Özel tanımlı fonksi̇yonlar

2. Tanım aralığının alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış
fonksiyonlara, parçalı fonksiyonlar denir.
ÖRNEK: f1(x) , x1 ≤ x ≤ x2
f:R R, f(x) =
f2(x) , x < x1 v x > x2 ise
fonksiyonu parçalı bir fonksiyon olup x = x1, ve x = x2 noktaları
tanım aralıklarının uç noktalarıdır ve bu noktalara fonksiyonun
kritik noktaları denir.

3. Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken, tanım aralığının her alt
aralığındaki farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonların grafikleri
ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir.
ÖRNEK : x2 + 2x , x < 1 ise
f: R R , f (x) = 0 , x = 1 ise
-x + 2 , x > 1 ise
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

4. ÇÖZÜM :
1. y = x2 + 2x parabolünün (-∞, 1) aralığına karşılık gelen kısmı
çizilir.
2. ( 1,0 ) noktası işaretlenir.
3. y = - x + 2 doğrusunun (1, +∞ ) aralığına karşılık gelen kısmı
alınır. Böylece f parçalı fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur.
3
2
1
-2 -1
0 1 2
-1

5. A ⊂ R , B ⊂ R olmak üzere f : A → B ye
-f (x) , f(x) < 0 ise
f 2 (x) = f (x) = f(x) =
f (x) , f(x) ≥ 0 ise
Şeklinde tanımlı fonksiyona, mutlak değer fonksiyonu denir.

6. f(x)  ≥ 0 olduğundan, f(x)  fonksiyonunun görüntü
ümesi R+ ∪ {0} dır.
f(x)  de f(x) = 0 denkleminin reel köklerine kritik
oktalar denir. f(x)  fonksiyonunun grafiği bu noktalarda
ırılma ya da kıvrılma yapar.
f(x)  in tanımlanabilmesi için, f (x) in işareti
ilinmelidir.

7. -f (x), f (x) < 0 ise
f:A B, | f | (x) = | f (x) | =
f (x), f (x) ≥ 0 ise
dir.
Bu tanıma göre mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken
aşağıdaki adımlar izlenir.
. y = f (x) in grafiği çizilir.
x, f (x) ) noktalarının x eksenine göre simetriği (x , -f (x) ) olduğundan
. f (x) < 0 olduğu kısımların (x ekseninin altında kalan parçaların ) x
ksenine göre simetriği alınır.
. f (x) 0 olduğu kısımlarda |f (x) | = f(x) olduğundan , fonksiyonun
rafiği aynen kalır.Böylece, | f(x) | grafiği çizilmiş olur.

8. ÖRNEK :
f:R R , f (x) = | 4-2x | fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM :
Önce mutlak değer içinin işareti incelenir:
4 – 2x = 0 ⇒ x = 2
y
x -∞ 2 +∞
4
4-2x + -
4-2x , x ≤ 2 ise 0 2 x
f (x) = | 4- 2x | =
2x- 4 , 2 < x ise

9. R →R , y = f (x) fonksiyonu verilsin ;
-1 , f (x) < 0 ise,
y = sgn f (x) = 0 , f (x) = 0 ise,
1 , f (x) >0 ise,
biçiminde tanımlanan fonksiyona, f ‘in işaret (signum)
fonksiyonu denir.

10. sgn f (x) fonksiyonu sadece –1 , 0 , 1 değerlerini alabilir. O
halde sgn f (x) fonksiyonunun görüntü kümesi; {-1,0,1} dir.
sgn f (x) in tanımlanabilmesi için f (x) in işareti bilinmelidir.
sgn f (x) fonksiyonunda, f (x) = 0 denkleminin köklerine,
kritik noktalar denir. İşaret fonksiyonu bu kritik noktalarda sıçrama
yapar.

11. ÖRNEK :
sgn (x2-3x) = - 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM :
x2 – 3x fonksiyonunu negatif yapan değerler kümesi bulunmalıdır.
x2- 3x < 0 ⇒ x (x-3) < 0 x -∞ 0 3 +∞
x (x-3) = 0 ⇒ x = 0 v x = 3 _
x -3x
2 + +
o halde çözüm kümesi Ç = ( 0 , 3 ) bulunur.

12. y = sgn f (x) in grafiği çizilirken aşağıdaki aşamalar izlenir.
1. f (x) fonksiyonunun grafiği çizilir.
2. f (x) fonksiyonunun grafiğinin;
x ekseni üstünde kalan kısımlar için, y =1 doğ. çizlr.
x ekseni altında kalan kısımlar için, y = -1 doğ. çizlr.
x eksenini kestiği noktalar için, y = 0 işaretlenir

13. ÖRNEK:
f : [ -∏ , ∏ ] R , f (x) = sgn ( sin x) ile tanımlı fonksiyonun
grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM :
Fonksiyonla ilgili grafik ve tablo aşağıdaki gibi çizilir.
y
x -∏ 0 ∏
sin x - + 1
-∏ 0 ∏
f (x) -1 1 x
-1

14. x ∈R olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya,
x in tam kısmı denir. Ve bu [x] sembolü ile gösterilir. Yani;
a ∈ Z olmak üzere a ≤ x < a+1 ⇔ [x] = a dır.

15. ÖRNEK :
f: R R , f(x) = [ 2x-1
5
] fonksiyonu veriliyor. f(-1)
görüntüsünü bulunuz.
ÇÖZÜM :
f(x) = [ 2x-1
5
] [
⇒ f (-1) = 2(-1) -1
5
]
[
= -3
5
] = -1 dir.

16. x, y ∈ R , [ x+y ] ≥ [ x ] +[ y] dir.
x, y ∈ R+ , [ x .y ] ≥ [ x ] . [ y] dir.
x, y ∈ R , [x ] = [ y] ise | x-y | < 1 dir.
-x , x ∈ Z ise
[-x ] =
[ ] -1
- x , x ∈ R – Z ise

17. f: A ⊂ R [ ]
Z , f (x) = g (x) in grafiğini çizerken şu aşamalar
izlenir.
1. Aralık uzunluğu belirlenir.
2. Tanım aralığı aralık uzunluğuna göre ve uç noktalar aralık
uzunluğunun tam katı olacak biçimde bölünür.
[ ]
3. Her aralıktaki f (x) = g (x) ‘ler belirlenip, grafik çizilir.

18. ÖRNEK :
f : [-6 , 5] R , f (x) = [ ]grafiğini çiziniz.
X
3
ÇÖZÜM :
1. Aralık uzunluğu 1 3 tür. Buna göre, uç noktalar 3 ün tam
sayı katı olacak biçim de tanım aralığı bölünür.
2. [-6 , 5] aralığını bölerek f (x) i parçalı fonksiyon biçimde
tanımlayalım.

19. -6 ≤ x ≤ -3 ⇒ [ ] = -2
X
3 1
-3 ≤ x ≤ 0 ⇒ [ X ] = -1
3
-6 -3 0
3 5
⇒ [ X ] = 0
-1
0≤ x ≤ 3 3
-2
3≤ x ≤ 5 ⇒ [ X ] =1
3