Κεφάλαιο-2-ΑΣΚΗΣΕΙΣ-Κύματα-Γ-Λυκείου.pdf

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: KYMATA (ΑΣΚΗΣΕΙΣ)
Μηχανικά κύματα
2.29) Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής. Ο χρόνος που χρειάζεται ένα
σημείο της χορδής για να μετατοπιστεί από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης στη θέση
ισορροπίας του είναι 0,15 s. Ποια είναι η συχνότητα του κύματος; Αν το μήκος κύματος είναι
λ= 1,2 m ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος;
ΛΥΣΗ
Κάθε σημείο της χορδής στην οποία διαδίδεται το αρμονικό κύμα εκτελεί απλή αρμονική
ταλάντωση. Γνωρίζουμε ότι ο χρόνος ( t
 ) που απαιτείται για να μετατοπιστεί ένα σωμάτιο
που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης στη θέση
ισορροπίας του ισούται με το 1/4 της περιόδου της ταλάντωσής του. Δηλαδή:




4
t 



 t
4 


 s
15
,
0
4 s
6
,
0


Επομένως η συχνότητα του κύματος θα είναι: 


1
f 

s
f
6
,
0
1
Hz
f
6
10

Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:


 f

 

 Hz
m
6
10
2
,
1
 


s
m
1
6
10
2
,
1
 

s
m
6
12

s
m
2


2.30) Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος είναι
y =3x10-2
ημ(1320t -4x). Να υπολογίσετε:
α) το μήκος κύματος (λ).
β) την ταχύτητα του κύματος υ.
γ) τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου.
δ) την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου τα οποία παρουσιάζουν διαφορά
φάσης 120°.
ΛΥΣΗ
Σε τέτοιου είδους θέματα το πρώτο βήμα είναι η σύγκριση των εξισώσεων που μας δίνονται
με την εξίσωση της θεωρίας. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η εξίσωση της θεωρίας είναι:













x
t
y 2 (1)
Η εξίσωση που μας δίνεται είναι:  
x
t
y 4
1320
10
3 2


 
 (2)
Πρέπει να ‘μετασχηματίσουμε’ την εξίσωση (2) στη μορφή της εξίσωσης (1). Δηλαδή:
 


 
x
t
y 4
1320
10
3 2
  


 
x
t
y 2
660
2
10
3 2
 








 
x
t
y




2
660
2
10
3 2
α) Από τη σύγκριση των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει:


 x
x


2




2
1

 m
2

 
 m
2
14
,
3
 m
57
,
1


β) Ομοίως από τη σύγκριση των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει:



t
t

660


 
660
1
s
660



Με τη βοήθεια της περιόδου του κύματος μπορούμε να υπολογίσουμε τη συχνότητά και τη
γωνιακή συχνότητα του κύματος:



1
f 

s
f
660
1

Hz
f

660

Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:


 f

 

 Hz
m



660
2



s
m
1
660
2 

 

s
m
2
660

s
m
330


Σημείωση: Στο παραπάνω ερώτημα θα μπορούσαμε να είχαμε γράψει απευθείας
Hz
f

660
 χωρίς να υπολογίσουμε πρώτα την περίοδο του κύματος, διότι:














x
t
y 2 













x
t
y
1
2 












x
t
f
y 2
γ) Ομοίως από τη σύγκριση των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει: m
2
10
3 



Με τη βοήθεια της συχνότητας του κύματος μπορούμε να υπολογίσουμε και τη γωνιακή
συχνότητα:

 f

 2 

 Hz



660
2
s
rad
1320


Άρα, η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου θα είναι:


 
max 


 
m
s
rad 2
max 10
3
1320
 

 
s
m
2
max 10
3960

s
m
6
,
39
max 

δ)
Σημείωση: Διαφορά φάσης Δφ των ταλαντώσεων σε δύο σημεία του μέσου διάδοσης ενός
κύματος ονομάζεται η διαφορά των φάσεων των ταλαντώσεων στα σημεία αυτά.
Έστω δύο σημεία Α και Β του άξονα Οx που απέχουν αποστάσεις 
x και 
x , ( 
  x
x ),
αντίστοιχα από την πηγή Ο του κύματος. Οι φάσεις των ταλαντώσεων στα δύο αυτά σημεία
κατά την ίδια χρονική στιγμή t , θα είναι αντίστοιχα

)
(
2


 
 


x
t
Επειδή 
  x
x
)
(
2


 
 


x
t
 
 

Σύμφωνα με τον ορισμό της διαφοράς φάσης, έχουμε

 

 

  )
(
2
)
(
2




 








x
t
x
t
 


 




x
x
2



x


 2
Επομένως, για να προσδιορίσουμε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου
τα οποία παρουσιάζουν διαφορά φάσης 120° , δηλαδή
3
2
rad πρέπει να χρησιμοποιήσουμε
τη σχέση:



x


 2
Προσοχή! Η σχέση



x


 2 πρέπει να αποδεικνύεται!
Άρα για
3
2
 
 προκύπτει:







x
2 






x
2




 x


 2 







2
x 





2
57
,
1
3
2
m
x






2
3
57
,
1
2 m
x 





6
57
,
1
2 m
x m
x 523
,
0


2.31) Η πηγή κυμάτων Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή μηδέν να εκτελεί απλή αρμονική
ταλάντωση πλάτους Α=10 cm και συχνότητας f=0,25 Hz. Το κύμα που δημιουργεί διαδίδεται
κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου με ταχύτητα υ=3 m/s. Να υπολογίσετε:
α) μετά από πόσο χρόνο θα αρχίσει να κινείται κάποιο σημείο Β του μέσου, που απέχει x =
60 m από την πηγή Ο.
β) την απομάκρυνση του σημείου Β, από τη θέση ισορροπίας του, τη στιγμή t = 21,5 s.
ΛΥΣΗ
α) Το κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου με σταθερή
ταχύτητα, μέτρου υ=3 m/s.
Άρα το σημείο Β που απέχει x = 60 m από την πηγή Ο θα αρχίσει να κινείται μετά από χρόνο
t που προκύπτει από την εξίσωση της ταχύτητας του κύματος:










x
t
x
t
t
x


s
m
m
t
3
60 s
t 20

β) Το πρώτο πράγμα που πρέπει να ελέγχουμε σε τέτοιου είδους ερωτήματα είναι εάν έχει
φτάσει το κύμα στο σημείο που μελετάμε τη δοσμένη χρονική στιγμή. Παρατηρούμε ότι το
σημείο Β αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή s
t 20
 και μας ζητείται η
απομάκρυνση του τη χρονική στιγμή s
t 5
,
21

