Dokumen tersebut membahas tentang sejarah dan konsep pelabelan graceful serta harmonis pada graf. Pelabelan graceful melabelkan titik graf dengan nilai berbeda sehingga selisih label tiap sisi berbeda, sedangkan pelabelan harmonis melabelkan titik graf sehingga penjumlahan label tiap sisi berbeda modulo q. Dokumen ini juga menjelaskan contoh-contoh pelabelan pada berbagai jenis graf serta teorema-teorema terkait kedua jen

1. Pelabelan Graceful dan
Harmonis
Presentasi 1
7 Februari 2019

2. Sejarah Metode Pelabelan Graf
Graceful dan Harmonis
On certain valuations of the vertices of a graph
Rosa, A. 1967
• Memperkenalkan Ide Pelabelan Graf melalui konsep Valuation yaitu α –Valuation, β-Valuation, γ-
Valuation dan ρ-Valuation. Pelabelan β-Valuation kemudian lebih dikenal dengan nama pelabelan
graceful (Golomb, 1972)
• Menyelidiki Pelabelan pada graf pohon, cycle dan beberapa graf dengan karakteristik tertentu
• Membuat Conjecture bahwa setiap graf pohon mempunyai pelabelan β-Valuation
On additive bases and harmonious graphs
Graham,
Sloane, 1980
• Memperkenalkan konsep pelabelan graf harmonis
• Melakukan pelabelan harmonis pada berbagai jenis graf yang mempunyai 5 titik, pada berbagai
jenis graf pohon dengan 7 titik dan pada graf lengkap dengan titik paling banyak 4.
• Membuat Tabel perbandingan antara graf harmonis dan graf graceful
• Menghasilkan teorema sifat-sifat umum suatu graf harmonis

3. Definisi dan Notasi
Pada Presentasi ini, dinotasikan graf G(V,E) sebagai suatu graf sederhana yang tak berarah.
𝑉(𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑝} merupakan himpunan titik-titik pada graf G dengan jumlah titik
𝑉(𝐺) = 𝑝 dan 𝐸(𝐺) = 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑞 , 𝑒𝑖 = 𝑥𝑦 untuk suatu 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, adalah himpunan sisi
pada G dengan jumlah sisi 𝐸(𝐺) = 𝑞.
Secara sama Hal diatas juga berlaku pada graf sederhana yang berarah yang dinotasikan
sebagai 𝐷(𝑉, 𝐸).
Pada beberapa teorema dan definisi menggunakan m untuk menyatakan banyaknya titik
dan n untuk menyatakan banyaknya sisi.
Pada graf cycle terhubung 𝐺 = 𝐶𝑛, n menyatakan banyaknya titik pada graf tersebut

4. Konsep Pelabelan Graceful
Definisi 2.1.
 Fungsi injektif f dari himpunan V ke himpunan 0, 1,2, … , 𝑞 merupakan pelabelan
graceful pada graf G(V,E) jika 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) berbeda untuk setiap sisi 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) .
 Fungsi injektif 𝑓: 𝑉 → 0, 1,2, … , 𝑞 adalah pelabelan graceful jika f menginduksi fungsi
𝑓′: 𝐸 → 1,2, … , 𝑞 dengan 𝑓′
𝑥𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) dimana nilai 𝑓′
𝑒𝑖 ≠ 𝑓′
𝑒𝑗 untuk
setiap 𝑒𝑖 ≠ 𝑒𝑗. Jadi { 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑦 , 𝑥𝑦 ∈ 𝐸} = 𝑞.
 Setiap graf yang memiliki pelabelan graceful dinamakan graf graceful.

