Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. 340 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 BAPYfHTA
KYPIOJ OPOI
νόμος της βαρύτητας
σταθερά της βαρύτητας
βάρος
βαρυτικό πεδίο
διανυσματικό πεδίο
Νευτώνεια σύνθεση
αληθές βάρος
φαινομενικό βάρος
μαύρη τρύπα
ακτίνα του Schvarzschild
ορίζοντας συμβάντων
Σ Υ Ν Ο Ψ Η
• Ο νόμος uης βαρύuητας του Νεύτωνα: Δύο οημειακές μάζες m1 και m2, που απέχουν
μεταξύ τους απόσταση r, έλκουν η μία την άλλη με δυνάμεις των οποίων το μέτρο εί­
ναι
F = 0 m1m2,g
r2 (12-1)
Αυτές οι δυνάμεις συνιστούν ζεύγος δράσης-αντίδρασης και υπακούουν στον τρίτο
νόμο του Νεύτωνα. Όταν δύο ή περισσότερα σώματα ασκούν βαρυτικές δυνάμεις πά­
νω σε ένα συγκεκριμένο σώμα, η ολική βαρυτική δύναμη που υφίσταται αυτό είναι ί­
ση με το διανυσματικό άθροισματων επιμέρους δυνάμεων.
• Το βάρος w ενός σώματος είναι η ολική βαρυτική δύναμη που ασκείται επάνω του
από όλα τα άλλα σώματα στο σύμπαν. Κοντά στην επιφάνεια της Γης (της οποίας η
μάζα είναι mε) το βάρος είναι ουσιαστικά ίσο με τη βαρυτική δύναμη της Γης μόνο.
Το βάρος ενός σώματος, του οποίου η μάζα είναι m, είναι τότε
w = Fg = Gmmε .
Rε2
και η επιτάχυνση της βαρύτηταςg είναι
Gmε
g = /[2·
Ε
(12-3)
(12-4)
• Το βαρυτικό πεδίο g σε ένα σημείο στο χώρο είναι η βαρυτική δύναμη ανά μονάδα
μάζας στο σημείο αυτό. Το βαρυτικό πεδίο που οφείλεται σε μια σημειακή μάζα Μ σε
απόσταση r από αυτήν είναι
(12-9)
Σε ένα σημείο, το ολικό βαρυτικό πεδίο που οφείλεται σε διάφορες μάζες είναι ίσο με
το διανυσματικό άθροισματων βαρυτικών πεδίωνπου οφείλονται στις επιμέρους μάζες.
• Η βαρυτική δυναμική ενέργεια U δύο σημειακών μαζών m και mε που απέχουν με­
ταξύτους απόσταση r είναι
U = _ G mmε .
r (12-14)
• Όταν ένας δορυφόρος κινείται σε κυκλική τροχιά, η κεντρομόλος επιτάχυνσή του
οφείλεται στη βαρυτική έλξη της Γης. Η ταχύτητα υ και η περίοδος Ττου δορυφόρου
σε τροχιά ακτίναςι· είναι
υ = �. (12-18)
( 12-20)
• Οι τρεις νόμοι του Κέπλερ περιγράφουν τα χαρακτηριστικά μεγέθη των ελλειπτι­
κών τροχιών των πλανητών γύρω από τον Ήλιο ή των δορυφόρων των πλανητών.
• Η βαρυτική επίδραση μιας σφαιρικά συμμετρικής κατανομής μάζας, σε σημεία ε­
κτός της κατανομής, είναι η (δια με αυτήν μιας ίσης σημειακής μάζας στο κέντρο της
κατανομής.
• Εξαιτίας της περιστροφής της Γης, το φαινομενικό βάρος ενός σώματος πάνω στη
Γη, διαφέρει από το αληθές του βάρος κατά 0,3% περίπου στον Ισημερινό και η επι­
τάχυνση ελεύθερης πτώσηςg διαφέρει κατά το ίδιο ποσοστό απότην τιμή που θα είχε
αν η Γη δεν περιστρεφόταν.

2. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 341
• Αν μια μη περιστρεφόμενη σφαιρική κατανομή ύλης με μάζα Μ έχει ακτίνα μικρό­
τερη από R, = 2GM/c2, τότε η βαρυτική έλξη εμποδίζει τα πάντα, συμπεριλαμβανομέ­
νου καιτου φωτός, από το να διαφύγουν από το εσωτερικό της σφαίρας με ακτίνα R,
γνωστής ως ακτίναςτου Schwarzschild. Ένατέτοιο σώμα ονομάζεται μαύρη τρύπα.
