1. UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TORINO
FACOLTA’ DI SCIENZE M.F.N.
Corso di Laurea in Matematica
Funzioni L di Dirichlet e alcune
generalizzazioni
Candidato:
Francesco Giordano
Relatore:
Prof.ssa Lea Terracini
Sessione di aprile 2012
Anno Accademico 2010-2011
3. Introduzione e ringraziamenti
In questa tesi si introduce in modo elementare l’argomento delle funzioni L
di Dirichlet, strumenti di fondamentale importanza nella Teoria Analitica
dei Numeri e in generale nella matematica.
Il loro studio `e strettamente correlato e generalizza la celebre funzione
Zeta di Riemann
ζ(s) =
+∞
n=1
1
ns
Per introdurre l’argomento `e stato necessario studiare prima le fonda-
mentali propriet`a delle funzioni aritmetiche e infine introdurre il concetto
di carattere di Dirichlet
L’attenzione si `e poi focalizzata sulle funzioni aritmetiche periodiche,
di cui i caratteri sono un caso particolare.
Sotto determinate ipotesi strutturali, i caratteri di Dirichlet risultano
essere generatori di tutte le funzioni aritmetiche periodiche, pertanto a que-
st’ultime e soprattutto alle rispettive serie di Dirichlet si possono estendere
molti risultati concernenti le funzioni L.
Desidero ringraziare i miei genitori per il sostegno e la pazienza durante
questi anni, mia sorella per avermi supportato durante i momenti difficili
e infine la Prof.ssa Lea Terracini per avermi guidato con professionalit`a e
gentilezza nella stesura della relazione.
iii
4. iv INTRODUZIONE E RINGRAZIAMENTI
No discovery of mine has made, or is likely to make, directly
or indirectly, for good or ill, the least difference to the
amenity of the world.
G. H. Hardy
5. Notazioni usate
• (m, n) = MCD(m, n)
• {m, n} = mcm(m, n)
• N := {1, 2, . . . }
• χ, χq
Carattere di Dirichlet, modulo q se necessario evidenziarlo
• ψ, ψm
Carattere primitivo di Dirichlet, modulo m se necessario evi-
denziarlo
• Um = Z∗
m Gruppo moltiplicativo degli invertibili di Zm
• C∗
= C {0} Gruppo moltiplicativo di C.
• fq
Funzione aritmetica periodica, di periodo q, se necessario eviden-
ziarlo.
• pk Funzione aritmetica polinomio, di grado k, se necessario eviden-
ziarlo.
v
9. Capitolo 1
Funzioni aritmetiche
Di qui in seguito a ogni numero naturale n `e associata la sua fattorizzazione
standard
n =
k
i=1
pei
i (1.1)
Si dice funzione aritmetica una funzione f : N → C.
Una funzione aritmetica si dice moltiplicativa se
f(mn) = f(m)f(n) per ogni m, n ∈ N tali che (m, n) = 1 (1.2)
completamente moltiplicativa se
f(mn) = f(m)f(n) per ogni m, n ∈ N (1.3)
additiva se
f(mn) = f(m) + f(n) per ogni m, n ∈ N tali che (m, n) = 1 (1.4)
completamente additiva se
f(mn) = f(m)f(n) per ogni m, n ∈ N (1.5)
Data la (1.1) si deduce immediatamente che `e sufficiente defini-
re una funzione moltiplicativa/additiva (completamente moltiplicati-
va/completamente additiva) sulle potenze di numeri primi (sui numeri
primi) per estenderla a tutto l’insieme N. Inoltre per ogni funzione molti-
plicativa/completamente moltiplicativa (additiva/completamente additiva)
risulta f(1) = 1 (f(1) = 0).
1
10. 2 CAPITOLO 1. FUNZIONI ARITMETICHE
1.1 Funzioni aritmetiche classiche
Elenchiamo nel classico alcune funzioni aritmetiche di rilevante importanza.
• La funzione 0(·)
0(n) := 0 (1.6)
costantemente uguale a 0 per ogni n ∈ N.
• La funzione 1(·)
1(n) := 1 (1.7)
costantemente uguale a 1 per ogni n ∈ N `e completamente mol-
tiplicativa.
• La funzione identit`a I(·)
I(n) := n (1.8)
`e completamente moltiplicativa.
• La funzione potenza α-esima Iα
(·)
Iα
(n) := nα
(1.9)
`e completamente moltiplicativa.
• La funzione e(·)
e(n) :=
1 se n = 1
0 altrimenti
(1.10)
`e completamente moltiplicativa.
• La funzione di Mobius µ(·) definita da
µ(n) :=
1 se n = 1
(−1)k
se n = p1 · · · pk con pi distinti
0 altrimenti
(1.11)
µ(n) `e moltiplicativa.
11. 1.1. FUNZIONI ARITMETICHE CLASSICHE 3
• La funzione di Eulero ϕ(·) definita da
ϕ(n) := # {a ∈ N : 1 ≤ a ≤ n, (a, n) = 1} (1.12)
che conta i numeri minori di n e primi con esso, `e moltiplicativa. Vale
la formula
ϕ(n) =
k
i=1
pei−1
i (pi − 1) = n
k
i=1
1 −
1
pi
(1.13)
• La funzione dei divisori τ(·) definita da
τ(n) := #{d ∈ N : d|n} =
d|n
1 (1.14)
che conta i divisori di n `e moltiplicativa. Vale la formula
τ(n) =
k
i=1
(ei + 1) (1.15)
• La funzione della somma dei divisori σ(·) definita da
σ(n) :=
d|n
d (1.16)
`e moltiplicativa. Vale la formula
σ(n) =
k
i=1
pei+1
i − 1
pi − 1
(1.17)
• La funzione di Mangoldt Λ(·) definita da
Λ(n) :=
log p se n = pm
con m ≥ 1
0 altrimenti
(1.18)
non `e moltiplicativa.
• La funzione dei fattori primi ω(·) definita da (ricordando la (1.1))
ω(n) :=
0 se n = 1
k altrimenti
(1.19)
conta i fattori primi distinti di un numero n ed `e additiva.
12. 4 CAPITOLO 1. FUNZIONI ARITMETICHE
• La funzione dei fattori primi Ω(·) definita da (ricordando la (1.1))
Ω(n) :=
0 se n = 1
ei altrimenti
(1.20)
conta i fattori primi di un numero n ed `e completamente additiva.
• La funzione di Liouville λ(·) definita da
λ(n) := (−1)Ω(n)
(1.21)
`e completamente moltiplicativa.
• La funzione s-esima dei divisori τs(·), (s ∈ N) definita da
τs(n) :=
d1···ds=n
1 (1.22)
conta il numero di decomposizioni di n come prodotto di s fattori
positivi. Per ogni s, τs `e moltiplicativa e in particolare si ha τ1 ≡ 1 e
τ2 ≡ τ.
Vale la formula
τs(n) =
k
i=1
ei + s − 1
ei
(1.23)
• La funzione somma delle α-esime potenze dei divisori σα(n),
(α ∈ R) definita da
σα(n) :=
d|n
dα
(1.24)
Per ogni α, σα `e moltiplicativa e in particolare si ha σ0 ≡ τ e σ1 ≡ σ.
