1. The document provides solutions to integrals using substitution methods. It solves integrals of the form ∫f(x)dx by making substitutions to transform the integrals into forms that can be easily evaluated. 2. Various techniques are used, including substituting trigonometric functions, logarithmic functions, and rationalizing denominators. 3. The solutions provide the step-by-step workings and resulting anti-derivatives for each integral presented.

1. Utilizando el metodo de sustitucion:
1. ∫
√𝑥 arctan(√𝑥3)
1 + 𝑥3
𝑑𝑥
Solución:
Sea 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛൫√𝑥3൯ → 𝑑𝑢 =
1
1+𝑥3
3
2
√𝑥 𝑑𝑥
→
2
3
𝑑𝑢 =
1
1+𝑥3 √𝑥 𝑑𝑥
Luego, reemplazando:
∫
√𝑥 arctan൫√𝑥3൯
1 + 𝑥3
𝑑𝑥 =
2
3
∫ 𝑢 𝑑𝑢
=
2
3
𝑢2
2
+ 𝑐1
=
1
3
(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛ቀඥ𝑥3 )
ቁ
2
+ 𝐶
∴ ∫
√𝑥 + arctan൫√𝑥3൯
1 + 𝑥3
𝑑𝑥 =
1
3
(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ቀඥ𝑥3 )
ቁ
2
+ 𝐶

2. 2. ∫
𝑑𝑥
√(1 + 𝑥2) 𝑙𝑛(𝑥 + ඥ1 + 𝑥2 )
Solución:
Utilizando el método de sustitución:
Sea 𝑢 = 𝑙𝑛൫𝑥 + √1 + 𝑥2 ൯ → 𝑑𝑢 =
1
𝑥+√1+𝑥2
ቀ1 +
2𝑥
2√1+𝑥2
ቁ 𝑑𝑥
𝑑𝑢 =
1
𝑥 + √1 + 𝑥2
(1 +
𝑥
√1 + 𝑥2
) 𝑑𝑥
𝑑𝑢 =
1
𝑥 + √1 + 𝑥2
ቆ
√1 + 𝑥2 + 𝑥
√1 + 𝑥2
ቇ 𝑑𝑥
𝑑𝑢 =
√
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟:
∫
𝑑𝑥
√(1 + 𝑥2) 𝑙𝑛൫𝑥 + √1 + 𝑥2 ൯
= ∫
𝑑𝑥
ඥ(1 + 𝑥2) √ 𝑙𝑛൫𝑥 + √1 + 𝑥2 ൯
Sustituimos en la integral:
∫
𝑑𝑥
ඥ(1 + 𝑥2) √ 𝑙𝑛൫𝑥 + √1 + 𝑥2 ൯
= ∫
𝑑𝑢
√𝑢
= 2√𝑢 + 𝐶
= 2√𝑙𝑛 ቀ𝑥 + ඥ1 + 𝑥2 ቁ + 𝐶
∴ ∫
𝑑𝑥
ඥ(1 + 𝑥2) √ 𝑙𝑛൫𝑥 + √1 + 𝑥2 ൯
= 2√𝑙𝑛 ቀ𝑥 + ඥ1 + 𝑥2 ቁ + 𝐶

3. 3. ∫
𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠4
𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑑𝑥
Solución:
𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙:
∫
𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠4
𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠4
𝑥
𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑑𝑥 − ∫
𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑑𝑥
= ∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 − ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑑𝑥
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑑𝑧 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
→ −𝑑𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙:
∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 − ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢
𝑑𝑢 + ∫
𝑑𝑧
𝑧4
= ∫ 𝑒𝑢
𝑑𝑢 + ∫ 𝑧−4
𝑑𝑧
= 𝑒𝑢
+ 𝑐1 −
𝑧−3
3
+ 𝑐2
= 𝑒𝑢
−
1
3𝑧3
+ 𝐶
= 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥
−
1
3𝑐𝑜𝑠3 𝑥
+ 𝐶
∴ ∫
𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠4
𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥
−
1
3𝑐𝑜𝑠3 𝑥
+ 𝐶

4. 𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠:
∫
𝑙𝑛(3𝑥2
+ 3)𝑥
− 4 𝑒5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
𝑙𝑛(3𝑥2
+ 3)𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
−4 𝑒5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
= ∫
𝑥 𝑙𝑛 3(𝑥2
+ 1)
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 − 4 ∫
𝑒5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑢 = ln 3(𝑥2
+ 1) → 𝑑𝑢 =
6𝑥
3(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥
𝑑𝑢 =
2𝑥
(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥
𝑑𝑢
2
=
𝑥
(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑣 = 5arcta n 𝑥 → 𝑑𝑣 =
5
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
𝑑𝑣
5
=
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙:
∫
𝑙𝑛(3𝑥2
+ 3)𝑥
− 4 𝑒5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑢
𝑑𝑢
2
− 4 ∫ 𝑒𝑣
𝑑𝑣
5
=
1
2
∫ 𝑢 𝑑𝑢 −
4
5
∫ 𝑒𝑣
𝑑𝑣
=
1
2
𝑢2
2
+ 𝑐1 −
4
5
𝑒𝑣
+ 𝑐2
=
1
4
𝑢2
−
4
5
𝑒𝑣
+ 𝑐3
=
1
4
ln2
3(𝑥2
+ 1) −
4
5
𝑒5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥
+ 𝐶
∴ ∫
𝑙𝑛(3𝑥2
+ 3)𝑥
− 4 𝑒5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 =
1
4
ln2
3(𝑥2
+ 1) −
4
5
𝑒5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥
+ 𝐶
4. ∫
𝑙𝑛(3𝑥2
+ 3)𝑥
− 4 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
Solución:

5. 5. ∫
2𝑥3
+ 𝑥2
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑢 = 2𝑥2
− 𝑥 + 4 → 𝑑𝑢 = (4𝑥 − 1)𝑑𝑥 (∗∗∗)
∫
3𝑥 + 4
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥 = ∫
3 ቀ𝑥 +
4
3
ቁ
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥 = 3 ∫
𝑥 +
4
3
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥
3 ∫
𝑥 +
4
3
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥
4
4
=
3
4
∫
4𝑥 +
16
3
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥
=
3
4
∫
4𝑥 +
16
3
+ 1 − 1
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥
=
3
4
∫
4𝑥 − 1 +
19
3
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥
Solución:
Simplificaremos mediante división de polinomios:
( 2𝑥3
+ 𝑥2 ) ∶ (2𝑥2
− 𝑥 + 4) = 𝑥 + 1
−( 2𝑥3
− 𝑥2
+ 4𝑥)
2𝑥2
− 4𝑥
−( 2𝑥2
− 𝑥 + 4)
−3𝑥 − 4 Resto
Luego, reemplazando:
∫
2𝑥3
+ 𝑥2
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + 1 +
−3𝑥 − 4
2𝑥2 − 𝑥 + 4
) 𝑑𝑥
𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙:
∫ (𝑥 + 1 +
−3𝑥 − 4
2𝑥2 − 𝑥 + 4
) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫
−(3𝑥 + 4)
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥
=
𝑥2
2
+ 𝑥 + 𝑐1 + 𝑐2 − ∫
3𝑥 + 4
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥 (∗∗)
𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 4 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑦 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑠𝑢𝑠𝑎𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 + 1 − 1 para
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑢 = (4𝑥 − 1)𝑑𝑥
= 3 ∫
𝑥 +
4
3
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥

6. 𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙:
3
4
∫
4𝑥 − 1 +
19
3
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥 =
3
4
∫
4𝑥 − 1
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥 +
3
4
∫
19
3
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥
=
3
4
∫
4𝑥 − 1
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥 +
3
4
19
3
∫
𝑑𝑥
2𝑥2 − 𝑥 + 4
=
3
4
∫
4𝑥 − 1
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥 +
19
4
∫
𝑑𝑥
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 (∗∗∗) 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜:
=
3
4
∫
𝑑𝑢
𝑢
+
19
4
∫
𝑑𝑥
2 ቀ𝑥2 −
𝑥
2
+ 2ቁ
=
3
4
ln | 𝑢 | + 𝑐3 +
19
8
∫
𝑑𝑥
𝑥2 −
𝑥
2
+ 2
=
3
4
ln | 2𝑥2
− 𝑥 + 4 | + 𝑐3 +
19
8
∫
𝑑𝑥
𝑥2 −
𝑥
2
+ 2 +
1
16
−
1
16
=
3
4
ln | 2𝑥2
− 𝑥 + 4 | + 𝑐3 +
19
8
∫
𝑑𝑥
ቀ𝑥 −
1
4ቁ
2
−
1
16 + 2
=
3
4
ln | 2𝑥2
− 𝑥 + 4 | + 𝑐3 +
19
8
∫
𝑑𝑥
ቀ𝑥 −
1
4
ቁ
2
+
31
16
=
3
4
ln| 2𝑥2
− 𝑥 + 4 | + 𝑐3 +
19
8
∫
𝑑𝑥
ቀ𝑥 −
1
4
ቁ
2
+ ቆ
√31
4
ቇ
2
=
3
4
ln | 2𝑥2
− 𝑥 + 4 | + 𝑐3 +
19
8
1
√31
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑥 −
1
4
√31
4
) + 𝑐4
𝑉𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 (∗∗) 𝑦 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑥2
2
+ 𝑥 + 𝑐1 + 𝑐2 − (
3
4
ln| 2𝑥2
− 𝑥 + 4 | + 𝑐3 +
19
8
1
√31
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑥 −
1
4
√31
4
) + 𝑐4)
=
𝑥2
2
+ 𝑥 −
3
4
ln| 2𝑥2
− 𝑥 + 4 | −
19
2√31
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
4 ቀ𝑥 −
1
4
ቁ
√31
) + 𝐶
∴ ∫
2𝑥3
+ 𝑥2
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+ 𝑥 −
3
4
ln| 2𝑥2
− 𝑥 + 4 | −
19
2√31
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
4 ቀ𝑥 −
1
4
ቁ
√31
) + 𝐶

7. ∴ ∫
arctan(√𝑥)
√𝑥 + 2𝑥2 + 𝑥3
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2
√𝑥 + 𝐶
6. ∫
arctan(√𝑥)
√𝑥 + 2𝑥2 + 𝑥3
𝑑𝑥
Solución:
Sea: 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛൫√𝑥 ൯ → 𝑑𝑢 =
1
1+𝑥
1
2√𝑥
𝑑𝑥
→ 2𝑑𝑢 =
1
(1 + 𝑥)√𝑥
𝑑𝑥
Trabajamos el denominador de la integral para conseguir el du:
Por el método de sustitución:
Sustituimos en la integral:
∫
arctan(√𝑥)
√𝑥 + 2𝑥2 + 𝑥3
𝑑𝑥 = ∫
arctan(√𝑥)
ඥ𝑥(1 + 2𝑥 + 𝑥2)
𝑑𝑥 = ∫
arctan(√𝑥)
√𝑥 √1 + 2𝑥 + 𝑥2
𝑑𝑥
= ∫
arctan(√𝑥)
√𝑥 ඥ(1 + 𝑥)2
𝑑𝑥
= ∫
arctan(√𝑥)
√𝑥 (1 + 𝑥)
𝑑𝑥
= ∫
arctan(√𝑥)
√𝑥 (1 + 𝑥)
𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 ∗ 2𝑑𝑢
= 2
𝑢2
2
+ 𝐶
= 𝑢2
+ 𝐶
= ൫𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 √𝑥൯
2
+ 𝐶
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2
√𝑥 + 𝐶

8. 7. ∫
𝑑𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥
Solución:
Usamos la sustitución universal o de Weierstrass:
𝑡 = 𝑡𝑎𝑛(
𝑥
2
)
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
1 − 𝑡2
1 + 𝑡2
; 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
2𝑡
1 + 𝑡2
Despejando t para encontrar el 𝑑𝑡:
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑡) =
𝑥
2
→ 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑡)
→ 𝑑𝑥 =
2
1 + 𝑡2
𝑑𝑡
Sustituimos en la integral:
∫
𝑑𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥
= ∫
2
1 + 𝑡2 𝑑𝑡
1 −
2𝑡
1 + 𝑡2 +
1 − 𝑡2
1 + 𝑡2
= ∫
2
1 + 𝑡2 𝑑𝑡
1 + 𝑡2 − 2𝑡 + 1 − 𝑡2
1 + 𝑡2
= ∫
2𝑑𝑡
2 − 2𝑡
= 2 ∫
𝑑𝑡
− 2(𝑡 − 1)
= − ∫
𝑑𝑡
(𝑡 − 1)
= − ln|𝑡 − 1| + 𝐶
= − ln |𝑡𝑎𝑛 ቀ
𝑥
2
ቁ − 1| + 𝐶
Importante:
Esta sustitución se utiliza
generalmente para realizar
integrales en la cual veamos
funciones trigonométricas en el
denominador
∴ ∫
𝑑𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥
= − ln |𝑡𝑎𝑛 ቀ
𝑥
2
ቁ − 1| + 𝐶

9. ∫
𝑒2𝑥
𝑑𝑥
√1 − 𝑒𝑥
8. Determine la integral mediante el metodo de integracion por partes:
Solución:
∫
𝑒2𝑥
𝑑𝑥
√1 − 𝑒𝑥
= ∫ 𝑒𝑥
∙
𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥
𝑑𝑥
Utilizando el método de integración de partes:
𝑢 = 𝑒𝑥
→ 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 =
𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥
𝑑𝑥 → 𝑣 = −2(1 − 𝑒𝑥 )
1
2 = −2√1 − 𝑒𝑥
Sustituimos:
∫ 𝑒𝑥
∙
𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
∗ −2√1 − 𝑒𝑥 − ∫ −2√1 − 𝑒𝑥 𝑒𝑥
𝑑𝑥
= −2𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥 + 2 ∫ 𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥
Resolvemos mediante el método de sustitución la integral: ‫׬‬ 𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥
𝑧 = 1 − 𝑒𝑥
→ 𝑑𝑧 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥
Sustituyendo, se tiene:
∫ 𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √𝑧 𝑑𝑧
= ∫ 𝑧
1
2 𝑑𝑧 =
𝑧
3
2
3
2
+ 𝐶 =
𝑧
3
2
3
2
+ 𝐶 =
2
3
ඥ𝑧3 + 𝐶 =
2
3
ඥ(1 − 𝑒𝑥)3 + 𝐶
Luego,
∫ 𝑒𝑥
∙
𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = −2𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥 + 2 ∫ 𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥
= −2𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥 + 2
2
3
ඥ(1 − 𝑒𝑥)3 + 𝐶
= −2𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥 +
4
3
ඥ(1 − 𝑒𝑥)3 + 𝐶
∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
∴ ∫
𝑒2𝑥
𝑑𝑥
√1 − 𝑒𝑥
= −2𝑒𝑥
√1 − 𝑒𝑥 +
4
3
ඥ(1 − 𝑒𝑥)3 + 𝐶

10. 9. ∫
𝑙𝑛 𝑥
𝑥3(𝑙𝑛 𝑥 − 1)3
𝑑𝑥
Solución:
Por propiedad de potencias:
∫
𝑙𝑛 𝑥
𝑥3(𝑙𝑛 𝑥 − 1)3
𝑑𝑥 = ∫
𝑙𝑛 𝑥
൫𝑥( 𝑙𝑛 𝑥 − 1)൯
3 𝑑𝑥
Utilizando el método de sustitución:
𝑢 = 𝑥( 𝑙𝑛 𝑥 − 1) → 𝑑𝑢 = (𝑥 ∙
1
𝑥
+ 𝑙𝑛𝑥 − 1) 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Sustituimos en la integral:
∫
𝑙𝑛 𝑥
൫𝑥( 𝑙𝑛 𝑥 − 1)൯
3 𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢3
= ∫ 𝑢−3
𝑑𝑢
=
𝑢−2
−2
+ 𝐶
= −
1
2
1
𝑢2
+ 𝐶
= −
1
2
1
൫𝑥( 𝑙𝑛 𝑥 − 1)൯
2 + 𝐶
∴ ∫
𝑙𝑛 𝑥
𝑥3(𝑙𝑛 𝑥 − 1)3
𝑑𝑥 = −
1
2
1
൫𝑥( 𝑙𝑛 𝑥 − 1)൯
2 + 𝐶