 . Άρα το σημείο Β ταλαντώνεται.
Η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του προκύπτει από την εξίσωση:















x
t
y 2 (1)
Παρατηρούμε ότι για να υπολογίσουμε την απομάκρυνση 
y χρειαζόμαστε την περίοδο και
το μήκος κύματος.
Άρα:



1
f 


f
1



Hz
25
,
0
1



s
1
25
,
0
1 s
4


Το μήκος κύματος προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:




f
f



 

f
1

 



 

 s
s
m
4
3
 m
12


Επομένως, τώρα είμαστε έτοιμοι να αντικαταστήσουμε στην (1):










m
m
s
s
y
12
60
4
5
,
21
2
10 
 









 5
4
5
,
1
20
2
10 

y










 5
4
5
,
1
4
20
2
10 

y 









 5
4
5
,
1
5
2
10 

y 



4
5
,
1
2
10 

y



4
3
10


y 









4
10



y 

 cm
y
2
2
10 cm
y 2
5


Σημείωση: Εάν μας δίνεται η συχνότητα του κύματος (και θέλουμε να βρούμε την
απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα από τη θέση ισορροπίας
του), αντί να βρίσκουμε πρώτα την περίοδο του κύματος και να αντικαθιστούμε στην
εξίσωση:













x
t
y 2
,μπορούμε να γράψουμε:














x
t
y 2 













x
t
y
1
2 












x
t
f
y 2

Στάσιμο κύμα
2.32) Ένα στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση:
t
x
y 


 40
3
5
,
0
 όπου τα x και y είναι σε cm και το t σε s.
α) Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το
στάσιμο κύμα.
β ) Πόσο απέχουν δύο διαδοχικοί δεσμοί;
γ) Τι ταχύτητα έχει τη χρονική στιγμή t = 9/8 s ένα σημείο του μέσου το οποίο απέχει 1cm
από τη θέση x = 0;
δ) Με τι ταχύτητα διαδίδονται τα κύματα που δημιουργούν το στάσιμο;
ΛΥΣΗ
α) Σε τέτοιου είδους θέματα το πρώτο βήμα είναι η σύγκριση των εξισώσεων που μας
δίνονται με την εξίσωση της θεωρίας. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η εξίσωση της θεωρίας
είναι:



t
x
y





2
2
2 (1)
α) t
x
y 


 40
3
5
,
0
 (2)
Από τη σύγκριση των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει:
cm
25
,
0
2
5
,
0
5
,
0
2 






 (το πλάτος των αρχικών κυμάτων που συμβάλλουν και
δημιουργούν το στάσιμο κύμα)


3
2 x
x 




3
1
2

cm
6





t
t


40
2



40
2






40
2
40
2 s
20
1


Το στάσιμο κύμα δημιουργείται όταν δύο κύματα ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας
διαδίδονται με αντίθετη φορά μέσα στο ίδιο ελαστικό μέσο
Τα δύο κύματα συμβάλλουν. Η κίνηση του μέσου ονομάζεται στάσιμο κύμα.
Άρα οι εξισώσεις των δύο κυμάτων θα είναι:













x
t
y 2
1
(1) (διαδίδεται προς τη θετική φορά του άξονα x.)














x
t
y 2
2
(2) (διαδίδεται προς την αρνητική φορά του άξονα x.)
Αντικαθιστώντας τις τιμές του πλάτους, της περιόδου και του μήκους κύματος, στις σχέσεις
(1) και (2), προκύπτουν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που συμβάλλουν για να
δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα.
Άρα:














x
t
y 2
1 














6
20
1
2
25
,
0
1
x
t
y 
 







6
20
2
25
,
0
1
x
t
y 
 (x και y είναι
σε cm και το t σε s).














x
t
y 2
2 














6
20
1
2
25
,
0
2
x
t
y 
 







6
20
2
25
,
0
2
x
t
y 
 (x και y
είναι σε cm και το t σε s).
β) Υπενθύμιση: Στην εξίσωση του στάσιμου κύματος,



t
x
y





2
2
2 ,
ο όρος



x
2
2

 δίνει το πλάτος της ταλάντωσης κάθε σημείου. Το  αποτελεί το
πλάτος του στάσιμου κύματος. Παρατηρούμε ότι το πλάτος εξαρτάται μόνο από τη θέση x
του σημείου και παραμένει σταθερός με το χρόνο.
Δεσμούς έχουμε στα σημεία όπου 0

 .
Ο όρος  μηδενίζεται όταν
0
2
2 




x

2
)
1
2
(
,.....,
2
3
,
2
2





 

x

4
)
1
2
(
,...,
4
3
,
4






x , ,.....
2
,
1
,
0


Τα σημεία αυτά [του θετικού ημιάξονα που απέχουν από την αρχή Ο( 0

x ) αποστάσεις που
δίνονται από την παραπάνω σχέση] μένουν διαρκώς ακίνητα. Είναι οι δεσμοί του στάσιμου
κύματος.
Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος είναι
2

(διότι
2
4
)
1
2
(
4
]
1
)
1
(
2
[




 





d )
Συμπέρασμα: Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι ίση με το μισό
του μήκους κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα.

