolo DAE e isoscele perch´ e
DA AE, per costruzione. Nei triangoli
isosceli la mediana relativa alla base
D C E coincider` all’altezza.
a
U
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11. Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza
A
d A
A
r
E d
F B
r
r
a) Retta secante b) Retta Tangente c) Retta Esterna
Retta Secante Retta Esterna
La distanza tra A e r e minore del
` La distanza tra A e r e maggiore
`
raggio della circonferenza del raggio della circonferenza
Retta Tangente
La distanza tra A e r e uguale al
`
raggio della circonferenza
1
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12. Posizioni relative di due circonferenze
Secanti Tangenti esternamente e internamente
E
D
r r1 B
O O1 A C
Esternamente ⇐⇒ AC = AD + DC
r + r1 < OO1 ∧ OO1 < r − r1 Internamente ⇐⇒ AB = AD − BD
Esterne Interne
C B
O O1 A D
r r1
1
OO1 > r + r1 AD < AB − CD 1
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13. Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti
Teorema
Un angolo al centro del corrispondente angolo alla circonferenza
Per la dimostrazione distingueremo tre casi differenti:
Un lato della circonferenza contiene un diametro;
`
Il centro O e interno all’angolo alla circonferenza;
`
Il centro O e esterno all’angolo alla circonferenza;
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14. Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.)
B
Un lato della circonferenza contiene un
diametro
C
Dimostrazione.
`
Il triangolo AOB e isoscele per
O costruzione. BOC = BAO poich´ e
2BAO + AOB = 180◦ ∧ AOB + BOC =
A 180◦
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15. Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.)
β `
Il centro O e interno all’angolo alla
γ circonferenza
δ Dimostrazione.
β O Per le note propriet` di cui godono risulta
a
α α essere γ = 2β ∧ δ = 2α.
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16. Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.)
E
S `
Il centro O e esterno all’angolo alla
β2
circonferenza
α2 Dimostrazione.
β
O Si osservano le seguenti eguaglianze:
β1
C β1 = 2α1 , β2 = 2α2 , β2 − β1 = β,
α2 − α1 = α, β2 − β1 = 2α2 − 2α1 , β = 2α.
α1 α
D
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