İşlem ve modüler ari̇tmeti̇k

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK
KONU ANLATIMI

İŞLEM
Boş olmayan A,B,C kümeleri verilmiş olsun.
AxB nin bir alt kümesinden C ye tanımlı her fonksiyona işlem denir.
AxA nın bir alt kümesinden A’ya tanımlı her fonksiyona A kümesinde
bir işlem denir.
İşlemi göstermek için *, +, -, ,⊕,⊗,∆ ... gibi işaretler kullanılır.
5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu
halde, eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilis
biçiminde yazalım.
Şimdi bu ikiliyi 8’e eşleyen bir f fonksiyonu düşünebilirsiniz. f(5,3) = 5+3 olur.
Reel sayılar kümesinde yaptığımız, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
işlemleri reel sayılar kümesinin kartezyen çarpımının bir alt kümesinden reel
sayılar kümesine birer fonksiyondur.

İŞLEM
Örnek : A={ -1,0, 1}
AxA={ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,1) }
f:AxA A fonksiyonu;
f(x,y)= x.y olsun.
Bu fonksiyon A kümesinde tanımlı bir işlemdir. Bu işlemi ⊕ ile gösterirsek,
x ⊕y =x.y dir.
Tablodan -1⊕-1 = 1, 0 ⊕1= 0,
0 ⊕0=0
olduğunu bulunuz.

İŞLEM
Örnek
Reel sayılar kümesinde , x #y =2x-2y+xy olmak üzere, # işlemi
tanımlanıyor.
A- (2 #3) #4 işleminin sonucu nedir?
B- (2 #x) #2=16 eşitliğini sağlayan x değeri nedir?Çözüm:
A- 2#3= 4-3.3 +2.3 =1 olduğundan;
( 2 #3 ) #4= 1 #4= 2-12+4= -6
B- 2 #x=4-3x+2x=4-x olduğundan;
(2 #x) #2= (4-x) #2
=2(4-x)-6+( 4-x) #2
=8-2x-6+8-2x
=-4x+10 -4x+10=16
-4x=6
x=-6/4 bulunur.

İŞLEM
İşlemin Özellikleri
A boş olmayan bir küme ve ⊗, A’ da tanımlı bir işlem olsun;
•∀x, y ∈ A için x ⊗ y ∈A ise A kümesi ⊗ işlemine göre kapalıdır.
•∀x,y ∈ A için x ⊗ y= y ⊗ x ise işlemin değişme özelliği vardır.
•∀x,y,z ∈ A için (x ⊗ y) ⊗ z=x ⊗(y ⊗ z) ise işlemin birleşme
özelliği vardır.
•∀x ∈ A için x ⊗ e= e ⊗ x=x olacak şekilde bir e ∈ A varsa e’ ye
etkisiz eleman denir.

İŞLEM
•A kümesinin ⊗ işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. ∀x ∈ A için
x ⊗ x-1
= x-1
⊗x=e olacak şekilde bir x-1
∈A varsa x-1
‘e x’in ⊗ işlemine
göre tersi denir.
• * A da tanımlı bir işlem olsun.
∀x,y,z ∈ A için, x ⊗(y*z)= (x ⊗y)*(z ⊗x) eşitlikleri sağlanıyorsa ⊗
işlemini * işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.

İŞLEM
Örnek
Z ‘ de ⊗ işlemi ∀x,y,z ∈ A için ;
x ⊗y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor. ⊗ işlemine göre Z kümesi
kapalı mıdır?
Çözüm:
∀x,y,z ∈ A için, x ∀x,y,z ∈ A için y∉ Z dir.
Çünkü toplamı çift olan sayıların ikiye bölümü tam sayıya karşılık gelirken,
toplamı tek olan sayıların ikiye bölümü tam sayı değildir.
Mesela;
2,7 ∈z için 2 ⊗7= (2+7) /2= 9 / 2 ∉Z dir.