5. Contoh Pelabelan Graceful Pada Graf
a. Graf graceful 𝐶4 b. Graf Graceful 𝑃5 c. Graf Bintang 𝐾1,8
Gambar 1. Beberapa Contoh graf graceful
0 4
1
2
3
4
2
1
4
3
2
0 2
4 1
3 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8

6. Tiga Karakteristik Graf yang Tidak Punya
Pelabelan Graceful
1
• Graf yang
memiliki
jumlah titik
terlalu banyak
titik yang
tidak imbang
dengan
jumlah
sisinya.
2
• Graf yang
memiliki
jumlah sisi
terlalu banyak
sisi yang
tidak imbang
dengan
jumlah
titiknya.
3
• Graf dengan
pasangan titik
yang salah

7. Contoh Graf yang Tidak Punya
Pelabelan Graceful
a. Graf Lengkap 𝐾𝟓 b. Graf Cycle 𝐶5 c. Graf Hutan
Gambar 2. Beberapa Contoh graf tidak graceful

8. Syarat Perlu Suatu Graf Mempunyai
Pelabelan Graceful
Jika suatu graf G(V,E) graceful maka
𝑝 ≤ 𝑞 + 1
Titik dengan label 0 dan m harus
bertetangga

9. Pelabelan Graceful Pada Beberapa
Jenis Graf Pohon
 Pelabelan Graceful pada graf Lintasan
 Pelabelan Graceful pada graf Bintang
 Pelabelan Graceful pada graf Caterpillar
 Pelabelan Graceful pada graf Ular

10. Pelabelan Graceful Pada Graf Lintasan
Dengan f fungsi pelabelan graceful yang didefinisikan sebagai berikut :
𝑓 𝑣𝑖 =
2𝑛 − 1 −
𝑖 − 1
2
; untuk nilai 𝑖 ganjil
𝑛 +
𝑖 − 2
2
; untuk nilai 𝑖 genap
𝑣1 𝑣3 𝑣5 𝑣7 𝑣8
𝑣6
𝑣4
𝑣2
7 6 5 4 2
2
1
0
7 6 5 4 3 2 1

11. Pelabelan Graceful Pada Graf Bintang
𝑣1
𝑣3
𝑣5
𝑣7
𝑣8
𝑣6
𝑣4
𝑣2
𝑢
8
7
6
5
4
3
2
1
0

12. Pelabelan Graceful pada graf
Caterpillar
4
3
2
1
9
7
6
5
8
12
11 13
10
14
16
22 17
18
19
20
21 15
23

13. Pelabelan Graceful pada graf Cycle
terhubung
Teorema:
𝐶𝑛 adalah suatu graf graceful jika dan hanya jika 𝑛 ≡ 0 atau 3 (Mod 4)
Teorema
Jika 𝑛 ≡ 1 atau 2 (Mod 4) maka 𝐶𝑛 bukan graf graceful
0 4
1
2
0 1
2
4
6
5 3
0
1
2
3
4
5
7
8
1
3
5
0
2
4

14. Beberapa Penelitian yang telah dilakukan
Tentang Pelabelan Graceful
 Pelabelan Graceful pada graf Torch (Manulang, Sugeng, 2018)
 Pelabelan Graceful pada join dan gabungan graf 𝐶3dengan graf lintasan
 Pelabelan Graceful pada graf pohon berdiameter paling besar 5



15. Konsep Pelabelan Harmonis
Definisi 2.1.
 Fungsi injektif f dari himpunan V ke himpunan 0, 1,2, … , 𝑞 − 1 merupakan pelabelan
Harmonis pada graf G(V,E) jika 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑦 (mod 𝑞) berbeda untuk setiap sisi 𝑥𝑦 ∈
𝐸(𝐺) .
 Fungsi injektif 𝑓: 𝑉 → 0, 1,2, … , 𝑞 − 1 adalah pelabelan harmonis jika f menginduksi
fungsi 𝑓′: 𝐸 → 0,1,2, … , 𝑞 − 1 dengan 𝑓′
𝑥𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑦) (mod q) dimana nilai
𝑓′ 𝑒𝑖 ≠ 𝑓′ 𝑒𝑗 untuk setiap 𝑒𝑖 ≠ 𝑒𝑗. Jadi { 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑦 , Mod 𝑞 ; 𝑥𝑦 ∈ 𝐸} = 𝑞.
 Setiap graf yang memiliki pelabelan harmonis dinamakan graf harmonis.

