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やさしい整数論
- 3. 中学校のときやったよね • 最小公倍数 ex) 6と10の最小公倍数は30 • 最大公約数 ex) 6と10の最大公約数は2 • 整数論ではこういうのをあつかう
- 4. フェルマーの大定理 3 以上の自然数 n について、 xn + yn = zn となる 0でない自然数 (x, y, z) の組が存在しない • 有名だよね？ • これとかも整数論であつかう
- 5. 今回あつかう内容 • 約数とその性質 • 素数と素因数分解 • 最小公倍数・最大公約数 • それらに関するアルゴリズム
- 6. 約数ってなんだろう • 簡単にいうと、ある数を割りきれる数 ex) 10の約数は、1,2,5,10 • より厳密に、xがnの約数である条件とは、 n÷xの余りが0であること (n%x==0だね)
- 7. 約数の性質 • 約数は必ずペアを持つ ex1) 10の約数 (1,10) (2,5) ex2) 16の約数 (1,15) (2,8) (4,4) • 基本的に約数の数はグウスウ個 • 平方数(1,4,9,16,…)とかだけは、 同じ数がペアになるからキスウ個
- 8. 素数ってなんだろう • 1でなく、1とその数自身で割り切れない正整数 ex) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 … • 約数の数がちょうど2個の正整数ともいえる • 規則性がいまだに知られていない • 多くの数学者の人生を棒にふったすごい数
- 9. 素数にとりつかれた人々
- 10. 素因数分解ってなんだろう • 素因数分解とは、ある数を素因数(素数)の積 に分解すること ex1) 30 = 2 * 3 * 5 ex2) 36 = 22 * 32
- 11. 最大公約数ってなんだろう • 最大公約数(GCD)というのは、2つの数の公約 数(共通の約数)のうち、最大のもの ex) 30と12の公約数(1,2,3,4,6) よって、最大公約数は6 • 出題例としては「30×12の長方形を、余りが出 ないようにできるだけ大きい同じ大きさの正方 形を取り出したとき、大きさはいくつか →答え:6
- 12. 最大公約数の求め方 • 人間がやる分には、2つの数を素因数分解し たうえで、それぞれの素因数の小さい次数をと りだしてとければよい ex) 30 = 2 * 3 * 5 12 = 22 * 3 ∴ GCD(30,12) = 21 * 31 * 50 = 6
- 13. 最小公倍数ってなんだろう • 最小公倍数(LCM)というのは、2つの数の倍数 のうち最小のもの ex) 30と12の公倍数(60,120,180,…) よって、最大公約数は60 • 出題例としては 「バスが30分おき,電車が12分おきにやってき ます。今バスと電車が同時に発車しました。 次に同時に着くのは何分後ですか？」 →答え:60分後
- 14. 最小公倍数の求め方 • 人間がやる分には、2つの数を素因数分解し たうえで、それぞれの素因数の大きい次数をと りだしてとければよい ex) 30 = 2 * 3 * 5 12 = 22 * 3 ∴ GCD(30,12) = 22 * 31 * 5 = 60 • 2つの数a,bの最大公約数(GCD)が 分かっていたら LCM(a,b) = a * b / GCD(a,b)
- 18. 素数判定アルゴリズム2(2) • なんで√N以下でいいんだろう 証明) • 約数はかけたらNになるペアを持つ(自明) ex)N=16 (1,16) , (2,8) , (4,4) • 少なくともペアの片方は必ず√N以下 (両方√Nより大きかったらかけたらNこえちゃうからね） • √N以下の約数をみれば、 対を逆算したらよく、全部の約数が判明
- 19. 素数判定アルゴリズム2(3) • 素数判定しろっていわれたら必ずO(√N)の試 し割りをするようにしましょう。 （絶対にO(N)はしないこと！） • 効率的な確率的アルゴリズムが存在するが、 それは別の話。 • グチョクな方法では一番よい。
- 21. 約数を列挙しよう(2) • ペアの片方をiとすれば、片方はn/iだよね。 ex) n=16 (i.n/i) = (1,16) (2,8) (4,4)
- 22. とつぜんだけど動的配列 • Cと同じ機能が使えて、さらに拡張されたもの がC++です • Cに慣れてきたみなさんはいますぐにC++に！ – 配列の長さを自由に決めれるvector – 配列をソートしてくれるsort – 文字列がめっちゃあつかいやすいstring などなどすばらしい機能がもりだくさん！
