Dokumen membahas proposisi majemuk dalam logika, cara membangun dan menganalisis ekspresi logika, serta pentingnya penggunaan tanda kurung untuk menghindari ambiguitas. Selain itu, dokumen menjelaskan tentang skema, parse tree, aturan pengurutan operator, dan klasifikasi proposisi menjadi tautologi, kontradiksi, atau contingent. Berbagai contoh dan latihan disertakan untuk memahami konsep-konsep tersebut.

1. PROPOSISI MAJEMUK

2. Ekspresi Logika
• Perangkai logika digunakan untuk
mengkombinasikan proposisi-proposisi
atomik menjadi proposisi majemuk.
• Ekspresi logika adalah proposisi-proposisi
yang dibangun dengan variabel-variabel
logika yang berasal dari pernyataan atau
argumen.

3. Ekspresi Logika (lanjutan)
• Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk
tergantung dari variabel proposional yang membentuknya
bersama perangkai yang relevan.
• Proposisi majemuk dapat menyebabkan terjadinya
ambiguitas, atau kesalahan penafsiran.
• Untuk menghindarinya maka proposisi majemuk yang
akan dikerjakan terlebih dahulu akan diberi tanda kurung.
• Proposisi-proposisi dengan perangkai-perangkai yang
berada di dalam tanda kurung disebut fpe (fully
parenthesized expression)

4. Contoh-1
Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian
dan mendapat hadiah istimewa
Pernyataan tersebut dapat diubah menjadi variabel
proposional:
A = Dewi rajin belajar
B = Dewi lulus ujian
C = Dewi mendapat hadiah istimewa
Maka ekspresi logikanya berubah menjadi:
A B ∧ C

5. Contoh-1
• Persoalannya: terdapat dua kemungkinan
(AB) ∧C atau A(B∧C)
• Kedua kemungkinan tersebut dapat
menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda
• Mana ekspresi logika yang tepat?
• (AB) ∧C
• A(B∧C)

6. (AB) ∧ C
Pernyataan tersebut dapat dibaca “Dewi
mendapat hadiah istimewa” tidak
berhubungan dengan “Dewi rajin belajar”,
yang menjadi akibat “Dewi rajin belajar”
hanya “Dewi lulus ujian” saja.

7. A(B∧C)
Pernyataan tersebut dapat dibaca “Dewi lulus
ujian” dan “Dewi mendapat hadiah istimewa”
merupakan akibat dari “Dewi rajin belajar”.
Ekspresi inilah yang lebih tepat untuk
mewakili peryataan tersebut

8. Skema
• Skema merupakan satu cara untuk
menyederhanakan suatu proposisi majemuk yang
rumit dengan memberikan huruf tertentu untuk
menggantikan satu subekspresi ataupun sub-
subekspresi.
• Suatu ekspresi logika tertentu, misal (A∧B) dapat
diganti dengan P, sedangkan (A∨B) dapat diganti
Q. Jadi P berisi variabel proposional A dan B,
demikian juga Q.
• Dalam hal ini, P maupun Q bukan variabel
proposional

9. Skema (lanjutan)
• Contoh: P = (A∧B) dan Q = (A∨B)
(PQ) = ((A∧B)  (A∨B))
• Perhatikan bahwa:
– Ekspresi apa saja yang berbentuk (¬P) disebut Negasi
– Ekspresi apa saja yang berbentuk (P∧Q) disebut Konjungsi
– Ekspresi apa saja yang berbentuk (P∨Q) disebut Disjungsi
– Ekspresi apa saja yang berbentuk (PQ) disebut Implikasi
(conditional)
– Ekspresi apa saja yang berbentuk (P↔Q) disebut Ekuivalensi
(biconditional)

10. Menganalisis Proposisi Majemuk
Contoh:
[1] Jika Joko lulus sarjana teknik
informatika, orang tuanya akan
senang, dan dia dapat segera bekerja,
tetapi jika dia tidak lulus, semua
usahanya akan sia-sia

11. Analisis(skop kiri &
skop kanan)
[1.1] Jika Joko lulus sarjana teknik
informatika, orang tuanya akan senang
dan dia dapat segera bekerja
dengan
[1.2] Jika dia tidak lulus, semua usahanya
akan sia-sia

12. Sub proposisi skop kiri
[1.1.1] Jika Joko lulus sarjana teknik
informatika
dengan
[1.1.2] Orang tuanya akan senang, dan dia
dapat segera bekerja

13. Sub sub proposisi skop kiri
[1.1.2.1] Orang tuanya akan senang
dengan
[1.1.2.2] Dia dapat segera bekerja

14. Sub proposisi skop kanan
[1.2.1] Jika dia tidak lulus
dengan
[1.2.2] Semua usahanya akan sia-sia
• Teknik memilah-milah kalimat menjadi
proposisi-proposisi atomik disebut Parsing
• Hasilnya dapat diwujudkan dalam bentuk
Parse Tree