Vale la formula
σα(n) =
k
i=1
p
α(ei+1)
i − 1
pi − 1
(1.25)
• La funzione che assegna a ogni intero n ∈ N il minimo comune
multiplo degli interi da 1 a n
dn := {1, 2, . . . , n} (1.26)
13. 1.2. FUNZIONI ARITMETICHE PERIODICHE 5
1.2 Funzioni aritmetiche periodiche
Sia f una funzione aritmetica, q ∈ N. Se
f(n) = f(m) ⇐⇒ n ≡ m (mod q)
allora f si dice funzione aritmetica periodica e q `e un suo periodo.
Si noti che f(n + q) = f(n) per ogni n ∈ N e che se q=1 allora f `e
costante.
Si dice periodo minimo di f e si indica con per(f) il piu’ piccolo intero
positivo che sia un periodo di f.
Si nota immediatamente che se q `e un periodo di f allora per(f) | q.
Nel seguito quando diremo che f ha periodo q indicheremo che
per(f) | q
.
Denoteremo con S l’insieme delle funzioni aritmetiche periodiche e con
Sq l’insieme di quelle con periodo q.
Se f ∈ Sq per indicarla potremo usare la notazione
(f(1), . . . , f(q))
14. 6 CAPITOLO 1. FUNZIONI ARITMETICHE
1.3 Funzioni aritmetiche moltiplicative e con-
voluzione
Teorema 1. Se f(·) `e una funzione moltiplicativa, allora anche
g(n) :=
d|n
f(d) (1.27)
`e moltiplicativa.
Dimostrazione. Osserviamo che se (m, n) = 1 allora per ogni d|mn esistono
unici d1, d2 tali che d1d2 = d, d1|m, d2|n e (d1, d2) = 1. Pertanto
g(mn) =
d1d2|mn
f(d1d2) =
d1|m
d2|n
f(d1)f(d2) =
d1|m
f(d1)
d2|n
f(d2) = g(m)g(n)
Teorema 2.
d|n
µ(d) = 0, per ogni n > 1 (1.28)
Dimostrazione. Poich`e µ(·) `e moltiplicativa, anche ∆(n) := µ(d) `e mol-
tiplicativa. Possiamo allora provare l’asserto solo sulle potenze dei primi.
Risulta (e > 0)
∆(pe
) = µ(1) + µ(p) +
=0
· · · + pe
= 1 − 1 = 0
Teorema 3 (Formula di convoluzione di Mobius:). Se g(·) `e definita come
nella (1.27) allora
f(n) =
d|n
µ(d)g(
n
d
) (1.29)
Dimostrazione.
d|n
µ(d)g(
n
d
) =
d|n
µ(d)
c| n
d
f(
n
cd
) =
cd|n
µ(d)f(
n
cd
)
Definendo il nuovo indice k := cd, riscriviamo
k|n
f(
n
k
)
=0 sse k=1
d|k
µ(d) = f(n)
15. 1.4. FUNZIONI POLINOMIO 7
Teorema 4. Se g(·) `e definita come nella (1.27) ed `e moltiplicativa, allora
anche f(·) `e moltiplicativa.
Dimostrazione. Dalla (1.29) si ha, per (m, n) = 1, procedendo analoga-
mente alla dimostrazione del Teorema 1
f(mn) =
d1d2|mn
µ(d1d2)g(
mn
d1d2
) =
d1|m
d2|n
µ(d1)g(
m
d1
)µ(d2)g(
n
d2
) =
=
d1|m
µ(d1)g(
m
d1
)
d2|n
µ(d2)g(
n
d2
) = f(m)f(n)
1.4 Funzioni polinomio
p ∈ A si dice polinomio se p(n) = 0 per ogni n ∈ N tranne un numero
finito.
Si noti che le funzioni aritmetiche e e 0, elementi neutri rispettivamente
della somma e del prodotto di convoluzione in /A, sono polinomi.
Si dice grado di p = 0 il piu’ grande δ ∈ N tale che p(δ) = 0 Indicheremo
con pk una successione aritmetica polinomio di grado k.
Denotiamo con P l’insieme dei polinomi e con Pak l’insieme dei poli-
nomi di grado al massimo k (i.e. pk(n) = 0 se n > k).
Si ha
P =
k≥1
Pk
17. Capitolo 2
L’anello di Dirichlet
Indichiamo con A l’insieme delle funzioni aritmetiche. Definiamo l’opera-
zione di somma:
(f + g)(n) := f(n) + g(n) (2.1)
e l’importante prodotto di Dirichlet (o convoluzione):
(f ∗ g)(n) :=
d|n
f(d)g(
n
d
) (2.2)
Quest’ultimo pu`o essere iterato nel modo seguente:
(f1 · · · fr)(n) :=
d1···dr=n
f1(d1) . . . fr(dr) (2.3)
Possiamo quindi considerare le potenze alla Dirichlet, denotandole con
fk∗
=
kvolte
f ∗ · · · ∗ f (2.4)
fk∗
(n) :=
d1···dk=n
f(d1) · · · f(dk) (2.5)
e grazie a questa notazione si deduce immediatamente che * `e un’ope-
razione commutativa e associativa.
Inoltre il prodotto alla Dirichlet si distribuisce sulla somma.
Infine `e immediato osservare che le funzioni 0(n) e e(n) (definita dal-
la (1.10)) fungono da elemento neutro rispettivamente della somma e del
prodotto.
A risulta quindi un anello commutativo con identit`a e prende il nome
di Anello di Dirichlet.
Se introduciamo l’operazione di prodotto per scalare:
(λf)(n) := λf(n) (2.6)
con λ ∈ C, A diviene uno spazio vettoriale su C.
9
18. 10 CAPITOLO 2. L’ANELLO DI DIRICHLET
2.1 Propriet`a dell’anello di Dirichlet
Possiamo definire una valutazione per A con f = 0 :
||f|| = min{n ∈ N : f(n) = 0} (2.7)
e ponendo ||0|| = ∞.
La notazione, || · || non `e una norma, ma `e facile dimostrare che lo `e
|| · ||∗
:= 1
||·||
.
La valutazione `e moltiplicativa rispetto al prodotto di Dirichlet.
Propriet`a 1.
||f ∗ g|| = ||f||||g|| ∀f, g ∈ A
Dimostrazione. Se f = 0 oppure g = 0 la propriet`a `e ovvia. Altrimenti
(f ∗ g)(n) =
hk=n
f(h)g(k) =
hk=n
h≥||f||
k≥||g||
f(h)g(k)
Pertanto (f ∗ g)(n) = 0 se n < ||f||||g|| e (f ∗ g)(n) = f(||f||)g(||g||) = 0
se n = ||f||||g||.
Dalla propriet`a 1 segue che A `e un dominio d’integrit`a, infatti
f ∗ g = 0 =⇒ ||f||||g|| = ∞ =⇒ f = 0 ∨ g = 0
Indichiamo con U il gruppo delle unit`a di A (con l’operazione di pro-
dotto di convoluzione).