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ________________________
Εδάφιο 12-1
Ο νόμος του Νεύτωνα για τη βαρύτητα
12-1 Ποιος είναι ο λόγοςτης βαρυτικής έλξηςτου Ήλιου επί
της Σελήνης προςτην έλξη της Γης επίτης Σελήνης; Χρησιμοποιή­
στε τα δεδομένατου Παραρτήματος ΣΤ. Ποια είναι η σημασίατου
αποτελέσματος αυτού για την κίνηση της Σελήνης;
12-2 Ένας τηλεπικοινωνιακός δορυφόρος μάζας 200 kg βρί­
σκεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη με ακτίνα 30 000 km με­
τρούμενη από το κέντρο της Γης. Ποια είναι η βαρυτική δύναμη
που ασκείται πάνω στο δορυφόρο; Τι ποσοστό του βάρους του
στην επιφάνεια της Γης είναι η δύναμη αυτή;
12-3 Ένα διαστημόπλοιο ταξιδεύει από τη Γη προς τον Ήλιο,
κινούμενο πάνω στην ευθείαπου ενώνει τα κέντρατωνδύο σωμά­
των. Σε ποια απόσταση από το κέντρο της Γης αλληλοαναιρούνται
πλήρως οι βαρυτικές δυνάμεις που ασκούν η Γη και ο Ήλιος πάνω
στο διαστημόπλοιο; Χρησιμοποιήστε τα δεδομένα του Παραρτή­
ματος ΣΤ
12-4 Τα κέντρα τριών ομοιογενών σφαιρών βρίσκονται πάνω
σε μια ευθεία (Σχ. 12-25). Η σφαίρα που βρίσκεται ανάμεσα στις
άλλες δύο έχει μάζα 0,100 kg και απέχει 4,00 m από τη σφαίρα που
βρίσκεται στ' αριστερά της και που έχει μάζα 5,00 kg και 6,00 m α­
πότη σφαίρα που βρίσκεται στα δεξιά της και έχει μάζα 10,0 kg.
Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση της δύναμης που α­
σκείταιπάνωστη μεσαία σφαίρα;
10,0 kg
5,00 kg
0,100 kg
�4,00 m ---71-Ε----- 6,00 m -----,�
ΣΧΗΜΑ 12-25
12-5 Οι αρχικές θέσειςτριών σφαιρών είναι αυτές που φαίνο­
νται στο Σχ. 12-26. Οι σφαίρεςΑ και Β είναι στερεωμένες έτσι ώ­
στε να παραμένουν ακίνητες. Η μικρή μάζα στο Ρ είναι αρχικά α­
κίνητη και αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί. Ποια είναι η αρχική της
επιτάχυνση (μέτρο και κατεύθυνση) αν υφίσταται μόνο τις βαρυτι­
κές δυνάμεις των άλλων δύο;
6,40 kg
ΣΧΗΜΑ 12-26
Ρ
0,010 kg
't
"10,0 cm /
/
" 10,0 cm
/ "/ 6,0 cm " ,
_ _ _ _ ±_ _ _ _
8,0 cm I 8,0 cm
Α Β
6,40 kg
Εδάφιο 12-2
Βάρος
12-6 Βάρος στη Σελήνη. Η μάζα της Σελήνης είναι περί­
που το ii της μάζας της Γης και η ακτίνα της το ± της ακτίνας της
Γης. Από αυτά τα δεδομένα, υπολογίστε την επιτάχυνση της βαρύ­
τητας στην επιφάνεια της Σελήνης.
12-7 Σε ένα πείραμα για τη μέτρηση της σταθεράς G χρησιμο­
ποιώντας το ζυγό του Caνendish, βρέθηκε ότι μια σφαίρα μάζας
0,800 kg έλκει μιαν άλλη της οποίας η μάζα είναι 4,00 χ 10-
3
kg με
δύναμη 1,30 χ 10-10
Ν, όταν τα κέντρα τους απέχουν 0,0400 m. Η
επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης είναι 9,80 m/s2
,
και η ακτίνατης Γης είναι 6380 km. Από αυτάτα δεδομένα, υπολο­
γίστε τη μάζατης Γης.
