Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. 374 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ
'
11 .,ιι, ' ι,
I• ;
,ι,
,, :• I•
t 11 ι'•
'I :I I 111'"�1111., .. I'ι''l, I I
f.ιι,
ιiι
'I
ι I '
11
Ι'
lj•lll'•ιι ι Ι lιI ,.
I '
ι•
ιι'llι•..'
'ι•Ι,I
ι:·
..ι· ,ι,,
llι�•ΙΙ' 11'
ι,I�ι;.�ΙI' I I'
Ί' 'I ι •
Ι
1,1
'
I ιιlι
I
,,
11, ι I
IΙΙ
I
" Ιι
• Φυσικό εκκρεμές ι;fναι κάθε σόJμά που μπορεί να αιωρείται γύρω από άξονα περι­
στροφΊ1ς σε απόσταση dαπότο »έντρο βάρους του. Αν η ροπή αδράνειας,ως προς τον
άξονα περιστροφής είναι Ι,η γωνιακή συχνότητα και η περίοδος είναι
ιI•'lfI I
''
�],''1-pl'
' 'I' Ίι ω = Α ΓmiιJ
ν 1,
I't " I. ' "'
ι, .. I ,ι,:,, ., I ι·I
' I
'
(13-35)
,,, 'I"' i ,.: I I
Τ= 2π�. (13-36)
Ί•
• Όταν μια δύναμη απόσβεσης F = -bv ανάλογη της ταχύτητας προστιοθεί στον απλό
αρμονικό ταλαντωτή, η κίνηση ονομάζεται αποσβενόμενη ταλάντωση:
χ =Αe-(bΙΖιιψ cosω't. (13-39)
.ι· ��Η tΙ��
,,
Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης ω'δίνεται από τη σχέση
I '
ω' = Υ!!__ b2,.m 4m-
(13-40)
Αυτή η κίνηση παρουσιάζεται όταν b2 < 4km, μια κατάσταση που ονομάζεrtω υποκρί­
σιμη απόσβεση. Όταν b1 = 4km1 το σύστημα παρουσιάζει κρίσιμη απόσβεση και δεν
ταλαντώνεται πια. Όταν η παράμετρος b είναι ακόμη μεγαλύτερη, το σύστημα παρου­
σιάζει υπερωτόσβεση.
• Όταν μια διεγείρουσα δύναμη ποv μεταβάλλεται ημιτονοειδώς ασκηθεί σε έναν
αρμονικό ταλαντωτή με απόσβεση, η κίνηση που προκύΠίτει ονομάζεται εξαναγκασμέ­
νη ταλάντωση. Το πλάτος της, ως συνάρτηση της διεγείρουσας συχνότητας ωd, δίνεται
από τη σχέση
Α
(13-4�)
Το πλάτος φτάνει σε μια μέγιστη τιμή όταν η διεγείρουσα συχνότητα βρίσκεται κοντά
στη φυσική συχνότητα του συστήματος. Αυτή η συμπεριφορά ονομάζεταu συντονισμός.
,I
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ________________________
Εδάφιο 13-1
Θεμελιώδεις έννοιες
Εδάφιο 13-2
Ενέργεια στην απλή αρμονική κίνηση
13-1 Ένα ταλαντωνόμενο σώμα πραγματοποιεί τέσσερις πλή­
ρεις ταλαντώσεις σε 1,00 s. Να βρείτε τη γωνιακή συχνότητα και
την περίοδο της κίνησης.
13-4 Ελατήριο με σταθερά k = 600 N/m είναι αναρτημένο ό­
πως στο Σχ. 13-1 . Ένα σώμα με μάζα 0,400 kg συνδέεται με το ά­
κρο του και εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πλάτος 0,075 m. Δεν
υπάρχει δύναμη τριβής στο σώμα. Να υπολογίσετε a) τη μέγιστη
ταχύτητα του σώματος, b) την ταχύτητά του ότανχ = 0,030 m, c) το
μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσής του, d) την επιτάχυνσ1j του όταν
βρίσκεται σε χ = 0,030 m και e) την ολική μηχανικ1j του ενέργεια
σε οποιοδήποτε σημείο της διαδρομής.
