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テンソル分解の基礎と
画像・信号処理への応用
横田 達也
2014年3月 13日
1
高校時代
~魚ロボット~
大学時代
情報工学科 (計算機システム・プログラミングなど)
大学院
機械学習(パターン認識・データ解析)を研究
卒業後  理研の研究員
学歴 研究
2005年3月 東京工業大学工学部附属
工業高等学校機械科卒業
↓ 特別推薦で合格
(10/200)
2009年3月 東京工業大学 卒業 杉山研究室
2011年3月 東京工業大学大学院
修士課程修了
山下研究室
2011年4月
~現在
東京工業大学大学院
博士後期課程在学
大学:山下研
理研:チホツキ研
2
自己紹介
テンソルについて
テンソルとは
テンソルの計算則
テンソル分解のモデル
CPモデル
Tuckerモデル
テンソル分解のアルゴリズム
テンソル分解へのいろいろな拡張の研究
テンソル分解の応用技術の紹介
3
目次
添え字のついた変数(配列)
スカラー、ベクトル、行列の一般名
例
添え字の数:階数
スカラー:0階のテンソル
ベクトル:1階のテンソル
行列 :2階のテンソル
・・・
4
テンソルとは?
多次元配列としてイメージしてみる
0階テンソル:
1階テンソル:
2階テンソル:
3階テンソル:
5
テンソルデータ
ベクトル
-スカラーを並べたもの
行列
-ベクトルを並べたもの
-行列を並べたもの
3階のテンソルを直方体で表す
4階のテンソルは、
3階のテンソルを並べたものなので、
5階のテンソルは、
4階のテンソルを並べたものなので、
n階のテンソルは、
(n-1)階のテンソルを並べたもの。
6
高階のテンソル
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・・・
・・・
・・・
7
テンソルデータの例
時系列データ
 1階のテンソル (ベクトル)
多チャンネルの時系列データ
 2階のテンソル (行列)
濃淡画像
カラー画像
 2階のテンソル (行列)
 3階のテンソル
(RGB×濃淡画像)
カラー動画
 4階のテンソル
(フレーム×カラー画像)
N階のテンソルを で表し、
その 成分を
または
で表す。
足し算(引き算)
同じ大きさの二つのテンソルの和は、
定数cに対するテンソルXの定数倍 cX は、
8
テンソルの計算(1)
アダマール積(Hadamard product)
同じ大きさの二つのテンソルのアダマール積は、
成分ごとの商(elementwise division)
同じ大きさの二つのテンソルの成分ごとの商は、
クロネッカー積(Kronecker product)
9
テンソルの計算(2)
内積とノルム
同じ大きさの二つのテンソルの内積は、
X = Y のとき、フロベニウスノルムになる
10
テンソルの計算(3)
テンソルの展開(Unforlding)
ベクトル化(vectorization)
11
テンソルの計算(4)
n方向の行列化(n-way matricization)
12
テンソルの計算(5)
-行列化の手順-
① テンソルをn方向へ
スライスする。
(In 個のスライス)
② 各スライスを行ベク
トルへ展開する。
(In 個のベクトル)
③ 各行ベクトルを上から
下に縦に並べる。
行列と行列の積
(I×J)行列 ・(J×K)行列 = (I×K)行列
テンソルと行列の積
(I×J×K)テンソル ×1 (L×I)行列 = (L×J×K)テンソル
(I×J×K)テンソル ×2 (L×J)行列 = (I×L×K)テンソル
(I×J×K)テンソル ×3 (L×K)行列 = (I×J×L)テンソル
13
テンソルの計算(6)
=・
I
J
J
K K
I
I
J
K
×1
I
L = L
JK
I
L I
=
JK
L
JK
行列化
行列化
・
3階テンソルと3つの行列との積
14
テンソルの計算(7)
I
J
K
×1
L = L
MN
×2
M
×3
N
I J K
I
L I
=
JK
L
MN
・ ・
MN
JK
行列化で表記すると
=IJK LMN・
ベクトル化で表記すると
IJK
LMN
いろいろなテンソル同士の積
外積 (s階テンソルとt階テンソルでs+t階テンソルになる)
15
テンソルの計算(8)
I
J
K
L
JK
I
L
=
JK
L
JK
I I
L
=
テンソルの概念について紹介
テンソルの計算
足し算(引き算)
定数倍
アダマール積
成分ごとの商
クロネッカー積
内積、ノルム
展開:ベクトル化
展開:行列化
テンソルと行列の積
テンソル同士の積
外積
16
途中まとめ
行列の因子分解、特徴抽出
テンソルの因子分解と次元削減
行列分解をテンソルに拡張したもの
17
テンソル分解
ベクトルベースのデータ解析
・・・ 
主成分分析
(PCA)
独立成分分析(ICA)
スパース成分分析
(SCA)
非負行列分解
(NMF)
W
・・・
18
テンソルデータの解析
MRI画像
脳波(時間・周波数)
3階テンソルの特徴抽出
A
C
B T