11. 10. ∫
𝑒2𝑥
𝑑𝑥
√1 − 𝑒𝑥
Solución:
Utilizando el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 𝑒𝑥
→ 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥
Sustituimos en la integral:
∫
𝑒2𝑥
𝑑𝑥
√1 − 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑢 𝑑𝑢
√1 − 𝑢
Utilizando nuevamente el método de sustitución:
Sea: 𝑧 √
= 1 − 𝑢 → 𝑢 = 1 − 𝑧2
𝑑𝑧 =
−1
2√1 − 𝑢
𝑑𝑢 → −2𝑑𝑧 =
1
√1 − 𝑢
𝑑𝑢
Sustituimos en la integral:
∫
𝑢 𝑑𝑢
√1 − 𝑢
= ∫ −2(1 − 𝑧 )
2
𝑑𝑧
= −2 ∫ 𝑑𝑧 + 2 ∫ 𝑧2
= −2𝑧 + 2
𝑧3
3
+ 𝑐1
= −2√1 − 𝑢 +
2
3
൫√1 − 𝑢൯
3
+ 𝑐2
= −2√1 − 𝑢 +
2
3
ඥ(1 − 𝑢)3 + 𝑐2
= −2√1 − 𝑒𝑥 +
2
3
ඥ(1 − 𝑒𝑥)3 + 𝐶
∴ ∫
𝑒2𝑥
𝑑𝑥
√1 − 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = −2√1 − 𝑒𝑥 +
2
3
ඥ(1 − 𝑒𝑥)3 + 𝐶

12. Solución:
Utilizando el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 2 + tan3
𝑥 → 𝑑𝑢 = 3 tan2
𝑥 sec2
𝑥 𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
18 tan2
x sec2
x
(2 + tan3 𝑥)
𝑑𝑥 = ∫
18𝑑𝑢
𝑢
= 18 ∫
𝑑𝑢
𝑢
= 18 ln|𝑢| + 𝐶
= 18 ln|2 + tan3
𝑥| + 𝐶
∴ ∫
18 tan2
x sec2
x
(2 + tan3 𝑥)
𝑑𝑥 = 18 ln|2 + tan3
𝑥| + 𝐶
11. ∫
18 tan2
x sec2
x
(2 + tan3 𝑥)
𝑑𝑥

13. Solución:
Utilizando el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥 − 1) → 𝑑𝑢 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1) cos(𝑥 − 1) 𝑑𝑥
→
𝑑𝑢
2
= 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1) cos(𝑥 − 1) 𝑑𝑥
Sustituimos:
12. ∫ ඥ1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥 − 1) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1) cos(𝑥 − 1) 𝑑𝑥
∫ ඥ1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥 − 1) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1) cos(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢
𝑑𝑢
2
=
1
2
∫ √𝑢 𝑑𝑢
=
1
2
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶
= 3 𝑢
3
2 + 𝐶
= 3 ൫1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥 − 1)൯
3
2 + 𝐶
∴ ∫ ඥ1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥 − 1) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1) cos(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = 3 ൫1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥 − 1)൯
3
2 + 𝐶

14. Solución:
Utilizando el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 5𝑥 + 8 → 𝑑𝑢 = 5𝑑𝑥 →
𝑑𝑢
5
= 𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
𝑑x
√5𝑥 + 8
= ∫
𝑑𝑢
√𝑢
= ∫ 𝑢−
1
2𝑑𝑢 =
𝑢−
1
2
+1
−
1
2
+ 1
+ 𝐶 =
𝑢
1
2
1
2
+ 𝐶 = 2 𝑢
1
2 + 𝐶
= 2(5𝑥 + 8)
1
2 + 𝐶
∴ ∫
𝑑x
√5𝑥 + 8
= 2(5𝑥 + 8)
1
2 + 𝐶
Solución:
Utilizando el método de sustitución:
Sea:
𝑢 =
𝑦3
18
− 1 → 𝑑𝑢 =
3𝑦2
18
𝑑𝑦 →
18𝑑𝑢
3
= 𝑦2
𝑑𝑦 → 6𝑑𝑢 = 𝑦2
𝑑𝑦
Sustituimos:
∫ 𝑦2
ቆ
𝑦3
18
− 1ቇ
5
𝑑𝑦 = ∫ 𝑢5
6𝑑𝑢 = 6 ∫ 𝑢5
𝑑𝑢 = 6
𝑢5+1
5 + 1
+ 𝐶 = 6
𝑢6
6
+ 𝐶
= 𝑢6
+ 𝐶
= ቆ
𝑦3
18
− 1ቇ
6
+ 𝐶
∴ ∫ 𝑦2
ቆ
𝑦3
18
− 1ቇ
5
𝑑𝑦 = ቆ
𝑦3
18
− 1ቇ
6
+ 𝐶
13. ∫
𝑑x
√5𝑥 + 8
14. ∫ 𝑦2
ቆ
𝑦3
18
− 1ቇ
5
𝑑𝑦

15. Solución:
Utilizando el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 5𝑥 + 8 → 𝑑𝑢 = 5𝑑𝑥 →
𝑑𝑢
5
= 𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
𝑑x
√5𝑥 + 8
= ∫
𝑑𝑢
√𝑢
= ∫ 𝑢−
1
2𝑑𝑢 =
𝑢−
1
2
+1
−
1
2
+ 1
+ 𝐶 =
𝑢
1
2
1
2
+ 𝐶 = 2 𝑢
1
2 + 𝐶
= 2(5𝑥 + 8)
1
2 + 𝐶
∴ ∫
𝑑x
√5𝑥 + 8
= 2(5𝑥 + 8)
1
2 + 𝐶
Solución:
Utilizando el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 1 + √𝑥 → 𝑑𝑢 =
1
2 √𝑥
𝑑𝑥 → 2𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
√𝑥
Sustituimos:
∫
൫1 + √𝑥൯
3
𝑑x
√𝑥
= ∫ 𝑢3
𝑑𝑢 =
𝑢3+1
3 + 1
+ 𝐶 =
𝑢4
4
+ 𝐶 =
൫1 + √𝑥൯
4
4
+ 𝐶
∴ ∫
൫1 + √𝑥൯
3
𝑑x
√𝑥
=
൫1 + √𝑥൯
4
4
+ 𝐶
15. ∫
𝑑x
𝑥√9𝑥4 − 4
16. ∫
൫1 + √𝑥൯
3
𝑑x
√𝑥

16. Solución:
Utilizando el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 𝑒𝑥
+ 1 → 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥
Sustituimos:
∫ 𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (𝑒𝑥
+ 1)𝑑𝑥 = ∫ cosec 𝑢 𝑑𝑢
∴ ∫ 𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (𝑒𝑥
+ 1)𝑑𝑥 = − ln|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (𝑒𝑥
+ 1) + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 (𝑒𝑥
+ 1)| + 𝐶
Solución:
Desarrollando el binomio al cuadrado:
∫(sec 𝑡 + tan 𝑡)2
𝑑𝑡 = ∫(sec2
𝑡 + 2 sec 𝑡 tan 𝑡 + tan2
𝑡)𝑑𝑡
∴ ∫(sec 𝑡 + tan 𝑡)2
𝑑𝑡 = 2 tan 𝑡 + 2sec 𝑡 − 𝑡 + 𝐶
17. ∫ 𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (𝑒𝑥
+ 1)𝑑𝑥
18. ∫(sec 𝑡 + tan 𝑡)2
𝑑𝑡
= − ln|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑢| + 𝐶
= − ln|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (𝑒𝑥
+ 1) + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 (𝑒𝑥
+ 1)| + 𝐶
= ∫ sec2
𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 2 sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ tan2
𝑡𝑑𝑡
= ∫ sec2
𝑡 𝑑𝑡 + 2 ∫ sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 + ∫(𝑠𝑒𝑐2
𝑡 − 1) 𝑑𝑡
= ∫ sec2
𝑡 𝑑𝑡 + 2 ∫ sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡
= 2 ∫ sec2
𝑡 𝑑𝑡 + 2 ∫ sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡
= 2 tan 𝑡 + 2sec 𝑡 − 𝑡 + 𝐶

17. 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎:
𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1
Solución:
Amplificando por el conjugado
∴ ∫
𝑑𝑥
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
= tan 𝑥 + sec 𝑥 + 𝐶
∫
𝑑𝑥
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
∙ (
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
) = ∫
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑑𝑥
19. ∫
𝑑𝑥
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
= ∫
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos2 𝑥
𝑑𝑥
= ∫
1
cos2 𝑥
𝑑𝑥 − ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos2 𝑥
𝑑𝑥
= ∫ sec2
𝑥 𝑑𝑥 − ∫
1
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥
= ∫ sec2
𝑥 𝑑𝑥 − ∫ sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥
= tan 𝑥 + sec 𝑥 + 𝐶

