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Piii taller transformaciones lineales
- 2. • Analizar cada ejercicio formulado para extender nuestro conocimiento y lograr un mejor dominio con las transformaciones lineales.
- 3. Determina cuál de las siguientes funciones, define una transformación lineal 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟑 𝒙 − 𝒚, 𝒙 + 𝒚 𝑻 = ℝ𝟐 → ℝ𝟐 ; 𝑥 𝑦 = 3𝑥 − 3𝑦 3𝑥 + 3𝑦 𝑢 = 𝑥1 𝑦1 ; 𝑣 = 𝑥2 𝑦2 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑹𝟐 ; 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ ∴ 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝑻 𝜶𝒙𝟏 𝜶𝒚𝟏 𝜶𝒛𝟏 + 𝜷𝒙𝟐 𝜷𝒚𝟐 𝜷𝒛𝟐 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝒙𝟏 + 𝜷𝒙𝟐 𝜶𝒚𝟏 + 𝜷𝒚𝟐 𝜶𝒛𝟏 +𝜷𝒛𝟐 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 3 ∝ 𝑥 + ∝ 𝑥 + 𝛽𝑥1 −∝ 𝑦 − 𝛽𝑦1 𝛽𝑥1 +∝ 𝑦 + 𝛽𝑦1 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 3 ∝ 𝑥 − 𝑦 + 𝛽 𝑥1 − 𝑦1 ∝ 𝑥 + 𝑦 + 𝛽 𝑥1 + 𝑦1 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 =3 ∝ 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 𝛽 𝑥1 − 𝑦1 𝑥1 + 𝑦1 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 sí cumple la condición Entonces si es una Transformación lineal
- 4. 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = (𝒙, 𝒚, 𝒛𝟐 ) Nota: Al estar elevado al cuadrado podemos deducir que no es una transformación lineal. 𝑻 = ℝ𝟑 → ℝ𝟑 ; 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝒙 𝒚 𝒛𝟐 𝑢 = 𝑥1 𝑦1 𝑧1 ; 𝑣 = 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑹𝟑 ; 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ ∴ 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 =∝ 𝑇 𝑢 + 𝛽𝑇 𝑣 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝑻 𝜶𝒙𝟏 𝜶𝒚𝟏 𝜶𝒛𝟏 + 𝜷𝒙𝟐 𝜷𝒚𝟐 𝜷𝒛𝟐 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝒙𝟏 + 𝜷𝒙𝟐 𝜶𝒚𝟏 + 𝜷𝒚𝟐 𝜶𝒛𝟏 +𝜷𝒛𝟐 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = ∝ 𝑥1 +𝛽 ∝ 𝑦1 + 𝛽 (∝ 𝑧1)2 + 2( 𝑥2 𝑦2 ∝ 𝑧1)(𝛽𝑧2) + (𝛽𝑧2)2 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 ≠ 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 no cumple la condición Entonces no es una Transformación lineal
- 5. 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛, 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛, 𝒙 − 𝒚 − 𝒛 . 