12-8 Χρησιμοποιήστε τις τιμές της μάζας και της ακτίνας του
πλανήτη Ερμή που δίνονται στο Παράρτημα ΣΤ για να υπολογίσε­
τε την επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά του.
Εδάφιο 12-3
Βαρυτικό πεδίο
12-9 Ποιο είναι το μέτρο του βαρυτικού πεδίου σε απόσταση
2,00 m από μια σημειακή μάζα 5,00 kg;
12-10 Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση της βαρυτικής
δύναμηςπάνω σε μια σημειακή μάζα 0,100 kg που βρίσκεται σε έ­
να σημείο όπου το βαρυτικό πεδίο έχει συνιστώσεςgx = 4,00 m/s2
2καιgr = - 6,00 m/s ;
12-11 Η βαρυτική δύναμη F πάνω σε μια μάζα 0,0100 kg είναι
ίση με F = (- 0,225 Ν)ί + (0,540 N)j σε κάποιο σημείο. Ποιες εί­
ναι οι συνιστώσεςτου διανύσματος του βαρυτικού πεδίου στο ση­
μείο αυτό;
12-12 Δύο σημειακές μάζες m 1 και m2 (m2>m1) απέχουν με­
ταξύ τους απόσταση d. Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυν­
ση του διανύσματος του βαρυτικού πεδίου στο σημείο που βρί­
σκεται μεταξύ των δύο μαζών και σε ίση απόσταση από την κα­
θεμιά;
12-13 Σε τι ύψος απότην επιφάνειατης Γηςτο μέτροτου βαρυ­
τικού πεδίου είναι ίσο με 4,90 m/s2, αν στην επιφάνεια της Γης εί­
ναι9,80 m/s2;
12-14 Ένα αντικείμενο σχήματος λεπτού δακτυλίου έχει ακτί­
να α = 0,800 m και μάζα Μ = 2,50 kg. Μια μικρή ομοιογενής
σφαίρα μάζας m = 0,0200 kg τοποθετείται σε απόστασηχ = 3,00
m προς τα δεξιά του κέντρου του δακτυλίου, πάνω στην ευθεία
που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετη στο επίπεδό του
(Σχ. 12-27). Ποια είναι η βαρυτική δύναμη που ασκεί η σφαίρα
στον δακτύλιο;

3. 342 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 BAPYfHTA
χ
m
Μ
ΣΧΗΜΑ 12-27
Εδάφιο 12-4
Βαρυτική δυναμική ενέργεια
12-15 Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα του Παραδείγματος
12-7 για να υπολογίσετε την ταχύτητα διαφυγής ενός αντικειμένου
από a) την επιφάνεια της Σελήνης και b) την επιφάνεια του
Κρόνου. c) Γιατί η ταχύτητα διαφυγής ενός αντικειμένου είναι α­
νεξάρτητη της μάζαςτου;
12-16 Ένα βλήμα μάζας m εκτοξεύεται κατακόρυφα από την
επιφάνεια της Γης. Αν η αρχική ταχύτητατου βλήματος είναι 8,00
χ 10' m/s, ποιο είναι το μέγιστο ύψος πάνω από την επιφάνεια της
Γης στο οποίο θα φθάσει το βλήμα; (Αγνοήστε την αντίσταση του
αέρα, ώστε η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω στο βλήμα να είναι
η βαρυτική).
12-17 Ο aστεροειδής Toro, ο οποίος ανακαλύφθηκετο 1964, έ­
χει ακτίνα ίση με 5,0 km περίπου και μάζα ίση με 2,0 χ 1015 kg πε­
ρίπου. Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα του Παραδείγματος
12-7 για να υπολογίσετε την ταχύτητα διαφυγής από την επιφά­
νεια του Toro. Μπορεί ένας άνθρωπος να αποκτήσει αυτή την τα­
χύτητα τρέχοντας;
Εδάφιο 12-5
Κίνηση δορυφόρων
Εδάφιο 12-6
Νόμοι του Κέπλερ
12-18 Ο Πλούτωνας κινείται γύρω από το Ήλιο σε μια σχεδόν
κυκλική τροχιά με ακτίνα 5,90 χ 1012
m και με περίοδο 247,7 χρό­
νια. Χρησιμοποιήστε αυτά τα δεδομένα για να βρείτε τη μάζα του
Ηλίου.