18. Solución:
Separando la integral:
∫
𝑒𝑥
− 1
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥 + ∫
−1
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥
= ∫
𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥 − ∫
1
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥 (∗∗)
Para la primera integral hacemos la sustitución:
𝑢 = 𝑒𝑥
+ 1 → 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln|𝑢| + 𝑐1 = ln|𝑒𝑥
+ 1| + 𝑐1
Para le segunda integral sumamos y restando 𝑒𝑥
en el numerador:
∫
1
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ∫
1 + 𝑒𝑥
− 𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥
= ∫
1 + 𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥 + ∫
−𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥
= ∫ 𝑑𝑥 − ∫
𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥
= 𝑥 + 𝑐2 − ∫
𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥
Para la integral hacemos: 𝑢 = 𝑒𝑥
+ 1 → 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥
Sustituimos:
20. ∫
𝑒𝑥
− 1
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑐2 − ∫
𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐2 − ∫
𝑑𝑢
𝑢
= 𝑥 + c2 − ln|𝑢| + 𝑐3
= 𝑥 + c2 − ln|𝑒𝑥
+ 1| + 𝑐3

19. 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑝𝑟𝑜𝑐𝑎𝑠:
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
; sec 𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙:
tan 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
Luego, reemplazando en (∗∗):
∫
𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥 − ∫
1
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ln|𝑒𝑥
+ 1| + 𝑐1 − 𝑥 + 𝑐2 + ln|𝑒𝑥
+ 1| + 𝑐3
= 2 ln|𝑒𝑥
+ 1| + x + C
∴ ∫
𝑒𝑥
− 1
𝑒𝑥 + 1
𝑑𝑥 = 2 ln|𝑒𝑥
+ 1| + x + C
21. ∫
sec3
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑑𝑥
Solución:
Reescribimos la integral:
Hacemos: 𝑢 = tan 𝑥 → 𝑑𝑢 = sec2
𝑥
Sustituimos:
∴ ∫
sec3
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑑𝑥 =
tan2
𝑥
2
+ 𝐶
∫
sec3
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 sec x sec2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫
𝑠𝑒𝑛𝑥
cos 𝑥
sec2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫ tan 𝑥 sec2
𝑥 𝑑𝑥
∫ tan 𝑥 sec2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ u 𝑑𝑢 =
𝑢1+1
1 + 1
+ 𝐶 =
𝑢2
2
+ 𝐶 =
tan2
𝑥
2
+ 𝐶

20. 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) → 𝑑𝑢 = cos (ln 𝑥)
1
𝑥
𝑑𝑥 =
cos(lnx)
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 → 𝑣 = 𝑥
∫ 𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − ∫ 𝑥
cos(ln 𝑥)
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − ∫ cos(ln 𝑥) 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛 𝑥) → 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 (𝑙𝑛 𝑥)
1
𝑥
𝑑𝑥 =
−𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 → 𝑣 = 𝑥
∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
Solución:
Mediante integración por partes:
Sea:
Luego,
Integrando nuevamente por partes:
Sea:
Sustituimos:
Nos queda la integral inicial por lo tanto reemplazando:
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) − 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥
Despejando la integral, nos queda:
2 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) − 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) + 𝑐1
∴ ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 =
1
2
(𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) − 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥)) + 𝐶
22. ∫ 𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥)𝑑𝑥
𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛 𝑥) − ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) − 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) + ∫ 𝑥
−𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) − 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥

21. 𝑢 = arctan 𝑥 → 𝑑𝑢 =
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 =
𝑥2
2
Solución:
Separando las integrales:
∫ ቆ
𝑥 + 5
ඥ(𝑥 − 1)5
+ 𝑥 arctan 𝑥ቇ 𝑑𝑥 = ∫
𝑥 + 5
ඥ(𝑥 − 1)5
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 arctan 𝑥 𝑑𝑥
La primera integral realizamos mediante sustitución, hacemos:
𝑢 = 𝑥 − 1 → 𝑥 = 𝑢 + 1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Luego,
Luego,
∫
𝑥 + 5
ඥ(𝑥 − 1)5
𝑑𝑥 = − 2(𝑥 − 1)−
1
2 − 4(𝑥 − 1)−
3
2 + 𝑐1 (1)
Para la segunda integral utilizamos el método de integración por partes:
Sea:
23. ∫ ቆ
𝑥 + 5
ඥ(𝑥 − 1)5
+ 𝑥 arctan 𝑥ቇ 𝑑𝑥
∫
𝑥 + 5
ඥ(𝑥 − 1)5
𝑑𝑥 = ∫
𝑢 + 1 + 5
√𝑢5
𝑑𝑢
= ∫
𝑢 + 6
√𝑢5
𝑑𝑢
= ∫
𝑢
√𝑢5
𝑑𝑢 + ∫
6
√𝑢5
𝑑𝑢
= ∫ 𝑢1−
5
2𝑑𝑢 + 6 ∫ 𝑢−
5
2𝑑𝑢
= ∫ 𝑢−
3
2𝑑𝑢 + 6 ∫ 𝑢−
5
2𝑑𝑢
=
𝑢−
1
2
−
1
2
+ 6
𝑢−
3
2
−
3
2
+ 𝑐1
= −2𝑢−
1
2 − 4𝑢−
3
2 + 𝑐1
= −2(𝑥 − 1)−
1
2 − 4(𝑥 − 1)−
3
2 + 𝑐1

22. Reemplazamos:
Luego,
∫ 𝑥 arctan 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
arctan 𝑥 −
1
2
𝑥 +
1
2
arctan 𝑥 + 𝑐2 (2)
Así, de (1) y (2) se tiene:
Solución:
Por el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ൫√𝑥 ൯ → 𝑑𝑢 =
1
√1−𝑥
1
2√𝑥
𝑑𝑥 =
1
2ඥ(1−𝑥)𝑥
𝑑𝑥 =
1
2√𝑥−𝑥2
𝑑𝑥
Sustituimos:
∴ ∫
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(√𝑥 )
√𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥 = ቀ𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ൫√𝑥 ൯ቁ
2
+ 𝐶
∫ 𝑥 arctan 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
arctan 𝑥 −
1
2
∫
𝑥2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
=
𝑥2
2
arctan 𝑥 −
1
2
∫ (1 −
1
𝑥2 + 1
) 𝑑𝑥
=
𝑥2
2
arctan 𝑥 −
1
2
∫ 𝑑𝑥 +
1
2
∫
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥
∫ ቆ
𝑥 + 5
ඥ(𝑥 − 1)5
+ 𝑥 arctan𝑥ቇ𝑑𝑥 = −2(𝑥 − 1)−
1
2 − 4(𝑥 − 1)−
3
2 +
𝑥2
2
arctan 𝑥 −
1
2
𝑥 +
1
2
arctan 𝑥 + 𝐶
24. ∫
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(√𝑥 )
√𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥
∫
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(√𝑥 )
√𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ 2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(√𝑥 )
2√𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥
= 2 ∫ 𝑢 𝑑𝑢
= 2
𝑢2
2
+ 𝐶
=ቀ𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ൫√𝑥 ൯ቁ
2
+ 𝐶

23. Solución:
Mediante el método de sustitución:
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = ln(3𝑥) → 𝑑𝑢 =
1
3𝑥
3𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑥
Sustituimos:
∫
𝑑𝑥
2𝑥 ln (3𝑥)
=
1
2
∫
𝑑𝑢
𝑢
=
1
2
ln|𝑢| + 𝐶
=
1
2
ln|ln(3𝑥)| +𝐶
25. ∫
𝑑𝑥
2𝑥 ln (3𝑥)
∴ ∫
𝑑𝑥
2𝑥 ln (3𝑥)
=
1
2
ln|ln(3𝑥)| +𝐶

24. cos2
𝑥 =
1 + cos (2𝑥)
2
Solución:
Podemos escribir:
Reemplazando:
∫ cos2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (
1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)
2
) 𝑑𝑥 = ∫ (
1
2
+
𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)
2
) 𝑑𝑥
= ∫
1
2
𝑑𝑥 + ∫
𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
𝑑𝑥
=
1
2
∫ 𝑑𝑥 +
1
2
∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥
=
1
2
𝑥 + 𝑐1 +
1
2
∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥
Para la segunda integral realizamos el método de sustitución
Sea: 𝑢 = 2𝑥 → 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥
→
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥
Sustituimos:
1
2
𝑥 + 𝑐1 +
1
2
∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 + 𝑐1 +
1
2
∫ cos u
𝑑𝑢
2
=
1
2
𝑥 + 𝑐1 +
1
4
∫ cos u 𝑑𝑢
=
1
2
𝑥 + 𝑐1 +
1
4
𝑠𝑒𝑛(𝑢) + 𝑐2
=
1
2
𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝐶
∴ ∫ cos2
𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 +
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝐶
26. ∫ cos2 𝑥 𝑑𝑥