Από την παραπάνω ανάλυση συμπεραίνουμε ότι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών
θα είναι:


2

d 

2
6cm
d cm
d 3

γ) Ένα σημείο του μέσου το οποίο απέχει 1cm από τη θέση x = 0 ταλαντώνεται με πλάτος:







x
2
2 




6
1
2
25
,
0
2

 


6
2
5
,
0

 


3
5
,
0





2
1
5
,
0 cm
25
,
0


Άρα η ταχύτητα της ταλάντωσης του εν λόγω σημείου τη χρονική στιγμή t = 9/8 s θα δίνεται
από τη σχέση:
t


 
 (3)
Στο σημείο αυτό πρέπει να προσδιορίσουμε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης η οποία
θα είναι:





2


s
20
1
2
 s
rad /
40
 
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (3) προκύπτει:


 t


 



8
9
40
25
,
0
40 


 


8
9
40
10


 
 

 45
10
 

 


 44
10  


 


 2
22
10 
 
 10 

 
 10




s
cm
14
,
3
10

s
cm
4
,
31



δ) Η ταχύτητα με την οποία διαδίδονται τα δύο κύματα που συμβάλλουν (και εξαρτάται μόνο
από το μέσο διάδοσης) προσδιορίζεται από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:
f

 
 (4)
Η συχνότητα των κυμάτων που συμβάλλει είναι: 


1
f 

s
f
20
1
1 Hz
f 20

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (4) προκύπτει:


 f

 

 Hz
cm 20
6
 
 s
cm/
120
 


s
m
2
10
120

s
m
2
,
1


1


2.33) Στο σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο ενός στάσιμου κύματος, κάποια στιγμή κατά
την οποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν μηδενική ταχύτητα. Τα κύματα που
συμβάλλουν για να δώσουν το στάσιμο κύμα έχουν περίοδο s
2

 .
α) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος μετά από 0,5 s και μετά από 1
s.
β) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση x = 12,5
cm.
ΛΥΣΗ
α) Η περίοδος του κύματος είναι s
2

 . Άρα το χρονικό διάστημα s
t 5
,
0
1 
 αντιστοιχεί
στο 1/4 της περιόδου, δηλαδή
4
1


t .
Αντίστοιχα το χρονικό διάστημα s
t 1
2 
 αντιστοιχεί στο 1/4 της περιόδου, δηλαδή
2
2


t .
Τα σημεία που βρίσκονται αποστάσεις cm
x 5
1  , cm
x 15
2  , cm
x 25
3  κ.τ.λ. από τη θέση
0

x . Αποτελούν δεσμούς του στάσιμου κύματος, δηλαδή παραμένουν συνεχώς ακίνητα.
Επίσης στο συγκεκριμένο στιγμιότυπο πάρθηκε τη στιγμή όπου όλα τα σημεία του μέσου
είναι ακίνητα. Δηλαδή τη στιγμή εκείνη όπου όλα τα σημεία του μέσου βρίσκονται στη θέση
μέγιστης απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας.
Σημείωση: Υπενθυμίζουμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι το ίδιο για όλα τα σημεία
στο στάσιμο κύμα καθώς δίνεται από τη σχέση



x
2
2

 , δηλαδή εξαρτάται από την
απόσταση του σημείου από τη θέση 0

x .
Αφού λοιπόν όλα τα σημεία του μέσου βρίσκονται στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης, μετά
από χρόνο
4
1


t θα βρίσκονται στη θέση ισορροπίας!
Επίσης μετά από χρόνο
2
2


t όλα τα σημεία θα έχουν αντίθετες μέγιστες απομακρύνσεις.
Άρα τα δύο ζητούμενα διαγράμματα θα είναι:

β) Ένα σημείο του μέσου το που βρίσκεται στη θέση x = 12,5 cm ταλαντώνεται με πλάτος
που προκύπτει από τη σχέση:



x
2
2

 (1)
Στη σχέση αυτή ο όρος 
2 είναι το πλάτος της ταλάντωσης των κοιλιών, δηλαδή των
σημείων που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και βρίσκονται στις θέσεις 0
0 
x ,
cm
x 10
1 
 , cm
x 20
2 
 , cm
x 30
3 
 κ.τ.λ (δηλαδή στο μέσο της οριζόντιας απόστασης
μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών).
Όπως βλέπουμε από το σχήμα: cm
4
2 
 .
Όπως είδαμε στην άσκηση 2.32, απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι
ίση με το μισό του μήκους κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το
Άρα, όπως βλέπουμε από το σχήμα 

 cm
cm 5
15
2


 cm
10
2

cm
20


Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) προκύπτει:







x
2
2 



20
5
,
12
2
4

 


20
25
4

 


4
5
4












4
4


 