高階テンソルデータ
CPモデル Tuckerモデル
gr
ar
cr
br
GA
C
B
T
テンソル分解
全部同じモデルを指す
CP: canonical polyadic decomposition
PARAFAC: pararell factor analysis
CANDECOMP: canonical decomposition
ここでは、CPモデルとよびます。
1ランクテンソル
N個のベクトルの外積で表せるN階テンソル
CPモデル(3階テンソル)
Rランクへの近似モデルになっている
19
CPモデル
CPモデル(3階テンソル)
カトリ・ラオ積
20
CPモデルの行列化
CPモデル
行列化された
CPモデル
評価基準
a,b,c のノルムは一意に決まらない
任意の実数dに対して, a a/d, bb*d としてもよい
a,b,c のノルムを正規化
21
CP分解のための評価基準
特異値の
テンソル版
問題
導出 (λ,B,Cを固定して, Aについて解く)
最小化条件
更新式
22
CP分解のアルゴリズムの導出
この目的関数を
関数L とおく

入力: X, R
初期化:B, C (各列のノルムは1)
収束するまで繰り返し
(r=1,…,R)
(r=1,…,R)
(r=1,…,R)
(r=1,…,R)
出力: A, B, C, Λ
23
CP分解のアルゴリズムまとめ
Tucker3モデル(3階テンソル)
Gが対角の時、Tuckerモデル=CPモデル
24
Tuckerモデル
=
Tuckerモデルの行列化(3階テンソル)
Tuckerモデルのベクトル化
25
Tuckerモデルの展開
I
R1
I =
JK
R2R3
JK
A
R1
R2R3
(C × B)〇 T
G(1)
[Tuck](1)
(C × B × A)〇 〇
=IJK IJK
R1R2R3
R1R2R3・
評価基準
G,A,B,C は一意に決まらない
A, B, C に正規直交制約を加える(これでも一意にはならない…)
目的関数Lについて見ていく
26
Tucker分解のための評価基準
この目的関数を
関数L とおく

目的関数LにGを代入する
目的関数の最小化は、 G のノルムの最大化となる(PCAと同じ)
27
Tucker分解のための評価基準(2)
問題
導出 (λ,B,Cを固定して, Aについて解く)
更新則
28
Tucker分解のアルゴリズムの導出
または
入力: X, R1, R2, R3
初期化ステップ
Repeat(収束まで)
End
出力: G, A, B, C
29
Tucker分解のアルゴリズムまとめ
HOSVD
HOOI
一般的な評価基準
モデル + 制約
という組み合わせから、いくつもの手法とアルゴリズ
ムが提案されている。
制約項
最適化アルゴリズム
30
制約付きのCP・Tucker分解
与えられたテンソルデータ
モデル(CP・Tucker)
制約
・直交制約
・スパース制約
・スムース制約
・非負制約
解の一意性の向上
目的にあった特徴を抽出したい
例: Textデータ(ヒストグラム)、確率密度関数は必ず非負であり、
それらを構成する基底(特徴)ベクトルもまた非負であるはず。
例: 物理的要因でスパース性、スムース性を仮定して良い場合、(
スムースな自然画像、一般に疎なスペクトルなど)
例: それぞれが独立な特徴ベクトルを抽出したい
ノイズや、無駄な因子をできるだけ取り除きたい
制約によっては、ノイズに対する頑健性を向上できる
31
なぜ、制約が必要なのか?
解の領域
解の領域制約
特徴ベクトルをそれぞれが直交するベクトルの組に限定
線形独立性が保障される
特徴ベクトルのノルムが正規化される
他の制約(疎、非負など)との親和性が低い
適用例:SVD、PCA、ICA、HOSVDなど
32
直交制約
スパースとは、
ベクトルの成分のほとんどの値が 0 のような状態をいう
例: a = [0 0 0 0 5 0 0 0 -1 4 0 0 0 0 0 0 -9 0 0 0 0]
スパース性を得るための制約
l1-ノルムの最小化が良く用いられる
l1-ノルム
評価基準: LASSO と呼ばれる
二次の目的関数+L1ノルムの最小化
λ:正則化パラメータ
弱い成分をつぶして、主要な成分のみを残す
33
スパース制約
l1ノルムの等高線
目的関数の等高線
スムース性
ベクトルの隣り合う成分の値の差が小さい
例: a = [0 -3 9 0 5 15 0 0 0 0 1 1 0 -1 -1 1 2]
良く用いられる評価基準(fused lasso, total variation)
他にも、Aをスムースな基底関数の線形結合としてモデル
化する方法が提案されている
A=ΦW
ノイズに対する頑健性が得られる
34
スムース制約
スムースでない スムース
非負制約とは、
特徴ベクトルの成分の値がすべて非負という制約
非負制約は、特徴ベクトルの非負性だけではあまり意味がなく、
係数の非負性があってはじめて効果を発揮する。
なぜなら非負制約は和算のみでモデル化するための制約だから
和算のみの制約によって相殺が不可能となるため、構成要素としての
パーツを抽出することができる。
35
非負制約