12-19 Ποια τροχιακή ταχύτητα πρέπει να δοθεί σε ένα δορυφό­
ρο για νατοποθετηθεί σε κυκλική τροχιά 1200 km πάνω από την ε­
πιφάνεια της Γης;
12-20 Ποια είναι η περίοδος περιφοράς ενός τεχνητού δορυφό­
ρου μάζας m που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας 8380 km (σε
ύψος 2000 km, περίπου, πάνω από την επιφάνειατης Γης);
12-21 Ένας δορυφόρος της Γης κινείται σε κυκλική τροχιά, με
ταχύτητα 6400 m/s. a) Βρείτε την περίοδό του. b)Βρείτε την ακτι­
νική επιτάχυνσή του.
12-22 Ένας συγγραφέας μυθιστορημάτων επιστημονικής φα­
ντασίας γράφει για ένα μικρό πλανήτη, που δεν έχει ακόμη ανα­
καλυφθεί, και που κινείται γύρω από τον Ήλιο σε κυκλική τροχιά
ακτίνας μικρότερης από αυτή του Ερμή. Η ακτίνατης τροχιάς του
Ερμή είναι 5,8 χ 10
10 m και η περίοδος περιφοράς του 88,0 ημέ­
ρες. Αν ο υποθετικός πλανήτης έχει περίοδο 60,0 ημέρες, ποια εί­
ναι η ακτίνατης τροχιάς του;
Εδάφιο 12-7
Σφαιρικές κατανομές μάζας
* 12-23 Θεωρήστε το δακτυλιοειδές σώμα του Παραδείγματος
12-6. Μια σημειακή μάζα m τοποθετείται σε απόσταση χ από το
κέντρο του δακτυλίου, πάνω στην ευθεία που περνά από το κέντρο
του και είναι κάθετη στο επίπεδό του (Σχ. 12-27). a) Χρησιμοποιή­
στε την Εξ. (12-14) για να υπολογίσετε τη βαρυτική δυναμική ε­
νέργεια αυτού του συστήματος. b) Δείξτε ότι το αποτέλεσμά σας
ανάγεται στο αναμενόμενο όταν η απόσταση χ είναι πολύ μεγαλύ­
τερη από την ακτίναα του δακτυλίου. c) Χρησιμοποιήστε τη σχέση
F, = - dU!dx για να υπολογίσετε τη δύναμη ανάμεσα στα δύο σώ­
ματα. Συγκρίνετε το αποτέλεσμά σας με αυτό που προκύπτει από
την Εξ. (12-11).
* 12-24 Μια λεπτή, ομοιογενής ράβδος, έχει μήκος L και μάζα
Μ. Μια μικρή ομοιογενής σφαίρα μάζας m τοποθετείται σε από­
στασηχ από το ένα άκρο της ράβδου και σε σημείο που βρίσκεται
πάνω στον άξονα της ράβδου (Σχ. 12-28). Υπολογίστε τη βαρυτική
δυναμική ενέργεια του ζεύγους των μαζών. Δείξτε ότι το αποτέλε­
σμά σας ανάγεται στο αναμενόμενο όταν τοχ είναι πολύ μεγαλύ­
τερο του L.
Μ
χ
I<E------ L ----�
ΣΧΗΜΑ 12-28
Εδάφιο 12-8
Η επίδραση της περιστροφής της Γης
πάνω στην επιτάχυνση της βαρύτητας
m
* 12-25 Βάρος στην επιφάνεια του Δία. Η επιτάχυνση
της βαρύτητας στο βόρειο πόλο του Δία είναι περίπου 25 m/{ Ο
Δίας έχει μάζα 1,9 χ 10
27
kg καιακτίνα 7,1 χ 10
7
m και χρειάζεται
10 ώρες για μια περιστροφή γύρω από τον άξονά του. a) Πόση εί­
ναι η βαρυτική δύναμη που ασκείται πάνω σε ένα αντικείμενο μά­
ζας 5,0 kg που βρίσκεται στο βόρειο πόλο του Δία; b) Ποιο είναι
το φαινομενικό βάρος του ίδιου αντικειμένου στον ισημερινό του
Δία;
* 12-26 Το βάρος ενός ανθρώπου, όπως μετριέται με έναζυγό ε­
λατηρίου στον Ισημερινό είναι 650 Ν. Κατάπόσο διαφέρει αυτό α­
πό την πραγματική τιμή της βαρυτικής έλξης στο ίδιο σημείο;
Εδάφιο 12-9
Μαύρες τρύπες: Μελέτη ενός ειδικού θέματος
από τη σύγχρονη φυσική
12-27 Περισσότεροι από 200 aστεροειδείς έχουν διαμέτρους
μεγαλύτερες από 100 km. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας δια­
φυγ�από
3
έναν αστεροειδή διαμέτρου 100 km και πυκνότητας 5,0
χ 10 kg/m ;
12-28 Αποδείξτετη σχέσηR5 "" (3,0 km/ηλιακή μάζα)Μ, όπου η
Μ εκφράζεταισε ηλιακές μάζες. Πόσο ακριβής είναιαυτήη σχέση;
12-29 Σε τι κλάσμα της σημερινής του ακτίνας θα πρέπει να
συμπιεστεί ο Ήλιος για να γίνει μαύρη τρύπα;
12-30 Υπολογίστε το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου
σε απόσταση 6380 km από μια μαύρη τρύπα που έχει ακτίνα
Schwarzschild ίση με 8,88 mm.