Propriet`a 2.
f ∈ U ⇐⇒ ||f|| = 1
Dimostrazione. Se f ∈ U esiste f−1
∈ U tale che f ∗ f−1
= e pertanto
||f||||f−1
|| = 1. Poich`e la valutazione `e a valori interi positivi, risulta
||f|| = 1.
Se invece ||f|| = 1 (cio`e f(1) = 0), definiamo per ricorrenza
f−1
(n) :=
1
f(1)
se n = 1
−
1
f(1)
d|n, d>1
f(d)f−1
(
n
d
) se n > 1
(2.8)
19. 2.1. PROPRIET `A DELL’ANELLO DI DIRICHLET 11
In tal modo (f ∗ f−1
)(1) = 1 e
(f ∗ f−1
)(n) =
d|n
f(d)f−1
(
n
d
) = f(1)f−1
(n) +
d|n,d>1
f(d)f−1
(
n
d
) =
= f(1)f−1
(n) − f(1)f−1
(n) = 0
La (2.8) permette di calcolare operativamente l’inversa di una funzione
aritmetica data.
Denotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative e ricordando
che se f ∈ M allora f(1) = 1 possiamo ovviamente concludere che M ⊆ U.
Ma vale anche l’inclusione come sottogruppo.
Teorema 5.
M ≤ U
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che f, g ∈ M, allora f ∗ g ∈ M e
f−1
∈ M.
Per il primo asserto procediamo similmente alla dimostrazione dei Teo-
remi 1 e 4.
Per (m, n) = 1 risulta
(f ∗ g)(mn) =
d1d2|mn
f(d1d2)g(
mn
d1d2
) =
d1|m
d2|n
f(d1)g(
m
d1
)f(d2)g(
n
d2
) =
=
d1|m
f(d1)g(
m
d1
)
d2|n
f(d2)g(
n
d2
) = (f ∗ g)(m)(f ∗ g)(n)
Per la seconda affermazione si pu`o ragionare per induzione. Dalla 2.8 si
ha che f−1
(1) = 1, pertanto f−1
(mn) = f−1
(m)f−1
(n) se m = 1 ∨ n = 1.
Supponiamo ora che f−1
(ab) = f−1
(a) ∗ f−1
(b) per ogni a, b ∈ N con
(a, b) = 1 e ab < mn con (m, n) = 1 e m, n > 1. Sempre dalla 2.8
otteniamo
f−1
(mn) =
−
1<d1d2|mn
f(d1d2)f−1
(
mn
d1d2
) = −
1<d1d2|mn
f(d1)f(d2)f−1
(
m
d1
)f−1
(
n
d2
) =
20. 12 CAPITOLO 2. L’ANELLO DI DIRICHLET
= −
1<d1|m
1<d2|n
f(d1)f(d2)f−1
(
m
d1
)f−1
(
n
d2
)+
−
1<d1|m
f(d1)f−1
(
m
d1
)f−1
(n) −
1<d2|n
f(d2)f−1
(
n
d2
)f−1
(m) =
= −
−
1<d1|m
f(d1)f−1
(
m
d1
)
−
1<d2|n
f(d2)f−1
(
n
d2
)
+
+f−1
(m)f−1
(n) + f−1
(n)f−1
(m) =
= −f−1
(m)f−1
(n) + 2f−1
(m)f−1
(n) = f−1
(m)f−1
(n)
Teorema 6. Se f ∈ M, allora risulta f−1
= µf se e solo se f `e comple-
tamente moltiplicativa.
Dimostrazione. Se f `e completamente moltiplicativa, per la 1.28
(µf ∗ f)(n) =
d|n
µ(d)f(d)f(
n
d
) =
=
d|n
µ(d)f(n) = f(n)
d |n
µ(d) = e(n)
Viceversa se f−1
= µf dobbiamo dimostrare che f `e completamente mol-
tiplicativa sui primi (i.e. f(pα
) = f(p)α
).
0 = (µf ∗ f)(pα
) =
α
k=0
µ(pk
)f(pk
)f(pα−k
) = f(pα
) − f(p)f(pα−1
)
cosicch`e f(pα
) = f(p)f(pα−1
) e la tesi segue per induzione su α.
Si noti che se f, g sono completamente moltiplicative, in generale f−1
, f∗
g non sono completamente moltiplicative.
21. 2.1. PROPRIET `A DELL’ANELLO DI DIRICHLET 13
Grazie alle notazioni introdotte possiamo intendere i teoremi del Capi-
tolo 1 come casi particolari di alcuni prodotti di convoluzione.
Valgono le seguenti formule:
1 ∗ µ = e (2.9)
cio`e µ = 1−1∗
1 ∗ 1 = τ (2.10)
cio`e 12∗
= τ
E in generale vale
s
1 ∗ · · · ∗ 1 = τs (2.11)
cio`e 1s∗
= τs
ϕ ∗ 1 = I (2.12)
e pertanto ϕ = I ∗ µ
Infine si ha
I ∗ 1 = σ (2.13)
e in generale
Iα
∗ 1 = σα (2.14)
22. 14 CAPITOLO 2. L’ANELLO DI DIRICHLET
2.2 Sottospazi e generatori
La (2.6) ci consente di vedere A come spazio vettoriale.
E’ chiaro che A ha dimensione infinita, ma non `e banale determinare
una base (la cui esistenza `e garantita dal Lemma di Zorn, si veda ad esempio
[5])
Ricordiamo che S `e l’insieme delle funzioni aritmetiche periodiche e Sq
l’insieme di quelle con periodo q.
Teorema 7. L’insieme S delle funzioni aritmetiche periodiche `e sottospa-
zio vettoriale di A.
Dimostrazione. Sia f ∈ S di periodo q.
i) Per ogni λ ∈ C, λf(n) := λ · f(n) `e periodica di periodo q.
ii) g di periodo q . per ogni m, n ∈ N tali che m ≡ n (mod {q, q }) risulta
m ≡ n
(mod q)
(mod q )
pertanto (f + g)(n) = f(n) + g(n) = f(m) + g(m) = (f + g)(m), cio`e
(f + g) ∈ S.
Corollario 1.
per(fq
+ gq
) | {q, q } (2.15)
Corollario 2. L’insieme Sq delle funzioni periodiche di periodo q `e sotto-
spazio vettoriale di S
Possiamo facilmente osservare che Sq ha dimensione q e che una sua
base, che chiameremo canonica, `e Bq = {si}i, i = 1, . . . , q
si(n) :=
1 se n ≡ i (mod q)
0 altrimenti
i = 1, . . . q
Dimostrazione. Segue facilmente dall’isomorfismo
Cq ∼= Sq
(a1, . . . , aq) → (a1, . . . , aq)
23. 2.2. SOTTOSPAZI E GENERATORI 15
Dall’isomorfismo con Cq
segue che Sq `e uno spazio hermitiano con forma
hermitiana:
f · g = n = 1q
f(n)g(n) (2.16)
Poich`e
S =
q≥1
Sq
un sistema di generatori di S `e dato da
BS :=
q≥1
Bq = {si,q}i,q i = 1, . . . , q, q ≥ 1
si,q(n) :=
1 se n ≡ i (mod q)
0 altrimenti
i = 1, . . . q (2.17)
BS non `e una base, infatti i suoi elementi non sono linearmente indi-
pendenti. Ad esempio
s2,3 = s2,6 + s5,6
Teorema 8. P `e sottoanello di A.