25. Solución:
𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛:
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 1 − cos 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠:
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 √1 − cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
𝑢
1
2
+1
1
2
+ 1
+ 𝐶
=
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶
=
2
3
𝑢
3
2 + 𝐶
=
2
3
(1 − cos 𝑥)
3
2 + 𝐶
∴ ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 √1 − cos 𝑥 𝑑𝑥 =
2
3
(1 − cos 𝑥)
3
2 + 𝐶
27. ‫׬‬ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 √1 − cos 𝑥 𝑑𝑥

26. 28. ∫ 𝑥 cos 𝑥2
𝑑𝑥
Solución:
Por el metodo de sustitucion:
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥2
→ 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
→
du
2
= 𝑥 𝑑𝑥
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠:
∫ 𝑥 cos 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑢
du
2
=
1
2
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢
=
1
2
sen 𝑢 + 𝐶
=
1
2
𝑠𝑒𝑛 (𝑥2) + 𝐶
∴ ∫ 𝑥 cos 𝑥2
𝑑𝑥 =
1
2
𝑠𝑒𝑛 (𝑥2) + 𝐶

27. 29. ∫(tan2
𝑥 + cotan2
𝑥 + 4)𝑑𝑥
Solución:
Separando las integrales:
∫(tan2
𝑥 + cotan2
𝑥 + 4)𝑑𝑥 = ∫ tan2
𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 4𝑑𝑥
= ∫(sec2
𝑥 − 1 )𝑑𝑥 + ∫(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1) 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑑𝑥
= ∫ sec2
𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑑𝑥
= ∫ sec2
𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥
= tan 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 2𝑥 + 𝐶
∴ ∫(tan2
𝑥 + cotan2
𝑥 + 4)𝑑𝑥 = tan 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 2𝑥 + 𝐶

28. 30. ∫
2𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
Solución:
Separando las integrales
∫
2𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
2𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
− ∫
3𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
= 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 3 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Las dos integrales son inmediatas, por lo tanto, integrando:
2 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 3 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 2(−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥) − 3(− cos 𝑥) + 𝐶
= −2𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 3 cos 𝑥 + 𝐶
∴ ∫
2𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 3 cos 𝑥 + 𝐶

29. 31. ∫
(𝑒𝑡
+ 1)3
𝑒𝑡
𝑑𝑡
Solución:
Desarrollamos el binomio al cubo:
∫
(𝑒𝑡
+ 1)3
𝑒𝑡
𝑑𝑡 = ∫ ቆ
𝑒3𝑡
+ 3𝑒2𝑡
+ 3𝑒𝑡
+ 1
𝑒𝑡
ቇ 𝑑𝑡
Separando la integral:
∫ ቆ
𝑒3𝑡
+ 3𝑒2𝑡
+ 3𝑒𝑡
+ 1
𝑒𝑡
ቇ 𝑑𝑡 = ∫
𝑒3𝑡
𝑒𝑡
𝑑𝑡 + ∫
𝑒2𝑡
𝑒𝑡
𝑑𝑡 + ∫
𝑒𝑡
𝑒𝑡
𝑑𝑡 + ∫
1
𝑒𝑡
𝑑𝑡
= ∫ 𝑒3𝑡−𝑡
𝑑𝑡 + ∫ 𝑒2𝑡−𝑡
𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒−𝑡
𝑑𝑡
= ∫ 𝑒2𝑡
𝑑𝑡 + ∫ 𝑒𝑡
𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒−𝑡
𝑑𝑡
= 𝑒2𝑡
+ 𝑒𝑡
+ 𝑡 − 𝑒−𝑡
+ 𝐶
∴ ∫ ቆ
𝑒3𝑡
+ 3𝑒2𝑡
+ 3𝑒𝑡
+ 1
𝑒𝑡
ቇ 𝑑𝑡 = 𝑒2𝑡
+ 𝑒𝑡
+ 𝑡 − 𝑒−𝑡
+ 𝐶

30. 32. ∫ √𝑥 (𝑥 +
1
𝑥
) 𝑑𝑥 =
Solución:
∫ √𝑥 (𝑥 +
1
𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ √𝑥 (𝑥 + 𝑥−1)𝑑𝑥
= ∫൫√𝑥 ∗ 𝑥 + √𝑥 ∗ 𝑥−1
൯𝑑𝑥
= ∫ 𝑥
3
2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥−
1
2 𝑑𝑥
=
𝑥
3
2
+1
3
2
+ 1
+
𝑥−
1
2
+1
−
1
2
+ 1
+ 𝐶
=
𝑥
5
2
5
2
+
𝑥
1
2
1
2
+ 𝐶
=
2
5
𝑥
5
2 + 2𝑥
1
2 + 𝐶
∴ ∫ √𝑥 (𝑥 +
1
𝑥
) 𝑑𝑥 =
2
5
𝑥
5
2 + 2𝑥
1
2 + 𝐶

31. 33. ∫(2𝑥 + 1)3
𝑑𝑥
Solución:
Desarrollamos el binomio al cubo:
∫(2𝑥 + 1)3
𝑑𝑥 = ∫(8𝑥3
+ 12𝑥2
+ 6𝑥 + 1) 𝑑𝑥
Separando la integral:
∫(8𝑥3
+ 12𝑥2
+ 6𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 8𝑥3
𝑑𝑥 + ∫ 12𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥
= 8 ∫ 𝑥3
𝑑𝑥 + 12 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + 6 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥
= 8
𝑥4
4
+ 12
𝑥3
3
+ 6
𝑥2
2
+ 𝑥 + 𝐶
= 2𝑥4
+ 4𝑥3
+ 3𝑥2
+ 𝑥 + 𝐶
∴ ∫(2𝑥 + 1)3
𝑑𝑥 = 2𝑥4
+ 4𝑥3
+ 3𝑥2
+ 𝑥 + 𝐶

32. ∫
5𝑡2
+ 7
𝑡
4
3
d𝑡 = ∫
5𝑡2
𝑡
4
3
d𝑡 + ∫
7 d𝑡
𝑡
4
3
34. ∫
5𝑡2
+ 7
𝑡
4
3
d𝑡
Solución:
= 5 ∫ 𝑡2−
4
3 d𝑡 + 7 ∫ 𝑡−
4
3𝑑𝑡
= 5 ∫ 𝑡
2
3 d𝑡 + 7 ∫ 𝑡−
4
3𝑑𝑡
= 5
𝑡
2
3+1
2
3
+ 1
+ 7
𝑡−
4
3+1
−
4
3
+ 1
+ 𝐶
= 5
𝑡
5
3
5
3
+ 7
𝑡−
1
3
−
1
3
+ 𝐶
= 3 𝑡
5
3 − 21
1
𝑡
1
3
+ 𝐶
∴ ∫
5𝑡2
+ 7
𝑡
4
3
d𝑡 = 3 𝑡
5
3 − 21
1
𝑡
1
3
+ 𝐶

33. 35. ∫ 𝑥4
𝐿𝑛(3𝑥)𝑑𝑥
Solucion:
Integrando por partes, se tiene:
𝑢 = 𝐿𝑛(3𝑥) → 𝑑𝑢 =
1
3𝑥
3𝑑𝑥 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑣 =
𝑥5
5
→ 𝑑𝑣 = 𝑥4
∫ 𝑥4
𝐿𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥5
5
𝐿𝑛(3𝑥) − ∫
𝑥5
5
∗
1
𝑥
𝑑𝑥
=
𝑥5
5
𝐿𝑛(3𝑥) −
1
5
∫ 𝑥4
𝑑𝑥
=
𝑥5
5
𝐿𝑛(3𝑥) −
1
5
ቆ
𝑥5
5
ቇ + 𝐶
=
𝑥5
5
𝐿𝑛(3𝑥) −
𝑥5
25
+ 𝐶
∫
∴ 𝑥4
𝐿𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥5
5
𝐿𝑛(3𝑥) −
𝑥5
25
+ 𝐶

