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- 3. 復習 𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡 多項式集合𝐹 𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 <𝐹>のグレブナー基底 𝐷 ∶= 𝐹 の相異なる元の組 , 𝐺 ∶= 𝐹 とする 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒 𝐷 が空でない 𝑑𝑜 𝐷 から一個取り除く 除いた要素間の 𝑆 多項式を計算する その多項式を 𝐺 で簡約して正規形 𝑟 を計算する 𝑖𝑓 𝑟が 0 でない 𝐷 に ( 𝐺 , 𝑟 ) を追加 𝐺 に 𝑟 を追加 𝑒𝑛𝑑 𝑖𝑓 𝑒𝑛𝑑 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑢𝑟𝑛 𝐺
- 6. 復習(2) 𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡 多項式集合𝐹 𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 <𝐹>のグレブナー基底 𝐷 ∶= 𝐹 の相異なる元の組 , 𝐺 ∶= 𝐹 とする 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒 𝐷 が空でない 𝑑𝑜 𝐷 から一個取り除く 除いた要素間の 𝑆 多項式を計算する その多項式を 𝐺 で簡約して正規形 𝑟 を計算する 𝑖𝑓 𝑟が 0 でない 𝐷 に ( 𝐺 , 𝑟 ) を追加 𝐺 に 𝑟 を追加 𝑒𝑛𝑑 𝑖𝑓 𝑒𝑛𝑑 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑢𝑟𝑛 𝐺 実際、何回くら い？
- 8. 3変数5式の時 • −30𝑎2 𝑏 − 27𝑐 − 9𝑎𝑏2 𝑐2 • 11𝑎2 𝑏𝑐2 − 7𝑎𝑏𝑐2 + 33𝑎2 𝑏𝑐 + 50𝑎𝑏𝑐 • -43𝑎2 𝑏2 𝑐2 − 31𝑎𝑏𝑐 − 41𝑎2 𝑐2 + 9𝑎2 𝑏𝑐 • −2𝑎𝑏𝑐2 − 24𝑏2 • 21𝑐 − 39𝑎2 𝑏𝑐 + 7𝑎2 𝑐 − 51𝑎2 𝑏2 + 30𝑏2 𝑐
- 9. 3変数5式の時 • −30𝑎2 𝑏 − 27𝑐 − 9𝑎𝑏2 𝑐2 • 11𝑎2 𝑏𝑐2 − 7𝑎𝑏𝑐2 + 33𝑎2 𝑏𝑐 + 50𝑎𝑏𝑐 • -43𝑎2 𝑏2 𝑐2 − 31𝑎𝑏𝑐 − 41𝑎2 𝑐2 + 9𝑎2 𝑏𝑐 • −2𝑎𝑏𝑐2 − 24𝑏2 • 21𝑐 − 39𝑎2 𝑏𝑐 + 7𝑎2 𝑐 − 51𝑎2 𝑏2 + 30𝑏2 𝑐 10秒くらいかかる 𝐷に追加されるのは大体700回ぐらい
- 10. 5変数5式の時 • 42𝑐2 𝑒2 + 29𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒 + 19𝑎𝑏2 𝑑2 • 35𝑏2 𝑐 + 52𝑎𝑏2 𝑐𝑑2 𝑒2 + 46𝑐2 𝑑 − 5𝑎𝑑𝑒2 − 3𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒2 • 37𝑎𝑏𝑐𝑑 • −5𝑎𝑏𝑒 + 30𝑎𝑐2 𝑑2 𝑒 • −31𝑎𝑐2 + 51𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑 めっちゃはやい 250回ぐらいしか判定しない
- 11. ５変数8式の時 たくさん
- 15. 高速化 • 何を速くしたいか 除いた要素間の 𝑆 多項式を計算する その多項式を 𝐺 で簡約して正規形 𝑟 を計算 する ここ！
- 16. 高速化 𝐺の元が大きくなりすぎるのは性質上しょうが ない だから、すごいたくさんあるやつの判定を軽く したい！！ すなわち、𝐺の最終的な元の数を𝑁とすると、 𝑂 𝑁2 回の𝑆多項式の簡約を軽くしたい
- 17. 高速化−𝑖𝑑𝑒𝑎 𝑆多項式の性質を考える 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔𝑗 = 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑖 𝑔𝑖 − 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑗 𝑔𝑗 𝑇𝑖𝑗:𝐻𝑇(𝑔𝑖)と𝐻𝑇(𝑔𝑗)の𝐿𝐶𝑀
- 18. 高速化−𝑖𝑑𝑒𝑎 じっと眺める 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔𝑗 = 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑖 𝑔𝑖 − 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑗 𝑔𝑗
- 20. 高速化−𝑖𝑑𝑒𝑎 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗なら…. 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔𝑗 = 𝑇 𝑖𝑗𝑘 𝑇 𝑖𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔 𝑘 − 𝑇 𝑖𝑗𝑘 𝑇 𝑗𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑗, 𝑔 𝑘
- 21. 高速化-idea 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗なら 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔𝑗 = 𝑇 𝑖𝑗𝑘 𝑇 𝑖𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔 𝑘 − 𝑇 𝑖𝑗𝑘 𝑇 𝑗𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑗, 𝑔 𝑘 じゃん！！！！！！！！
