Il documento tratta del calcolo infinitesimale, una branca della matematica dedicata allo studio delle funzioni di una o più variabili, suddiviso in calcolo differenziale e integrale. Viene esplorata la sua storia, le derivazioni, i teoremi fondamentali, le applicazioni e il concetto di integrale, sia indefinito che definito, oltre alle tecniche di integrazione. Infine, si discute delle applicazioni del calcolo infinitesimale nella fisica e si forniscono riferimenti bibliografici.

1. Laboratorio di tecnologie dell’istruzione e dell’apprendimento IL CALCOLO INFINITESIMALE IL CALCOLO INFINITESIMALE Studentesse: Ciotola Antonella De Biase Giuliana Tomasso Francesca

2. INDICE Cenni storici Il Calcolo differenziale Derivata Teoremi fondamentali sul calcolo differenziale Applicazioni Il calcolo integrale Integrale Indefinito e Integrale definito Teoremi fondamentali sugli integrali Applicazioni IL CALCOLO INFINITESIMALE

3. INTRODUZIONE Ramo della matematica che ha per oggetto lo studio delle proprietà delle funzioni di una o più variabili. Per convenzione, si usa suddividere il calcolo infinitesimale in: calcolo differenziale , che approfondisce il comportamento delle funzioni nell’operazione di derivazione, calcolo integrale , che studia le proprietà delle funzioni nell’operazione di integrazione. Il calcolo infinitesimale è essenziale per la formalizzazione matematica dei fenomeni naturali e viene utilizzato come strumento di lavoro in tutte le discipline di scienze fisiche. IL CALCOLO INFINITESIMALE

4. QUADRO STORICO Antica Grecia Democrito Eudosso e Archimede XVII Secolo Cavalieri e Torricelli Cartesio e Pierre de Fermat Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz XVIII Secolo XIX Secolo XX Secolo Bolzano e Cauchy Cauchy e Riemann Dedekind e Weierstrass volume della piramide e del cono area del cerchio sviluppo degli infinitesimi aree sottese da curve assegnate e tangenti ad esse Teorema fondamentale del calcolo infinitesimale Limiti Derivate IL CALCOLO INFINITESIMALE

5. Derivata di una funzione reale a variabile reale IL CALCOLO INFINITESIMALE

6. La derivata di una funzione è uno dei cardini dell’analisi matematica e del calcolo infinitesimale IL CALCOLO INFINITESIMALE

7. Derivata destra e derivata sinistra Si chiama derivata destra di f in x 0 il: Si chiama derivata sinistra di f in x 0 il: IL CALCOLO INFINITESIMALE

8. Significato geometrico Il valore della derivata di f(x) calcolata in x 0 ha un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata nel grafico nel punto di coordinate (x 0 , f(x 0 )). L’equazione della retta tangente è Se f(x) è derivabile nel punto x0 allora esiste una funzione o(|x-x 0 |) definita in un intorno di x0 tale che: con IL CALCOLO INFINITESIMALE

9. Teorema di continuità Il teorema asserisce che se f ( x ) è derivabile in x 0 allora f ( x ) è anche continua in x 0 . Notiamo che l'opposto non è sempre vero: ad esempio, la funzione f ( x ) = | x | è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto x = 0, perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra. Dimostrazione La dimostrazione si effettua con l'uguaglianza f ( x ) = f ( x 0 ) + f '( x 0 )( x − x 0 ) + o ( x − x 0 ) da cui: Quindi la funzione è continua in x 0 IL CALCOLO INFINITESIMALE

10. Punti di massimo e minimo di una funzione Teorema di Fermat sia f(x) una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto x 0 sia x 0 un punto interno al dominio della funzione f sia x 0 un punto di massimo o di minimo della funzione f allora la derivata della funzione in x 0 è nulla, cioè f '( x 0 ) = 0. Questo teorema è molto usato nello studio della funzione dato che definisce la possibilità di avere un punto di massimo o di minimo dove la funzione derivata si annulla. IL CALCOLO INFINITESIMALE

11. Osservazioni E’ indispensabile che x 0 sia interno al dominio la funzione deve essere derivabile nel punto x 0 , altrimenti il teorema non ha senso. Ogni punto in cui la f '( x ) si annulla (cioè è uguale a zero) è chiamato punto stazionario. I massimi e minimi relativi sono chiamati punti stazionari di f '( x ). IL CALCOLO INFINITESIMALE

12. Teorema di Rolle Sia f ( x ) una funzione continua nell'intervallo chiuso [ a , b ] e derivabile nell'intervallo aperto ( a , b ). Se f ( a ) = f ( b ) allora esiste un punto x 0 appartenente all'intervallo aperto ( a , b ) di f' ( x ) dove la derivata prima si annulla. IL CALCOLO INFINITESIMALE

13. Teorema di Lagrange Sia f ( x ) una funzione continua in [ a , b ] e derivabile in ( a , b ), allora esiste almeno un punto x 0 appartenente ad ( a , b ) per cui: Il teorema afferma che esiste almeno un punto del grafico della funzione ( x 0 , f ( x 0 )) in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della corda della retta passante per i punti ( a , f ( a )) e ( b , f ( b )). Questo teorema è una generalizzazione del precedente in quanto analizza il caso in cui f ( a ) è diverso da f ( b ), se invece f ( a ) è uguale a f ( b ) si ricade nel Teorema di Rolle. IL CALCOLO INFINITESIMALE

