Dokumen tersebut membahas tentang penyederhanaan fungsi Boolean menggunakan peta Karnaugh dan metode tabulasi. Peta Karnaugh digunakan untuk menyederhanakan ekspresi Boolean menjadi bentuk minimal sum of products atau minimal product of sums. Tujuannya adalah meminimalkan jumlah terms dan literal dalam ekspresi hasil penyederhanaan."

1. Penyederhanaan fungsi Boolean
Gembong Edhi Setyawan
gembong@ub.ac.id
@gembong

2. TujuanPerkuliahan
• Menggambar peta karnaugh berdasarkan fungsi boolean atau
tabel kebenaran yang diketahui
• Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan peta
karnaugh
• Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan
metoda tabulasi.

3. Karnaugh maps 
• Aljabar boolean membantu kita untuk
menyederhanakan persamaan dan circuit
• Karnaugh Map : teknis grafis yang digunakan
untuk menyederhanakan ekspresi boolean
kedalam form :
– minimal sum of products (MSP)
– minimal product of sums(MPS)
• Tujuan dari penyederhanaan
– Menghasilkan jumlah minimal dari terms product/sum
– Masing-masing term akan memiliki jumlah literal
minimal

4. Pengaturan ulang tabel kebenaran
• 2 variabel fungsi memiliki 4 kemungkinan
minterms. Kita dapat melakukan perubahan
minterm sini kepeta karnaughY
x
y minterm
0
0
x’y’
0
1
x’y
1
0
xy’
1
1
xy
X
0
1
0
x’y’
xy’
1
x’y
xy
• Sekarang kita dapat dengan mudah melihat
minterms yang memiliki literal umum
– Minterms pada bagian kiri dan kanan
mengandung y’ and y
Y
– Minterms pada bagian atas dan bawah
0
Y’
Y
mengandung 1 and x
x’
X
0
1
x ’y’
xy’
x ’y
xy
X’
X
x’y’
xy’
x’y
xy
4

5. PenyederhanaanKarnaughMap
• Bayangkan 2 variable sum pada minterms
x’y’ + x’y
• Setiap minterms yang terlihat pada baris atas
Y
dari K-map mengandung literal x’
x’y’
x’y
X
xy’
xy
• Apa yang terjadi bila kita melakukan
penyederhanaan expresi tersebut dengan
x’y’ + x’y
aljabar boolean ?= x’(y’ + y) [ Distributive ]
= x’  1
= x’
[ y + y’ = 1 ]
[ x 1 = x ]
5

6. Contoh 2 variabel
• Contoh 2 : untuk expression x’y+ xy
– Setiap minterms yang tampak bada sisi kanan dimana
y tidak dikomplemenkan
– Kita dapat menyederhanakan x’y+ xy to just y
Y
x’y
xy
x’y’
xy’
X
• Bagaimana jika x’y’ + x’y + xy?
– Kita memiliki x’y’ + x’y pada baris atas, yang dapat
disederhanakan menjadi x’
– Ada juga x’y + xy bagian kanan yang dapat kita
sederhanakan menjad iy
Y
– Persamaan ini dapat kita sederhanakan menjadi x’ + y
x’y’
x’y
X
xy’
xy
6

7. x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
Minterm
Maxterm
Suku Lambang
Suku
Lambang
x’y’z’
m0
x+y+z
M0
x’y’z
m1
x + y + z’
M1
x‘y z’
m2
x + y’+z
M2
x’y z
m3
x + y’+z’
M3
x y’z’
m4
x’+ y + z
M4
x y’z
m5
x’+ y + z’
M5
x y z’
m6
x’+ y’+ z
M6
xyz
m7
x’+ y’+ z’
M7
7

8. Karnaugh Map 3 variabel
• untuk 3 variabel dengan input x,y,z ,
susunannya adalah sebagai berikut :
YZ
YZ
X
0
1
00
x’y’z’
xy’z’
01
x’y’z
xy’z
11
x’yz
xyz
10
x’yz’
xyz’
X
0
1
00
m0
m4
01
m1
m5
• Cara lain untuk menyusun Kmap 3
Y
variabel ( pilih yang anda sukai )
x’y’z’
x’y’z
x’yz
x’yz’
X
xy’z’
xy’z
xyz
Z
xyz’
X
m0
m4
m1
m5
Z
11
m3
m7
10
m2
m6
Y
m3
m7
m2
m6
8

9. Why the funny ordering?
Y
X
x’y’z’
xy’z’
x’y’z
xy’z
x’yz
xyz
x’yz’
xyz’
Z
Y
X
x’y’z’
xy’z’
x’y’z
xy’z
x’yz
xyz
Z
x’yz’
xyz’
x’y’z + x’yz
= x’z(y’ + y)
= x’z 1
= x’z
=
=
=
=
x’y’z’ + xy’z’ + x’yz’ + xyz’
z’(x’y’ + xy’ + x’y + xy)
z’(y’(x’ + x) + y(x’ + x))
z’(y’+y)
z’
• .
9