12-31 Δείξτε ότι μια μαύρη τρύπα έλκει μια μακρυνή μάζα m
με δύναμη ίση με mc
2
R,/(2/).

4. 12-32 Μικροσκοπικές μαύρες τρύπες. Είναι δυνατό,
στη Μεγάλη Έκρηξη (Big Bang) να έχουν δημιουργηθεί μικρο­
σκοπικές μαύρες τρύπες. Ο χρόνος <<εξαέρωσης>> levap είναι ίσος
με 1,0 χ 1066 y για μια μαύρη τρύπα με μάζα ίση με μια ηλιακή μά­
ζα και, γενικά, είναι ανάλογη του κύβου της μάζας. a) Δείξτε ότι
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 343
Ιcvap = (1,3 χ 10-25 y/kg3) Μ3• b) Αν η Μεγάλη Έκρηξη συνέβη πριν
από 2 χ 1010 χρόνια, όλες οι μαύρες τρύπες με μάζες και ακτίνες
Schwarzschild μικρότερες από κάποιες τιμές πρέπει να έχουν ήδη
<<εξαερωθεί>>. Υπολογίστε τις τιμές αυτής της μάζας και αυτής της
ακτίνας Schwarzschild.
Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α ______________________
12-33 Δύο σημειακές μάζες έχουν συντεταγμένες (χ, y) ως ακο­
λούθως: 5,00 kg στο σημείο (1,00 m, Ο) και 3,00 kg στο (0, -0,500
m). a) Ποιες είναι οι συνιστώσεςτου βαρυτικού πεδίου στην αρχή
των συντεταγμένων, που οφείλεται στις δύο αυτές μάζες; b) Ποιο
θα είναι το μέτρο και η κατεύθυνση της βαρυτικής δύναμης πάνω
σε μια μάζα 0,0100 kg που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων;
12-34 Τρεις σημειακές μάζες βρίσκονται στις θέσεις που φαί­
νονται στο Σχ. 12-29. a) Υπολογίστε τις συνιστώσες χ καιy του
βαρυτικού πεδίου που οφείλεται στις τρεις αυτές μάζες, στο ση­
μείο Ρ που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. b) Ποιο θα ήταν το
μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης πάνω σε μια μάζα ίση με
0,0200 kg που βρίσκεται στο σημείο Ρ;
Υ
0,50 m
1,0 kg 2,0 kg
1,0 kg
Ρ 0,50 m
χ
ΣΧΗΜΑ 12-29
12-35 Γεωστάσιμοι δορυφόροι. Πολλοί δορυφόροι κι­
νούνται σε κυκλικέςτροχιέςπάνωστο ισημερινό πεδίοτης Γης. Βρί­
σκονται σε τέτοιο ύψος ώστε να μένουν πάντοτε πάνω από το ίδιο
σημείο. Υπολογίστε το ύψος αυτώντων δορυφόρων πάνω από την
επιφάνειατης Γης. (Μια τέτοιατροχιά ονομάζεταιγεωστάσιμη).
12-36 Ο aστεροειδής Toro ανακαλύφθηκε το 1964. Η ακτίνα
του είναι περίπου 5,0 km και η μάζα του περίπου 2,0 χ 1015 kg.