15. Parse Tree
• Parse Tree diubah menjadi fpe sebagai
berikut:
o A = Joko Lulus sarjana teknik informatika
o B = Orang tua Joko senang
o C = Joko bekerja
o D = Usaha Joko sia-sia
• Pernyataan tersebut ditulis:
(A(B∧C)) ∧((¬A)D)

16. Contoh-2
• Jika anda mengambil mata kuliah logika, dan anda tidak
memahami proposisi, maka anda tidak lulus mata kuliah
tersebut
• Variabel proposisi:
o A = Anda mengambil mata kuliah logika
o B = Anda memahami proposisi
o C = Anda lulus mata kuliah
• Ekspresi logika:
(A ∧ ¬B)  ¬C

17. Aturan Pengurutan
• Untuk menjaga kebenaran sebuah
pernyataan maka setiap
operator/penghubung diberikan aturan yang
lebih tinggi
• Aturan pengurutan (precedence rules)
adalah aturan yang digunakan untuk
memprioritaskan penafsiran suatu hasil
yang digunakan memastikan proses
pengerjaan subekspresi

18. Hierarki
Hierarki
ke
Perangkai
Simbol Nama
1 ¬ Negasi
2 ∧ Konjungsi
3 ∨ Disjungsi
4 → Implikasi
5 ↔ Ekuivalensi

19. Contoh-3
• ¬p ∨ q ≡ (¬p) ∨ q
• p ∧ q ∨ r ≡ (p ∧ q) ∨ r
• p → q ∨ r ≡ p → (q ∨ r)
• p ↔ q → r ≡ p ↔ (q → r)

20. Latihan-1
Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi
ekspresi logika berupa proposisi majemuk:
1. Jika tikus itu waspada dan bergerak cepat, maka
kucing atau anjing itu tidak mampu
menangkapnya.
2. Andi membeli saham dan properti untuk
investasinya, atau dia dapat menanamkan uang di
deposito bank dan menerima bunga uang

21. Latihan-2
Beri tanda kurung pada ekspresi berikut agar
tidak ambigu.
1. A ∧ B ∧ C → D
2. A ∨ B ∨ C → ¬D
3. ¬A ∧ B → ¬C ∨ D

22. Latihan-3
Jika nilai A dan B adalah T, sedangkan C dan
D adalah F, carilah nilai kebenaran dari
ekspresi logika berikut:
1. A ∧ (B ∨ C)
2. ((A ∨ B) ∧ C) ∨ ¬((A ∨ B) ∧ (B ∨
D))
3. (¬(A ∧ B) ∨ ¬C) ∨ (((¬A ∧ B) ∨ ¬D)
∧ C)

23. Tautologi, Kontradiksi
& Contingent

24. Tautologi
• Tautologi :
Proposisi majemuk yang selalu bernilai benar (true)
tidak perduli apa nilai kebenaran proposisi penyusunnya.
Jika pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai
variabel-variabel proposional yang ada bernilai benar
(T).
Contoh: p ∨ ¬p (apa tabel kebenarannya?)

25. Contoh-4
• ¬(A ∧ B) ∨ B
• (A ∧ B) → (C ∨ (¬B → ¬C))
• Jika ¬(A ∧ B) ∨ B adalah tautologi, buktikan
¬((A ∨ B) ∧ C) ∨ C juga tautologi
• Jika Tono pergi kuliah maka Tini juga pergi
kuliah, jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.
Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau
Siska tidur, maka Tini pergi kuliah

26. Kontradiksi
• Merupakan kebalikan dari tautologi
• Proposisi majemuk yang selalu bernilai
false tidak perduli apapun
• Jika pada semua pasangan dari nilai
kebenaran menghasilkan nilai F
• Contoh:
p ∧ ¬p
((A ∨ B) ∧ ¬A) ∧ ¬B

27. Contingent
• Proposisi majemuk selain tautologi dan
kontradiksi
• Jika pada semua tabel kebenaran
menghasilkan nilai F dan T
• Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai
benar atau salah di dalam tabel
kebenarannya.

28. Contoh-5
• ((A ∧ B) → C) → A
• ((A → B) ∧ (¬B → C)) → (¬C → A)

29. Latihan
1. Tantukan apakah ekspresi logika berikut
ini termasuk tautologi, kontradiksi atau
contingent.
• A → (B → A)
• (A ∧ B) ∧ ¬ B
• (¬ ¬A → A) ↔ ((A → B) ∧ ¬ B)
• (A ∧ (A → B)) → B

30. Latihan
2. Jika (A ∨ ¬A) adalah tautologi, buktikan
bahwa ekspresi logika berikut ini adalah
tautologi
• (A → B) ∨ ¬(A → B)
• ¬A ∨ ¬¬A
• ((A ∧ C) ∨ B) ∨ ¬((A ∧ C) ∨ B)