- 24. 最大公約数を求めよう • 素因数分解してごにょごにょ。 これ実はプログラムで実装するのめんどい • ユークリッドの互除法というすごいアルゴリズ ムがある。(めちゃ速い) • すごいけど古代からあるから学ぼう
- 25. ユークリッドの互除法(1) • 手順を示す。 1. aをbで割った余りa%bを新しいaとする。 2. aとbを入れかえる 3. bが0になるまで1,2をくりかえす 4. そのときのaの値が最大公約数
- 26. 互除法具体例(2) • 今、(a,b)=(30,18)である。 1. a%b=12なので(a,b)=(12,18)となる。 2. aとbを入れかえ、(a,b)=(18,12) 3. a%b=6なので(a,b)=(6,18)となる。 4. aとbを入れかえ、(a,b)=(18,6) 5. a%b=0なので、(a,b)=(0,6) 6. aとbを入れかえ、(a,b)=(6,0) 7. b=0なので、a=6が最大公約数(終わり)
- 27. 互除法具体例図示(3) • 次は、(a,b)=(26,12)のとき。これの処理を図示 すると、「できるだけ大きい正方形をとっていっ たときの、最小の正方形がGCDとなる」 ←――――――――――――――― 26 ―――――――――――――――→ ← ― ― ― ― 1 2 ― ― ― ― →
- 28. 互除法具体例図示(4) • 12*12のでかい正方形をとって、取り除く ← ― ― ― ― 1 2 ― ― ― ― → ←―――――――――――――― 12*2 ―――――――――――――→←2→
- 33. 互除法ソースコード(3) • C言語には (条件式) ? (真のときの値) : (偽のときの値) という条件演算子と呼ばれる変な構文がある。 • それを用いるとこれだけ。
- 34. 互除法の計算量(1) • フィボナッチ数列というものがある 最初の2項は1で、3項目から直前の2項の和 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 … • 互除法の最悪ケースは、フィボナッチ数列の となり合う項同士がa,bのとき ex) a=55,b=34 • 計算量はmin(a,b)に対して、 フィボナッチ数列の逆関数くらい
- 35. 互除法の計算量(2) • 実はn番目の項Fnがこんなかんじの式で • 指数で表されてる関数なので、大体 O( log min(a,b) ) たぶん… • 素因数分解より圧倒的に速い
- 36. 最小公倍数を求めよう • 最大公約数を求める方法がわかった • gcd(a,b)を実装したら a*b/gcd(a,b)を計算するだけ！ • 本当はa/gcd(a,b)*bがコンピュータ 計算的にやさしいのでこちらを使うべき
- 37. おわり
- 38. ではない
- 41. 小ネタ(二分探索) (2) • 解が存在する区間が分かってて、それが単調 区間なら、半分ずつ調べて切り捨てたりして 精度を高めれる 例) • √2を求めたい。(√2の具体的な値は不明) • つまり、x=√2となるようなxを求める x*x=2 (辺々二乗する) がなりたつ。これを利用する
- 42. 小ネタ(二分探索) (3) • たとえば、解が0 <= x <= 2にいると仮定。 とりあえず中点であるx=1のときにx*xを計算す ると、x*x < 2だから、少なくとも解は 1 <= x = 2 にあることが分かる。 次はx=1.5で同じことやるとx*x>2だから 1 <= x <= 1.5
- 43. 小ネタ(二分探索) (4) • 意味わからんと思うので図示しよう • x2=2となるような正整数点xを求めるので、 解は少なくとも[0,2]にあることが分かりそう。 なので、初期段階で区間0<=x<=2のはんいを 調べればよい。 (まあ別に0 <= x <= 100とかでも 区間が単調ならいい)
- 45. 小ネタ(二分探索) (5) • 実装方法 • 収束条件はややこしいので定数回(100回くら い)ループするのもおすすめ
- 46. 小ネタ(二分探索) (6) • 指数的に精度が上がっていくので高速 • 実はいろんなことに応用できるので実装しよう • 単調性が成り立ってて、区間に解が存在して れば、どんな複雑な式でも解を見つけれると いうことが重要！ (ぶっちゃけxがあたえられて√xを求めるとか <math.h>のsqrt()関数つかえばいい)
- 47. ほんとに おわり