İntegral

1. SINIRSIZ (BELİRSİZ)
İNTEGRAL
Bir fonksiyonun türevinin nasıl
alındığını biliyoruz.
Bu bölümde türevi alınmış bir
fonksiyonun ilkelinin (önceki halinin) nasıl
bulunacağını inceleyeceğiz. Yapacağımız
bu işleme İNTEGRAL ALMA veya
fonksiyonun ilkelini bulma işlemi denir. Bu
işlem türev alma işleminin tersidir.

2. TANIM:
Türevi f(x) veya diferansiyeli f(x) . dx oln F(x)
ifadesine f(x) in belirsiz (sınırsız) integrali denir.
∫ f(x) d(x) = F(x) şeklinde gösterilir.
y=x2 ise y1 =2x
y=x2+10 ise y1 = 2x
y=x2-64 ise y1 = 2x
Bu türevleri tersinden düşünelim.
Y1=dy/dx=2x ise dy = 2x.dx
Her iki tarafın integralini alalım.
∫ dy = ∫ 2x.dx ise y = x2+c

3. Yukarıda üç ayrı fonksiyonun türevi
alındığında tek bir fonksiyon elde edildiğini
(sabitin türevi sıfır olduğundan) biliyoruz. Bu
türevi alınmış fonksiyonlar integralleri
alındığında aynı fonksiyonu elde edebilmek için
C sabitinin olduğunu düşünmek zorundayız.
Tamamen keyfi bir değer olan bu C sabitine
integral sabiti denir.

4. Demek ki ∫ f(x) d(x) integralin
hesaplanması türevi f(x) olan fonksiyonun
bulunmasıdır. O halde belirsiz integrallerde
mutlaka bir integral sabitinin var olduğunu
unutmamalıyız.
ÖRNEK:
F’(x) = 2x ve f(2) = 5 ise f(x) fonksiyonunu bulunuz.

5. ÇÖZÜM:
f’(x) = dy/dx = 2x
dy = 2x,dx
∫ dy = ∫ 2x.dx
y = x2+c
y = f(x) = x2+c ise
f(2) = 22+c = 5⇒ c = 1
O halde f(x) x2 +1 denir.

6. y=2x+2
y=2x+1
x y=2x
y=2x-1
y=2x-2
-----------

7. Tanımda Türev ile integral işlemleri
birbirlerinin tersidir demiştik. Bunu biraz
açıklayalım.
y = f(x) ‘in türevi
f’(x) = dy /dx = df /dx = d/dx f(x) dir.
f(x) = ∫ f’(x)dx = ∫ d/dx f(x) . Dx
= ∫ d f(x) = ∫ dy dir.
Buna göre ; ∫ dy = y+c
∫ dz = z+c
∫ d f(x) = f(x) + c
∫ dθ = θ + c

8. BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
∫ f(x) dx = F(x) +c belirsiz integralin tanımından
aşağıdaki özellikler vardır.
1. d ∫ f(x).dx = f(x).dx
d ∫ f(x) dx = d[F(x)+c] = d/dx [F(x)+c)].dx
= F’(x).dx = f(x).dx
2. D/dx [∫ f(x)dx)] = ∫ [d/dx f(x)] dx = f(x)
d/dx (f) türevi ile ∫ işlemi birbirinin tersi
olduğundan dolayı etkisiz elemanı oluştururlar;
dolayısıyla f(x) fonksiyonuna hiçbir etkide
bulunmaz.

9. 3. ∫ dF(x) = F(x)+c
∫ d F(x) = ∫ F’ (x) = ∫ f(x) dx = F(x)+c
4. Sabit bir çarpan integral dışına çıkabilir.
∫ a f(x)dx = a ∫ f(x)dx dir.
5. İntegral operatörü dağılma özelliğine sahiptir.
∫ [F(x)+g(x)-h(x)]dx =
∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx - ∫ h(x)dx

10. ÖRNEK 1 :
f(x) = ∫ d(x2 – 2) ise f(3) ün değeri nedir?
ÇÖZÜM : tanıma göre f(x) = x2 – 2
f’ (x) = 2x ⇒ f’ (3) = 2.3=6

11. İNTEGRAL ALMA KURALLARI
İntegral alma işlemi yapılırken integral
operatörü altında bulunan fonksiyon acaba
hangi ilkel fonksiyonun türevidir
düşüncesinden hareket edilerek yapılmalıdır.

12. 1. ∫ xn dx = xn+1/n+1 + c, n∈z+
Ör: ∫ x4 dx = x5 / 5 + c
2. ∫ f’ (x) / f(x) dx = 1n |x| + c
Ör: ∫ 2x – 3 / x2 – 3x + 7 dx = 1n |x2 – 3x+7|+c
1. ∫ amx+n dx = amx+n /m.1na + C a,m,n∈R+
∫ ex dx = ex + c
Ör: ∫ 52x+3 dx = 52x+3 / 2.1n5 + C
∫ (3x – x3) dx = 3x /1n3 – x4 / 4 + c

13. TRİGONOMETRİK
FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
U x’e bağlı bir fonksiyon olmak üzere
aşağıdaki formüllerin bilinmesi gerekir.
4. ∫ sinx dx = -cosx + c
5. ∫ cosx dx = sinx + c
6. ∫ dx / cos2x = ∫ (1+tan2x)dx = ∫ secx dx
= tanx + c
7. ∫ dx / sin2x = ∫ (1+cotan2x)dx = ∫ cosecx dx
= -cotanx + c
8. ∫ dx / 1-x2n = arcsinx + c1 = -arccosx + c2
9. ∫ dx / 1+x2 = arctanx + c1 = -arccotanx + c2