Υποθέστε ότιένα αντικείμενο τοποθετείται σε κυκλική τροχιά γύ­
ρω από τον Toro, με ακτίνα τροχιάς λίγο μεγαλύτερη από αυτήν
του αστεροειδούς. Ποια είναι η ταχύτητα του αντικειμένου; Θα
μπορούσατε να εκτοξεύσετε τον εαυτό σας σε τροχιά γύρω από
τον Toro τρέχοντας;
12-37 Υποθέστε ότι η Σελήνη κινείται γύρω από τη Γη σε κυ­
κλική τροχιά. Από την παρατηρούμενη περίοδο περιφοράς των
27,3 ημερών, υπολογίστε την απόσταση της Σελήνης από το κέντρο
της Γης. Υποθέστε ότι η κίνηση της Σελήνης καθορίζεται μόνο από
τη βαρυτική δύναμη που ασκεί επάνω της η Γη και χρησιμοποιήστε
τημάζατης Γης που δίνεται στο Παράρτημα ΣΤ
12-38 Ποια θα ήταν η διάρκειατης ημέρας (δηλαδή ο χρόνος
που θα χρειαζόταν για μια πλήρη περιστροφή της Γης γύρω από
τον άξονά της) αν η γωνιακή ταχύτητα της Γης ήταν τέτοια ώστε
στον Ισημερινό να ήτανg = Ο;
12-39 Μια ομογενής σφαίρα μάζας 0,600 kg έχει το κέντρο της
στην αρχή των αξόνων και μια όμοια δεύτερη σφαίρα έχει το κέ­
ντροτηςστο σημείοχ = 0,300 m καιy = Ο. Ποιο είναι το μέτρο και
η κατεύθυνση της συνισταμένης των βαρυτικών δυνάμεων που α-
σκούν οι δύο αυτές σφαίρες πάνω σε μια τρίτη ομογενή σφαίρα
μάζας 0,050 kg της οποίας το κέντρο βρίσκεται στο σημείο χ = Ο
καιy = 0,400 m;
12-40 Μια ομογενής σφαίρα μάζας 0,200 kg βρίσκεται 6,00 m
προς τ' αριστερά μιας δεύτερης ομογενούς σφαίρας με μάζα 0,300
kg. Σε ποιο σημείο, εκτός από αυτά σε άπειρη απόσταση, η συνι­
σταμένη των βαρυτικών δυνάμεων από τις δύο μάζες είναι ίση με
μηδέν;
12-41 Υπάρχουν δύο εξισώσεις από τις οποίες μπορεί να υπο­
λογιστείη μεταβολή με το ύψος της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας
υγια μια μάζαm. Η μία είναι η υ = mgy (Εξ. 7-2). Η άλλη είναι η
υ = -Gmmε/r (Εξ. 12-14). Όπως εξηγήθηκε στο Εδάφιο 12-4, η
πρώτη εξίσωση είναι ορθή μόνο αν η βαρυτική δύναμη είναι σταθε­
ρή κατά μήκος της μεταβολής Δy στο ύψος. Η δεύτερη εξίσωση εί­
ναι πάντοτε ορθή. Στηνπραγματικότητα, η βαρυτική δύναμη δεν εί­
ναι ποτέ σταθερή για οποιαδήποτε μεταβολή στο ύψος, αλλά η με­
ταβολή της μπορεί να είναιτόσο μικρή ώστε να την αγνοήσουμε.
Υπολογίστε τη διαφορά στην υ μεταξύτης επιφάνειαςτης Γης και
ενός σημείου σε ύψος h χρησιμοποιώντας τις δύο εξισώσεις και υ­
πολογίστε το ύψοςh γιατο οποίο η Εξ. (7-1) δίνει αποτέλεσμαπου
έχει σφάλμα 1%. Εκφράστε αυτό το ύψος h ως κλάσματης ακτίνας
της Γης και υπολογίστε επίσης την αριθμητική του τιμή.