10. K-mapsdari sebuah tabel
kebenaran
• Kita dapat mengisi K-map langsung dari
sebuah tabel kebenaran
– Output dari barisipada tabel dimasukkan pada
kotak mi pada K-map
– Ingat bahwa bagian kanan kolom darik-map
x “ditukar”
y z f(x,y,z)
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
X
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Y
Y
0
0
1
1
0
1
Z
0
1
X
m0
m4
m1
m5
Z
m3
m7
m2
m6
10

11. Membaca MSP dariK-map
• Kita dapat menemukan expression SoP minimal
– Setiap kotak sesuai dengan 1 term of product
– Produk ditentukan dengan mencari literal umum
Y
padakotak
X
0
0
1
1
0
1
0
1
Z
Y
X
x’y’z’
xy’z’
x’y’z
xy’z
x’yz
xyz
x’yz’
xyz’
Z
y’z
xy
F(x,y,z)= y’z + xy
11

12. Mengelompokkanminterms
• Pengelompokanpadak-map
– Buat persegi panjangan yang mengelilingi group dari
1,2,4, atau 8 dari nilai 1
– Semua nilai 1 pada map harus dimasukkan paling
tidak pada 1 persegipanjang.
– Jangan memasukkan nilai 0
Y
– Setiap kelompok terdiri dari satu term of product
X
0
0
1
1
0
1
0
1
Z
12

13. PIs AND EPIs (1/3)
• Untuk menemukan expresi SOP yang paling sederhana kita
harus mendapatkan :
– jumlah minimum literals per product term
– Jumlah
minimum product terms
• Bisa kita dapatkan melalui K-Map menggunakan
– Group terbesar dari sebuah minterms ( prime implicants ) bila
mungkin
– Tidakada redundant grouping ( essential prime implicants )
• Implicant : product term yang dapat digunakan untuk
mengkover minterms dari sebuah fungsi
CS2100
Karnaugh Maps
13

14. PIs AND EPIs (2/3)
• Prime implicant (PI): product term yang didapatkan dari
menggabungkan jumlah minterms yang memungkinkan dari
kotak yang terdapat pada map. ( kemungkinan
pengelompokan terbesar )
• Selalu cari prime implicants pada sebuah K-map
1
1
1
1
1
1
CS2100
1
1
1
1
1
1
O
Karnaugh Maps
P
14

15. PIs AND EPIs (3/3)
• Tidak ada redundant groups:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
O
1
1
1
1
P
1
Essential prime implicants

Essential prime implicant (EPI): prime implicant yang terdiri
setidaknya satu minterm yang tidak dikover prime implicant
yang lain.
CS2100
Karnaugh Maps
15

16. K-map Simplificationof SoP
Expressions
• Mari kita sederhanakan persamaan berikut f(x,y,z) =
xy + y’z + xz
• Kita harus mengkonversi persamaan tersebut ke
minterms form
– Hal yang paling mudah adalah dengan membuat tabel
kebenaran dari fungsi dan kemudian kita temukan
mintermsnya
– Anda dapat menuliskan literals nya atau dengan minterm
x
y
z
f ( x ,y ,z )
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
• Berikut adalah tabel kebenaran dan mintermdari
fungsi diatas : f(x,y,z) = x’y’z + xy’z + xyz’ +
xyz
= m1 + m5 + m6 +
m7
16

17. UnsimplifyingExpressions
• Kita juga dapat mengkonversi fungsi diatas dengan
menggunakan aljabar boolean
– Terapkan hukum distribusi untuk menambahkan variabel yang
hilang
xy + y’z + xz = (xy 1) + (y’z 1) + (xz 1)
= (xy (z’ + z)) + (y’z (x’ + x)) + (xz (y’ + y))
= (xyz’ + xyz) + (x’y’z + xy’z) + (xy’z + xyz)
= xyz’ + xyz + x’y’z + xy’z
= m1+m5+m6+m7
• Dalam contoh diatas, kita sama sekali tidak
“menyederhanakan”
– Hasil dari expres idiatas lebih luas dari pada fungsi aslinya
– Tetapi dengan menemukan minterms akan memudahkan kita
untuk menggabungkan terms tersebut pada sebuah k-map
17

18. ExampleK-map
• Pada contoh kita , kita bisa menuliskan
f(x,y,z) dengan cara sbb:
f(x,y,z) = x’y’z + xy’z + xyz’ + xyz
f(x,y,z) = m1 + m5 + m6 + m7
Y
x’y’z’
xy’z’
X
x’y’z
xy’z
x’yz
xyz
x’yz’
xyz’
Z
Y
X
m0
m4
m1
m5
Z
m3
m7
m2
m6
• Hasil dari tabel kebenaran ditunjukkan
Y
pada0k-map dibawah ini
1
0
0
X
0
1
1
1
Z
18

19. FIGURE 4-11Karnaugh maps and truth tables for (a) two, (b) three, and (c) four variables.
Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss
Digital Systems: Principles and
Applications, 9e
Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.
Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.

