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AtCoder Regular Contest 017
解説
A問題
素数、コンテスト、素数
A - 問題概要
問題

整数 N が与えられる。

N が素数かどうかを判定せよ。



制限

17 ≦ N ≦ 1,000,000
A - 正解に必要な要素




アルゴリズム

・素数の定義

・素数の判定法


1 とその数自身でしか割り切れない
2 以上の正の整数
※問題文に書かれています
N を割り切るような数を探してみて、

実装

それが 1 と N だけなら...
A - 解き方
1. N を標準入力から入力する。
2. 2 から N-1 までのすべての整数について、

N を割り切ることができるかを調べる。

→多くの言語では % 演算子で調べることができる

3. いちども割り切れなければ N は素数...
B問題
解像度が低い。
B - 問題概要
問題

業績を表す N 要素の整数列 A が与えられる。

そのうちの連続した K 個で、常に上昇しているもの
は何個あるか?
制限

1 ≦ K ≦ N ≦ 300,000

1 ≦ Ai ≦ 300,000 (1 ≦ i ...
B - 注意点(1/2)
K = 1 のとき、「常に上昇している」とは?

→問題文の記述からは、あまり明らかではない……
直感的には

たとえば (100) は上昇しているようには見えないが……
ありうる解釈(今回正しいのはこっち)

常に上...
B - 注意点(2/2)
プログラミングコンテストの問題文では、こういった
「数学的な」解釈をすることが多い

(特に今回のように K = 1 などの端っこのケース)
少しでも「あれ?」と題意に疑問を持ったら……

質問しましょう。積極的に質問...
B - 解き方(1/3)
素直にループを書いて数えると?

 →もちろん答えは出るけど、時間は大丈夫?
今回は N が 300,000 まであって、間に合わない!

・具体的には約 N(N-K) 個ぐらいの要素を見る

・最大で 200 億を超...
B - 解き方(2/3)
入出力例についていた図を観察してみよう

(N = 10, K = 3)
!

!

最初の 5 要素が常に上昇していて、K = 3 なので

その部分が 3 回分カウントされている!

後半についても、4 要素の上昇...
B - 解き方(3/3)
元の A を、常に上昇している列たちに分解する!
次に、分解したそれぞれの部分について

その部分が K 以上の長さであれば答えにカウント!

10 40 50 80 90 30 20 40 90 95
10 40 5...
C問題
無駄なものが嫌いな人
C - 問題概要
問題

N 個の荷物と、それぞれの大きさ w が与えられる。

大きさ X のナップサックに、ぴったり荷物を詰める
方法は何通りあるか?
制限

1 ≦ N ≦ 32

1 ≦ wi ≦ 50,000,000 (1 ≦ i ≦...
C - ナップサック?
ナップサック問題(有名な動的計画法の問題、詳細は調べてね)
にそっくり!同じ方法で解けるかな?
今回の制限だと、同じ方法ではダメです。

・ナップサックの大きさぐらいメモリが必要

・今回はナップサックがとても大きい
C - 制限に注目
今回の制限では
・ナップサックや荷物がとても大きい
が、そのかわりに
・荷物の個数(N)がとても小さい(重要)
とはいえ、全探索は間に合わない

(232 通りの詰め方はとても時間内に探索しきれない)
C - 解き方(1/3)
N が半分(16ぐらい)なら全探索できるのに……



つまり、

荷物を前半グループと後半グループの半々に分けて、
それぞれのグループ内の組み合わせで作れる大きさな
ら全探索ができる!
その後で、ふたつのグループの結...
C - 解き方(2/3)
前半の荷物を組み合わせて、大きさ p にする方法

が A 通りあるとすると……
後半の荷物を組み合わせて、大きさ X-p にする方法

が B 通りあったとしたら
→ちょうど大きさを X にする方法が

 A×B 通...
C - 解き方(3/3)
前半でつくる大きさ p を全部試すとして

このとき対応する

「後半で大きさ X-p を作る方法」が何通りあるか

がすぐに分かればよい。
→ 後半の全探索の結果を作れる大きさの順にソート
しておけば二分探索で大きさ...
D 問題 解説
城下 慎也 (phidnight)
問題概要
• 𝑁 個の数列が与えられる。
• 次のクエリを 𝑀 個処理する。
・連続する区間の数字の GCD を出す。
・連続する区間の数字を増減させる
※ここでは、GCD は最大公約数のこと
• 30 点分の部分点では増減クエリの幅が1
部分点解法
• 普通に 1 個ずつ区間を取って GCD を計算し
ていると間に合わない。
• 実は、いくつかの数の GCD はどのような順番
で部分の GCD を計算しても必ず同じ最終結
果が返ってくる。
• あらかじめ広い区間の GCD を知...
部分点解法(例)
• 例えば下のように区間を決めた場合について
考えてみる。
• 左から 3 つ目を起点として右に進んだ 5 つの
数 16,32,120,84,54 の GCD を計算してみる。
2
4