12-42 Ένας δορυφόρος που κινείται με ταχύτητα 2000 m/s έξω
από την ατμόσφαιρα της Γης θα πέσει γρήγορα στη Γη γιατί η τα­
χύτητάτου είναι κατά πολύ μικρότερη από την απαιτούμενη για να
διατηρηθεί σε τροχιά. Ένα πυραυλοφόρο αεροπλάνο που πετάει
με ταχύτητα 2000 m/s στο ίδιο περίπου ύψος αλλά μέσα στην ατμό­
σφαιρα της Γης μπορεί να διατηρήσει το ύψος του λόγω της άνω­
σης που παρέχεται απότα φτερά του. Πόση πρέπει να είναι η άνω­
ση για να κρατήσει το αεροπλάνο, που έχει βάρος 50 000 Ν και κι­
νείται με ταχύτητα 2000 m/s, σε ύψος 50,0 km πάνω από την επι­
φάνεια της Γης;
12-43 Ένα σφυρί μάζας m, ρίχνεται από ύψος h πάνω από την
επιφάνεια της Γης. Το ύψος αυτό δεν είναι κατ' ανάγκη μικρό σε
σύγκριση με την ακτίνα Rε της Γης. Αγνοώντας την αντίσταση του
αέρα, βρείτε μια σχέση για την ταχύτητα υ του σφυριού όταν φτά­
σει στην επιφάνεια της Γης. Η σχέση αυτή θα εξαρτάται από τα h,
Rεκαιτη μάζατηςΓηςmε.
12-44 Ένα αντικείμενο εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πά­
νω, από την επιφάνεια του αστεροειδούς Toro (βλ. Πρόβλημα
12-36), με ταχύτητα 25,0 m/s, η οποία είναι μεγαλύτερη από την
ταχύτητα διαφυγής απότον αστεροειδή. Ποια είναι η ταχύτητα του
αντικειμένου αυτού όταν βρίσκεται πολύ μακρυά από τον Toro;
Αγνοήστε τις βαρυτικές δυνάμειςπου οφείλονται σε όλα τα άλλα
ουράνια σώματα.
12-45 Οι κομήτες κινούνται γύρω από τον Ήλιο σε ελλειπτικές
τροχιές με μεγάλες εκκεντρότητες. Αν ένας κομήτης έχει ταχύτητα
2,0 χ 104 m/sότανβρίσκεται σε απόσταση 2,0 χ 1011 m από το κέ­
ντροτου Ήλιου, ποια θα είναι η ταχύτητά του σε απόσταση 4,0 χ
1010 m;

5. 344 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΒΑΡντΗΤΑ
12-46 Καθώς η Γη περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο στην ελλει­
πτική της τροχιά, η ελάχιστη απόστασή της από το κέντρο του
Ήλιου (στο περιήλιο) είναι 1,471 χ 1011 m και η μέγιστη (στο aφή­
λιο) είναι 1,521 χ 1011 m. Αν η τροχιακή ταχύτητα της Γης στο πε­
ριήλιο είναι 3,027 χ 104 km/s, ποια είναι η ταχύτητά της στο aφή­
λιο; (Αγνοήστε την επίδραση της Σελήνης καιτωνπλανητών).
12-47 Ένα πείραμα γίνεται στο απώτατο διάστημα με δύο ο­
μογενείς σφαίρες, μια με μάζα 50,0 kgκαι μια άλλη με μάζα 100,0
kg. Οι σφαίρες αφήνονται ελεύθερες όταν είναι ακίνητες και τα
κέντρατους απέχουν 40,0 m το ένα από το άλλο. Λόγω της αμοι­
βαίας τους βαρυτικής έλξης, οι δύο σφαίρες επιταχύνονται πλη­
σιάζοντας η μία την άλλη. (Αγνοήστε όλες τις βαρυτικές δυνάμεις
εκτός από εκείνες μεταξύ των δύο σφαιρών. Σημειώστε ότι η ορμή
διατηρείται). Όταντα κέντρατων σφαιρών απέχουν μεταξύ τους
20,0 m, υπολογίστε a) τις ταχύτητες των δύο σφαιρών και b) το
μέτρο της σχετικής ταχύτητας προσέγγισης της κάθε σφαίρας προς
την άλλη.
12-48 Ένα διαστημικό σκάφος έχει μάζα 400 kg και κινείται
σε κυκλική τροχιά 2000 km πάνω από την επιφάνεια της Σελήνης.
Πόσο έργο πρέπει να παραχθείαπό τους πυραύλους του σκάφους
για να τοποθετήσουν το σκάφος σε κυκλική τροχιά ακτίνας 4000
km;
* 12-49 Μια λεπτή ομογενής ράβδος έχει μήκος L και μάζα Μ.
Υπολογίστε το μέτρο του βαρυτικού πεδίου που οφείλεται στη ρά­
βδο, σε ένα σημείο πάνω στον άξονα της ράβδου που απέχει από­
σταση d από το ένα της άκρο. Δείξτε ότι το αποτέλεσμά σας ανά­
γεται στο αναμενόμενο όταν το d είναι πολύ μεγαλύτερο του L.
