IJPC2015-2 B問題の解説です。

1. B: カードゲーム 解説
@yokozuna_57

2. 問題概要
• 1枚のカードを持っているところにn枚のカード
が場に出されるので持っているカードと場の
カードの差の最大値を最小化する。
• ただし、k回まで場のカードと手札を交換でき
る。

3. • 最大値の最小化→二分探索
• 最大値がx以下になるカードの交換方法が存
在するかを速く判定したい。

4. • 最大値がx以下になるようにi枚目までゲーム
を進めるにはそれまでに何回カードを交換す
る必要があるかをdpで求める。

5. • dp[0] = -1,dp[1]=dp[2]=…=INFとして初期化
• i=0,1,…,n-1の順に、j > iについて(i+1)枚目から
j枚目までにi枚目（i=0の時は最初の手札）と
の差がxを超えるものがないとき、
• dp[j] = min ( dp[j] , dp[i]+1 )
• とするdpをすればよい。

6. • iに対して条件を満たすj全体は連続した整数
になるから二分探索で上限を求めればよい。
（下限はi+1もしくはjが存在しない）
• 数列のmin,maxを返せるsegtreeを使えば
O(log^2 n)で求められる。
• dpの更新もsegtreeを使えばO(log n)

7. • 全体でO(n log^3 n)
• TLE

8. TLE解消法1（データ構造）
• Segtreeを下っていくmin,maxを求める方法を
使えば上限がO(log n)で求められるようにな
る。
• 全体でO(n log^2 n)

9. TLE解消法1（尺取り法）
• dp配列を見ると常に単調増加
• dp[j] <= dp[i]+1になっているところは見ないこ
とができる。

10. • アルゴリズムが動くときdp[i]+1の値も単調増
加するからそれぞれが更新されるのは１回。
• 見てみたけど更新しないパターンは(iの側か
ら見て）それぞれ高々一回。
• 最大値、最小値の呼び出しは高々O(n)になる
ので全体ではO(n log^2 n)