𝑹𝟑 → 𝑹𝟑 = 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛 𝒙 − 𝒚 − 𝒛 𝒖 = 𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏 𝒗 = 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑹𝟑 ; 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ ∴ 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝑻 𝜶𝒙𝟏 𝜶𝒚𝟏 𝜶𝒛𝟏 + 𝜷𝒙𝟐 𝜷𝒚𝟐 𝜷𝒛𝟐 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝒙𝟏 + 𝜷𝒙𝟐 𝜶𝒚𝟏 + 𝜷𝒚𝟐 𝜶𝒛𝟏 +𝜷𝒛𝟐 𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒂 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑥 3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 T 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝛼𝑥1 +𝛽𝑥2 + 2 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2 − 3(𝛼𝑧1+𝛽𝑧2) 3 𝛼𝑥1 +𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2 + 5(𝛼𝑧1+𝛽𝑧2) 𝛼𝑥1 +𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2 − (𝛼𝑧1+𝛽𝑧2) → 𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝛼(𝑥1 + 2𝑦1 − 3𝑧1) + 𝛽(𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2) 𝛼(3𝑥1 − 𝑦1 + 5𝑧1) + 𝛽(3𝑥2 − 𝑦2 + 5𝑧2) 𝛼(𝑥1 − 𝑦1 − 𝑧1) + 𝛽(𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2) 𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝛼 𝑥1 + 2𝑦1 − 3𝑧1 3𝑥1 − 𝑦1 + 5𝑧1 𝑥1 − 𝑦1 − 𝑧1 + 𝛽 𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2 3𝑥2 − 𝑦2 + 5𝑧2 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 sí cumple la condición Entonces si es una Transformación lineal
- 6. 𝑺𝒆𝒂 𝒇 𝒖𝒏𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝑹𝟑 𝒆𝒏 𝑹𝟑 , 𝒔𝒖𝒑𝒐𝒏𝒈𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒇( 𝟏, 𝟎, 𝟏 = 𝟏, −𝟏, 𝟑 𝒚 𝒇( 𝟐, 𝟏, 𝟎 = 𝟎, 𝟐, 𝟏 ; 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒇( −𝟏, −𝟐, 𝟑 ). 𝑻 = 𝑹𝟑 → 𝑹𝟑 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝛼 ฑ 1 0 1 𝑢 + 𝛽 ฑ 2 1 0 𝑣 + 𝛿 ฑ 0 0 0 𝑤 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 ቐ 𝛼 + 2𝛽 + 0 = 𝑥 0 + 𝛽 + 0 = 𝑦 𝛼 + 0 + 0 = 𝑧 → 1 2 0 𝑥 0 1 0 𝑦 1 0 0 𝑧 2𝑓3 − 3𝑓1 → 𝑓3 1 𝛼 2 𝛽 0 𝛿 𝑥 0 1 0 𝑦 0 −2 0 𝑧 − 𝑥 Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3 𝜶 + 𝟐𝜷 = 𝒙 𝛽 = 𝑦 𝒙 = 𝜶 + 𝟐𝜷 → 𝟏 −𝟐𝜷 = 𝒛 − 𝒙 −𝟐𝜷 = 𝒛 − (𝜶 + 𝟐𝜷) −𝟐𝜷 = 𝒛 − 𝜶 − 𝟐𝜷 −𝟐𝜷 = 𝒛 − 𝜶 − 𝟐𝜷 𝜶 = 𝒛 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝛼𝑇 𝑢 + 𝛽𝑇 𝑣 Reemplazamos 𝜶 y 𝜷 𝑻 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝒛 𝟏 −𝟏 𝟑 + 𝒚 𝟎 𝟐 𝟏 → 𝑻 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝒛 𝟏 −𝟏 𝟑 + 𝒚 𝟎 𝟐 𝟏 → 𝑻 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝒛 −𝒛 + 𝟐𝒚 𝟑𝒛 + 𝒚 donde 𝒙 𝒚 𝒛 = −𝟏 −𝟐 𝟑 Y reemplazamos 𝑻 −𝟏 −𝟐 𝟑 = 𝟑 −𝟑 + 𝟐(−𝟐) 𝟑 𝟑 + (−𝟐) → 𝑇 −𝟏 −𝟐 𝟑 = 𝟑 −𝟕 7