* 12-50 Μια ευθύγραμμη τρύπα ανοίγεται από την επιφάνεια
της Γης μέχρι το κέντρο της (Σχ. 12-20). Η βαρυτική δύναμη που
ασκείται πάνω σε ένα αντικείμενο που έχει μάζα m και βρίσκεται
μέσα στη Γη σε απόσταση r από το κέντρο της, έχει μέτρο F8 =
GMεmr!Rε3 (Εξ. 12-31) και κατεύθυνση προς το κέντρο της Γης.
a) Βρείτε τηνπαράσταση που δίνειτη βαρυτική δυναμική ενέργεια
U(r) του αντικειμένου συναρτήσει της απόστασ1jς του από το κέ­
ντρο της Γης. b) Αν ένα αντικείμενο ρίχνεται, χωρίς αρχική ταχύ­
τητα, μέσα στηντρύπα από την επιφάνεια της Γης, ποια θα είναι η
ταχύτητά του όταν φτάσει στο κέντρο της;
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α ______________
12-51 Μάζα Μ είναι κατανεμημένη ομοιόμορφα πάνω σε μια
ευθεία μήκους 2L.Υπολογίστε τις συνιστώσες του βαρυτικού πεδί­
ου παράλληλα και κάθετα στην ευθεία σε ένα σημείο που βρίσκε­
ται πάνω στη μεσοκάθετη της ράβδου και σε απόσταση α από τη
ράβδο (Σχ. 12-30). Το αποτέλεσμά σας ανάγεται στη σωστή σχέση
για μεγάλα α;
Μ
ΣΧΗΜΑ 12-30
12-52 Μάζα Μ είναι κατανεμημένη ομοιόμορφα σε λεπτό δί­
σκο ακτίνας α. Υπολογίστε τη βαρmική δύναμη (μέτρο και κατεύ­
θυνση) που ασκεί αυτή η μάζα πάνω σε μια σημειακή μάζα m που
βρίσκεται πάνω από το κέντρο του δίσκου, σε απόστασηχ από αυ­
τό (Σχ. 12-31). Ανάγεται το αποτέλεσμα στη σωστή μορφή καθώς
τοχ γίνεται πολύ μεγάλο; (Υπόδειξη: Διαιρέστε τον δίσκο σε ομό­
κεντρους δακτυλίους απειροστού πάχους, χρησιμοποιήστε την πα­
ράσταση που βρέθηκε στο Εδάφιο 12-3 για το βαρmικό πεδίο κα­
θενός δακτυλίου καιολοκληρώστε για να βρείτε το ολικό πεδίο).
12-53 Το βαρυτικό πεδίο μιας μαύρης τρύπας. Ένας
aστροναύτης, που βρίσκεται μέσα σε ένα διαστημόπλοιο που τον
προστατεύει από τις επιβλαβείς ακτινοβολίες, κινείται σε τροχιά
γύρω από μια μαύρη τρύπα σε απόσταση 150 km από τοκέντροτης.
Η μάζα της μαύρης τρύπας είναι ίση με 10,0 ηλιακές και η ακτίνα
Schwarzchild είναι 30 km. Η θέση του αστροναύτη μέσα στο δια­
στημόπλοιο είναι τέτοια ώστε το ένα του αφτί,που έχει μάζα 0,030
kg, βρίσκεται σε απόσταση από το κέντρο της μαύρης τρύπας που
είναι κατά 6,0 cm μεγαλύτερη από αυτήν του κέντρου μάζας του
διαστημοπλοίου, καιτο άλλο του αφτί σε απόσταση κατά 6,0 cm μι­
κρότερη. Ποια είναι η διαφορά δυνάμεων (τάση) ανάμεσα στα δύο
αφτιά του αστροναύτη; Θα δυσκολευθεί να αποφύγει το διαμελι­
σμό από τις βαρmικές δυνάμεις; (Επειδή κάθε μέλοςτου σώματός
του κινείται σε τροχιά με την ίδια γωνιακή ταχύτητα, το ένα αφτί
κινείται πιο αργά από όσο χρειάζεται για τηντροχιάτου ενώ το άλ­
λο πιο γρήγορα. Έτσι, το κεφάλι του πρέπει να ασκήσει δυνάμεις
πάνωστα αφτιάτου για νατα κρατήσει στιςτροχιέςτους).
Μ
ΣΧΗΜΑ 12-31