Dimostrazione. E’ chiaro che se pk, ph ∈ P, (k ≥ h) allora
i)
(pk − ph)(n) = 0
se n > k, ovvero (pk − ph) ∈ P
ii)
(pk ∗ ph)(n) =
d|n
pk(d)ph(n/d) =
d|n
n/h≤d≤k
pk(d)q(n/d) = 0
se n > kh perch`e l’ultima somma `e vuota, ovvero(pk ∗ ph) ∈ P.
iii)
e ∈ P
24. 16 CAPITOLO 2. L’ANELLO DI DIRICHLET
Teorema 9. Pk e P sono sottospazi vettoriali di A
Dimostrazione. Siano pk, ˜pk ∈ Pk ⊆ P e ph ∈ Ph ⊆ P, (k ≥ h).
i) E’ chiaro che per ogni λ ∈ C, λpk(n) = 0 se n > k, ovvero λpk ∈ Pk ⊆
P
ii)
(pk + ˜pk)(n) = 0
(pk + ph)(n) = 0
se n > k, ovvero (pk + ˜pk) ∈ Pk, (pk + ph), ∈ P.
E’ evidente che Pk `e isomorfo a Ck
(cos`ı come Sk) e che P `e isomorfo
allo spazio vettoriale libero su C.
La base canonica di P `e formata dagli infiniti
ei(n) =
1 se n = i
0 altrimenti
(2.18)
E la base canonica di Pk `e formata dai k,
ei(n) =
1 se n = i
0 altrimenti
i = 1, . . . , k (2.19)
25. Capitolo 3
I caratteri di Dirichlet
Definizione 1. Sia G un gruppo abeliano, si dice carattere di G un
omomorfismo
χ : G → C∗
dove C∗
:= C {0} `e il gruppo moltiplicativo di C
Ci interessa particolarmente il caso in cui G = Uq = Z∗
q `e il gruppo
moltiplicativo delle classi di resto invertibili modulo q.
In questo caso possiamo estendere la definizione di χ prima a Zq po-
nendo per ogni a ∈ Zq Uq
χ(a) = 0 (3.1)
e infine a N ponendo
χ(n) = χ(n) (3.2)
cosicch`e
χ : N → C∗
`e una funzione aritmetica
χ prende il nome di carattere di Dirichlet modulo q, sia come
omomorfismo fra Uq e C∗
(e talvolta da Zq ∈ C∗
) sia come funzione
aritmetica.
Nel seguito, se non diversamente indicato, intenderemo i χ come fun-
zioni aritmetiche.
17
26. 18 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET
Teorema 10. Sia χ un carattere di Dirichlet modulo q.
1. χ(n) = 0 se (q, n) > 1
2. χ(n) = χ(m) se n ≡ m (mod q)
3. χ(n + q) = χ(n) per ogni n ∈ N
4. χ(mn) = χ(m)χ(n) per ogni m, n ∈ N
5. χ(1) = 1
6. χ(n−1∗
) = χ(n)−1
dove n−1∗
`e inteso come inverso modulo q, se esiste.
7. χ(nk
) = χ(n)k
8. χ(n)ϕ(q)
= 1 se (n, q) = 1
9. χ(n) = 1 per ogni n ∈ N.
10. χ(n) = χ(n)−1
Dimostrazione.
La 1) `e diretta conseguenza della definizione, cos`ı come la 2) e la 3), le quali
evidenziano che i caratteri di Dirichlet modulo q sono funzioni aritmetiche
periodiche di periodo q.
La 4) Segue ricordando che χ `e estensione di un omomorfismo in Uq e
che f(n) = 0 se (n, q) > 1 Siano allora m, n ∈ N. Allora
χ(mn) = χ(mn) = χ(mn) = χ(m)χ(n) = χ(m)χ(n)
ovvero χ `e completamente moltiplicativa.
la 5), 6) e la 7) diventano ovvie non appena si osservi che
i) χ(1) = χ(1)
ii) χ(n−1∗
) = χ(n−1∗) = χ(n−1
)
iii) χ(nk
) = χ(nk) = χ(nk
)
La 8) si dimostra osservando che poich`e Uq ha ordine ϕ(q), per ogni
(n, q) = 1 risulta
χ(n)ϕ(q)
= χ(nϕ(q)
) = χ(nϕ(q)) = χ(nϕ(q)
) = χ(1) = 1
cio`e χ mappa gli interi coprimi con q sulle radici ϕ(q)-esime dell’unit`a.
La 9) discende dalla 8) e dalla moltiplicativit`a della norma in C
La 10) segue dalla 9) e dal fatto che χ(n)χ(n) = χ(n) 2
27. 19
χ `e pertanto una funzione aritmetica periodica, di periodo q, comple-
tamente moltiplicativa.
Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri di Dirichlet modulo q, e defi-
niamo un’operazione fra χ, Ω ∈ Kq:
χ · Ω(n) := χ(n)Ω(n) (3.3)
Teorema 11. Sia q ∈ N. L’insieme dei caratteri di Dirichlet Kq, dotato
del prodotto definito dalla (3.3) `e un gruppo abeliano isomorfo a Uq
Dimostrazione. Dimostriamo innanzitutto che dati due caratteri, il loro
prodotto `e ancora un carattere.
Dati χ, Θ ∈ Kq, χ · Θ deve essere un’estensione di un omomorfismo da
Uq a C Per ogni a, b ∈ Uq
χ · Θ(ab) = χ(ab)Θ(ab) = χ(a)χ(b)Θ(a)Θ(b) = χ · Θ(a)χ · Θ(b)
E l’asserto segue dalla costruzione di χ come funzione aritmetica.
Inoltre il prodotto eredit`a l’associativit`a e la commutativit`a da C
La funzione
χ0(n) :=
1 se (n, q) = 1
0 altrimenti
(3.4)
`e un carattere, detto principale e funge da elemento neutro.
Infatti `e estensione dell’omomorfismo banale:
χ0 : Uq → C : a → 1
e per ogni χ ∈ Kq
χ · χ0(n) = χ(n)χ0(n) = χ(n)
Dato χ ∈ Kq, la funzione
χ(n) := χ(n) = χ(n)−1
(3.5)
`e ancora un carattere e funge da elemento inverso.
E’ infatti estensione dell’omomorfismo:
χ : Uq → C : a → χ(a)−1
Per dimostrare l’ultima affermazione, partiamo prima dal caso in cui Uq
sia ciclico (ovvero q = 2, 4, pα
, 2pα
; p dispari). In questo caso, sia g ∈ Uq tale
che che Uq =< g >. E’ evidente che il carattere, essendo un omomorfismo,
`e completamente determinato dal valore assegnato a χ(g) che deve essere
scelto fra le ϕ(q) diverse radici ϕ(q)-esime dell’unit`a. Abbiamo quindi
innanzitutto che Kq `e finito di ordine ϕ(q)
28. 20 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET
A questo punto basta osservare che il carattere definito da
Γ(g) = e
2πi
ϕ(q)
Risulta
Γk
(g) = e
2kπi
ϕ(q)
pertanto Γ genera Kq che quindi `e ciclico e isomorfo a Uq.