+
+
+
+
+
+
+ + +

 +-
- +
スパース・スムース・非負制約などを付加したさまざまな
拡張が提案されている。
スパースCP分解[Allen, 2012]
スパースTucker分解
非負CP分解
非負Tucker分解[Kim&Choi, 2007][Phan&Cichoki, 2008,2009,2011]
スムース非負CP分解[Yokota et al, 2015]
スムース非負Tucker分解[Tokota et al, 2015]
行列分解の多様な技術をテンソル分解に拡張したい
主成分分析(PCA)、スパースPCA、スパース&スムースPCA
非負行列分解(NMF)、スパースNMF、スムースNMF
独立成分分析(ICA)
共通個別因子分析など
36
CP・Tucker分解のさまざまな拡張
複数の濃淡画像を重ねた3階のテンソルデータ
特徴行列=基底行列であり、コアテンソルはその係数と考えて良い
。
37
テンソル分解の画像処理への応用
A B
T
タッカー分解
Tucker2モデル
特徴行列
特徴行列 コアテンソル
= + + + +・・・
= + + + +・・・
38
Tucker2モデルで得られた直交基底
39
二次元DCT と Tucker2分解 の違い
A B
T
Tucker2モデル
基底行列
基底行列 コアテンソル
C1
C2
T
コサイン
関数行列
コサイン
関数行列
コアテンソル
DCT
基底行列が決まっていて、
コアテンソルだけを最適化して
フィッティングしている
基底行列と
コアテンソル両方最適化する
フィッティングする
DCT基底 Tucker2
基底
もし、NMF/NTFによって顔画像のパーツが的確に学習さ
れていれば、パーツの組み合わせによって顔画像を構成で
きる。
ノイズを付加された顔画像を、構成モデルで再構成する事を考え
る。再構成された画像は基底行列が張る空間に限定されるため、
ノイズ除去に利用できる。
張る空間の次元が小さいとまったく別の(平均的な)顔になる…
40
非負テンソル分解による顔画像の再構成
ノイズ付加 NMF Smooth NMF NTF Smooth NTF
PSNR(peak signal to noise ratio)
41
再構成誤差の評価
11枚
33 pixels
26 pixels
GA
C
B T
・・・
15人
・・・
・・・・・・・・・
11枚
858
pixels
R1×10×10
・画像にはノイズ(10dB)が付加されている
・R1個のパーツで各顔画像を再構成する
・再構成した画像とノイズのない原画像をPSNRで比較
42
応用例2: 3階テンソルデータのノイズ除去
7.21 dB
非負CP分解
(19.8 dB)
非負Tucker分解
(13.5 dB)
スムース非負
CP分解(26.8 dB)
スムース非負Tu-
cker分解(23.9 dB)
Gaussian
noise
GA
C
B T
GU
W
V T T
非負Tucker分解
非負CP分解
スムース非負Tucker分解
スムース非負CP分解
テンソルの概念とさまざまな計算則を紹介
2つのテンソル分解モデルを紹介
CPモデル
Tuckerモデル
最も基本的な分解アルゴリズムを紹介
CP-ALS アルゴリズム
HOOI アルゴリズム
制約付きテンソル分解について紹介
直交制約
スパース制約
スムース制約
非負制約
簡単な応用例を紹介
Tucker2モデルによる直交基底の学習
CP・Tucker分解によるノイズ除去
43
まとめ
最後まで聞いてくださってありがとうございました。
44
おわり

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