İŞLEM
Örnek
⊗ a b c d e
a d e a b c
b e a b c d
c a b c d e
d b c d e a
e c d e a b
KÖŞEGEN
A= { a,b,c,d,e} kümesinde ⊗ işlemi yukarıdaki
tablo ile tanımlanıyor.
A- A kümesi ⊗ işlemine göre kapalı mıdır?
B- ⊗ işlemi değişme özelliğine sahip midir?
C- ⊗ işlemine göre etkisiz eleman nedir?
D- b’ nin tersi nedir?

İŞLEM
Çözüm :
A- ⊗ işlemine göre A kümesinin herhangi iki elemanının sonucu yine A
kümesinin bir elemanı olduğu için A kümesi kapalıdır.
B- ∀ x,y ∈A için x ⊗y=y ⊗x olduğundan ⊗ işlemi değişmelidir.
C- ∀ x ∈A için x ⊗c=c ⊗x=x olduğu için c etkisiz elemandır. Gerçekten
a ⊗c=a, b ⊗c=b, c ⊗c=c, d ⊗c=d, e ⊗c=e dir.
D- b’nin tersi olsun.
b ⊗x=c olmalıdır.
x=d olduğu tabloda görülür.

İŞLEM
Örnek
∀x,y∈R için x ⊗y=x+y+2xy işlemi tanımlanıyor.
A- ⊗ işlemi değişmeli midir?
B- ⊗ işlemine göre etkisiz eleman nedir?
C- ⊗ işlemine göre a∈R olmak şartıyla a’nın tersi nedir?
Çözüm:
A- x ⊗y= x + y+ 2xy = y + x + 2yx = y ⊗x
O halde ⊗ değişmelidir.

İŞLEM
C- a’nın tersi a-1
olsun.
a ⊗a-1
=0 olmalıdır.
a+a-1
+ 2a.a-1
=0
a-1
(1+2a)=-a
a-1
=-a/(1+2a) bulunur.
B- Etkisiz eleman e olsun. x ⊗e = x olmalıdır.
x+e+2xe = x
e+2xe =0
e(1+2x) =0
1+2x≠0 ise e=0 dır. Bu durumda etkisiz eleman 0’dır.

İŞLEM
Örnek :
♥ işlemi R+
da tanımlı bir işlem olmak üzere, 1/m ♥ n2
= m.n ise
4♥ 9 neye eşittir?
Çözüm:
4 ♥9= 1/ (1/4) ♥ 32
=1/4. 3 = 3/4‘ tür.

İŞLEM
Örnek :
R2
de tanımlanan (a,b)Ω (c,d) =( a+c,b+d) işleminin etkisiz elemanı
nedir?
Çözüm:
Etkisiz eleman (x. Y) olsun. İşlem değişme özelliğine sahip olduğu için;
(a,b) Ω (x,y)=(a,b) olmalıdır.
(a+x,b+y) = (a,b) ise
a+x=a ve b+x= b
x=0 , y=0 bulunur.
Demek ki etkisiz eleman (0,0) ‘dır.

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Z ‘ de β ={ x,y} : m(x-y)}, m≠1 ve m ∈Z+
bağıntısı denklik bağıntısıdır.
O halde ∀(x ,y)∈ β için x ≡y (mod m)
Örnek
Z de β={ x,y : 5 (x-y)} denklik bağıntısını inceleyelim.
Çözüm:
β, farklı 5’e bölünen tamsayı ikililerinden oluşmaktadır.
Yani (1,6), (74, 69) ...
β denklik bağıntısı olduğu için ∀x(x,y) ∈ β için x≡y (mod 5)
Mesela;
(1,6)∈ β olduğu için 1≡6 (mod 5)
(74, 69) ∈ β olduğu için 74 ≡69 (mod 5).....