- 22. 少し証明 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗なら𝑇𝑖𝑗𝑘 = 𝑇𝑖𝑗が𝐿𝐶𝑀の性質から成り立つから 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔𝑗 = 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑖 𝑔𝑖 − 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑗 𝑔𝑗 𝑇𝑖𝑗𝑘 𝑇𝑖𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔 𝑘 − 𝑇 𝑖𝑗𝑘 𝑇 𝑗𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑗, 𝑔 𝑘 = 𝑇𝑖𝑗𝑘( 𝑔𝑖 𝐻𝑀 𝑔𝑖 − 𝑔𝑖 𝐻𝑀(𝑔𝑖) ) − 𝑇𝑖𝑗𝑘( 𝑔𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑗 − 𝑔𝑖 𝐻𝑀(𝑔𝑖) ) = 𝑇𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑖 𝑔𝑖 − 𝑇𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑗 𝑔𝑗 やったね！
- 24. つまり 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗ならば (𝑖, 𝑗の判定) は 𝑖, 𝑘の判定 と (𝑗, 𝑘の判定) から分かる
- 25. つまり 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗ならば (𝑖, 𝑗の判定) は 𝑖, 𝑘の判定 と (𝑗, 𝑘の判定) から分かる これは、簡約の性質から0になるやつに多項式を掛けて 足しても0になるよねっという感じ
- 26. つまり サボれるじゃん！！ ただし、 𝑘のおかげで𝑖, 𝑗がサボれる 𝑗のおかげで𝑖, 𝑘がサボれる みたいになると結局進捗だめ（サボりすぎ）
- 28. 例 適当に(𝑖, 𝑗)を消す順番を作る 𝑖 < 𝑗なる(𝑖, 𝑗)を𝑆多項式を計算する順番で 順序付けする とか（実際はもっといい順序がある）
- 29. 結果を見てみよう 実装してみた
- 30. 3変数3式の時 • −30𝑎2 𝑏 − 27𝑐 − 9𝑎𝑏2 𝑐2 • 11𝑎2 𝑏𝑐2 − 7𝑎𝑏𝑐2 + 33𝑎2 𝑏𝑐 + 50𝑎𝑏𝑐 • -43𝑎2 𝑏2 𝑐2 − 31𝑎𝑏𝑐 − 41𝑎2 𝑐2 + 9𝑎2 𝑏𝑐 • −2𝑎𝑏𝑐2 − 24𝑏2 • 21𝑐 − 39𝑎2 𝑏𝑐 + 7𝑎2 𝑐 − 51𝑎2 𝑏2 + 30𝑏2 𝑐 めっちゃ速い 75回ぐらい
- 31. 5変数5式の時 • 42𝑐2 𝑒2 + 29𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒 + 19𝑎𝑏2 𝑑2 • 35𝑏2 𝑐 + 52𝑎𝑏2 𝑐𝑑2 𝑒2 + 46𝑐2 𝑑 − 5𝑎𝑑𝑒2 − 3𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒2 • 37𝑎𝑏𝑐𝑑 • −5𝑎𝑏𝑒 + 30𝑎𝑐2 𝑑2 𝑒 • −31𝑎𝑐2 + 51𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑 もっとめっちゃはやい 36回ぐらい
- 33. つまり 速い！！
- 37. 例3-5 • −30𝑎2 𝑏 − 27𝑐 − 9𝑎𝑏2 𝑐2 • 11𝑎2 𝑏𝑐2 − 7𝑎𝑏𝑐2 + 33𝑎2 𝑏𝑐 + 50𝑎𝑏𝑐 • -43𝑎2 𝑏2 𝑐2 − 31𝑎𝑏𝑐 − 41𝑎2 𝑐2 + 9𝑎2 𝑏𝑐 • −2𝑎𝑏𝑐2 − 24𝑏2 • 21𝑐 − 39𝑎2 𝑏𝑐 + 7𝑎2 𝑐 − 51𝑎2 𝑏2 + 30𝑏2 𝑐 グレブナー基底は ・ 𝑐 ・ 𝑏2 ・ 𝑎2 𝑏
- 38. 例3-5 • −30𝑎2 𝑏 − 27𝑐 − 9𝑎𝑏2 𝑐2 • 11𝑎2 𝑏𝑐2 − 7𝑎𝑏𝑐2 + 33𝑎2 𝑏𝑐 + 50𝑎𝑏𝑐 • -43𝑎2 𝑏2 𝑐2 − 31𝑎𝑏𝑐 − 41𝑎2 𝑐2 + 9𝑎2 𝑏𝑐 • −2𝑎𝑏𝑐2 − 24𝑏2 • 21𝑐 − 39𝑎2 𝑏𝑐 + 7𝑎2 𝑐 − 51𝑎2 𝑏2 + 30𝑏2 𝑐 ということは 解は(0,0,0) ・ 𝑐 ・ 𝑏2 ・ 𝑎2 𝑏
- 39. 例5-5 • 42𝑐2 𝑒2 + 29𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒 + 19𝑎𝑏2 𝑑2 • 35𝑏2 𝑐 + 52𝑎𝑏2 𝑐𝑑2 𝑒2 + 46𝑐2 𝑑 − 5𝑎𝑑𝑒2 − 3𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒2 • 37𝑎𝑏𝑐𝑑 • −5𝑎𝑏𝑒 + 30𝑎𝑐2 𝑑2 𝑒 • −31𝑎𝑐2 + 51𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑 グレブナー基底は 。。。。。。。
- 40. 例5-5 • 42𝑐2 𝑒2 + 29𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒 + 19𝑎𝑏2 𝑑2 • 35𝑏2 𝑐 + 52𝑎𝑏2 𝑐𝑑2 𝑒2 + 46𝑐2 𝑑 − 5𝑎𝑑𝑒2 − 3𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒2 • 37𝑎𝑏𝑐𝑑 • −5𝑎𝑏𝑒 + 30𝑎𝑐2 𝑑2 𝑒 • −31𝑎𝑐2 + 51𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑 難しそう…