Nel caso generale, ci basta pensare che Uq `e abeliano per ogni q ∈ N, e
ricordare che ogni gruppo abeliano e prodotto diretto di gruppi ciclici.
Uq = C1 × . . . Cr
Con Ci ciclico di ordine hi e generato da gi, per i = 1, . . . , r.
Inoltre h1 · · · hr = |Uq| = ϕ(q).
Allora ogni a ∈ Uq si scrive in mod unico come
a = gx1
1 . . . gxr
r (3.6)
con 1 ≤ x1 ≤ hi Segue allora che
χ(a) = χ(g1)x1
. . . χ(gr)xr
(3.7)
Cio`e il carattere `e determinato dai valori assegnati ai χ(gi) Di nuovo si ha
che χ(gi) deve essere una radice hi-esima dell’unit`a per ogni i = 1, . . . , r e
le possibili h1 · · · hr = ϕ(q) determinano tutti e i soli caratteri di Dirichlet
modulo q.
Infine, i caratteri Γi tali che
Γi(gj) = e
2πi
hi se j = i
1 se j = i
(3.8)
generano r gruppi ciclici di ordine hi isomorfi ai Ci che generano Kq. Segue
quindi
Kq Uq
Vale inoltre la seguente propriet`a
Teorema 12. Se q > 2, per ogni a ∈ Uq, a = 1, esiste χ ∈ Kq tale che
χ(a) = 1
29. 21
Dimostrazione. Ricordando che valgono sempre la (3.6) e la (3.7) `e suf-
ficiente osservare che poich`e a = 1, per almeno uno degli gi deve essere
xi = 1, diciamo i = 1 senza perdita di generalit`a.
Allora `e sufficiente notare che per Γ1 come definita nella (3.8) vale
Γ1(a) = e
2x1π
h1 = 1
Valgono quindi i seguenti risultati:
Teorema 13 (Formule di ortogonalit`a). Sia q ≥ 1, a ∈ Uq, χ ∈ Kq.
a∈Uq
χ(a) =
ϕ(q) se χ = χ0
0 altrimenti
(3.9)
χ∈Kq
χ(a) =
ϕ(q) se a = 1
0 altrimenti
(3.10)
Dimostrazione. Occupiamoci prima della (3.9).
Se χ = χ0 `e ovvia. Altrimenti, deve esistere b ∈ Uq tale che χ(b) = 1.
Poich`e per ogni a ∈ Um esiste un unico a tale che a = ab, posto S =
a χ(a) otteniamo:
χ(b)S = χ(b)
a∈Uq
χ(a) =
a∈Uq
χ(ab) =
a ∈Uq
χ(a ) = S
E per la scelta di b, dev’essere S = 0
La (3.10) si dimostra analogamente (in effetti dipende dall’isomorfismo
tra Uq e Kq): se a = 1 `e ovvia, altrimenti, per il teorema 12, esiste Θ ∈ Kq
tale che Θ(a) = 1 e per ogni χ ∈ Kq esiste un unico χ tale che χ = χ · Θ.
Pertanto, chiamato S = χ χ(a), risulta
Θ(a)S = Θ(a)
χ∈Kq
χ(a) =
χ∈Kq
Θ · χ(a) =
χ ∈Uq
χ (a ) = S
E, ancora, per la scelta di Θ, deve essere S = 0
Poich`e χ `e una funzione periodica di periodo q, ricordando la forma
hermitiana su Sq definita dalla (2.16) otteniamo
30. 22 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET
χ · Θ =
ϕ(q) se χ = Θ
0 altrimenti
(3.11)
Dimostrazione. Osserviamo che se χ ∈ Kq e (n, q) = 1 allora χ(n) = 0.
Allora, dalla (3.9)
χ·Θ =
q
n=1
χ(n)Θ(n) =
q
n=1
χ(n)Θ(n) =
q
n=1
χΘ(n) =
ϕ(q) se χΘ = χ0
0 altrimenti
E la tesi segue notando che condizione nella prima riga `e equivalente a
χ = Θ.
Anche in questo caso, grazie all’isomorfismo tra Uq e Kq otteniamo
anche la seguente formula, per ogni χ ∈ Kq, per ogni m, n ∈ N, (m, q) = 1
χ∈Kq
χ(n)χ(m) =
ϕ(q) se n ≡ m (mod q)
0 altrimenti
(3.12)
Dimostrazione. Se (n, q) = 0 la somma `e vuota e m e n non possono essere
nella stessa classe di resto (mod q), pertanto la formula `e provata.
Altrimenti, osserviamo che poich`e (m, q) = 1, risulta
0 = χ(m) = χ(m)−1
= χ(m−1∗
)
Dove m−1∗
∈ N `e un intero coprimo con 1 inverso di m (mod q). Os-
serviamo che (nm−1∗
, q) = 1 cio`e esiste a ∈ Uq tale che nm−1∗
∈ a (i.e.
χ(nm−1∗
) = χ(a)). Pertanto:
χ∈Kq
χ(n)χ(m−1∗
) =
χ∈Kq
χ(nm−1∗
) =
χ∈Kq
χ(a)
E la tesi segue dalla (3.10) osservando che la condizione a = 1 `e
equivalente a n ≡ m (mod q).
31. 23
Vale infine il seguente
Teorema 14. Sia q ≥ 1 e f una funzione aritmetica non identicamente
nulla
1. completamente moltiplicativa
2. periodica di periodo q
3. tale che f(n) = 0 se (n, q) = 1
Allora f ∈ Kq
Dimostrazione. Per ogni a ∈ N tale che (a, q) = 1 e per ogni χ ∈ Kq si ha
f · χ =
q
n=1
f(an)χ(an) = f(a)χ(a)
q
n=1
f(n)χ(n) = f(a)χ(a)f · χ
Allora f(a) = χ(a) per ogni a ∈ N a meno che f ·χ = 0 per ogni χ ∈ Kq,
nel qual caso
0 =
χ∈Kq
χ(a)f · χ =
χ∈Kq
χ(a)
q
n=1
f(n)χ(n) =
=
q
n=1
f(n)
χ∈Kq
χ(a)χ(n)
= f(a)ϕ(q)
osservando che per la (3.12) l’ultima sommatoria `e nulla quando n ≡ a
(mod q)
Ma allora sarebbe f(a) = 0 per ogni a ∈ N tale che (a, q) = 1, cio`e
sarebbe identicamente nulla, contro l’ipotesi iniziale.
Pertanto f(a) = χ(a) per ogni a ∈ N, cio`e f ∈ Kq
32. 24 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET
3.1 Caratteri primitivi
Siano d, q ∈ N tali che che d | q
Abbiamo bisogno inizialmente del seguente
Lemma 1. Sia md una classe invertibile modulo d. Allora esiste m ∈ N
tale che m ∈ md e m d `e una classe invertibile modulo q
Allora mq `e una classe invertibile modulo q
Dimostrazione. Vogliamo dimostrare che per ogni classe invertibile in Zd
esiste una classe invertibile in Zq che sia suo sottoinsieme.