6

4

8

16

20

1...
部分点解法(例)
• 矢印で示した 3 つの数 16,12,54 の GCD は元
の 5 つの数の GCD と一致する。
• GCD(16,32,120,84,54)=GCD(16,12,54)=2
2
4

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4

8

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20
...
部分点解法
• segment-tree に、その区間に含まれる要素の
GCD を保存しておけば、連続する区間の GCD
を O(log 𝑁) で計算することができる。
• 増減クエリは幅 1 なので、この更新によって
GCD が更新される場所...
満点解法に向けて
• segment-tree が管理している区間全体に数
字が増減された場合、増減の前後で GCD が
変わることがある。
• 例: 区間が [36,43,1,71] を管理している時に、
区間全体が 7 増えると GCD(4...
満点解法に向けて
• 全体に数が加算されても、それぞれの数の
差は一定である。(36 と 43 の両方に 6 を足し
ても差は 7 のままである)
• よって区間内の隣り合う 2 項の差は不変。
• 実は、区間に含まれる要素のうち、隣り合うも
...
両者が一致することの証明
𝑔=GCD(𝐴 𝑙 , 𝐴 𝑙+1 , … , 𝐴 𝑟 )
ℎ=GCD(𝐴 𝑙 , 𝐴 𝑙+1 − 𝐴 𝑙 , … , 𝐴 𝑟 − 𝐴 𝑟−1 ) とする。
• 𝑙 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 となるどの 𝑖 についても 𝐴 𝑖 ...
両者が一致することの証明
• ℎ の性質より 𝑙 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 − 1 となるどの 𝑖 につ
いても、 𝐴 𝑖+1 − 𝐴 𝑖 = 𝐵 𝑖 ℎ となる正の整数 𝐵 𝑖
が存在する。
• また、𝐴 𝑙 = 𝐶ℎ (𝐶 は正の整数) も成立する。...
満点解法
• よって、segment-tree に、管理する区間に含
まれる、隣り合う差の GCD と左端の要素を保
存しておき、質問クエリに対して、それぞれの
区間ごとに区間内の隣り合う差の GCD をまと
め、それらの隙間の部分と左端の要素...
満点解法
• 左端の要素 𝐴 𝑙 に関する情報について、増減
クエリそのまま個々の要素に実行すると時間
がかかる。
• 区間和として、質問クエリに対し遅延評価を
するとこの問題を解決できる。
• 全体で O(𝑀 log 𝑁) となり満点が得られ...
補足
• 今回の問題に、「初期状態およびクエリ実施
後にすべての数が 1 以上 109 以下となる」と
ありますが、遅延評価用にとっている区間の
中身が 32 bit 整数に収まるとは限りません。
• 初期状態で 𝐴1 = 𝐴2 = 1 として...
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AtCoder Regular Contest 017

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AtCoder Regular Contest 017

  1. 1. AtCoder Regular Contest 017 解説
  2. 2. A問題 素数、コンテスト、素数
  3. 3. A - 問題概要 問題
 整数 N が与えられる。
 N が素数かどうかを判定せよ。
 