16. Contoh Pelabelan Harmonis Pada Graf
a. Graf harmonis 𝐶𝟕 b. Graf harmonis 𝑃𝟔 c. Graf Bintang 𝐾1,8
Gambar 3. Beberapa Contoh graf Harmonis
0
1
2
3
4
5
6
7
0
4 3
2
0
5
6 1
1
4 3
0
5
2
6
1
3
0
0 4
1 2
3 2
0
4

17. Contoh Graf yang Tidak Punya
Pelabelan Harmonis
Graf Cycle 𝐶𝟒
Gambar 4. Contoh graf tidak Harmonis

18. Beberapa Teorema
 Jika 𝐶𝐧 suatu graf harmonis maka 𝑛 ≢ 2 (Mod 4)
 𝐶𝐧 suatu graf harmonis jika dan hanya jika n ganjil

19. Pelabelan Harmonis Pada Beberapa
Jenis Graf
 Pelabelan harmonis pada graf Lintasan
 Pelabelan harmonis pada graf Bintang
 Pelabelan harmonis pada graf Caterpillar
 Pelabelan harmonis pada graf cycle terhubung

20. Pelabelan Harmonis Pada Graf
Lintasan
Dengan f fungsi pelabelan harmonis didefinisikan sebagai berikut :
𝑓 𝑣𝑖 =
0 ; untuk nilai 𝑖 = 1, q
𝑖 − 1 ; untuk nilai 𝑖 lainnya
𝑣1 𝑣3 𝑣5 𝑣7 𝑣8
𝑣6
𝑣4
𝑣2
0 2 4 6 0
5
3
1
1 3 5 0 2 4 6

21. Pelabelan Harmonis Pada Graf Bintang
𝑣1
𝑣3
𝑣5
𝑣7
𝑣8
𝑣6
𝑣4
𝑣2
𝑢
0
7
6
5
4
3
2
1
0
Dengan f fungsi pelabelan harmonis didefinisikan sebagai berikut :
𝑓 𝑣𝑖 =
0 ; untuk 𝑣𝑖 = 𝑢 dan 𝑖 = 𝑞
𝑖 ; untuk nilai 𝑖 lainnya

22. Pelabelan Harmonis pada graf
Caterpillar
3
2
1
0
8
6
5
4
7
11
10 12
9
0
20
14 19
18
17
16
15 21
13

23. Pelabelan Harmonis pada graf Cycle
terhubung
Teorema:
𝐶𝑛 adalah suatu graf harmonis jika dan hanya jika 𝑛 gan
0 3
1
2
0 1
2
4
3
5 3
0
1
2
3
4
5
6
7

24. Beberapa Penelitian yang telah dilakukan
Tentang Pelabelan Harmonis
 Pelabelan Harmonis pada Kincir Angin Belanda dan Gabungan Kincir Angin
Belanda (Firmansyah, Sugeng, 2016)
 Pelabelan Harmonis Ganjil pada Amalgasi graf kincir angin belanda
 Pelabelan Harmonis Ganjil pada kelas graf baru hasil operasi cartesian product
(Firmansya, Yuwono, 2017)
 Pelabelan Harmonis pada Graf Tangga (Graham, Sloane, 1980)


25. Beberapa Variasi Pelabelan Graceful Dan
Harmonis
 Pelabelan Konsekutif
 Pelabelan Cordial
 Pelabelan Sequential (k-graceful Labeling)
 Pelabelan Elegant
 Pelabelan Harmonis Ganjil

26. Pelabelan Konsekutif

27. Pelabelan Cordial
 Fungsi 𝑓: 𝑉(𝐺) → 0, 1 adalah pelabelan Cordial jika f menginduksi fungsi 𝑓′: 𝐸 →
1,2, … , 𝑞 dengan 𝑓′ 𝑥𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) dimana {xy|𝑓′(x,y) = 1} −

29. 13
12
11
10
18
16
15
14 17
21
20 22
19
9
7
1 6
5
4
3
2 8
0
10
11