Sia m ∈ N tale che (m, d) = 1. Consideriamo (m + λd, q) per λ =
1, . . . , d dove d = q/d
Se c | (m + λd, q) per qualche λ, allora c `e coprimo con d, altrimenti
risulterebbe (m, d) > 1 contro l’ipotesi.
Allora c | r, dove r `e il piu’ grande fattore di q coprimo con d
Inoltre r ≤ d , pertanto sia λ sia m + λd coprono tutte le classi di resto
modulo r, e deve esistere λ0 tale che (m + λ0d, r) = 1.
Pertanto risulta (m + λ0, q) = 1
Dato un carattere χd
∈ Kd, possiamo costruire un carattere modulo q
ponendo
χq
(n) :=
χd
(n) se (n, q) = 1
0 altrimenti
(3.13)
In questo caso si dice che χd
induce χq
e si scrive
χd
| χq
(3.14)
Si noti che, assegnato χd
come omomorfismo
χd
: Ud → C∗
allora χq
come funzione aritmetica pu`o essere definita in modo equivalente
alla (3.13) estendendo secondo la (3.2) l’omomorfismo
χq
: Uq → C∗
tale che
χq
:= χd
◦ Ψq,d (3.15)
dove
Ψq,d : Uq → Ud (3.16)
`e la restrizione a Uq dell’epimorfismo canonico
33. 3.1. CARATTERI PRIMITIVI 25
Ψq,d : Zq → Zd aq → ad (3.17)
Il lemma (1) ci assicura che anche ψ `e epimorfismo ma, in generale
(n, d) = 1 =⇒ (n, q) = 1 (3.18)
cio`e χd
e χq
sono funzioni aritmetiche distinte e coincidono se e solo se
d e q hanno gli stessi fattori primi cio`e se
p | q ⇐⇒ p | d (3.19)
Ed in questo case vale l’implicazione (3.18)
Si osservi infine, che la (3.14) `e giustificata dal fatto che risulta
χq
= χd
· χq
0 (3.20)
Se d < q si dice che χq
`e non primitivo, mentre un carattere che non
sia indotto da nessun altro carattere si dice primitivo.
Osserviamo che per ogni q ∈ N
χ1
0 | χq
0
Indicheremo di qui in poi con Dpr
q l’insieme dei caratteri primitivi che
generano caratteri modulo q. Useremo invece la notazione Dpr
per indicare
’insieme di tutti i caratteri primitivi.
Si noti che Dpr
q contiene quindi tutti e i soli caratteri primitivi modulo
d per ogni divisore d di q
Il pi`u piccolo intero m tale che esiste un carattere modulo m che induce
il carattere primitivo χq
si dice conduttore di χq
Definizione 2. Si dice che d `e pseudo-periodo di una f ∈ Sq se per ogni
n ∈ N tale che (n, q) = 1 risulta f(n + d) = f(n)
Teorema 15. Sia χq
un carattere e m il suo conduttore.
Allora esiste un unico carattere primitivo modulo m, ψm
che induce χq
.
Inoltre m = 1 se e solo se χq
= χq
0
Dimostrazione. E’ evidente che m `e uno pseudo-periodo di χq
.
Dalla dimostrazione del lemma (1) si ha che `e possibile determinare
costruttivamente il carattere primitivo ψf
imponendo per ogni (n, m) = 1
ψm
(n) = χq
(n + λ0f) (3.21)
per un opportuno λ0 tale che (n + λ0m, q) = 1, e quindi ψm
`e determinato
univocamente.
La seconda affermazione si dimostra quindi osservano che χ1
0 si estende
a tutti e i soli caratteri principali modulo qualunque q ∈ N
34. 26 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET
Teorema 16. Chiamiamo ρ la funzione aritmetica che associa a n il nu-
mero dei suoi caratteri primitivi. Allora
ρ(n) =
d|n
µ(d)ϕ(
n
d
) =
ei=1
(pi − 2)
ei>1
pei−2
i (pi − 2)2
(3.22)
Dimostrazione. Ogni carattere modulo n `e estensione di uno e un solo
carattere primitivo modulo un qualche divisore d di n.
Inoltre, per ogni divisore d di n, ogni carattere primitivo modulo d si
estende a un carattere modulo n.
Pertanto
ϕ(n) =
d|n
ρ(d)
E la prima parte della (3.22) segue per inversione (ovvero ϕ = ρ ∗ 1 e
pertanto ρ = ϕ ∗ µ)
Inoltre ρ `e moltiplicativa, quindi ρ(1) = 1 e applicando la formula sui
primi e sulle potenze dei primi si ottiene
ρ(p) = p − 2
ρ(pα
) = pα−1
(p − 1) − pα−2
(p − 1) = pα−2
(p − 1)2
per α > 2.
L’ultimo membro della (3.22) segue per moltiplicativit`a
Corollario 3. Esistono caratteri primitivi modulo n se e solo se n `e dispari
oppure multiplo di 4.
Inoltre per ogni p primo tutti i caratteri modulo p tranne quello princi-
pale sono primitivi
35. Capitolo 4
Serie di Dirichlet e Identit`a di
Eulero
Definiamo serie di Dirichlet la scrittura formale
+∞
n=1
an
ns
(4.1)
dove (an) ∈ A.
E’ chiaro che esiste una corrispondenza 1 − 1 fra le funzioni aritmetiche
e le serie di Dirichlet.
Inoltre queste generalizzano la serie Zeta di Riemann
+∞
n=1
1
ns
(4.2)
Chiamiamo D l’insieme delle serie di Dirichlet formali.
La somma in D `e data da
+∞
n=1
an
ns
+
+∞
n=1
bn
ns
:=
+∞
n=1
an + bn
ns
(4.3)
e il prodotto
+∞
n=1
an
ns
+∞
n=1
bn
ns
:=
+∞
n=1 dd =n
adbd
ns
(4.4)
27
36. 28 CAPITOLO 4. SERIE DI DIRICHLET E IDENTIT `A DI EULERO
Esso `e un anello isomorfo a A
Teorema 17.
A D f ↔
+∞
n=1
f(n)
ns
(4.5)
Dimostrazione. E’ immediato verificare le propriet`a di omomorfismo per la
somma
Per quanto riguarda il prodotto si noti che
+∞
n=1
f(n)
ns
+∞
n=1
g(n)
ns
=
+∞
n=1
1
ns
dd =n
f(d)g(d ) =
+∞
n=1
(f ∗ g)(n)
ns
Infine
e(·) → 1
Possiamo ricavare alcune interessanti identit`a:
ζ(s) =
+∞
n=1
1(n)
ns
(4.6)
ζ(s − 1) =
+∞
n=1
I(n)
ns
(4.7)
e in generale
ζ(s − α) =
+∞
n=1
Iα
(n)
ns
(4.8)
1
ζ(s)
=
+∞
n=1
µ(n)
ns
(4.9)
ζ(s − 1)
ζ(s)
=
+∞
n=1
ϕ(n)
ns
(4.10)
ζ(s)k
=
+∞
n=1
τk(n)
ns
(4.11)
ζ(s)ζ(s − α) =
+∞
n=1
σα(n)
ns
(4.12)
37. 29
Le serie di Dirichlet rivestono importanza in Teoria dei Numeri quando
sono interpretate come funzioni
F : C → C : s →
+∞
n=1
f(n)
ns
(4.13)
In generale se f(n) ∈ O(nk
) allora F converge assolutamente per Re(s) >
1+k ma per le serie definite dai caratteri di Dirichlet possiamo dire qualcosa
di pi`u.