 cm
2
2
4 cm
2
2


)
(cm
y
)
(cm
y
)
(cm
y
)
(cm
x
)
(cm
x
)
(cm
x
4
4
4

4

4
4

5
5
5
15
15
15
25
25
25
Αρχικό στιγμιότυπο
s
t 5
,
0
1 

s
t 1
2 

2
/


2.34) Διαπασών συχνότητας 340 Hz ηχεί μπροστά σε λείο κατακόρυφο τοίχο. Ανάμεσα στο
διαπασών και στον τοίχο, στην ευθεία που είναι κάθετη στον τοίχο, μετακινείται ευαίσθητος
δέκτης. Παρατηρούμε ότι σε δύο διαδοχικές θέσεις του δέκτη, που απέχουν μεταξύ τους 0,5
m, η ένδειξή του μηδενίζεται.
α) Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου;
Αντικαθιστούμε το διαπασών με άλλο άγνωστης συχνότητας.
β) Διαπιστώνουμε δύο διαδοχικά μέγιστα έντασης σε θέσεις που απέχουν μεταξύ τους 0,2 m.
Ποια είναι η συχνότητα του δεύτερου διαπασών;
ΛΥΣΗ
α) Στην περίπτωση αυτή έχουμε δύο κύματα ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας (το
προσπίπτον κύμα και το ανακλώμενο στον τοίχο) που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις.
Άρα έχουμε τη δημιουργία ενός στάσιμου κύματος. Οι θέσεις όπου μηδενίζεται η ένδειξη του
δέκτη αντιστοιχούν σε δεσμούς του στάσιμου κύματος.
Όπως είδαμε στην άσκηση 2.32, απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι
ίση με το μισό του μήκους κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το
Άρα, 
 m
5
,
0
2

m
1


Επομένως η ταχύτητα διάδοσης του ήχου, δηλαδή η ταχύτητα του προσπίπτοντος και η
ταχύτητα του ανακλώμενου ηχητικού κύματος (η οποία εξαρτάται μόνο από το μέσο
διάδοσης) προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:


 f

 

 Hz
m 340
1

s
m
340


β) Τα μέγιστα του ήχου αντιστοιχούν σε κοιλίες του στάσιμου κύματος.
Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι ίση με το μισό του μήκους
κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα.
Άρα, 


m
2
,
0
2

m
4
,
0



Άρα το μήκος κύματος των νέων κυμάτων που συμβάλλουν (του νέου προσπίπτοντος και του
νέου ανακλώμενου) είναι m
4
,
0


 .
Επειδή η ταχύτητα διάδοσης του ήχου (όπως και οποιουδήποτε κύματος) εξαρτάται μόνο από
το μέσο διάδοσης, η ταχύτητα του νέου προσπίπτοντος και του νέου ανακλώμενου θα είναι
πάλι:
s
m
340

 .
Άρα η νέα συχνότητα του διαπασών (δηλαδή η νέα συχνότητα του προσπίπτοντος και του
ανακλώμενου ηχητικού κύματος) θα είναι:












 f
f 


m
s
m
f
4
,
0
340



s
f
1
850 Hz
f 850



2.35) Δύο κύματα διαδίδονται ταυτόχρονα κατά μήκος του ίδιου σχοινιού.
Οι εξισώσεις των κυμάτων είναι:y1 = 5ημπ(5t - x) και y2 = 5ημπ(5t + x) όπου τα y και x είναι
μετρημένα σε cm και το t σε s.
α) Υπολογίστε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων.
β) Βρείτε τη θέση τριών σημείων του σχοινιού τα οποία παραμένουν ακίνητα και τριών
σημείων των οποίων το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο.
γ) Ποιο είναι το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης;
ΛΥΣΗ
α) Σε τέτοιου είδους θέματα το πρώτο βήμα είναι η σύγκριση των εξισώσεων που μας
δίνονται με την εξίσωση της θεωρίας. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η εξίσωση της θεωρίας
είναι:














x
t
y 2 













x
t
y
1
2













x
t
f
y 2 (1)
Άρα,
 


 x
t
y 5
5
1  








2
2
5
2
5
1
x
t
y 
 (2)
 


 x
t
y 5
5
2  








2
2
5
2
5
2
x
t
y 
 (3)
Από τη σύγκριση των εξισώσεων (1) και (2) ή (1) και (3) προκύπτει:
cm
5






2
5 t
t
f Hz
f
2
5



2
x
x



2
1
1

cm
2


Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων, προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:


 f

 

 Hz
cm
2
5
2

s
cm
5


β) Η εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει από τη συμβολή των δύο κυμάτων είναι:




t
x
y





2
2
2



t
y


2
Άρα το πλάτος της ταλάντωσης των σημείων του μέσου είναι:








x
2
2 




2
2
5
2
x

 x

10


Για τα σημεία που παραμένουν ακίνητα ισχύει: 

 0 
 0
10 x
 
 0
x




2
2


x 





2
2
x 





 2
2
x
2
1
2 
 
x ,
Δηλαδή δεσμούς έχουμε στις θέσεις όπου ικανοποιούνται οι σχέσεις:
2
1
2 
 
x
Και
2
1
2 
 
x
όπου ,.....
3
,
2
,
1
,
0


Άρα δεσμούς (σημεία που παραμένουν συνεχώς ακίνητα) έχουμε στις θέσεις:




2
1
0
2
1
x cm
x
2
1
1  , για 0






2
1
1
2
2
x cm
x
2
3
2  , για 1






2
1
1
2
3
x cm
x
2
5
3  , για 1


, κ.τ.λ.
 Άρα δεσμούς έχουμε στις θέσεις: cm
5
,
0 , cm
5
,
1 , cm
5
,
2 ,…………
Παρατηρούμε ότι δύο διαδοχικοί δεσμοί απέχουν απόσταση cm
d 1
 , δηλαδή
2


d
Για τα σημεία των οποίων το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο (κοιλίες) ισχύει:


 10 
 10
10 x
 

 1
x


 
x 



x 

x , όπου ,.....
3
,
2
,
1
,
0


Άρα κοιλίες (σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος) έχουμε στις θέσεις:
0
1 

x , για 0


cm
x 1
2 
 , για 1



cm
x 2
3 
 , για 2


, κ.τ.λ.
 Άρα κοιλίες έχουμε στις θέσεις: 0, cm
1 , cm
2 ,……
Παρατηρούμε ότι δύο διαδοχικές κοιλίες απέχουν απόσταση cm
d 1
 , δηλαδή
2


d
Επίσης παρατηρούμε ότι ένα δεσμός απέχει από την πλησιέστερη κοιλία απόσταση
cm
d 5
,
0

 , δηλαδή
4



d
γ) Το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης προκύπτει για 1
2





x
είναι:




 2 



 cm
5
2 cm
10



2.36) Δύο κύματα ίδιου πλάτους, συχνότητας 60Hz, διαδίδονται αντίθετα σε χορδή της
οποίας τα άκρα είναι στερεωμένα σε ακλόνητα σημεία. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων
είναι 120m/s. Το στάσιμο κύμα που δημιουργείται στη χορδή έχει τρεις δεσμούς. Βρείτε το
μήκος της χορδής.
ΛΥΣΗ
Στο παραπάνω σχήμα βλέπουμε το στάσιμο κύμα που δημιουργείται στη χορδή. Υπάρχουν 3
δεσμοί σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης. Οι δεσμοί στα ακλόνητα άκρα (δηλαδή στα
σημεία που είναι ‘δεμένη’ η χορδή) και ένας δεσμός ενδιάμεσα.
Γνωρίζουμε ότι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών σε ένα στάσιμο κύμα είναι:
2

.
Επομένως όπως βλέπουμε από το σχήμα το μήκος της χορδής θα είναι:


2
2

d 

d (1)
Δεσμοί
2
/
 2
/


Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι 120m/s και η συχνότητά τους 60Hz.
Υπενθύμιση: Υπενθυμίζουμε ότι στάσιμο κύμα δημιουργείται από τη συμβολή δύο κυμάτων
ίδιου πλάτους Α και συχνότητας f τα οποία διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις, με την
ίδια ταχύτητα αφού διαδίδονται στο ίδιο μέσο διάδοσης.
Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής προκύπτει:





f
f



 

Hz
s
m
60
120
 

s
s
m
1
60
120
 m
2


Άρα από τη σχέση (1) προκύπτει ότι το μήκος της χορδής είναι: m
d 2

Ηλεκτρομαγνητικά κύματα
2.37) Ένας ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει στα z

100 .
α) Ποιο είναι το μήκος κύματος που εκπέμπει ο σταθμός;
β) Η μέγιστη τιμή του ηλεκτρικού πεδίου του κύματος σε κάποια θέση είναι
m
V
3
max 10
12 


 . Ποια είναι η μέγιστη τιμή του μαγνητικού πεδίου του κύματος σε εκείνη
τη θέση;
γ) Αν για τη λήψη αυτού του ηλεκτρομαγνητικού κύματος χρησιμοποιείται δέκτης με
κύκλωμα LC, στο οποίο το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής mH
L 5
 , για ποια τιμή της
χωρητικότητας του πυκνωτή συντονίζεται ο δέκτης; ( s
m
c /
10
3 8

 ) Θεωρείστε 10
2

 .
ΛΥΣΗ
Το πρώτο βήμα είναι να μετατρέψουμε όλες τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων σε
μονάδες του συστήματος S.I.:
Η συχνότητα του ραδιοφωνικού σταθμού είναι: 




 Hz
f
z
f 6
10
100
100
Hz
f 8
10

Η μέγιστη τιμή του ηλεκτρικού πεδίου του κύματος
m
V
3
max 10
12 


 είναι στο σύστημα
μονάδων S.I.
Η τιμή του συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου (ερώτημα γ) είναι: 
 mH
L 5
H
L 3
10
5 


α) Το μήκος κύματος που εκπέμπει ο σταθμός στο κενό προσδιορίζεται εύκολα από τη
σχέση:

 f
c  

f
c
 


Hz
s
m
8
8
10
10
3
 


s
s
m
1
10
10
3
8
8
 m
3



β) Κάθε στιγμή το λόγος των μέτρων των εντάσεων του ηλεκτρικού και του μαγνητικού
πεδίου είναι ίσος με την ταχύτητα διάδοσής τους
c



Η σχέση c



τη χρονική στιγμή που τα μέτρα των δύο εντάσεων γίνονται μέγιστα, γίνεται
c



max
max
(1)
Άρα από τη σχέση (1) προκύπτει:




c
max
max




 max
max c 



c
max
max 





s
m
m
V
8
3
max
10
3
10
12






2
8
3
max
10
10
3
12
m
s
V
T
11
max 10
4 



*Παρατήρηση 1: Γνωρίζουμε ότι η μονάδα μέτρησης της έντασης του μαγνητικού πεδίου
στο S.I. είναι το
Am
N
T 1
1  . Πως όμως από τη μονάδα 2
m
s
V 
καταλήξαμε στα T ;
Απόδειξη:


2
m
s
V


2
m
s
C
J


1
2
m
C
s
J



C
m
s
J
2




C
m
s
m
N
2



C
m
s
N




s
A
m
s
N
T
Am
N

Στην παραπάνω απόδειξη χρησιμοποιήθηκαν οι σχέσεις:
α)
C
J
V 1
1  (Ορισμός του Volt )
β) m
N
J 
1
1 (Ορισμός του Joule )
γ) s
A
C 
1
1 (Ορισμός Coulomb)
Υπενθυμίζουμε ότι από τα παραπάνω μεγέθη, θεμελιώδη είναι τα: A
s
m ,
, (μέτρο,
δευτερόλεπτο και Ampere). Όλα τα άλλα είναι παράγωγα.
γ) Η συχνότητα συντονισμού του κυκλώματος LC πρέπει να είναι ίση με τη συχνότητα του
ραδιοφωνικού σταθμού Hz
f 8
10
 για να ακούσουμε το σταθμό αυτό.