34. ∴ ∫ 𝑡𝑎𝑛6(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑡𝑎𝑛5
(𝑥)
5
−
𝑡𝑎𝑛3(𝑥)
3
+ tan(𝑥) − 𝑥 + 𝐶
36. ∫ 𝑡𝑎𝑛6(𝑥)𝑑𝑥
Solucion:
∫ 𝑡𝑎𝑛6(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2
(𝑥) ∗ 𝑡𝑎𝑛4(𝑥)𝑑𝑥
= ∫(𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 1)𝑡𝑎𝑛4
(𝑥) 𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥)𝑡𝑎𝑛4
(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑡𝑎𝑛4(𝑥) 𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥)𝑡𝑎𝑛4
(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑡𝑎𝑛2(𝑥) 𝑡𝑎𝑛2(𝑥)𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥)𝑡𝑎𝑛4
(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫(𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 1) 𝑡𝑎𝑛2(𝑥)𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥)𝑡𝑎𝑛4
(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑡𝑎𝑛2(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑡𝑎𝑛2(𝑥)𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥)𝑡𝑎𝑛4
(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑡𝑎𝑛2(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑡𝑎𝑛2(𝑥)𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥)𝑡𝑎𝑛4
(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑡𝑎𝑛2(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫(𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 1)𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥)𝑡𝑎𝑛4
(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑡𝑎𝑛2(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥
Para la primera integral hacemos: 𝑢 = tan(𝑥) → 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥
Para la segunda integral hacemos: 𝑧 = tan(𝑥) → 𝑑𝑧 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥
Sustituimos:
= ∫ 𝑢4
𝑑𝑢 − ∫ 𝑧2
𝑑𝑧 + ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥
=
𝑢5
5
−
𝑧3
3
+ tan(𝑥) − 𝑥 + 𝐶
=
𝑡𝑎𝑛5
(𝑥)
5
−
𝑡𝑎𝑛3(𝑥)
3
+ tan(𝑥) − 𝑥 + 𝐶

35. ∴ ∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑑𝑥 = − cos(𝑥) +
cos3
(𝑥)
3
+ 𝑐
37. ∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑑𝑥
Solucion:
∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2
(𝑥) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑛2
(𝑥) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
= ∫൫1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)൯ ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
Para la segunda integral hacemos: 𝑢 = cos 𝑥 → 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) ∗ (−𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥)
= ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑢2
𝑑𝑢
= − cos(𝑥) +
𝑢3
3
+ 𝑐
= − cos(𝑥) +
cos3
(𝑥)
3
+ 𝑐

36. ∴ ∫ ln(cos 𝑥) tan 𝑥𝑑𝑥 = −
ln2
(cos 𝑥)
2
+ 𝐶
∴ ∫
𝑑𝑥
cos2 𝑥 ඥ1 + tan 𝑥
= 2ඥ1 + tan 𝑥 + 𝐶
38. ∫ ln(cos 𝑥) tan 𝑥𝑑𝑥
Solucion:
Mediante el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = ln(cos 𝑥) → 𝑑𝑢 =
−𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥 = − tan 𝑥 𝑑𝑥
→ − 𝑑𝑢 = tan 𝑥 𝑑𝑥
Sustituimos:
∫ ln(cos 𝑥) tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = −
𝑢2
2
+ 𝐶 = −
ln2
(cos 𝑥)
2
+ 𝐶
39. ∫
𝑑𝑥
cos2 𝑥 √1 + tan 𝑥
Solucion:
Mediante el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 1 + tan 𝑥 → 𝑑𝑢 = sec2
𝑥 𝑑𝑥
∫
𝑑𝑥
cos2 𝑥 √1 + tan 𝑥
= ∫
sec2
𝑥 𝑑𝑥
√1 + tan 𝑥
Sustituimos:
∫
sec2
𝑥 𝑑𝑥
√1 + tan 𝑥
= ∫
𝑑𝑢
√𝑢
= ∫ 𝑢−
1
2 𝑑𝑢 =
𝑢
1
2
1
2
+ 𝐶 = 2√1 + tan 𝑥 + 𝐶

37. ∴ ∫
1 − 𝑥 ln 𝑥
𝑥 𝑒𝑥
𝑑𝑥 =
ln 𝑥
𝑒𝑥
+ 𝐶
∴ ∫
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
ඥ1 − cos 2𝑥
𝑑𝑥 = 2ඥ1 − cos 2𝑥 + 𝐶
40. ∫
1 − 𝑥 ln 𝑥
𝑥 𝑒𝑥
𝑑𝑥
Solucion:
Multiplicamos por 𝑒𝑥
numerador y denominador
∫
1 − 𝑥 ln 𝑥
𝑥 𝑒𝑥
𝑑𝑥
𝑒𝑥
𝑒𝑥
= ∫
𝑒𝑥
− 𝑒𝑥
𝑥 ln 𝑥
𝑥 𝑒2𝑥
𝑑𝑥
Mediante el método de sustitución:
Sea: 𝑢 =
ln 𝑥
𝑒𝑥
→ 𝑑𝑢 =
𝑒𝑥∗
1
𝑥
−ln 𝑥 𝑒𝑥
𝑒2𝑥
𝑑𝑥 =
𝑒𝑥
𝑥
− 𝑒𝑥 ln 𝑥
𝑒2𝑥
𝑑𝑥 =
𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 ln 𝑥
𝑥
𝑒2𝑥
𝑑𝑥 =
𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 ln 𝑥
𝑥 𝑒2𝑥
𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
𝑒𝑥
− 𝑒𝑥
𝑥 ln 𝑥
𝑥 𝑒2𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐶 =
ln 𝑥
𝑒𝑥
+ 𝐶
41. ∫
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
√1 − cos 2𝑥
𝑑𝑥
Solucion:
Mediante el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 1 − cos 2𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
√1 − cos 2𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
√𝑢
= ∫ 𝑢−
1
2 𝑑𝑢 =
𝑢
1
2
1
2
+ 𝐶 = 2√1 − cos 2𝑥 + 𝐶

38. 42. ∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 ඥ−1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
3
Solucion:
Mediante el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 − 1 → 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = −
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑑𝑥
→ −𝑑𝑢 =
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 ඥ−1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
3
= − ∫
𝑑𝑢
√ 𝑢
3
= − ∫ 𝑢−
1
3𝑑𝑢
= −
𝑢
2
3
2
3
+ 𝑐1
= −
3
2
𝑢
2
3 + 𝑐1
= −
3
2
(𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 − 1 )
2
3 + 𝐶
∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 ඥ−1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
3
= −
3
2
(𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 − 1 )
2
3 + 𝐶

39. 43. ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒tan2 𝑥
cos3 𝑥
𝑑𝑥
Solucion:
Mediante el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = 𝑒tan2 𝑥
→ 𝑑𝑢 = 𝑒tan2 𝑥
2 tan 𝑥 sec2
𝑥 𝑑𝑥
→
𝑑𝑢
2
= 𝑒tan2 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
1
cos2 𝑥
𝑑𝑥
→
𝑑𝑢
2
= 𝑒tan2 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos3 𝑥
𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒tan2 𝑥
𝑑𝑥
cos3 𝑥
=
1
2
∫ 𝑑𝑢
=
1
2
𝑢 + 𝑐1
=
1
2
𝑒tan2 𝑥
+ 𝐶
∴ ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒tan2 𝑥
𝑑𝑥
cos3 𝑥
=
1
2
𝑒tan2
𝑥
+ 𝐶

40. 44. ∫
𝑒arctan 𝑥
+ 𝑥 ln(𝑥2
+ 1) + 1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
Solucion:
Separando la integral:
∫
𝑒arctan 𝑥
+ ln(𝑥2
+ 1) + 1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
𝑒arctan 𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
𝑥 ln(𝑥2
+ 1)
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
Para la primera integral hacemos: 𝑢 = 𝑒arctan 𝑥
→ 𝑑𝑢 =
1
1+𝑥2
𝑑𝑥
Para la segunda integral hacemos: 𝑧 = ln(𝑥2
+ 1) → 𝑑𝑧 =
2𝑥
1+𝑥2 𝑑𝑥
→
𝑑𝑧
2
=
𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
𝑒arctan 𝑥
+ ln(𝑥2
+ 1) + 1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 𝑧
𝑑𝑧
2
+ arctan 𝑥 + 𝑐3
=
𝑢2
2
+ 𝑐1 +
1
2
𝑧2
2
+ 𝑐2 + arctan 𝑥 + 𝑐3
=
𝑒arctan2 𝑥
2
+
1
4
ln2(𝑥2
+ 1) + arctan 𝑥 + 𝐶
∴ ∫
𝑒arctan𝑥
+ 𝑥 ln(𝑥2
+ 1) + 1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑒arctan2 𝑥
2
+
1
4
ln2(𝑥2
+ 1) + arctan 𝑥 + 𝐶