20. FIGURE 4-12 Examples of looping pairs of adjacent 1s.
Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss
Digital Systems: Principles and
Applications, 9e
Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.
Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.

21. FIGURE 4-14 Examples of looping groups of eight 1s (octets).
Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss
Digital Systems: Principles and
Applications, 9e
Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.
Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.

22. Latihansoal
• Simplify the sum of minterms m1+ m3 + m5 + m6
Y
X
Z
Y
X
m0
m4
m1
m5
m3
m7
m2
m6
Z
22

23. Solusi
– Hijau dan merah muda overlap
– Minterm m6 ditulis lengkap
Y
X
0
0
1
1
1
0
0
1
Z
• Hasil minimal sum of product adalahsbb :
x’z+ y’z+xyz’
23

24. K-maps can be tricky!
Y
0
0
X
1
1
0
1
1
1
Z
Y
Y
X
0
0
1
1
0
1
1
1
X
0
0
1
1
0
1
Z
Z
y’z + yz’ + xy
1
1
y’z + yz’ + xz
24

25. 4 variable K-maps – f(W,X,Y,Z)
– Minterms pada kolom ketiga dan keempat, dan
juga baris ke 3 dan bariske 4 dibalik
• Pengelompokan mirip dengan 3 variable, tetapi :
– Kita bisa mengelompokkan persegipanjang 1,2 ,4
,8,16 minterms
25

26. 4 variable K-maps
Y
Y
W
w’x’y’z’
w’xy’z’
wxy’z’
wx’y’z’
w’x’y’z
w’xy’z
wxy’z
wx’y’z
w’x’yz
w’xyz
wxyz
wx’yz
Z
w’x’yz’
w’xyz’
X
wxyz’
wx’yz’
W
m0
m4
m12
m8
m1
m5
m13
m9
Z
m3
m7
m15
m11
m2
m6
X
m14
m10
26

27. Contoh : Simplify
m0+m2+m5+m8+m10+m13
• The expression is already a sum of minterms, so here’s the
K-map: Y
Y
W
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
X
W
Z
m0
m4
m12
m8
m1
m5
m13
m9
Z
Y
W
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
X
0
1
m3
m7
m15
m11
m2
m6
m14
m10
X
Y
W
w ’x ’y ’z ’
w ’x y ’z ’
w x y ’z ’
w x ’y ’z ’
• MSP = MSP x’z’ + xy’z
Z
w ’x ’y ’z
w ’x y ’z
w x y ’z
w x ’y ’z
w ’x ’y z
w ’x y z
w xyz
w x ’y z
w ’x ’y z ’
w ’x y z ’
w xyz’
w x ’y z ’
X
Z
27

28. Contoh : Simplify
m0+m2+m5+m8+m10+m13
• The expression is already a sum of minterms, so here’s the
K-map: Y
Y
W
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
X
W
Z
m0
m4
m12
m8
m1
m5
m13
m9
Z
Y
W
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
X
0
1
m3
m7
m15
m11
m2
m6
m14
m10
X
Y
W
w ’x ’y ’z ’
w ’x y ’z ’
w x y ’z ’
w x ’y ’z ’
• MSP = MSP x’z’ + xy’z
Z
w ’x ’y ’z
w ’x y ’z
w x y ’z
w x ’y ’z
w ’x ’y z
w ’x y z
w xyz
w x ’y z
w ’x ’y z ’
w ’x y z ’
w xyz’
w x ’y z ’
X
Z
28

29. FIGURE 4-18 “Don’t-care” conditions should be changed to 0 or 1 to produce K-map looping that yields the simplest
expression.
Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss
Digital Systems: Principles and
Applications, 9e
Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.
Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.

30. ContohKasus
Mari kita merancang sirkuit logika yang mengendalikan pintu lift di sebuah
bangunan tiga lantai. sirkuit ini memiliki empat masukan. M adalah sebuah
sinyal logika yang menunjukkan saat lift bergerak (M = 1) atau berhenti (M =
0). F1, F2, dan F3 adalah indikator sinyal lantai yangnormally LOW ,
danF1,F2,F3menjadi HIGHhanya ketika lift diposisikan pada tingkat dari
lantai tertentu. Sebagai contoh, ketika elevator sedangberadadilantai dua,
F2 = 1 dan F1 = = F3 0. Output sirkuit merupakan sinyalOpen, yangnormally
LOWdan akanmenjadi High ketika pintu lift akan dibuka.
Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss
Digital Systems: Principles and
Applications, 9e
Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.
Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.

31. Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss
Digital Systems: Principles and
Applications, 9e
Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.
Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.