Ci servir`a innanzitutto l’importante
Teorema 18 (Identit`a di Eulero). Sia f ∈ A completamente moltiplicativa.
Allora
F(s) =
+∞
n=1
f(n)
ns
=
p∈P
1 −
f(p)
ps
−1
(4.14)
nel suo insieme di convergenza.
Dimostrazione. Grazie alla fattorizzazione unica in N e alla completa mol-
tiplicativit`a di f e alla convergenza assoluta di F, possiamo scrivere
+∞
n=1
f(n)
ns
=
p∈P
(1+
f(p)
ps
+. . .
f(p)k
pks
+. . . ) =
p∈P
+∞
i=1
f(p)
ps
i
=
p∈P
1
1 − f(p)p−s
38. 30 CAPITOLO 4. SERIE DI DIRICHLET E IDENTIT `A DI EULERO
4.1 Funzioni L di Dirichlet
Si chiamano funzioni L le serie di Dirichlet associate a caratteri.
Lχ(s) :=
+∞
n=1
χ(n)
ns
(4.15)
Se ψm
| χq
, allora, dall’identit`a di Eulero si ottiene
Lχ(s) = Lψ(s)
p|q
1 −
ψ(p)
ps
Ovvero le due funzioni differiscono per un fattore polinomiale, pertanto
si ha che il comportamento di una funzione Lχ `e fortemente collegata a
quello della Lψ.
Inoltre, se ψ `e un carattere primitivo, Lψ soddisfa la seguente equazione
funzionale, che permette di estendere meromorficamente L in tutto il piano
complesso.
La riportiamo senza dimostrazione:
Lψ(s) =
τ(ψ)
iaq1/2
π
q
s−1/2
Γ(1−s+a
2
)
Γ(s+a
2
)
Lψ(1 − s) (4.16)
dove
a =
0 se ψ(m − 1) = 1
1 se ψ(m − 1) = −1
(4.17)
e Γ `e la funzione Gamma di Eulero
Γ(z) =
+∞
0
tz−1
e−t
dt (4.18)
Nel prossimo capitolo vedremo come possiamo legare i caratteri primi-
tivi alle funzioni aritmetiche periodiche.
39. Capitolo 5
Caratteri come generatori di S
Sia q > 1. Siano d | q, d = q
d
(i.e. dd = q).
Sia χd
un carattere modulo d . Definiamo
˜χd
:=
χd
(n
d
) se d | n
0 altrimenti
(5.1)
Osserviamo che ˜χd
∈ Sq
Teorema 19.
i) Esistono q funzioni del tipo ˜χd
ii) Esse formano una base ortogonale di Sq con prodotto scalare
χ1 · χ2 :=
1
ϕ(q)
q
n=1
χ1(n)χ2(n) (5.2)
Dimostrazione.
i) Segue dal fatto che per ogni d | q esistono ϕ(d ) caratteri modulo d
d |n
ϕ(d ) = q
e da ogni χ si ottiene una χ
ii) Siano χd
e Ωe
due caratteri modulo d = q
d
e e = q
e
.
χ · Ω =
1
ϕ(q)
q
n=1
= χ(n)Ω(n) =
1
ϕ(q)
d,e|n≤q
χ(
n
d
)Ω(
n
e
)
31
40. 32 CAPITOLO 5. CARATTERI COME GENERATORI DI S
Poniamo h = (d, e) d = hd1, e = he1, (d1, e1) = 1
Introduciamo poi l’indice k := n
{d,e}
Otteniamo quindi n
d
= ke1, n
e
= kd1. Pertanto
χ · Ω =
1
ϕ(q)
q/{d,e}
k=1
χ(ke1)Ω(kd1) =
1
ϕ(q)
χ(e1)Ω(d1)
q/{d,e}
k=1
χ(k)Ω(k) =
Ora osserviamo che q = dd = ee = hd1d = he1e , ovvero d1d = e1e .
Risulta quindi e1 | d e d1 | e e pertanto χd
(e1)Ω
e
(d1) = 0 a meno che
d1 = e1 = 1.
Ma in questo caso d = e (i.e. d = e , q
{d,e}
= q
d
= d ) e otteniamo
χ · Ω =
1
ϕ(q)
d
k=1
χd
(k)Ω
d
(k) = χ · Ω =
1 se χ = Ω
0 altrimenti
Pertanto risulta
Sq =
q
i=1
χi =
ψ∈Dpr
q
Vψ,q Vψ,q =< {χd
; ψ | χd
, d | q} > (5.3)
Vedremo ora cosa succede se invece che come spazio vettoriale andiamo
a considerare Sq come modulo sui polinomi.
Dimostriamo innanzitutto che tale struttura sussiste.
Teorema 20. S `e P-modulo
Dimostrazione. Ricordiamo che P `e sottoanello di A e S `e un gruppo abe-
liano. Dimostreremo che P ∗ S = S, cio`e che per ogni p ∈ P e ogni
f ∈ S,
p ∗ f ∈ S (5.4)
In virt`u della natura di P e S e come spazi vettoriali, `e sufficiente dimostrare
la (5.4) per i generatori.
Ricordando le (2.17) e la (2.18), otteniamo che per ogni i, j, q ∈ N, j ≤ q
ei ∗ sj,q = sji,qi (5.5)
infatti
41. 33
ei ∗ sj,q(n) =
d|n
ei(d)sj,q(
n
d
) =
1 se i | n e n
i
≡ j (mod q)
0 altrimenti
=
=
1 se n ≡ ji (mod qi)
0 altrimenti
= sji,qi(n)
Quindi osserviamo che se
Pk pk = x1e1 + · · · + xkek
e
Sq fq
= y1s1,q + · · · + yqsq,q
con xj, yi ∈ C risulta
pk ∗fq
=
k
i=1
xiei
q
j=1
yjsj,q =
1≤i≤k
1≤j≤q
xiyj(ei ∗sj,q) =
1≤i≤k
1≤j≤q
xiyjsji,qi
(5.6)
Teorema 21. Il prodotto (di convoluzione) di un polinomio di grado k con
una funzione periodica di periodo q ha periodo qdk
Dimostrazione. Osserviamo che l’ultimo membro della (5.6)`e una somma
di funzioni aritmetiche periodiche di periodo q, 2q, . . . , kq. Pertanto per il
corollario (2.15) e ricordando la definizione (1.26)
per(pk ∗ fq
) | {q, 2q, . . . , kq} = q{1, 2, . . . , k} = qdk (5.7)
Teorema 22. Dpr
genera S
Dimostrazione.
Sia q ≥ 1, d | q e d = q/d
Consideriamo le serie di Dirichlet associate a una delle funzioni χd
definite secondo la (5.1) e al carattere primitivo ψm
∈ Dpr
q che induce χd
.
