Una breve introduzioni alle funzioni matematiche.

1. 1
FUNZIONI
MATEMATICHE
DANIELA MAIOLINO
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
-15 -10 -5 0 5 10 15
y=[(x+1)/(x-1)]^2

2. 2
Introduzione
 Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di
due grandezze, l’una rispetto l’altra, quando tra le due esiste un
legame di tipo matematico.
La teoria dell’analisi delle funzioni è utilizzata in tutte le
materie scientifiche
 Dall’esame del grafico di una funzione si possono dedurre molte
proprietà come ad esempio:
 se in un certo intervallo la funzione è sempre crescente o
decrescente;
 per quali valori delle variabili è definita;
 quali sono gli eventuali massimi e minimi che essa assume;
 in quali punti interseca gli assi cartesiani;
 se è simmetrica rispetto agli assi o all’origine degli stessi;
 altro.

3. 3
Y
DEFINIZIONE DI FUNZIONE MATEMATICA
 è una relazione di tipo matematico (addizione,
sottrazione, moltiplicazione, divisione, estrazione
di radice, potenza, ecc..), che ad un qualunque
valore x (variabile indipendente), fa
corrispondere una ed una sola y (variabile
dipendente).
X
A f B
Ad ogni x di A corrispondono immagini y di B.

4. 4
FUNZIONI BIUNIVOCHE INVERTIBILI
LA FUNZIONE BIUNIVOCA è quella funzione in cui
si verifica che ad ogni y corrisponde una ed una sola
x come ad ogni x corrisponde una ed una sola y.
A f B
y
x
LA FUNZIONE INVERSA della f(x), detta f-1(x), è la
funzione che agli elementi dell'insieme B associa
uno ed un solo elemento dell'insieme A.
Le funzioni biunivoche sono invertibili
f -1

5. 5
DOMINIO E CODOMINIO DI UNA FUNZIONE
 L'insieme A, costituito da tutti i valori che può
assumere la variabile indipendente x, si chiama
DOMINIO della funzione o CAMPO DI
ESISTENZA e dipende dal tipo di legame
(espressione matematica) che c'è tra la x e la y.
Mentre le immagini y corrispondenti alle x di A
sono contenuti in un insieme B che si chiama
CODOMINIO.
 Il DOMINIO di una funzione è costituito
dall'insieme dei valori reali che può assumere
la x affinché si possa determinare il
corrispondente valore della y.
Y
X
DOMINIO f CODOMINIO

6. 6
CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI
Le funzioni analitiche, che noi studiamo, si possono dividere in due grandi
classi:
ALGEBRICHE (quando il legame tra x e y si riduce ad una equazione
algebrica di grado qualunque):
- f. razionali intere y=x3+3x2-7
- f. razionali fratte y =
- f. irrazionali y=
TRASCENDENTI (funzione non algebrica):
- f. goniometriche y= senx
f. logaritmiche y=loga x (a>0; a≠1)
- f. esponenziali y= ax
3
2 3

x
1
1


x
x

7. 7
DEFINIZIONE DI FUNZIONE PARI - DISPARI
 Definizione di funzioni pari:
una funzione si dice pari quando f(x)=f(-x) qualunque x
reale; tali funzioni sono simmetriche rispetto all'asse y.
Definizione di funzioni dispari:
una funzione si dice dispari quando f(-x)= - f(x) qualunque x
reale; tali funzioni sonno simmetriche rispetto all'origine degli
assi. y y
x x
f. pari
f. dispari

8. 8
GRAFICO DI UNA FUNZIONE
 Fissato nel piano un sistema di riferimento XOY cartesiano
ortogonale e data la y=f(x) definita in un certo intervallo di estremi
(a;b), attribuendo alla x dei valori, di volta in volta, variabili tra a e b
possiamo calcolare, in base al legame espresso nella funzione, la y
corrispondente. Ogni coppia x e y individua nel piano un punto della
curva.
Per x= x1--------->f(x1)=y1-----------> P1(x1;y1)
Per x= x2--------->f(x2)=y2-----------> P2(x2;y2)
.
.
.
Per x= xn--------->f(xn)=yn-----------> Pn(xn;yn)
 La curva passante per tutti i punti calcolati rappresenta il grafico
della funzione espressa dalla legge y=f(x).
y
x
P1
1
P2
Pn

9. 9
INTERSEZIONI CON GLI ASSI
 Le coordinate dei punti di intersezione del grafico
di una funzione con gli assi cartesiani si
determinano risolvendo l’equazione che si ottiene
ponendo nella equazione y=f(x)
 x=0 (per l’intersezione con l’asse y)
 y=0 (per l’intersezione con l’asse x)
(x1;0)
(0;y1)
(x2;0)
Y
y
x

10. 10
DETERMINAZIONE DEL SEGNO DI UNA
FUNZIONE
 Per determinare il segno di una funzione,
ovvero per quali valori della x essa
assume valori positivi o negativi
all'interno del C.E., basta risolvere la
disequazione f(x)>0.

11. 11
DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI
ESISTENZA
 Funzioni razionali intere
 Sono definite qualunque valore assume
la x (perché le operazioni presenti nella
funzione si possono eseguire qualunque
è il valore della x, e quindi si può
determinare sempre il corrispondente y).
 Y= 4x4-3x2+1 C.E.  x  R 

12. 12
 Funzioni razionali fratte
 Sono definite qualunque valore assume la x
tranne che per i valori che annullano il
denominatore (perché le operazioni presenti
nella funzione si possono eseguire solo se il
denominatore è diverso da zero, in caso
contrario non esiste il corrispondente y).
 C.E.  x  R-{1} -1) (-1; 1 (1; 
1
1
2



x
x
y
DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI
ESISTENZA

13. 13
 Funzioni irrazionali
 In questo caso bisogna vedere se l'indice del radicale è pari o
dispari. Se è pari allora sono definite qualunque valore
assume la x tranne che per i valori che rendono il radicando
negativo; se è dispari sono definite qualunque valore assume
la x. Quindi:
 radicale con indice pari C.E. si ha risolvendo
RADICANDO ≥ 0
 radicale con indice dispari C.E. si ha  x  R

DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI
ESISTENZA
1
2

 x
y C.E.  x  R

14. 14
 Funzioni composte
 Quando la funzione è composta,
sarà necessario risolvere un
sistema che includerà tutte le
imposizioni fatte per ciascun tipo di
funzione.
)
;
( 
 )
;
( 

DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI
ESISTENZA

15. 15
)
;
( 

)
;
( 

FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI