ejercicios propuestos de un taller

1. I. TEMA • Transformaciones Lineales
II. OBJETIVO
• Resolver los siguientes problemas algebraicos mediante la
aplicación de conocimientos referentes a comprobación e
igualación de transformaciones lineales.

2. 𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝛼𝑇(𝑢) + 𝛽𝑇(𝑣)
𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝑇
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦
𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = T 𝛼
𝑥1
𝑦1
+𝛽
𝑥2
𝑦2
𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = T
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2
III. RESOLUCION DE EJERCICIOS
DETERMINAR CUÁL DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES, DEFINE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.
1.− F((X,Y)) = 3(X − Y, X + Y)
∀ 𝑢, 𝑣 ℝ2^ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ
𝑢 =
𝑥1
𝑦1
, 𝑣 =
𝑥2
𝑦2
𝐹
𝑥
𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦

3. • 𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 =
3𝛼𝑥1 + 3𝛽𝑥2 + 3𝛼𝑦1 + 3𝛽𝑦2
3𝛼𝑥1 + 3𝛽𝑥2 − 3𝛼𝑦1 + 3𝛽𝑦2
• 𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 =
3𝛼𝑥1 + 3𝛽𝑥2 + 3𝛼𝑦1 + 3𝛽𝑦2
3𝛼𝑥1 + 3𝛽𝑥2 − 3𝛼𝑦1 − 3𝛽𝑦2
• 𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝛼
3𝑥1 + 3𝑦1
3𝑥1 − 3𝑦1
+ 𝛽
3𝑥2 + 3𝑦2
3𝑥2 + 3𝑦2
• 𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝛼 3
𝑥1 − 𝑦1
𝑥1 + 𝑦1
+ 𝛽 3
𝑥2 − 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
𝑇 𝑢𝛼 + 𝑣𝛽 = 𝛼𝑇 𝑢 + 𝛽𝑇 𝑣
𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑇𝑅𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

4. 𝑇 𝑢𝛼 + 𝑣𝛽 = 𝛼𝑇 𝑢 + 𝛽𝑇 𝑣
𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝑇
𝛼𝑥1
𝛼𝑦1
𝛼𝑧1
+
𝛽𝑥2
𝛽𝑦2
𝛽𝑧2
𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝑇
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2
𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧2
𝟐. 𝒇((𝒙, 𝒚, 𝒛)) = (𝒙, 𝒚, 𝒛𝟐)
∀ 𝑢, 𝑣 ℝ3
^ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ
𝑢 =
𝑥1
𝑦1
𝑧1
𝑣 =
𝑥2
𝑦2
𝑧2

5. 𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 =
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2
(𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧2)2
𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 =
𝛼𝑥1
𝛼𝑦1
𝛼2
𝑧1
2
+ 𝛼𝐵𝑧1𝑧2
+
𝛽𝑥2
𝛽𝑦2
𝛽𝑧2
2
𝑧1𝑧2
𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 ≠ 𝛼
𝛼𝑥1
𝛼𝑦1
𝛼𝑧1
2 + 𝛼𝐵𝑧1𝑧2
+ 𝛽
𝛽𝑥2
𝛽𝑦2
𝛽𝑧2
2 + 𝐵𝑧1𝑧2
𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑇. 𝐿

6. 3.- F 𝒙, 𝒚, 𝒛 = (𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 ; 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛 ; 𝒙 − 𝒚 − 𝒛)
DESARROLLO:
∀ 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ ⋀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ ; 𝑇(𝛼𝑢 + 𝛽𝑣) = 𝛼𝑇(𝑢) + 𝛽𝑇(𝑣)
SEA 𝑢 =
𝑥1
𝑦1
𝑧1
𝑣 =
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑇(𝛼𝑝 + 𝛽𝑞) = 𝑇
𝛼𝑥1
𝛼𝑦1
𝛼𝑧1
𝛽𝑥2
𝛽𝑦2
𝛽𝑧2
𝑇 =
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2
𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧2

7. TRANSFORMACION:
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 + 2(𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2) − 3(𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧2)
3(𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2) − (𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2) + 5(𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧2)
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 − (𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2) − (𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧2)
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 + 2𝛼𝑦1 + 2𝛽𝑦2 − 3𝛼𝑧1 − 3𝛽𝑧2
3𝛼𝑥1 + 3𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 − 𝛽𝑦2 + 5𝛼𝑧1 + 5𝛽𝑧2
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 − 𝛽𝑦2 − 𝛼𝑧1 − 𝛽𝑧2

8. RESPUESTA:
𝛼
𝑥1 + 2𝑦1 − 3𝑧1
3𝑥1 − 𝑦1 + 5𝑧1
𝑥1 − 𝑦1 − 𝑧1
+ 𝛽
𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2
3𝑥2 − 𝑦2 + 5𝑧2
𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2
𝑇(𝑢𝛼 + 𝑣𝛽) = 𝛼𝑇(𝑢) + 𝛽𝑇(𝑣) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑇. 𝐿

9. 6.- SEA F UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DE 𝑹𝟑
𝐞𝐧 𝑹𝟑
, SUPONGA QUE
𝐟 (𝟏 , 𝟎 , 𝟏) = (𝟏, −𝟏, 𝟑) 𝐲 𝐟 (𝟐, 𝟏, 𝟎) = (𝟎, 𝟐, 𝟏); 𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐞 𝐟 (−𝟏, −𝟐, 𝟑)
DESARROLLO:
𝑇
1
0
1
=
1
−1
3
; 𝑇
2
1
0
=
0
2
1
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝛼
1
0
1
+ 𝛽
2
1
0
𝑇(𝛼𝑢 + 𝛽𝑣) = 𝛼𝑇(𝑢) + 𝛽𝑇(𝑣)
𝑥 = 𝛼 + 2𝛽 𝛼 = 𝑥 − 2𝑦
𝑦 = 𝛽 𝑧 = 𝛼 𝛽 =
𝑥 − 𝑧
2