Υπενθυμίζουμε ότι: Κάθε ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει σε ορισμένη συχνότητα. Στην
κεραία ενός ραδιοφώνου φθάνουν κάθε στιγμή πολλά ηλεκτρομαγνητικά κύματα με πολλές
διαφορετικές συχνότητες. Η επιλογή ενός σταθμού στο ραδιόφωνο στηρίζεται στο φαινόμενο
του συντονισμού. Όταν γυρίζουμε το κουμπί επιλογής των σταθμών, μεταβάλλουμε τη
χωρητικότητα ενός μεταβλητού πυκνωτή. Ο πυκνωτής αυτός είναι μέρος κυκλώματος LC ,
το οποίο βρίσκεται σε επαγωγική σύζευξη με την κεραία του ραδιοφώνου. Στην κεραία τα
ηλεκτρομαγνητικά κύματα που φθάνουν αναγκάζουν τα ηλεκτρόνιά της να εκτελέσουν
ταλάντωση. Η κίνηση των ηλεκτρονίων στην κεραία δημιουργεί σε αυτήν ένα πολύ ασθενές
μεταβαλλόμενο ρεύμα i. Εξαιτίας της επαγωγικής σύζευξης, το κύκλωμα
LC εξαναγκάζεται να εκτελέσει ηλεκτρική ταλάντωση. Το πλάτος της ηλεκτρικής
ταλάντωσης (πλάτος του ρεύματος) είναι ασήμαντο, εκτός και αν έχουμε συντονισμό.
Μεταβάλλοντας τη χωρητικότητα C του πυκνωτή στο κύκλωμα μεταβάλλουμε την
ιδιοσυχνότητά του. Όταν η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος συμπέσει με κάποια από τις
συχνότητες με τις οποίες ταλαντώνονται τα ηλεκτρόνια της κεραίας (δηλαδή με κάποια από
τις συχνότητες των κυμάτων, τα οποία φθάνουν στην κεραία), το κύκλωμα συντονίζεται και
διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα μέγιστου πλάτους. Αυτό το σχετικά μεγάλο ρεύμα
περιέχει το ηλεκτρικό σήμα, το οποίο, ενισχυμένο, οδηγείται στο μεγάφωνο του ραδιοφώνου
και το διεγείρει.
Η συχνότητα συντονισμού του κυκλώματος LC δίνεται από τη σχέση:



1
f 

LC
f

2
1








2
2
2
1
LC
f
  

 2
2
2
1
LC
f



LC
f 2
2
4
1





 1
4 2
2
C
L
f  
 2
2
4
1
Lf
C
  






 2
8
3
10
10
5
10
4
1
Hz
H
C





  2
16
3
10
10
10
5
4
1
Hz
H
C 




  2
16
3
10
10
10
20
1
Hz
H
C 

 F
C 13
10
200
1


 
F
C 13
10
005
,
0 


 

F
C 13
3
10
10
5 F
C 16
10
5 


*Παρατήρηση 2: Γνωρίζουμε ότι η μονάδα μέτρησης της χωρητικότητας του πυκνωτή στο
S.I. είναι το
V
C
F 1
1  . Πως όμως από τη μονάδα 2
Hz
H  καταλήξαμε στα F ;
Απόδειξη:


 2
2
s
H
Hz
H 

2
s
A
s
V


1
2
s
A
s
V



2
s
A
s
V

 s
A
V
F
C
V

Στην παραπάνω απόδειξη χρησιμοποιήθηκαν οι σχέσεις:
α)
s
Hz
1
1  (Ορισμός του Hertz )
β)
A
s
V
H

1
1 (Ορισμός του Henry )
γ) s
A
C 
1
1 (Ορισμός Coulomb)

Υπενθυμίζουμε ότι από τα παραπάνω μεγέθη, θεμελιώδη είναι τα: A
s, (δευτερόλεπτο και
Ampere). Όλα τα άλλα είναι παράγωγα.
Ανάκλαση - Διάθλαση
2.38) Με ποια ταχύτητα διαδίδεται μονοχρωματικό φως σε γυαλί που έχει γι' αυτό το φως
δείκτη διάθλασης 5
,
1

n ; Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι s
m
c /
10
3 8

 .
ΛΥΣΗ
Ο δείκτης διάθλασης ενός μέσου ορίζεται ως το πηλίκο της ταχύτητας του φωτός στο κενό
προς την ταχύτητα του φωτός στο συγκεκριμένο μέσο:

c
n  (1)
Επιλύοντας τη σχέση (1) ως προς  καταλήγουμε στο ζητούμενο αποτέλεσμα:







n
c
c
n
c
n 





5
,
1
10
3 8
s
m
 s
m/
10
2 8



2.39) Στον πυθμένα δοχείου που περιέχει νερό τοποθετούμε μια γυάλινη πλάκα. Δέσμη
παράλληλων ακτίνων μονοχρωματικού φωτός προσπίπτει από το νερό στη γυάλινη πλάκα με
γωνία πρόσπτωσης 30°. Βρείτε τις διευθύνσεις των ανακλώμενων και διαθλώμενων ακτίνων.
Δίνονται οι δείκτες διάθλασης του νερού και του γυαλιού n1 = 1,33 και n2= 1,55 αντίστοιχα
ΛΥΣΗ
Γνωρίζουμε ότι η γωνία ανάκλασης είναι πάντα ίση με τη γωνία πρόσπτωσης (στις
περιπτώσεις κατοπτρικής ανάκλασης). Άρα,

 
 
 
30



Επομένως η ανακλώμενη ακτίνα σχηματίζει γωνία 30° με την κάθετη στη διαχωριστική
επιφάνεια.



 2
n
1
n
a


Για να βρούμε τη διεύθυνση της διαθλώμενης ακτίνας πρέπει να βρούμε τη γωνία διάθλασης

 , δηλαδή τη γωνία που σχηματίζει η διαθλώμενη ακτίνα με την κάθετη στη διαχωριστική
επιφάνεια. Για να προσδιορίσουμε τη 
 θα εφαρμόσουμε το νόμο του Snell.