14. Teorema di Cauchy Siano f ( x ) e g ( x ) funzioni continue in [ a , b ] e derivabili in ( a , b ) con g' ( x ) diversa da 0 per ogni punto dell'intervallo, allora esiste almeno un punto x 0 appartenente ad ( a , b ) per cui: Considerando in particolare la funzione g ( t ) = t , si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange. IL CALCOLO INFINITESIMALE

15. Teorema di crescenza e decrescenza Sia f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora : Se e solo se la funzione è crescente in (a,b) Se se e solo se la funzione è decrescente in (a,b) La funzione può non essere strettamente crescente (o decrescente). Il teorema è direttamente ricavabile dall'enunciato di Lagrange. IL CALCOLO INFINITESIMALE

16. Derivata di una serie di potenze Una funzione espressa come serie di potenze con raggio di convergenza r è continua e derivabile su tutto l'intervallo (- r , r ). La derivata può essere calcolata derivando termine a termine la serie nel modo seguente: Questo tipo di derivata è importante per lo sviluppo della serie di Taylor e Mc-Laurin. IL CALCOLO INFINITESIMALE

17. Regole di derivazione Derivate semplici Derivate di funzioni IL CALCOLO INFINITESIMALE

18. E’ possibile rappresentare degli esempi attraverso programmi di programmazione che permettono di vedere, attraverso degli algoritmi, il grafico delle derivate. Vediamo come, attraverso il programma MATLAB, si sviluppa la funzione: y = 3 sen5x+2 cos5x IL CALCOLO INFINITESIMALE

19. IL CALCOLO INFINITESIMALE ESERCIZI 1. y=x 3 sen 2x 2. y = x 2 e x + x e 3. y = 4x 2 cos(4x 3 +6x+2) 4. y = 2 arctag e 2x 5. y = sen 3 x 4

20. La teoria degli integrali IL CALCOLO INFINITESIMALE

21. Si dice integrale indefinito di una data funzione f(x) la totalità della primitive della funzione f(x), in simboli: IL CALCOLO INFINITESIMALE Si dice che F(x) è una primitiva della funzione f(x) se si verifica che: F'(X) = f(x) Integrale indefinito

22. Metodi di integrazione Integrazione per scomposizione: Integrazione per parti: Integrazione per sostituzione:

23. IL CALCOLO INFINITESIMALE Integrale definito Sia f una funzione definita sull'intervallo I = [ a , b ], f : [ a , b ]  R , limitata su tale intervallo. Si scelgono n + 1 punti nell'intervallo [ a , b ] dei quali il primo coincidente con a e l'ultimo con b : a = x 0 < x 1 < ... < x n = b. Si indica tale suddivisione dell'intervallo [ a , b ] con D. Si pone: m i = inf { f ( x ) : x i  1 < x < x i } e M i = sup {f (x) : x i  1 < x < x i } somma inferiore somma superiore La funzione f si dice integrabile in [a, b] secondo Riemann se: ed il valore comune di questi due estremi si chiama integrale di f in [a, b] e si indica , [a, b] si dice dominio di integrazione , f funzione integranda .

24. Significato geometrico Se per ogni x Î [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile allora rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a £ x £ b, 0 £ y £ f(x)}

25. Proprietà dell’integrale 1. 2. 3. 4. 5.

26. Teorema del valor medio Sia f una funzione continua sull'intervallo [ a , b ], allora esiste almeno un punto c є Î [ a , b ] tale che

27. Funzione integrale Fissato x 0 є [ a , b ], per funzione integrale si intende la funzione F definita sull'intervallo [ a , b ]:

28. Teorema di Torricelli- Barrow o Teorema fondamentale del calcolo integrale Sia f una funzione continua sull'intervallo [ a , b ], allora la funzione integrale F ( x ) è derivabile in ( a , b ) e si ha: F'(x) = f (x)

29. Corollario delTeorema di Torricelli- Barrow Sia f una funzione continua sull'intervallo [ a , b ], sia G una primitiva di f allora si ha:

30. Calcolo delle Aree (1) Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], dopo aver diviso l’intervallo in n parti, indichiamo con m i = min f(x) e con M i = max f(x) nell’intervallino i-esimo di ampiezza h h s n = AreaPluriRett inscr. =  m i  h S n = AreaPluriRett circo. =  M i  h ARett circo. = M i  h ARett inscr. = m i  h B x y C A b a D m i M i i B x y C A b a D

31. Def. Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], si dice Integrale definito di f(x) relativo all’intervallo [a, b] il limite Calcolo delle Aree (2) e si indica con Allora, possiamo dare la seguente definizione:

32. Integrali Immediati IL CALCOLO INFINITESIMALE Il Puzzle degli Integrali Integrali

33. Il calcolo infinitesimale trova applicazioni anche nella fisica: Introduciamo il concetto di Campo Applicazioni nella Fisica

34. Bibliografia e Fonti http://it.encarta.msn.com/encyclopedia_761568582/Calcolo_infinitesimale.html Lamberto Lamberti, Laura Mereu, Augusta Nanni, Nuovo MATEMATICA TRE - Analisi, Etas Libri. http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale http://dinamico2.unibg.it/ctd/matgen/index.html FINE IL CALCOLO INFINITESIMALE