41. 45. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
Solucion:
Integrando por partes, se tiene:
𝑢 = ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) → 𝑑𝑢 =
cos 𝑥
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = − cos 𝑥 → 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Luego,
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) − ∫ − cos 𝑥
cos 𝑥
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
= −cos 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + ∫
cos2
𝑥
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
= −cos 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + ∫
1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
= −cos 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + ∫
(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥)(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
= −cos 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
= −cos 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= −cos 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 𝑥 + 𝑐1 − (− cos 𝑥) + 𝑐2
= −cos 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶
∴ ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶

42. 𝑧
√2
𝑥 ඥ𝑥2 − 2
√2 tan 𝑧 = ඥ𝑥2 − 2
√2 sec 𝑧 = 𝑥 → 𝑑𝑥 = √2 sec 𝑧 tan 𝑧 𝑑𝑧
46. ∫
𝑑𝑥
(𝑥2 − 1)√𝑥2 − 2
Solucion:
Mediante sustitución trigonométrica:
Sustituimos:
∫
𝑑𝑥
(𝑥2 − 1)√𝑥2 − 2
= ∫
√2 sec 𝑧 tan 𝑧 𝑑𝑧
(2 sec 𝑧 − 1)√2 tan 𝑧
= ∫
sec 𝑧 𝑑𝑧
(2 sec 𝑧 − 1)
= ∫
sec 𝑧 𝑑𝑧
2 (tan2 𝑧 + 1) − 1
= ∫
sec 𝑧 𝑑𝑧
2 tan2 𝑧 + 1
= ∫
1
cos 𝑧
𝑑𝑧
2
𝑠𝑒𝑛2 𝑧
cos2 𝑧
+ 1
= ∫
1
cos 𝑧
𝑑𝑧
2𝑠𝑒𝑛2 𝑧 + cos2 𝑧
cos2 𝑧
= ∫
cos 𝑧 𝑑𝑧
2𝑠𝑒𝑛2 𝑧 + cos2 𝑧
= ∫
cos 𝑧 𝑑𝑧
2𝑠𝑒𝑛2 𝑧 + 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑧
= ∫
cos 𝑧 𝑑𝑧
1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑧
Sea: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑧 → 𝑑𝑢 = cos 𝑧 𝑑𝑧

43. 𝑧
√3
ඥ(𝑢 + 2)2 − 3
tan 𝑧 =
ඥ(𝑢 + 2)2 − 3
√3
→ ඥ(𝑢 + 2)2 − 3 = √3 tan 𝑧
sec 𝑧 =
𝑢 + 2
√3
→ 𝑢 = √3 sec 𝑧 − 2
→ 𝑑𝑢 = √3 sec 𝑧 tan 𝑧 𝑑𝑧
Sustituimos
∫
cos 𝑧 𝑑𝑧
1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑧
= ∫
𝑑𝑢
1 + 𝑢2
= arctan 𝑢 + 𝐶
= arctan 𝑠𝑒𝑛 𝑧 + 𝐶
= arctan ቆ
√𝑥2 − 2
𝑥
ቇ +𝐶
∴ ∫
𝑑𝑥
(𝑥2 − 1)√𝑥2 − 2
= arctan ቆ
√𝑥2 − 2
𝑥
ቇ +𝐶
47. ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
√cos2 𝑥 + 4 cos 𝑥 + 1
𝑑𝑥
Solucion:
Mediante el método se sustitución:
Sea: 𝑢 = cos 𝑥 → 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 → −𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
√cos2 𝑥 + 4 cos 𝑥 + 1
𝑑𝑥 = − ∫
𝑑𝑢
√𝑢2 + 4𝑢 + 1
Hacemos completacion de cuadrados:
− ∫
𝑑𝑢
√𝑢2 + 4𝑢 + 1
= − ∫
𝑑𝑢
ඥ(𝑢 + 2)2 − 3
Utilizamos sustitución trigonométrica:
Sustituimos:

44. − ∫
𝑑𝑢
ඥ(𝑢 + 2)2 − 3
= − ∫
√3 sec 𝑧 tan 𝑧 𝑑𝑧
√3 tan 𝑧
= − ∫ sec 𝑧 𝑑𝑧
= − ln | sec 𝑧 + tan 𝑧| + 𝐶
= − ln |
𝑢 + 2
√3
+
ඥ(𝑢 + 2)2 − 3
√3
| + 𝐶
= − ln |
cos 𝑥 + 2
√3
+
ඥ(cos 𝑥 + 2)2 − 3
√3
| + 𝐶
∴ ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
√cos2 𝑥 + 4 cos 𝑥 + 1
𝑑𝑥 = − ln |
cos 𝑥 + 2
√3
+
ඥ(cos 𝑥 + 2)2 − 3
√3
| + 𝐶
48. ∫
3 cos 𝑥
(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1)(4 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)
𝑑𝑥
Solucion:
Mediante el método se sustitución:
Sea: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
3 cos 𝑥
(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1)(4 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)
𝑑𝑥 = ∫
3𝑑𝑢
(𝑢 + 1)(4 − 𝑢2)
= ∫
3𝑑𝑢
(𝑢 + 1)(2 − 𝑢)(2 + 𝑢)
Descomponemos por fracciones parciales:
3
(𝑢 + 1)(2 − 𝑢)(2 + 𝑢)
=
𝐴
𝑢 + 1
+
𝐵
2 − 𝑢
+
𝐶
2 + 𝑢
=
𝐴(2 − 𝑢)(2 + 𝑢) + 𝐵(𝑢 + 1)(2 + 𝑢) + 𝐶(𝑢 + 1)(2 − 𝑢)
(𝑢 + 1)(2 − 𝑢)(2 + 𝑢)
Igualando numeradores, se tiene:

45. Si 𝑢 = −1 → 3 = 𝐴 (3)(1) → 𝐴 = 1
Si 𝑢 = 2 → 3 = 𝐵(3)(4) → 𝐵 =
1
4
Si 𝑢 = −2 → 3 = 𝐶(−1)(4) → 𝐶 = −
3
4
Luego,
∫
3 cos 𝑥
(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1)(4 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)
𝑑𝑥 = ∫ (
𝐴
𝑢 + 1
+
𝐵
2 − 𝑢
+
𝐶
2 + 𝑢
) 𝑑𝑢
= ∫ (
1
𝑢 + 1
+
1
4
2 − 𝑢
+
−
3
4
2 + 𝑢
) 𝑑𝑢
= ∫
𝑑𝑢
𝑢 + 1
+
1
4
∫
𝑑𝑢
2 − 𝑢
−
3
4
∫
𝑑𝑢
2 + 𝑢
Para la primera integral hacemos: 𝑧 = 𝑢 + 1 → 𝑑𝑧 = 𝑑𝑢
Para la segunda integral hacemos: 𝑡 = 2 − 𝑢 → 𝑑𝑡 = −𝑑𝑢 → −𝑑𝑡 = 𝑑𝑢
Para la tercera integral hacemos: 𝑝 = 2 + 𝑢 → 𝑑𝑧 = 𝑑𝑢
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠:
= ∫
𝑑𝑢
𝑧
+
1
4
∫
−𝑑𝑡
𝑡
−
3
4
∫
𝑑𝑝
𝑝
= ln |𝑧| + 𝑐1 −
1
4
ln |𝑡| + 𝑐2 −
3
4
ln |𝑝| + 𝑐3
= ln |𝑢 + 1| −
1
4
ln |2 − 𝑢| −
3
4
ln |2 + 𝑢| + 𝐶
= ln |𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1| −
1
4
ln |2 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥| −
3
4
ln |2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥| + 𝐶
∴ ∫
3 cos 𝑥
(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1)(4 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)
𝑑𝑥 = ln |𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1| −
1
4
ln |2 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥| −
3
4
ln |2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥| + 𝐶

46. 𝑧
1
tan 𝑧 = 𝑥 − 1 → 𝑥 = tan 𝑧 + 1 → 𝑑𝑥 = sec2
𝑧 𝑑𝑧
sec 𝑧 = ඥ(𝑥 − 1)2 + 1
𝑥 − 1
49. ∫
4𝑥 + 5
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)
3
2
𝑑𝑥
Solucion:
Hacemos completacion de cuadrados:
∫
4𝑥 + 5
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)
3
2
𝑑𝑥 = ∫
4𝑥 + 5
[ඥ(𝑥 − 1)2 + 1]
3
Sustituimos:
∫
4𝑥 + 5
[ඥ(𝑥 − 1)2 + 1]
3 𝑑𝑥 = ∫
4(tan 𝑧 + 1) + 5
[sec 𝑧]3
sec2
𝑧 𝑑𝑧
= ∫
4 tan 𝑧 + 9
𝑠𝑒𝑐 𝑧
𝑑𝑧
= 4 ∫
tan 𝑧
𝑠𝑒𝑐 𝑧
𝑑𝑧 + ∫
9
𝑠𝑒𝑐 𝑧
𝑑𝑧
= 4 ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑧
cos 𝑧
1
cos 𝑧
𝑑𝑧 + 9 ∫
1
1
cos 𝑧
𝑑𝑧
= 4 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑑𝑧 + 9 ∫ cos 𝑧 𝑑𝑧
= −4 cos 𝑧 + 9𝑠𝑒𝑛 𝑧 + 𝐶
= −4 cos
1
ඥ(𝑥 − 1)2 + 1
+ 9𝑠𝑒𝑛
𝑥 − 1
ඥ(𝑥 − 1)2 + 1
+ 𝐶
∴ ∫
4𝑥 + 5
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)
3
2
𝑑𝑥 = −4 cos
1
ඥ(𝑥 − 1)2 + 1
+ 9𝑠𝑒𝑛
𝑥 − 1
ඥ(𝑥 − 1)2 + 1
+ 𝐶

47. 50. ∫
𝑑𝑥
𝑥൫√1 + 𝑥 − 1൯
Solucion:
Mediante el método de sustitución:
Sea: 𝑢 = √1 + 𝑥 → 𝑥 = 𝑢2
− 1
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
2√1 + 𝑥
→ 2√1 + 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Sustituimos:
∫
𝑑𝑥
𝑥൫√1 + 𝑥 − 1൯
= ∫
2√1 + 𝑥 𝑑𝑢
(𝑢2 − 1)(𝑢 − 1)
= 2 ∫
𝑢 𝑑𝑢
(𝑢2 − 1)(𝑢 − 1)
= 2 ∫
𝑢 𝑑𝑢
(𝑢 + 1)(𝑢 − 1)2
Descomponemos por fracciones parciales:
𝑢
(𝑢 + 1)(𝑢 − 1)2
=
𝐴
𝑢 + 1
+
𝐵
𝑢 − 1
+
𝐶
(𝑢 − 1)2
=
𝐴(𝑢 − 1)2
+ 𝐵(𝑢 + 1)(𝑢 − 1) + 𝐶(𝑢 + 1)
(𝑢 + 1)(𝑢 − 1)2
Igualando los numeradores, se tiene:
Si 𝑢 = −1 → −1 = 𝐴 (4) → 𝐴 = −
1
4
Si 𝑢 = 1 → 1 = 𝐶 (2) → 𝐶 =
1
2
Si 𝑢 = 0 → 0 = 𝐴(−1)2
+ 𝐵(1)(−1) + 𝐶 → 𝐵 = 𝐴 + 𝐶 = −
1
4
+
1
2
→ 𝐵 =
1
4
Luego,
𝑢
(𝑢 + 1)(𝑢 − 1)2
=
−
1
4
𝑢 + 1
+
1
4
𝑢 − 1
+
1
2
(𝑢 − 1)2
∫
𝑑𝑥
𝑥൫√1 + 𝑥 − 1൯
= 2 ∫ (
−
1
4
𝑢 + 1
+
1
4
𝑢 − 1
+
1
2
(𝑢 − 1)2
) 𝑑𝑢

48. = −
1
2
∫
𝑑𝑢
𝑢 + 1
+
1
2
∫
𝑑𝑢
𝑢 − 1
+ ∫
𝑑𝑢
(𝑢 − 1)2
Para la primera integral hacemos: 𝑡 = 𝑢 + 1 → 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢
Para la segunda integral hacemos: 𝑝 = 𝑢 − 1 → 𝑑𝑝 = 𝑑𝑢
Para la tercera integral hacemos: 𝑣 = 𝑢 − 1 → 𝑑𝑣 = 𝑑𝑢
= −
1
2
∫
𝑑𝑡
𝑡
+
1
2
∫
𝑑𝑝
𝑝
+ ∫
𝑑𝑣
𝑣2
= −
1
2
∫
𝑑𝑡
𝑡
+
1
2
∫
𝑑𝑝
𝑝
+ ∫ 𝑣−2
𝑑𝑣
= −
1
2
ln |𝑡| + 𝑐1 +
1
2
ln |𝑝| + 𝑐2 +
1
2
𝑣−1
−1
+ 𝑐3
= −
1
2
ln |𝑢 + 1 | +
1
2
ln |𝑢 − 1 | −
1
(𝑢 − 1)
+ 𝑐4
= −
1
2
ln |√1 + 𝑥 + 1 | +
1
2
ln |√1 + 𝑥 − 1 | −
1
(√1 + 𝑥 − 1)
+ 𝐶
∴ ∫
𝑑𝑥
𝑥൫√1 + 𝑥 − 1൯
= −
1
2
ln |√1 + 𝑥 + 1 | +
1
2
ln |√1 + 𝑥 − 1 | −
1
(√1 + 𝑥 − 1)
+ 𝐶
51. ∫
𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
Solucion:
Integrando por partes, se tiene:
𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 → 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 =
𝑥
(1 − x2)
1
2
𝑑𝑥 → 𝑣 = ∫
𝑥
(1 − x2)
1
2
𝑑𝑥
Para hallar v, Hacemos 𝑧 = 1 − 𝑥2
→ 𝑑𝑧 = −2𝑥𝑑𝑥 → −2𝑑𝑧 = 𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑣 =
𝑥
(1 − x2)
1
2
𝑑𝑥 → 𝑣 = ∫
−2𝑑𝑧
𝑧
1
2
= −2 ∫ 𝑧−
1
2 𝑑𝑢 = −2
𝑧
1
2
1
2
= −(1 − x2)
1
2
Luego,

49. ∫
𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
= −(1 − x2)
1
2 ln 𝑥 − ∫ −(1 − x2)
1
2
1
𝑥
𝑑𝑥
= −(1 − x2)
1
2 ln 𝑥 + ∫
√1 − x2
𝑥
𝑑𝑥
Sea: 𝑢2
= 1 − 𝑥2
→ 𝑥2
= 1 − 𝑢2
→ 𝑢 = √1 − 𝑥2
→ 2𝑢 𝑑𝑢 = −2𝑥𝑑𝑥 → 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑥 𝑑𝑥 →
𝑢 𝑑𝑢
−𝑥
= 𝑑𝑥
= −(1 − x2)
1
2 ln 𝑥 + ∫
𝑢
𝑥
𝑢 𝑑𝑢
−𝑥
= −(1 − x2)
1
2 ln 𝑥 − ∫
𝑢2
𝑥2
𝑑𝑢
= −(1 − x2)
1
2 ln 𝑥 + ∫
−𝑢2
+ 1 − 1
1 − 𝑢2
𝑑𝑢
= −(1 − x2)
1
2 ln 𝑥 + ∫
1 − 𝑢2
1 − 𝑢2
𝑑𝑢 − ∫
1
1 − 𝑢2
𝑑𝑢
= −(1 − x2)
1
2 ln 𝑥 + ∫ 𝑑𝑢 − ∫
1
1 − 𝑢2
𝑑𝑢
= −(1 − x2)
1
2 ln 𝑥 + 𝑢 + 𝑐1 −
1
2
ln |
𝑢 + 1
𝑢 − 1
| + 𝑐2
= −(1 − x2)
1
2 ln 𝑥 + 𝑢 + 𝑐1 −
1
2
ln |
𝑢 + 1
𝑢 − 1
| + 𝑐2
= −(1 − x2)
1
2 ln 𝑥 + ඥ1 − x2 −
1
2
ln |
√1 − x2 + 1
√1 − x2 − 1
| + 𝐶
∴ ∫
𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
= −(1 − x2)
1
2 ln 𝑥 + ඥ1 − x2 −
1
2
ln |
√1 − x2 + 1
√1 − x2 − 1
| + 𝐶