10. TRANSFORMACION:
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝑇 𝛼
1
0
1
+ 𝛽
2
1
0
= 𝛼𝑇
1
0
1
+ 𝛽𝑇
2
1
0
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑥 − 𝑧
2
1
0
1
+ 𝑥 − 2𝑦
2
1
0
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
5𝑥 − 8𝑦 − 𝑧
2
𝑥 − 2𝑦
𝑥 − 𝑧
2

11. 𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐞 𝐟 (−𝟏, −𝟐, 𝟑):
𝑇
−1
−2
3
=
5𝑥 − 8𝑦 − 𝑧
2
𝑥 − 2𝑦
𝑥 − 𝑧
2
𝑇
−1
−2
3
= =
5(−1) − 8(−2) − (3)
2
(−1) − 2(−2)
(−1) − (3)
2
𝑇
−1
−2
3
==
4
3
−2

12. • 7. 𝑺𝒆𝒂 𝒇 𝒖𝒏𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒅𝒆 ℝ𝟑 𝒆𝒏 𝑷𝟐 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇((𝟏, 𝟏, 𝟏)) = 𝟏 – 𝟐𝒕 + 𝒕𝟐,
𝒇((𝟐, 𝟎, 𝟎)) = 𝟑 + 𝒕 – 𝒕𝟐
, 𝒇((𝟎, 𝟒, 𝟓)) = 𝟐 + 𝟑𝒕 + 𝟑𝒕𝟐
; 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒇((𝟐, −𝟑, 𝟏)).
Decimos que 𝑇: ℝ3
→ 𝑃2 SI 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛿 ∈ ℝ ∧ 𝑃2 =
𝑡0
𝑡1
𝑡2
𝑇𝑢
1
1
1
=
1
−2
1
𝑇𝑣
2
0
0
=
3
1
−1
𝑇𝑤
0
4
5
=
2
3
3
Podemos expresar el
conjunto de vectores como
una combinación lineal
donde 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 ℝ
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝛼
1
1
1
+ 𝛽
2
0
0
+ 𝛿
0
4
5
𝛼 + 2𝛽 = 𝑥
𝛼 + 4𝛿 = 𝑦
𝛼 + 5𝛿 = 𝑧
Sistemas de
ecuaciones:

13. • 𝐴 =
1
1
1
2 0
0 4
0 5
𝑥
𝑦
𝑧
𝐹2−𝐹1→ 𝐹2 𝑦 𝐹3−𝐹1→ 𝐹3
- Resolvemos el sistema de
ecuaciones
𝐴 =
1
0
0
2 0
−2 4
−2 5
𝑥
𝑦 − 𝑥
𝑧 − 𝑥
𝐹3−𝐹2→ 𝐹3
𝐴 =
1
0
0
2 0
−2 4
0 1
𝑥
𝑦 − 𝑥
𝑧 − 𝑦
𝛿 = 𝑧 − 𝑦
De la matriz escalonada puedo despejar 𝛿:
Despejamos la variable 𝛽
𝛽 =
𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧
2
−2𝛽 + 4𝛿 = 𝑦 − 𝑥
−2𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4(𝑧 − 𝑦)
−2𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4𝑧 + 4𝑦

14. Por Último, despejamos 𝛼:
• 𝛼 + 2𝛽 = 𝑥 𝛼 = 𝑥 − 2
𝑥−5𝑦+4𝑧
2
𝛼 + 2𝛽 = 𝑥 𝛼 = 𝑥 − 2
𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧
2
𝛼 = 5𝑦 − 4𝑧
Realizamos la transformación lineal.
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 + 𝛿𝑤 = 𝛼𝑇 𝑢 + 𝛽𝑇 𝑣 + 𝛿𝑇 𝑤

15. • 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= (5𝑦 − 4𝑧)𝑇 𝑢 +
𝑥−5𝑦+4𝑧
2
𝑇 𝑣 + (𝑧 − 𝑦)𝑇(𝑤)
• 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
2(5𝑦 − 4𝑧)
1
−2
1
+ 𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧
3
1
−1
+ 2(𝑧 − 𝑦)
2
3
3
Resolveremos por filas la transformación lineal
a) Primera fila
𝐹1 = 10𝑦 − 8𝑧 + 3𝑥 − 15𝑦 + 12𝑧 ∓ 4𝑧 − 4𝑦
𝐹1 = 3𝑥 − 9𝑦 + 8𝑧

16. • Segunda fila
𝐹2 = −20𝑦 + 16𝑧 + 𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 + 6𝑧 − 6𝑦
𝐹2 = 𝑥 − 31𝑦 + 26𝑧
• Tercera fila
𝐹3 = 10𝑦 − 8𝑧 − 𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 + 6𝑧 − 6𝑦
𝐹3 = −𝑥 + 9𝑦 − 6𝑧
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
3𝑥 − 9𝑦 + 8𝑧
𝑥 − 31𝑦 + 26𝑧
−𝑥 + 9𝑦 − 6𝑧
La matriz nos queda:

17. 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒇 𝟐, −𝟑, 𝟏
• 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
3 2 − 9(−3) + 8(1)
2 − 31(−3) + 26(1)
−(2) + 9(−3) − 6(1)
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
3 + 27 + 8
2 + 93 + 26
−2 − 27 − 6
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
38
121
−35

18. IV. ENLACE A SLIDESHARE