14. ALIŞTIRMALAR
1. ∫ sin2x dx = -1/2 cos2x + c
2. ∫ sin(3x+4)dx = -cos(3x+4).1/3 + c
3. ∫ cos 3x dx = 1/3 sin3x + c

15. BASİT DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME
YÖNTEMLERİ
Göstermiş olduğumuz integral alma
kuralına benzemeyen fonksiyonları değişken
değiştirerek bu formüllere benzetilip daha
sonra integrallerini alacağız.
ÖRNEKLER:
1. ∫ (x3-2x)5 (3x2-2)dx ∫ u5.du = u6/6 + c
= 1/6 (x3-2x)6 + c
[u = x3-2x dersek du =(3x2-2) dx dir]

16. 2. ∫ ex²-2x+1 . (x-1)dx = 1/2 ∫ eu du = ½ eu+c
= ½ ex²-2x+1+c
[u=x2-2x+1 dersek du = 2(x-1).dx dir.]
3. ∫ esinx.cosx dx = ∫ eu du = eu + c = esinx +c
[u=sinx dersek du = cosx dx]

17. PARÇAL (KISMİ) İNTEGRAL
∫ f(x) . G(x) dx biçiminde iki fonksiyonun
çarpımının integrali bazen güç olabilir. Böyle
fonksiyonların daha kolayca integrallene-
bilmesini sağlamak amacıyla parçal (kısmi)
integralleme aşağıdaki gibi yapılır.
∫ u dv = u.v - ∫ v du
u = f(x) , du = g(x) dx dir.

18.  Kısmi integralde u ve dv nin seçiminde kesin bir
kural olmamakla birlikte türevi alındığında
azalan fonksiyonlara, logaritmik ve ters
trigonometrik fonksiyonlara u denir.
 ex , sinx, ... gibi fonksiyonlara dv denilir.
Kısmi integrasyon formülü aşağıdaki çarpım
durumundaki fonksiyonların integrasyonunda
kolaylık sağlar.

19. i. ∫ p(x) . fax dx,
ii. ∫ p(x) .sinax dx, ∫ p(x) . Cosax dx
iii. ∫ eax .sinbx dx , ∫ eax .cosbx dx
iv. ∫ p(x) .lnax dx
Ör: I1 = ∫ x.ex dx = ?
u=x dv = ex dx
du=dx v =ex Buna göre
I1 = ∫ x.ex dx = x.ex - ∫ ex.dx = x.ex – ex + c
= ex (x-1)+c

20. KESİRLİ (RASYONEL)
FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
1. ∫ k/ax+b dx hali
Bu tür kesirlerde paydanın türevi pay
kısmında varsa logaritmalı formülden
yararlanılır.
Ör: ∫ 7/2x – 5 dx = 7/2 ∫ 2/2x-5 dx
= 7/2 ln |2x-5| + c

21. 2. F(x) = P(x) / Q(x)
Rasyonel ifadesinde payın derecesi
paydanın derecesinden büyük veya eşitse pay
paydaya bölünür.
f(x) = P(x) / Q(x) = T (x) + R(x) / Q(x)
şeklinde yazılır ve sonra ayrı ayrı integralleri
alınır.
Ör: ∫ 3x2 + 2x +3 / x2 + 1 dx = ?
3x2 + 2x + 3 / x2 + 1 = 3
∫ 3x2 + 2x + 3 / x2 + 1 dx = ∫ (3 +2x / x2 + 1 ) dx
= 3x + ln (x2 + 1) + c

22. 3. ∫ dx / ax2 + bx + c hali
A. Eğer ax2 + bx + c polinomu çarpanlarına
ayrılıyorsa ifade basit kesirlerine ayrılarak
integre edilir. Basit kesirlerine ayrılmıyorsa
arctanx formülüne benzetilerek çözülür.
 1/x2-4 = A/x-2 + B/x+2
 2x+1/x3+27 = A/x+3 + Bx+C/x2-3x+9
 x3+3/x(x+1)2 (x2+1) = A/x +B/x+1+C/(x+1)2+Dx+E/x2+1
Rasyonel ifadeler yukarda görüldüğü gibi basit kesirlerine
ayrılır ve integral parçalanarak kolaylaştırılır.

23. Ör: ∫ 3x-1 / x2-1 .dx = ?
3x-1 / (x-1) (x+1) = A/x-1 + B/x+1
3x-1 / (x-1) (x+1) = A(x+1) + B(x-1) / (x-1) (x+1)
3x-1≡(A+B)x + A-B iki polinom eşitliğinden;
A+B = 3 1+B = 3
A-B = -1 B=2
-----------
2A = 2 ise A = 1
∫ 3x-1 / x2-1 dx = ∫ 1 / x-1 dx +2 ∫ 1 / x+1 dx
= ln |x-1| + 2ln |x+1| + c
= ln |(x-1).(x+1)2| + c

24. B. ∫ dx / ax2 + bx + c halinde ax2+bx+c
ifadesi çarpanlarına ayrılmıyorsa (Δ<0)
∫ dt / A2+t2 = 1/A arctan t/A+c veya
∫ dx / 1+x2 = arctanx + c formülünden
yararlanılarak çözüm yapılır.
Ör: ∫ dx / x2+9 = ∫ dx / 9[1+(x/3)2]
= 1/9.1 / 1/3 arctan x/3+c
= 1/3 arctan x/3 + c