 制限
 17 ≦ N ≦ 1,000,000
  4. 4. A - 正解に必要な要素 
 アルゴリズム
 ・素数の定義
 ・素数の判定法
 1 とその数自身でしか割り切れない 2 以上の正の整数 ※問題文に書かれています N を割り切るような数を探してみて、 実装
 それが 1 と N だけなら素数! ・標準入出力
 ・ループ
  →実装で分からないことがある場合は
   「標準入出力」などで調べてみよう
  5. 5. A - 解き方 1. N を標準入力から入力する。 2. 2 から N-1 までのすべての整数について、
 N を割り切ることができるかを調べる。
 →多くの言語では % 演算子で調べることができる 3. いちども割り切れなければ N は素数 → YES
 そうでなければ N は素数ではない → NO
 をそれぞれ標準出力に出力する。
  6. 6. B問題 解像度が低い。
  7. 7. B - 問題概要 問題
 業績を表す N 要素の整数列 A が与えられる。
 そのうちの連続した K 個で、常に上昇しているもの は何個あるか? 制限
 1 ≦ K ≦ N ≦ 300,000
 1 ≦ Ai ≦ 300,000 (1 ≦ i ≦ N)
  8. 8. B - 注意点(1/2) K = 1 のとき、「常に上昇している」とは?
 →問題文の記述からは、あまり明らかではない…… 直感的には
 たとえば (100) は上昇しているようには見えないが…… ありうる解釈(今回正しいのはこっち)
 常に上昇とは 1 ≦ i < (Xの長さ) について Xi < Xi+1 
 と考えれば、(100) も「常に上昇している」ととれる
 →そもそも i がとれないから OK
  9. 9. B - 注意点(2/2) プログラミングコンテストの問題文では、こういった 「数学的な」解釈をすることが多い
 (特に今回のように K = 1 などの端っこのケース) 少しでも「あれ?」と題意に疑問を持ったら……
 質問しましょう。積極的に質問すると良いです。
 (求めている返答が返ってくればよいですし、仮に「問題文をよく読んでくださ い」なんて返されてしまったとしても損することはありません。ジャッジ側の仕 事が増えるだけですが、そんなことを参加者は気にしなくてもよいので、疑問が あればためらわずにガンガン質問を送りましょう。)
  10. 10. B - 解き方(1/3) 素直にループを書いて数えると?
  →もちろん答えは出るけど、時間は大丈夫? 今回は N が 300,000 まであって、間に合わない!
 ・具体的には約 N(N-K) 個ぐらいの要素を見る
 ・最大で 200 億を超える個数になる!
 ・とてもじゃないけど 2 秒では難しい
  11. 11. B - 解き方(2/3) 入出力例についていた図を観察してみよう
 (N = 10, K = 3) ! ! 最初の 5 要素が常に上昇していて、K = 3 なので
 その部分が 3 回分カウントされている!
 後半についても、4 要素の上昇部分が 2 回分カウントされている
  12. 12. B - 解き方(3/3) 元の A を、常に上昇している列たちに分解する! 次に、分解したそれぞれの部分について
 その部分が K 以上の長さであれば答えにカウント! 10 40 50 80 90 30 20 40 90 95 10 40 50 80 90 30 20 40 90 95 長さ 5
 長さ 1
 長さ 4
 → 3 回分カウント → カウントしない → 2 回分カウント
  13. 13. C問題 無駄なものが嫌いな人
  14. 14. C - 問題概要 問題
 N 個の荷物と、それぞれの大きさ w が与えられる。
 大きさ X のナップサックに、ぴったり荷物を詰める 方法は何通りあるか? 制限
 1 ≦ N ≦ 32
 1 ≦ wi ≦ 50,000,000 (1 ≦ i ≦ N)
 1 ≦ X ≦ 1,000,000,000
  15. 15. C - ナップサック? ナップサック問題(有名な動的計画法の問題、詳細は調べてね) にそっくり!同じ方法で解けるかな? 今回の制限だと、同じ方法ではダメです。
 ・ナップサックの大きさぐらいメモリが必要
 ・今回はナップサックがとても大きい
  16. 16. C - 制限に注目 今回の制限では ・ナップサックや荷物がとても大きい が、そのかわりに ・荷物の個数(N)がとても小さい(重要) とはいえ、全探索は間に合わない
 (232 通りの詰め方はとても時間内に探索しきれない)
  17. 17. C - 解き方(1/3) N が半分(16ぐらい)なら全探索できるのに……
 
