Teknik dasar turunan dan aturan-aturan turunan fungsi ditinjau melalui contoh-contoh sederhana. Turunan digunakan untuk menemukan kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung pada kurva-kurva tertentu. Berbagai aturan turunan seperti aturan bilangan konstan, pangkat, perkalian, pembagian, dan lainnya dijelaskan.

1. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -1
8TURUNAN
8.1 GARIS SINGGUNG
Misalkan P adalah suatu titik tetap pada sebuah kurva dan misalkan Q adalah
sebuah titik yang berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan pada kurva tersebut.
Garis yang melalui P dan Q disebut tali busur.
Contoh 8.1
Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = x2
di titik (2,4)
Penyelesaian:
Garis yang kemiringannya dicari dapat dilihat
pada gambar di samping.
mtan =
0
lim
→h h
fhf )()( 22 −+
=
0
lim
→h h
fhf )()( 22 2
−+
=
0
lim
→h h
hh 444 2
−++
=
0
lim
→h h
hh 2
4 +
= 4
Andaikan kurva tersebut adalah grafik
persamaan y=f(x). Maka P mempunyai
koordinat (c, f (c)), di titik Q di dekatnya
mempunyai koordinat (c+h, f(c+h)), dan
tali busur yang melalui P dan Q
mempunyai kemiringan msec.
msec =
h
cfhcf )()( −+
Akhirnya, garis singgung adalah garis yang
melalui titik P dengan kemiringan mtan
memenuhi persamaan:
mtan =
0
lim
→h h
cfhcf )()( −+

2. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -2
Contoh 8.2
Jika f(x) = x2
– 3x + 2, tentukan persamaan garis singgung pada grafik f(x) di titik
koordinat (3,2)
Penyelesaian:
mtan =
0
lim
→h h
xxhx )){( 23(-}2h)3(x- 22
+−+++
=
0h
lim
→
=
0
lim
→h h
hxh 3h-2 2
+
=
0
lim
→h
2 x + h - 3
= 2x + 3
Gradien garis singgung di titik (3,2) adalah mtan (3) = 2.3–3 = 3
Jadi persamaan garis singgungnya adalah :
y – 2 = 3 (x – 3 )
y = 3x – 7 atau 3x – y – 7 = 0
Latihan
1. Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/(2x) di titik (½, 1).
2. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = x3
– 3x +2 di titik-titik
dengan x = -2; 1,5 ; 3.
8.2 TURUNAN
Contoh 8.3 Jika f (x) = 13x - 6, tentukan f′ (4)
Penyelesaian:
f′ (4) =
0
lim
→h h
fhf )()( 44 −+
=
0
lim
→h h
h ])([])([ 64136413 −−−+
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f′ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada
sembarang bilangan c adalah
f′ (c) =
0
lim
→h h
cfhcf )()( −+
asalkan limit ini ada.
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan f terdiferensialkan di c.
Jika f ’(c) ada, maka f kontinyu di c.

3. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -3
=
0
lim
→h h
h13
=
0
lim
→h
13 = 0
Contoh 8.4 Jika f(x) = x3
+7x, tentukan f ′
(c)
Penyelesaian:
f ′
(c) =
0
lim
→h h
cfhcf )()( −+
=
0
lim
→h h
cchchc ][)]()[( 77 33
+−+++
=
0
lim
→h h
hhchhc 733 322
+++
=
0
lim
→h
733 22
+++ hchc = 3c2
+ 7
Contoh 8.5
Tentukan turunan dari fungsi f(x) = |x|
Penyelesaian:
Kita tahu bahwa
Limit Kiri Limit Kanan
Untuk ( )y f x= , cara penulisan di bawah ini semuanya digunakan untuk meng-
ungkapkan turunan:
D(f), '( ), ', , [ ( )]
dy d
f x y f x
dx dx

4. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -4
Misalkan C, a, dan n adalah bilangan real dengan a> 0. Fungsi f(x) dan g(x)
adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan (didiferensiasi).
Aturan Contoh
1. Kaidah bilangan konstanta
Jika y C= , maka ' 0y = . Jika y= 5, maka ' 0y = .
2. Kaidah Pangkat
Jika n
y x= , maka 1
' n
y n x −
= ⋅ . Jika 7
y x= , maka 6
' 7y x= .
3. Kaidah Perkalian dengan Konstanta
Jika ( )y C f x= ⋅ , maka ' '( )y C f x= ⋅ .
Jika 2
7y x= ,
maka 2 1
' 7 2 14y x x−
= ⋅ = .
4. Penjumlahan dan Pengurangan:
Jika ( ) ( )y f x g x= ± ,
maka ' '( ) '( )y f x g x= ±
Jika 4
3 7y x x= − ,
maka 3
' 12 7y x= − .
5. Eksponensial bilangan natural
Jika x
y e= , maka ' x
y e= .
Jika 3 x
y e= , maka 3 x
y e= .
6. Jika x
y a= , maka lnx
y a a= . Jika 3
x
y = , maka 3 ln3x
y =
7. Jika lny x= , maka
1
'y
x
= .
Jika 3 lny x= ⋅ , maka
1 3
' 3y
x x
= ⋅ =
8. Jika logay x= , maka
1
'
ln
y
x a
= . Jika 4logy x= , maka
1
'
ln 4
y
x
=
⋅
Contoh 8.6 Cari turunan fungsi f(x) = 2 x4
Penyelesaian:
f’(x) = 2 x3
Contoh 8.7 Jika f(x) = 2 x3
– 4 x2
+ 3 x + 5, tentukan f ′
(x)
Penyelesaian:
f ′
(x) =
dx
d
(2 x3
) –
dx
d
(4 x2
)+
dx
d
(3 x) +
dx
d
(5)
= 2 (3x2
) – 4 (2x) + 3 (1) + 0
= 6 x2
– 8 x + 3

5. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -5
Contoh 8.8 Jika 3 2.5
( ) 5 7 3 1f x x x x= + − + , tentukan f ′(x)
Penyelesaian:
3 2.5
3 2.5
3 1 2.5 1 1 1
2 1.5
[ ( )] (5 ) (7 ) (3 ) (1)
=5 ( ) 7 ( ) 3 ( ) (1)
5 3 7 2.5 3 1 0
15 17.5 3
d d d d d
f x x x x
dx dx dx dx dx
d d d d
x x x
dx dx dx dx
x x x
x x
− − −
= + − +
⋅ + ⋅ − ⋅ +
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +
= + −
Contoh 8.9 Jika 2 2
2
1
3
2
y t e
t
= − + , tentukan y’
Penyelesaian:
Ingat bahwa
1 n
n
a
a
−
= .
Contoh 8.10 Jika 5 2 4
( ) 5 2g x x
x
= − + , tentukan g’
Penyelesaian:
Ingat bahwa
n
mm n
a a=
Kita ubah terlebih dahulu fungsi menjadi
2
5
5 2
1
4
( ) 5 2
5 4 2
g x x
x
x x−
= ⋅ − +
= ⋅ − +
2
5
3
5
3
5
1 1 1
2
2
25 3
2
'( ) 5 4 ( 1) 0
5
2 4
2 4
2 4
g x x x
x x
xx
xx
− − −
− −
= ⋅ − ⋅ − ⋅ +
= + = +
= +
Contoh 8.11 Jika 5 2 3x x
y e= ⋅ + ⋅ , tentukan y’
Penyelesaian:
' 5 2 3 ln3x x
y e= ⋅ + ⋅ .
2 2 2 2 2
2
2 1 2 1
3
3
1 1
3 3
2 2
1
3 2 ( 2) 0
2
1
6 6
y t e t t e
t
dy
t t
dx
t t t
t
−
− − −
−
= − + = − +
= ⋅ ⋅ − − +
= + = +
Catatan 2 3 6x x
⋅ ≠

6. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -6
Contoh 8.12 Jika 43 ln 4 logy x x= ⋅ − ⋅ , tentukan y′
Penyelesaian:
1 1 3 4
3 4
ln 4 ln 4
dy
dx x x x x
= ⋅ − ⋅ = −
⋅ ⋅
Contoh 8.13 Jika y = 5ex
dan g = 3ex
+ 2, tentukan y′ dan g′
x
y
d
d
= 5ex
xd
dg
= 3ex
Kaidah Perkalian Fungsi
Jika f(x) dan g(x) keduanya dapat diturunkan, maka turunan dari ( ) ( )f x g x⋅ dapat
dicari menggunakan kaidah Perkalian.
Jika '( )f x dan '( )g x ada, dan ( ) ( )y f x g x= ⋅ , maka berlaku
' '( ) ( ) ( ) '( )y f x g x f x g x= ⋅ + ⋅
Contoh 8.14 Jika y = (2x3
- x) (x4
+ 3x), tentukan y′.
Penyelesaian :
Misalkan f (x) = 2x3
– x f ′(x) = 6x2
– 1
g(x) = x4
+ 3 x g′(x) = 4x3
+ 3
' '( ) ( ) ( ) '( )y f x g x f x g x= ⋅ + ⋅
= (6x2
–1) (x4
+3x) + (2x3
–x)(4x3
+3)
= (6x6
– x4
+18x3
- 3x)+(8x6
- 4x4
+6x3
- 3x)
= 14 x 6
– 5 x4
+ 24 x3
– 6 x
Cara kedua dikalikan dulu sehingga :
y = (2x7
– x5
+ 6 x4
– 3x2
) ′
y′= 14x6
– 5x4
+ 24x3
– 6x

7. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -7
Contoh 8.15 Jika lny x x= , tentukan y′
Penyelesaian:
' '( ) ( ) ( ) '( )
1
1 ln
ln 1
y f x g x f x g x
x x
x
x
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
= +
Kaidah Pembagian Fungsi
Jika f(x) dan g(x) keduanya dapat diturunkan, maka turunan dari
( )
( )
f x
y
g x
= dapat
dicari menggunakan kaidah Pembagian.
Jika '( )f x dan '( )g x ada, dan ( ) ( )y f x g x= ⋅ , maka berlaku
)(
)(').()().('
'
xg
xgxfxgxf
y 2
−
= dimana ( ) 0g x ≠
Contoh 8.16 Tentukan y′, jika y =
3
)2(
3
2
+
+
x
xx
Penyelesaian:
Misalkan f(x) = 2x2
+ x f ′(x) = 4x + 1
g(x) = x3
+ 3 g′(x) = 3x2
)(
)(').()().('
'
xg
xgxfxgxf
y 2
−
=
y′ = 23
223
)3(
)3)(2()3()14(
+
+−++
x
xxxxx
= 23
3434
3
363124
)(
)()(
+
+−+++
x
xxxxx
= 23
24
3
31222
)( +
++−−
x
xxx
Contoh 8.17 Jika
2
2
1
( )
1
x
h x
x
−
=
+
, tentukan h′(x)
Penyelesaian:
Misalkan f(x) = x2
– 1 maka f ′(x) = 2x, g(x) = x2
+ 1, maka g′(x) = 2x

8. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -8
)(
)(').()().('
'
xg
xgxfxgxf
y 2
−
=
)(
)(').()().('
'
xg
xgxfxgxf
y 2
−
=
22
22
1
2112
)(
).().(
'
+
−−+
=
x
xxxx
y
22
33
1
2222
)(
'
+
+−+
=
x
xxxx
y
22
1
4
)(
'
+
=
x
x
y
Latihan
1. y = x2
,
x
y
d
d
= 2. y = 2x3
,
x
y
d
d
= 3. y = 9x27
,
x
y
d
d
=
4. u = 3m6
,
m
u
d
d
= 5. ϕ = 7λ,
dλ
dφ
= 6. ψ =
x3
12
, =
Ψ
xd
d
7. p = -5q2
,
q
p
d
d
= 8. y = 3x2
+ 2x + 7,
x
y
d
d
= 9. p = 9m - 2m3,
m
p
d
d
=
10. y = mx + c,
x
y
d
d
= 11. ϕ = 14λ2
-
λ10
5
+ λ3
+ 3,
dλ
dφ
=
12. y =
5
x
,
x
y
d
d
= 13. y =
3 1
22 3
x x
− ,
x
y
d
d
= 14. y = x ,
x
y
d
d
=
15. y = x23
,
x
y
d
d
= 16. y = 1 / x ,
x
y
d
d
=
8.3TURUNAN SINUS DAN KOSINUS
Jika y = sin x, maka
xd
yd
= cos x
y = cos x,
x
y
d
d
= - sin x
y = tan x,
x
y
d
d
=
1
2
cos x
Contoh 8.18 Jika y = 3 sin x – 5 cos x, tentukan y′

9. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -9
Penyelesaian:
y′ = 3 cos x + 5 sin x
Latihan
Carilah turunan dari persamaan-persamaan berikut
1. y = 4 sin x – 5 cos x
2. y = sinx . cos x
3. y = cot x
4. y = sin2
x
5. y =
sin x
1
8.4 ATURAN RANTAI
xd
ud
ud
yd
xd
yd
uDyDyD xux
.
.
=
=
Cara Penulisan Leibniz
Contoh 8.19 Jika y(x) = (3x2
+ 5 x – 7)4
, tentukan y′(x)
Penyelesaian:
Misalkan u = 3x2
+ 5 x – 7 maka y(u) = u4
dx
du
= (6 x + 5)
du
dy
= 4u3
xd
ud
ud
yd
xd
yd
.=
xd
yd
= 4u3
. (6x+5)
xd
yd
= 4 (3x2
+ 5 x – 7) . (6x+5)
Contoh 8.20 Jika y =
x
x
−
+
1
12
, tentukan
dx
dy

10. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -10
Penyelesaian:
Misalkan u =
x
x
−
+
1
12
maka y = u = u1/2
dx
du
= 2
)1(
)1)(12()1(2
x
xx
−
−+−−
du
dy
=
2
1
u-1/2
dx
dy
=
du
dy
.
dx
du
=
2
1
u-1/2
2
)1(
)1)(12()1(2
x
xx
−
−+−−
=
2
1
2
2/1
)1(
3
.
1
12
xx
x
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
Contoh 8.21 Jika f(x) = (2x3
– x) (x4
+ 3x) , tentukan f ′
(x)
Penyelesaian:
Ada dua cara, pertama dengan aturan hasil kali
f ′
(x) = (2x3
– x) ′
( x4
+ 3x) + (2x3
– x) (x4
+ 3 x) ′
= (6x2
– 1) (x4
+ 3x) + (2x3
– x) (4x3
+ 3)
= (6x6
– x4
+ 18 x3
– 3 x ) + (8 x6
– 4 x4
+ 6 x3
– 3 x)
= 14 x 6
– 5 x4
+ 24 x3
– 6 x atau dikalikan dulu sehingga :
f ′
(x) = (2x7
– x5
+ 6 x4
– 3 x2
)′
= 14 x 6
– 5 x4
+ 24 x3
– 6 x
Contoh 8.22 Tentukan f ′
(x) , jika f(x) =
3
)2(
3
2
+
+
x
xx
Penyelesaian :
Dengan aturan pembagian di dapat :
f ′
(x) = 23
3232
3
3232
)(
))(()()( ''
+
++−++
x
xxxxxx
= 23
223
3
32314
)(
))(()()(
+
+−++
x
xxxxx

11. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -11
= 23
3434
)3(
)36()3124(
+
+−+++
x
xxxxx
= 23
24
)3(
31222
+
++−−
x
xxx
Latihan
1. y = (2 – x3
)4
2. y(x) =
1
1 2
( )− x
3. y = (2 – x3
)4
4. y = x2
1−
5. Jika f(x) = (x2
-1)2
( x2
+1)2
tentukan f ′
(x)
6. Jika f(x) =
1
2
2
3
+
+
x
xx
tentukan f ′
(x)
8.5 TURUNAN TINGKAT TINGGI
Turunan Orde Pertama 1
', ', , [ ( )], ( )
dy d
f y f x D f x
dx dx
Turunan Orde Kedua
2 2
2
2 2
'', '', , [ ( )], ( )
d y d
f y f x D f x
dx dx
Turunan Orde Ketiga
3 3
3
3 3
''', ''', , [ ( )], ( )
d y d
f y f x D f x
dx dx
Turunan Orde ke- th
n ( 4n ≥ ) ( ) ( )
, , , [ ( )], ( )
n n
n n n
n n
d y d
f y f x D f x
dx dx
Asumsi ( )y f x= and ( )
', '', ''', ... n
f f f f ada.

12. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -12
Contoh 8.23 4 3 2
( ) 2 5 10 8f x x x x x= − + − + , Cari f ′, f ′′, f ′′′, f ′′′′, f (5)
Penyelesaian:
3 2
2
(4)
(5)
'( ) 4 6 10 10
''( ) 12 12 10
'''( ) 24 12
( ) 24
( ) 0
f x x x x
f x x x
f x x
f x
f x
= − + −
= − +
= −
=
=
Contoh 8.24
Tentukan turunan ketiga dari : f(x) = x4
– 2 x2
+
x
1
- x2/3
; x ≠ 0
Penyelesaian:
Dengan aturan pangkat dan sifat aljabar dari turunan didapat :
f ′
(x) = 4 x3
– 4 x - 2
1
x
-
3
2
x- 1/3
f ′′
(x) = 12 x2
– 4 + 3
2
x
+
9
2
x- 4/3
dan akhirnya : f ′′′
(x) = 24 x – 4
6
x
-
27
8
x- 7/3
Latihan
1. Tentukan turunan ketiga dari f(x) =
x
x
1
+ untuk x > 0
2. Tentukan f ′′
(x) jika f(x)= x(x – 1)(x + 2)
3. Hitunglah 2
2
dx
yd
dari xy + x – 2y –1 = 0
8.6 KECEPATAN DAN PERCEPATAN
• Sebuah objek bergerak sepanjang sebuah garis koordinat. Apabila s=f(t) menyatakan posisi
suatu obyek yang bergerak sebagai fungsi waktu, maka kecepatan ditentukan oleh
persamaan v = f′′
(t), sedangkan percepatan objek tersebut diperoleh dari turunan kecepatan
atau a =
dt
dv
.
Jadi a = v ′
= s ′′
= f ′′
(t)
Contoh 8.25
Jarak yang ditempuh suatu gerakan partikel mempunyai persamaan: s = 2 t3
- 4 t2
+ t – 6.
Tentukan kecepatan dan percepatan partikel itu pada saat t.

13. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -13
Penyelesaian :
Kecepatan partikel merupakan turunan pertama dari jarak, sedangkan percepatan partikel
merupakan turunan kedua dari jarak. Dengan demikian maka
Jarak partikel adalah s = 2 t3
- 4 t2
+ t – 6.
Kecepatan partikel adalah v = s ′
= 6 t2
– 8 t + 1
Percepatan partikel adalah a = v ′
= s ′′
= 12 t - 8
Latihan
1. Posisi suatu gerakan partikel adalah : s = 2 sin 3t - 3 cos 2t. Tentukan kecepatan
dan percepatan partikel itu pada saat t.
8.7 PENDIFERENSIALAN IMPLISIT
• Apabila suatu fungsi yang didefinisikan secara implisit tidak dapat dinyatakan secara
eksplisit atau pernyataan eksplisitnya sangat sukar, maka untuk mencari turunannya dapat
ditentukan dengan menggunakan teorema turunan untuk jumlah dan perkalian dua fungsi
dan aturan berantai.
Contoh 8.26
Tentukan
dx
dy
dari persamaan berikut y5
+ x3
y + y = x2
– x +3
Penyelesaian:
Turunan persamaan y5
+ x3
y + y = x2
– x +3 adalah
5 y4
dx
dy
+ 3 x2
y + x3
dx
dy
+
dx
dy
= 2 x – 1
dx
dy
[ ]15 34
++ xy = 2 x – 1 + 3 x2
y
dx
dy
=
15
312
34
2
++
+−
xy
yxx
Contoh 8.27
Penyelesaian:

14. Kalkulus I
Lumanulhakim Almamalik VIII -14
8.8 DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN
DIFERENSIAL
dy = f′ (x). dx f′ (x) = dy/dx
Contoh 8. Carilah dy jika
a. y = x
b. y = x3
– 3x +1
c. y = 32
+x
d. y = sin (x4
– 3x2
+11)
e. y = sin2
(2x2
+2)
HAMPIRAN ATAU TAKSIRAN
f(x + ∆x)≈ f(x) + dy = f(x) + f′ (x) ∆x
Contoh 8.28
Berapa nilai taksiran yang baik terhadap 64, menggunakan persamaan diferensial.
Penyelesaian:
Dari nilai 64, kita akan dekati dengan persamaan y = x .
Jika nilai x berubah dari 4 ke 4,6, maka x akan berubah dari 4 = 2 ke 4 +dy
(secara taksiran).
Sekarang kita memiliki bahwa dy = ½ 2
1
x . dx =
x2
1
dx
Sedangkan di x = 4 dan dx = 0,6 mempunyai nilai
dy =
42
1
.0,6 = 0,15
Jadi 64, ≈ 4 +dy = 2 + 0,15 = 2,15
Latihan
1. Berapa nilai taksiran dari 28,
2. Berapa nilai taksiran dari 923,
3. Berapa nilai taksiran dari 3
328,
4. Berapa nilai taksiran dari 3
9126,
5. Berapa nilai taksiran dari (12,2)2