1
2
n
n






2
1
n
n





 
 

2
1
n
n

 
30
55
,
1
33
,
1



 429
,
0

 
25



2.40) Μέσα σε υγρό με άγνωστο δείκτη διάθλασης βυθίζουμε μια γυάλινη πλάκα. Μια λεπτή
μονοχρωματική δέσμη πέφτει στην πλάκα με γωνία πρόσπτωσης θα. Μεταβάλλοντας τη
γωνία πρόσπτωσης παρατηρούμε ότι όταν είναι μεγαλύτερη των 60° η δέσμη παθαίνει ολική
ανάκλαση στη γυάλινη πλάκα. Αν ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι nb = 1,5 να βρεθεί
ο δείκτης διάθλασης του υγρού.
ΛΥΣΗ
Όπως βλέπουμε από το παραπάνω σχήμα η κρίσιμη γωνία είναι η 
60

crit
 , διότι για γωνία
πρόσπτωσης crit

  έχουμε ολική ανάκλαση. Με τη βοήθεια του νόμου του Snell
προκύπτει:


a
b
b
crit
n
n




b
a
crit
b
n
n




 b
crit
b
a n
n




 5
,
1
60
90




a
n


 5
,
1
2
3
1
a
n 

 5
,
1
3
2
a
n 

 5
,
1
3
3
3
2
a
n 

3
3
3
a
n 3

a
n

60

crit

b
n
a
n

90

b


2.41) Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία συχνότητας f = 5,1x1014
Hz έχει στο νερό μήκος
κύματος λ = 4,4x10-7
m. Να βρείτε το δείκτη διάθλασης του νερού. Η ταχύτητα του φωτός στο
κενό είναι c=3x108
m/s.
ΛΥΣΗ
Η ταχύτητα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας στο νερό προκύπτει από τη θεμελιώδη
εξίσωση της κυματικής:


 f

 



 
Hz
m 14
7
10
1
,
5
10
4
,
4
 



 
s
m
1
10
1
,
5
10
4
,
4 14
7




 
s
m
14
7
10
10
44
,
22
 


s
m
7
10
44
,
22

s
m
8
10
244
,
2 


Άρα ο δείκτης διάθλασης του νερού προκύπτει από τη σχέση:



c
n 



s
m
s
m
n
8
8
10
244
,
2
10
3
33
,
1

n
Προσοχή! Ο δείκτης διάθλασης είναι πάντα μεγαλύτερος της μονάδας διότι η ταχύτητα
διάδοσης ηλεκτρομαγνητικής οποιασδήποτε συχνότητας είναι πάντοτε μεγαλύτερη στο κενό
απ’ ότι σε οποιοδήποτε άλλο μέσο διάδοσης.
2.42) Το μήκος κύματος μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας στον αέρα είναι 650nm.
α) Ποια είναι η συχνότητα της ακτινοβολίας;
β) Ποιο είναι το μήκος κύματος της ακτινοβολίας όταν διέρχεται από γυαλί που έχει δείκτη
διάθλασης 1,4;
γ) Ποια είναι η ταχύτητα της ακτινοβολίας στο γυαλί;
Δίνεται c=3x108
m/s.
ΛΥΣΗ
α) Το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στον αέρα είναι:

 nm
650
 

 
m
9
10
650
 m
6
10
65
,
0 



Η συχνότητα της ακτινοβολίας προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:


 f
c  


c
f 


c
f 


 
m
s
m
f 6
8
10
65
,
0
10
3




s
f
1
10
10
65
,
0
3 6
8
Hz
f 14
10
6
,
4 

β)
Υπενθυμίζουμε ότι: Η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής για το κενό γράφεται:
f
c 
 , όπου  το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο κενό.

Για ένα διαφανές μέσο η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής γράφεται:
f

 
 , όπου  το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο αυτό.
Διαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε:


 

c





n 
n

 

όπου n ο δείκτης διάθλασης του μέσου.
Άρα, το μήκος κύματος της ακτινοβολίας όταν διέρχεται από γυαλί που έχει δείκτη
διάθλασης 4
,
1

n θα είναι:



n

 


4
,
1
650nm
 nm
464



γ) Α’ τρόπος
Η ταχύτητα στο γυαλί μπορεί να προκύψει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:


 f

 



 
Hz
m 14
9
10
6
,
4
10
464
 


 
s
m
14
9
10
10
2136
 


s
m
5
10
2136

s
m
8
10
14
,
2 


Β’ τρόπος
Η ταχύτητα στο γυαλί μπορεί να προκύψει από τη σχέση ορισμού του δείκτη διάθλασης:



c
n 

n
c
 


4
,
1
10
3 8
s
m

s
m
8
10
14
,
2 


Προσοχή! Η ταχύτητα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας οποιασδήποτε συχνότητας σε
ένα μέσο διάδοσης είναι πάντα μικρότερη από την ταχύτητα στο κενό c=3x108
m/s.
Κατά προσέγγιση μπορούμε να θεωρήσουμε c=3x108
m/s και στον αέρα.
2.43) Το κίτρινο φως που δίνει η λάμπα νατρίου διαδίδεται σε κάποιο υγρό ταχύτητα
1,92x108
m/s. Ποιος είναι ο δείκτης διάθλασης του υγρού αυτού για το κίτρινο φως; Δίνεται
c=3x108
m/s.
ΛΥΣΗ
Από τη σχέση ορισμού του δείκτη διάθλασης προκύπτει:




c
n 



s
m
s
m
n
8
8
10
92
,
1
10
3
5625
,
1

n
2.44) Μονοχρωματική δέσμη φωτός πέφτει κάθετα στην επιφάνεια πρίσματος με δείκτη

n όπως στο σχήμα 2.54. Υπολογίστε τη μεγαλύτερη τιμή της γωνίας φ για
την οποία η δέσμη υφίσταται ολική ανάκλαση στην επιφάνεια ΒΓ του πρίσματος.
ΛΥΣΗ
Θεωρούμε σαν μέσο α, με δείκτη διάθλασης 2


n το γυαλί και σαν μέσο b με δείκτη

b
n τον αέρα.
Ολική ανάκλαση έχουμε για γωνία πρόσπτωσης μεγαλύτερη ή ίση της κρίσιμης, δηλαδή για
crit

