Una breve panoramica su alcune delle figure geometriche che incrociano il loro percorso con il segmento aureo.

1. Il rapporto aureo e la
geometria
ovvero
alcuni dimostrazioni in cui compare la sezione aurea

2. Il rettangolo aureo
Nel rettangolo aureo il rapporto tra i lati
è uguale alle sezione aurea.
In altre parole, in tale rettangolo il lato
corto è all’incirca il 62% del lato più
lungo.
Una delle proprietà salienti di questa
figura è che essa può autorigenerarsi.

3. Il rettangolo aureo
Nel rettangolo aureo di partenza basta
proiettare il lato corto su quello lungo
per dividere la figura in un quadrato e in
un rettangolo aureo.
Il procedimento può essere continuato
all’infinito per generare in questo modo
una successione di infiniti rettangoli aurei
ognuno dei quali è incluso in quello
immediatamente prercedente.

4. Un triangolo isoscele particolare
Il triangolo isoscele ABC ha gli angoli alla base di 72°
Tracciamo la bisettrice AD
I triangoli ABE e DAB sono simili, da cui si ricava:
BC:AB=AB:BD.
Questo dimostra che:
Teorema:
in un triangolo isoscele con gli angoli alla base di 72°
la base è la sezione aurea del lato.

5. Un secondo triangolo particolare
ABC è il triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano
36° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 108°.
Sia AD = AC DB=AD-AB
I triangoli in figura sono simili a quelli della figura del
precedente teorema, per cui possiamo affermare che:
Teorema:
in un triangolo isoscele con gli angoli alla base di 32° la
differenza tra la base e il lato obliquo è la seziona aurea
del lato obliquo.

6. Il decagono regolare
In un decagono regolare i segmenti che congiungono due vertici
consecutivi originano un triangolo isoscele il cui angolo al vertice
misura 36° (angoli alla base di 72°)
Il lato obliquo di tale triangolo è il raggio della circonferenza
circoscritta.
Resta così provato che:
Teorema:
Nel decagono regolare il lato è la sezione aurea
del raggio della circonferenza circoscritta.

7. Il pentagono e le sue diagonali
In un pentagono tracciando le cinque diagonali si ottiene una
figura a forma di stella.
Ogni triangolo i cui lati sono diagonali condotte da uno stesso
vertice è isoscele con angoli alla base di 72°.
Resta così provato che:
Teorema:
Nel decagono regolare il lato è la sezione aurea
del raggio della circonferenza circoscritta.