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Çözüm:
Z’ de m=5 modülüne göre β ‘nın denklik sınıflarını ( kalan sınıfları)
oluşturalım.
0={....., -10 , -5, 0, 5,10,.....}
1={....., -9 , -4, 1, 6, 11,.....}
2={....., -8 , -3 , 2, 7,12.....}
3={....., -7, -2 , 3, 8, 13,......}
4={....., -6 , -1, 4, 9, 14,......}
5 modülüne göre kalan sınıflarıdır.
Z/m={ 0,1 ,2, 3........... (m-1)} dir.

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Özellikleri
x≡y ( mod m) ve u= v olsun.
1- x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir.
2- x-y , (u-v) m2 ye tam olarak bölünür.
3- x+ u ≡ y+v (mod m)
4- x-u ≡y-v (mod m)
5- x.u ≡y. v ( mod m)
6- c.x ≡c.y (mod m) , c ∈Z
7- xn
≡y-n
( mod m ) , n ∈Z+

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Z/m ‘ de Toplama ve Çıkarma
∀ x ,y ∈Z/m için
1. x +y = x+y
2. x . y = x.y

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Örnek
Z/5 de 4. ( 2+ 4) +3 işleminin
sonucu nedir?
Çözüm :
4. ( 2+ 4) +3 =4. ( 2+ 4)+ 3
=4. 6+ 3
=4. 1+ 3
=4+3
=7 = 2
Örnek
71962
≡x ( mod 11) ise x nedir?
Çözüm :
710
= 1 dir. Buna göre ,
71964
≡(710
)196
. 72
≡ 11196
. 72
≡ 5 (mod 11)

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Matematik Sistemler
Tanım 1 :
A boş olmayan bir küme olmak şartıyla ⊗ A ‘ da tanımlı bir işlem
olsun .
( A, ⊗) ikilisine bir matematik sistem denir.
‘ da A ‘ da tanımlı bir işlem ise
( A, ⊗,*) üçlüsüne de bir matematik sistem denir.

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Matematik Sistemler
Tanım 2 :
G, boş olmayan bir küme olmak şartıyla ⊗ A da tanımlı bir işlem olsun.
(G, ⊗) sistemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa grup adını alır.
• Kapalılık özelliği;
• Birleşme özelliği;
• Etkisiz eleman özelliği ;
• Ters eleman özelliği ;

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Matematik Sistemler
Tanım 3 :
(G, ⊗) grubu değişme özelliği sağlıyorsa değişmeli grup adını alır.
Örnek
(Z, +), (R, .), (Z/5, +) sistemleri birer değişmeli gruptur fakat (
N, +), (Z, .)(Z/4, .) sistemleri birer değişmeli grup değildir.

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Matematik Sistemler
Tanım 4 :
(H, ⊗, &) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa halka
adını alır.
• (H, ⊗) değişmeli gruptur.
• H kümesi & işlemine göre kapalıdır.
• & işlemine göre birleşme özelliği vardır.
• & işleminin ⊗ işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Matematik Sistemler
Tanım 5 :
(H, ⊗,&) halka olmak şartıyla;
• & işlemi değişme özelliğine sahipse, (H, ⊗,&) değişmeli halka
adını alır.
• & işleminde etkisiz eleman özelliği varsa (H, ⊗,&) birimli halka
adını alır.

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Matematik Sistemler
Tanım 6 :
(C, ⊗,&) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bir cisim adını
alır.
• (C, ⊗) sistemi değişmeli grup ve birim elemanı e’ dir.
• (C-{e}, &) sistemi değişmeli gruptur.
• & işleminin ⊗ işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

İŞLEM
Modüler Aritmetik
Matematik Sistemler
Tanım 7 :
( C, ⊗,&) bir cisim olsun. & işleminin değişme özelliği varsa
( C, ⊗,&) sistemi değişmeli cisim adını alır.
Örnek
(Z, +, .) değişmeli ve birimli halkadır.

İşlem ve modüler ari̇tmeti̇k

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to İşlem ve modüler ari̇tmeti̇k

Similar to İşlem ve modüler ari̇tmeti̇k (20)

More from Yiğitcan BALCI

More from Yiğitcan BALCI (20)

İşlem ve modüler ari̇tmeti̇k