 
Επομένως πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της κρίσιμης γωνίας crit
 .
Από το νόμο του Snell προκύπτει:


a
b
b
crit
n
n




 b
a
b
crit
n
n

 

 
90
2
1

crit 


2
2
2
crit




2
2
crit
 
45

crit

Άρα για 
45


 έχουμε ολική ανάκλαση.
Από το σχήμα παρατηρούμε ότι για μικρές τιμές της γωνίας  έχουμε μεγάλες γωνίες
πρόσπτωσης, διότι όσο μικραίνει η γωνία  τόσο πιο πλάγια πέφτει η ακτίνα στην πλευρά
ΒΓ, (την ακτίνα την θεωρούμε συνεχώς οριζόντια). Επομένως, όσο πιο μικρή είναι η  με
τόσο μεγαλύτερη γωνία θα προσπέσει η ακτίνα ως προς την κάθετη στη ΒΓ.
crit

b

2

a
n
1

b
n





v
 
Σχήμα 2.54

Αντίθετα όσο πιο μεγάλη είναι η  τόσο μικρότερη είναι η γωνία πρόσπτωσης στην πλευρά
ΒΓ. Άρα υπάρχει μία μέγιστη γωνία max
 για την οποία έχουμε ολική ανάκλαση. Για τιμές
μεγαλύτερης της max
 δεν μπορούμε να έχουμε ολική ανάκλαση. Η μέγιστη γωνία max

αντιστοιχεί στην κρίσιμη γωνία 
45

crit
 .
Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, η γωνία ω θα είναι 
 
 
90 (1)
Επίσης, επειδή και το τρίγωνο ΒΔΕ είναι ορθογώνιο θα ισχύει:


 
90
v (2)
Αντικαθιστώντας τη σχέση (1) στη (2) προκύπτει:


 

90
v  


 


90
90
v 


 


90
90
v 

v (3) (η ισότητα 

v
είναι αναμενόμενη καθώς οι δύο γωνίες έχουν παράλληλες πλευρές).
Όμως από το σχήμα παρατηρούμε ότι


 
90
crit
v  

 crit
v 

90 

 crit
v 

90 

 

45
90
v 
45

v (4)
Επομένως από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει: 
45


Άρα η μέγιστη τιμή της  για την οποία έχουμε ολική ανάκλαση είναι 
45
max 

2.45) Μονοχρωματική δέσμη προσπίπτει στο σημείο Α μιας γυάλινης με γωνία πρόσπτωσης
60° (σχ. 2.55). Ποιος πρέπει να είναι ο ελάχιστος δείκτης διάθλασης του γυαλιού ώστε η
δέσμη να υποστεί ολική ανάκλαση στο σημείο Β; (Η γυάλινη πλάκα βρίσκεται στον αέρα).
ΛΥΣΗ
Για να έχουμε ολική ανάκλαση στο Β θα
πρέπει η γωνία πρόσπτωσης στο σημείο
αυτό να είναι τουλάχιστον ίση με την
κρίσιμη γωνία. Θεωρούμε σαν μέσο α τον
αέρα όπου 1


n και σαν μέσο β το
γυαλί όπου ο δείκτη διάθλασης είναι b
n .


crit


60

a

b


1


n
b
n
Σχήμα 2.55

Εφαρμόζουμε νόμο του Snell στο σημείο Α:


a
b
b
a
n
n




b
a
a
b
n
n




 


b
a
b
n
n


 
60
1


b
b
n



2
3
1
b
b
n

b
b
n
2
3

 (1)
Το τρίγωνο ΑΚΒ είναι ορθογώνιο. Άρα: crit
b 
 
 
90 (2)
Αντικαθιστώντας την (2) στην (1) προκύπτει:


b
b
n
2
3
   


b
crit
n
2
3
90 
 
b
crit
n
2
3

 (3)
(διότι   

 


90 )
Εφαρμόζουμε νόμο του Snell στο σημείο Β:


b
a
crit
n
n

90




 
90


b
a
crit
n
n
b
crit
n
1

 (4)
Επειδή ισχύει πάντα 1
2
2

 


 υψώνουμε τις σχέσεις (3) και (4) στο τετράγωνο και
τις προσθέτουμε κατά μέλη:








2
2
2
3
b
crit
n

 2
2
4
3
b
crit
n













2
2 1
b
crit
n

 2
2 1
b
crit
n



Επομένως,



 2
2
2
2
4
3
1
b
b
crit
crit
n
n



 

 2
2
4
3
1
1
b
b n
n


 2
2
4
3
4
4
1
b
b n
n

 2
4
7
1
b
n

 7
4 2
b
n 

4
7
2
b
n 
 75
,
1
2
b
n 
 75
,
1
b
n 32
,
1

b
n

Κεφάλαιο-2-ΑΣΚΗΣΕΙΣ-Κύματα-Γ-Λυκείου.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Κεφάλαιο-2-ΑΣΚΗΣΕΙΣ-Κύματα-Γ-Λυκείου.pdf

Similar to Κεφάλαιο-2-ΑΣΚΗΣΕΙΣ-Κύματα-Γ-Λυκείου.pdf (20)

More from Μαυρουδης Μακης

More from Μαυρουδης Μακης (20)

Κεφάλαιο-2-ΑΣΚΗΣΕΙΣ-Κύματα-Γ-Λυκείου.pdf