42. 34 CAPITOLO 5. CARATTERI COME GENERATORI DI S
Si noti innanzitutto che m | d e pertanto m | q. Definiamo anche
m := d /m e q := q/m Risulta
Lχ(s) =
+∞
n=1
χ(n)
ns
=
+∞
k=1
χ(kd)
(kd)s
=
1
ds
+∞
k=1
χ(k)
ks
=
Lχ(s)
ds
(5.8)
Pertanto:
Lχ(s)
Lψ(s)
=
Lχ(s)
dsLψ(s)
=
1
ds
p m
1 −
ψ(p)
ps
p d
1 −
ψ(p)
ps
=
1
ds
p|m
1 −
ψ(p)
ps
=
1
ds
c|m
µ(c)ψ(c)
cs
(5.9)
Pertanto, ponendo k = cd,
Lχ(s) = Lψ(s)
c|m
µ(c)ψ(c)
(cd)s
= Lψ(s)
d≤k|q
µ(k/d)ψ(k/d)
ks
= Lψ(s)Pψ
q ,d(s)
(5.10)
dove Pψ
q ,d(s) `e un polinomio di Dirichlet di grado al pi`u q , con termini
n-esimi nulli se n < d o n q e con termine d-esimo uguale a 1 (= µ(1)ψ(1)).
Consideriamo quindi
Pq ,d =< {ed; d | q } > (5.11)
sottospazio vettoriale di Pq , formato dai polinomi tali che p(n) = 0 se n q.
Pertanto risulta
χd
= ψm
∗ pψ
q ,d (5.12)
e in generale, dalla (5.3)
Vψ,q = < {ψm
∗ pψ
q ,d; d | q } > (5.13)
dove pψ
q ,d `e il corrispondente di Pψ
q ,d(s) nell’isomorfismo canonico tra A e
D.
Ovviamente risulta:
i)
pψ
q ,d ∈ Pq ,d
per ogni d | q.
ii)
pψ
q ,d(n) = 0
se n < d o n q .
43. 35
iii)
pψ
q ,d(d) = 1
.
Osservando che
dim(Pq ,d) = τ(q ) =: τ
E grazie all’isomorfismo con Cτ
possiamo immaginare gli elementi di Pq ,d
come τ -uple ordinate (si intende di aver ordinato la base in ordine crescente
degli indici).
Allora la matrice
A := (pψ
q ,d)d|q
(dove i pψ
q ,d sono vettori colonna) `e τ × τ triangolare inferiore
A =
1 0 · · · 0
· 1 ·
...
... ·
... 0
· · · · · 1
(5.14)
Poich`e det(A) = 1, gli pψ
q ,d sono linearmente indipendenti e risulta
quindi
< {pψ
q ,d; d | q } >= Pq ,d (5.15)
e pertanto
Vψ,q = ψ ∗ Pq ,d (5.16)
quindi,
Sq =
ψ∈Dpr
q
ψm
∗ Pq ,d (5.17)
e infine
S =< Dpr
> (5.18)
come P-modulo.
Vediamo di seguito ulteriori osservazioni su questo risultato e un diverso
approccio alle dimostrazioni dei due teoremi con l’obiettivo di mantenere
la notazione delle funzioni aritmetiche
44. 36 CAPITOLO 5. CARATTERI COME GENERATORI DI S
Lemma 2. Sia f ∈ A, ek definito come nella (2.18). Allora
(f ∗ ek)(n) =
d|n
ek(d)f(
n
d
) =
f(n
k
) se k | n
0 altrimenti
inoltre se fh
∈ Sh allora
fh
∗ ek ∈ Shk
Infine, se ph ∈ Ph allora
ph ∗ ek ∈ Pkh
Pertanto possiamo riscrivere la (5.1) come
χd
= χd
∗ ed (5.19)
che ha periodo dd = q
Si noti che per k > 1, ek non `e moltiplicativa, e cos`ı non `e in generale
la χ.
Lemma 3. Sia f ∈ A completamente moltiplicativa. Allora, per ogni
g, h ∈ A
f · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h (5.20)
Dimostrazione.
f ·(g ∗h)(n) = f(n)
d|n
g(d)h(
n
d
) =
d|n
f(d)f(
n
d
)g(d)h(
n
d
) = f ·g ∗f ·h(n)
Pertanto posso usare il teorema 22 usando solo funzioni aritmetiche e
notazioni e propriet`a dell’anello di Dirichlet.
Dimostrazione. Sia q > 1, d | q. Sia χd
definita dalla (5.1) o dalla (5.19)
e ψm
il carattere primitivo che induce χd
Allora, ricordando il teorema 6, l’equazione (3.20), il lemma 3 e che ψm
`e completamente moltiplicativa, otteniamo
χd
∗ (ψm
)−1
= χd
∗ ed ∗ µψm
= χd
0 ψm
∗ ed ∗ µψm
= ψm
(χd
0 ∗ µ) ∗ ed
Per studiare l’ultimo membro osserviamo che che χd
0 ∗µ `e moltiplicativa
perch`e lo sono i due fattori, pertanto (χd
0 ∗ µ)(1) = 1 e
(χd
0 ∗ µ)(p) =
−1 se p | d
0 altrimenti
45. 37
(χd
0 ∗ µ)(pα
) = 0
se α > 1.
Pertanto χd
0 ∗ µ `e non nulla solo per un numero finito di interi, ovvero
`e un polinomio. Il prodotto · per ψm
lascia non nulli solo i valori che
sono coprimi con m, cio`e gli squarefree composti da primi divisibili per
m = d /m e quindi ψm
· (χd
0 ∗ µ) `e ancora un polinomio di grado al pi`u m
e moltiplicato (in convoluzione) con ed, diventa un polinomio di grado al
piu’ m d = d d/m = q/d =: q .
Corollario 4. Data f ∈ S, la serie di Dirichlet associata
F(s) =
+∞
n=1
f(n)
ns
ammette un prolungamento meromorfo in C
Dimostrazione. utilizzando la (4.16) e la (5.18) otteniamo :
F(s) =
ψ∈Dpr
Lψ(s)Pψ(s) =
ψ∈Dpr
τ(ψ)
iaq1/2
π
q
s−1/2
Γ(1−s+a
2
)
Γ(s+a
2
)
Lψ(1 − s)Pψ(s)
47. Bibliografia
[1] Codec`a, Dvornicich and Zannier Two problem related to the non-
vanishing of Lχ(1). Journal de Th`eorie des Nombres de Bordeaux 10
(1998), 49-64
[2] Eric Saias and Andreas Weingartner Zeros of Dirichlet series with
periodic coefficients. http://arxiv.org/abs/0807.0783v1
[3] Harold N. Shapiro Introduction to the Theory of Numbers Dover
Publications
[4] Alberto Perelli Fondamenti di Teoria Analitica dei Numeri
www.dima.unige.it/ perelli
[5] Mimmo Arezzo Ogni spazio vettoriale ha base
http://www.dima.unige.it/ arezzo
[6] Jobin Lavasani Algebraic Number Theory - Lecture 11
http://www.maths.bris.ac.uk/ malab
39