 つまり、
 荷物を前半グループと後半グループの半々に分けて、 それぞれのグループ内の組み合わせで作れる大きさな ら全探索ができる! その後で、ふたつのグループの結果を
 うまくまとめられないだろうか?
  18. 18. C - 解き方(2/3) 前半の荷物を組み合わせて、大きさ p にする方法
 が A 通りあるとすると…… 後半の荷物を組み合わせて、大きさ X-p にする方法
 が B 通りあったとしたら →ちょうど大きさを X にする方法が
  A×B 通り見つかったことになる
  19. 19. C - 解き方(3/3) 前半でつくる大きさ p を全部試すとして
 このとき対応する
 「後半で大きさ X-p を作る方法」が何通りあるか
 がすぐに分かればよい。 → 後半の全探索の結果を作れる大きさの順にソート しておけば二分探索で大きさ X-p を作る方法が何通り あるか高速に求められる!
 これは「半分全列挙」等の名前で言及されることの多いアルゴリズム
  20. 20. D 問題 解説 城下 慎也 (phidnight)
  21. 21. 問題概要 • 𝑁 個の数列が与えられる。 • 次のクエリを 𝑀 個処理する。 ・連続する区間の数字の GCD を出す。 ・連続する区間の数字を増減させる ※ここでは、GCD は最大公約数のこと • 30 点分の部分点では増減クエリの幅が1
  22. 22. 部分点解法 • 普通に 1 個ずつ区間を取って GCD を計算し ていると間に合わない。 • 実は、いくつかの数の GCD はどのような順番 で部分の GCD を計算しても必ず同じ最終結 果が返ってくる。 • あらかじめ広い区間の GCD を知っておけば 効率的に計算できる。 • segment-tree を用いると効果的。
  23. 23. 部分点解法(例) • 例えば下のように区間を決めた場合について 考えてみる。 • 左から 3 つ目を起点として右に進んだ 5 つの 数 16,32,120,84,54 の GCD を計算してみる。 2 4 6 4 8 16 20 16 12 32 120 18 84 54 36
  24. 24. 部分点解法(例) • 矢印で示した 3 つの数 16,12,54 の GCD は元 の 5 つの数の GCD と一致する。 • GCD(16,32,120,84,54)=GCD(16,12,54)=2 2 4 6 4 8 16 20 16 12 32 120 18 84 54 36
  25. 25. 部分点解法 • segment-tree に、その区間に含まれる要素の GCD を保存しておけば、連続する区間の GCD を O(log 𝑁) で計算することができる。 • 増減クエリは幅 1 なので、この更新によって GCD が更新される場所も O(log 𝑁) →全体で O(𝑀 log 𝑁) で計算でき、30 点が得 られる。
  26. 26. 満点解法に向けて • segment-tree が管理している区間全体に数 字が増減された場合、増減の前後で GCD が 変わることがある。 • 例: 区間が [36,43,1,71] を管理している時に、 区間全体が 7 増えると GCD(42,49,7,77)=7 と なって 1 ではなくなっている。 • 増減クエリに対して不変な要素がないか考え る。
  27. 27. 満点解法に向けて • 全体に数が加算されても、それぞれの数の 差は一定である。(36 と 43 の両方に 6 を足し ても差は 7 のままである) • よって区間内の隣り合う 2 項の差は不変。 • 実は、区間に含まれる要素のうち、隣り合うも のの差すべてと代表元 1 個の GCD は区間の GCD と等しくなる。 GCD(𝐴 𝑙 , 𝐴 𝑙+1 , … , 𝐴 𝑟 ) =GCD(𝐴 𝑙 , 𝐴 𝑙+1 − 𝐴 𝑙 , … , 𝐴 𝑟 − 𝐴 𝑟−1 ) ということ。
  28. 28. 両者が一致することの証明 𝑔=GCD(𝐴 𝑙 , 𝐴 𝑙+1 , … , 𝐴 𝑟 ) ℎ=GCD(𝐴 𝑙 , 𝐴 𝑙+1 − 𝐴 𝑙 , … , 𝐴 𝑟 − 𝐴 𝑟−1 ) とする。 • 𝑙 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 となるどの 𝑖 についても 𝐴 𝑖 = 𝑘𝑔と 表すことができる。(𝑘 は正整数) • 𝐴 𝑖 が 𝑔 の倍数なのでそれらの差も 𝑔 の倍数 である。よって ℎ は 𝑔 の倍数である。 • 𝑔 ≤ ℎ であることはこのことより分かる。
  29. 29. 両者が一致することの証明 • ℎ の性質より 𝑙 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 − 1 となるどの 𝑖 につ いても、 𝐴 𝑖+1 − 𝐴 𝑖 = 𝐵 𝑖 ℎ となる正の整数 𝐵 𝑖 が存在する。 • また、𝐴 𝑙 = 𝐶ℎ (𝐶 は正の整数) も成立する。 • このとき、 𝑙 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟 となるどの 𝑗 についても、 𝑗−1 𝐴 𝑗 = 𝐴 𝑙 + 𝑘=𝑙 (𝐴 𝑘+1 − 𝐴 𝑘 ) 𝑗−1 𝑘=𝑙 = ℎ(𝐶 + 𝐵 𝑘 ) となるから、 𝑔 は ℎ の 倍数である。 • よって 𝑔 ≥ ℎ も成立し、 𝑔 = ℎ が成立する。
  30. 30. 満点解法 • よって、segment-tree に、管理する区間に含 まれる、隣り合う差の GCD と左端の要素を保 存しておき、質問クエリに対して、それぞれの 区間ごとに区間内の隣り合う差の GCD をまと め、それらの隙間の部分と左端の要素をまと めれば質問に答えることができる。これは O(log 𝑁) である。 • 増減クエリに対して、隣り合う差の GCD は、 区間に一部またがる場合のみ更新される。 • この方法だと O(log 𝑁) で更新できる。
  31. 31. 満点解法 • 左端の要素 𝐴 𝑙 に関する情報について、増減 クエリそのまま個々の要素に実行すると時間 がかかる。 • 区間和として、質問クエリに対し遅延評価を するとこの問題を解決できる。 • 全体で O(𝑀 log 𝑁) となり満点が得られる。
  32. 32. 補足 • 今回の問題に、「初期状態およびクエリ実施 後にすべての数が 1 以上 109 以下となる」と ありますが、遅延評価用にとっている区間の 中身が 32 bit 整数に収まるとは限りません。 • 初期状態で 𝐴1 = 𝐴2 = 1 として • 9 × 108 1 2→ −9 × 108 1 1→ −9 × 108 2 2 というのが 3 回以上繰り返された場合など。 • 2 の補数表記の性質上、実は考慮しなくても うまくいく場合があるみたいです。

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