- 7. 𝑺𝒆𝒂 𝒇 𝒖𝒏𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝑹𝟑 𝒆𝒏 𝑷𝟐, 𝒔𝒖𝒑𝒐𝒏𝒈𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒇( 𝟏, 𝟏, 𝟏 = 𝟏 − 𝟐𝒕 + 𝒕𝟐 , 𝒇( 𝟐, 𝟎, 𝟎 = 𝟑 + 𝒕 − 𝒕𝟐 , 𝒇( 𝟎, 𝟒, 𝟓 ) = 𝟐 + 𝟑𝒕 + 𝟑𝒕𝟐 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒇( 𝟐, −𝟑, 𝟏 ). 𝑻 = 𝑹𝟑 → 𝑷𝟐 = 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝜶 ฑ 𝟏 𝟏 𝟏 𝒖 + 𝜷 ฑ 𝟐 𝟎 𝟎 𝒗 + 𝜹 ฑ 𝟎 𝟒 𝟓 𝒘 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 + 𝛿 𝑻 𝒘 ቐ 𝜶 + 𝟐𝜷 + 𝟎 = 𝒙 𝜶 + 𝟎 + 𝟒𝜹 = 𝒚 𝜶 + 𝟎 + 𝟓𝜹 = 𝒛 → 𝟏 𝟐 𝟎 𝒙 𝟏 𝟎 𝟒 𝒚 𝟏 𝟎 𝟓 𝒛 𝒇𝟐 − 𝒇𝟏 → 𝒇𝟐 𝒇𝟑 − 𝒇𝟏 → 𝒇𝟑 𝟏 𝟐 𝟎 𝒙 𝟎 −𝟐 𝟒 𝒚 − 𝒙 𝟎 −𝟐 𝟓 𝒛 − 𝒙 𝒇𝟑 − 𝒇𝟐 → 𝒇𝟑 𝟏 𝜶 𝟐 𝜷 𝟎 𝜹 𝒙 𝟎 −𝟐 𝟒 𝒚 − 𝒙 𝟎 𝟎 𝟏 𝒛 − 𝒚 Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3 −2𝛽 + 4𝛿 = 𝑦 − 𝑥 −2𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4𝛿 −2𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4𝛿 −2𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4 𝑧 − 𝑦 𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4 𝑧 − 𝑦 −2 𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4𝑧 + 4𝑦 −2 𝛽 = −𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦 −2 𝛼 + 2𝛽 = 𝑥 𝛼 = 𝑥 − 2𝛽 𝛼 = 𝑥 − 2 −𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦 −2 𝛼 = 𝑥 − −2𝑥 − 8𝑧 + 10𝑦 −2 𝛼 = 𝑥 + 2𝑥 + 8𝑧 − 10𝑦 −2 𝛼 = 𝑥 + 2𝑥 + 8𝑧 − 10𝑦 −2 𝛼 = −2𝑥 + 2𝑥 + 8𝑧 − 10𝑦 −2 𝛼 = 8𝑧 − 10𝑦 −2 𝛿 = 𝑧 − 𝑦
- 8. 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 = 8𝑧 − 10𝑦 −2 1 −2 1 + −𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦 −2 3 1 −1 + 𝑧 − 𝑦 2 3 3 𝑇 𝑥 = 8𝑧 − 10𝑦 −2 1 + −𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦 −2 3 + 𝑧 − 𝑦 2 𝑇 𝑥 = = 8𝑧 − 10𝑦 −2 + −3𝑥 − 12𝑧 + 15𝑦 −2 + 2𝑧 − 2𝑦 𝑇 𝑥 = 8𝑧 − 10𝑦 − 3𝑥 − 12𝑧 + 15𝑦 − 4𝑧 + 4𝑦 −2 𝑇 𝑥 = −3𝑥 + 9𝑦 − 8𝑧 −2 𝑇 𝑦 = 8𝑧 − 10𝑦 −2 −2 + −𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦 −2 1 + 𝑧 − 𝑦 3 𝑇 𝑦 = −16 + 20𝑦 −2 + −𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦 −2 + 3𝑧 − 3𝑦 𝑇 𝑦 = −16𝑧 + 20𝑦 − 𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦 − 6𝑧 + 6𝑦 −2 𝑇 𝑦 = −𝑥 + 31𝑦 − 26𝑧 −2 𝑇 𝑧 = 8𝑧 − 10𝑦 −2 1 + −𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦 −2 −1 + 𝑧 − 𝑦 3 𝑇 𝑧 = 8𝑧 − 10𝑦 −2 + 𝑥 + 4𝑧 − 5𝑦 −2 + 3𝑧 − 3𝑦 𝑇 𝑧 = 8𝑧 − 10𝑦 + 𝑥 + 4𝑧 − 5𝑦 − 6𝑧 + 6𝑦 −2 𝑇 𝑧 = 𝑥 − 9𝑦 + 6𝑧 −2 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 = −3𝑥+9𝑦−8𝑧 −2 −𝑥+31𝑦−26𝑧 −2 𝑥+9𝑦−6𝑧 −2 donde 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝟐 −𝟑 𝟏 Y reemplazamos 𝑇 2 −3 1 = −3 2 + 9(−3) − 8 −2 −(2) + 31(−3) − 26 −2 1 − 9(−3) + 6 −2 𝑇 2 −3 1 = 41 2 121 2 35 −2
- 9. Conclusiones Las transformaciones lineales se las puede representar por medio de una matriz donde su resolución tendremos que aplicar los teoremas ya vistos en clase para así comprobar si es o no una transformación lineal.