13-2 Το σώμα στο Σχ. 13-1 μετατοπίζεται κατά 0,160 m απότη
θέση ισορροπίας του και αφήνεται ελεύθερο με μηδενική αρχική
ταχύτητα. Μετά από 1,10 s η μετατόπισή του είναι 0,160 m στην α­
ντίθετη πλευρά, ενώ έχει περάσει τη θέση ισορροπίας μια φορά
σε αυτό το χρονικό διάστημα. Να βρείτε a) το πλάτος, b) την πε­
ρίοδο, c) τη συχνότητα.
13-3 a) Για να μετατοπιστεί το άκρο ενός ελατηρίου κατά 0,120
m απαιτείται δύναμη 36,0 Ν. Να βρείτε τη σταθερά ελατηρίου k.
b) Ένα ελατήριο έχει σταθερά k = 1500 N/m. Πόση δύναμη απαι­
τείται για να μετατοπίσει το άκρο του ελατηρίουκατά 0,060 m;
13-5 Αντικείμενο με μάζα 0,500 kg εκτελεί απλή αρμονικ1j κίνη­
ση στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου με σταθερά k = 300 N/m.
Όταν το αντικείμενο βρίσκεται 0,012 m από τη θέση ισορροπίας,
έχει ταχύτητα 0,300 m/s. a) Πόση είναι η ολική ενέργεια του αντι­
κειμένου σε οποιοδ1jποτε σημείο της διαδρομής; Πόσο είναι το
πλάτος της κίνησης; Πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά
κατάτην κίνησήτου;

2. 13-6 Αντικείμενο με μάζα 0,400 kg εκτελείαπλή αρμονική κίνηση
με πλάτος 0,025 m στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου. Το μέτρο
της μέγιστης επιτάχυνσης του αντικειμένου είναι 6,00 m!s'. a) Ποια
είναι η σταθερά ελατηρίου; Πόση είναι b) η μέγιστη ταχύτητα του
αντικειμένου; c) η επιτάχυνσή του (μέτρο και κατεύθυνση) όταν εί­
ναι μετατοπισμένο κατά 0,012 m στα αριστερά της θέσης ισορρο­
πίας;
13-7 Ένας αρμονικός ταλαντωτής έχει μάζα 0,800 kg, και ελα­
t�jριο με σταθερά 140 N/m. Να βρείτε a) την περίοδο, b) τη συ­
χνότητα, c) τη γωνιακή συχνότητα.
13-8 Ένας αρμονικός ταλαντωτής αποτελείται από ένα σώμα
με μάζα 0,400 kg και ένα ελατήριο με άγνωστη σταθερά. Ο ταλα­
ντωτής έχει περίοδο 0,200 s. Να βρείτε τη σταθερά ελατηρίου.
13-9 Σώμα με άγνωστη μάζα είναι συνδεδεμένο με ένα ελατή­
ριο που έχει σταθερά ελατηρίου 200 N/m στη διάταξη του Σχ.
13-1. Παρατηρείται ότι το σώμα ταλαντώνεται με συχνότητα 4,00
Hz. Να βρείτε a) την περίοδο, b) τη γωνιακή συχνότητα και c)
τη μάζα του σώματος.
13-10 Σε ένα διαπασών με φυσική συχνότητα 440 Hz το άκρο
του κάθε σκέλους του ταλαντώνεται με πλάτος 0,90 mm. a) Πόση
είναι η μέγιστη ταχύτητατου άκρου του σκέλους; b) Πόση είναι η
μέγιστη επιτάχυνσή του;
Εδάφιο 13-3
Εξισώσεις της απλής αρμονικής κίνησης
13-1 1 Να αποδείξετε την Εξ. (13-25) ξεκινώντας a) απότις Εξ.
(13-20) και (13-23), b) απότη διατήρηση της ενέργειας (Εξ. J3-6).
13-12 Σώμα με μάζα 3,00 kg είναι συνδεδεμένο με ελατήριο
που έχει σταθερά k = 150 N/m. Στοσώμα δίνεται μια αρχική τα­
χύτητα στη θετικιj κατεύθυνm1 με μέτρο v0 = 12,0 m/s και μηδενι­
κή αρχική μετατόπιση (χ0 = 0). Να βρείτε a) το πλάτος, b) τη
γωνία φάσης, c) την ολική ενέργεια της κίνησης. d) Να γράψετε
μια εξίσωση για τη θέση συναρτήσει του χρόνου.
13-13 Επαναλάβετε την άσκηση 13-12, αλλά θεωρήστε ότι στο
σώμα έχει δοθεί αρχικιj ταχύτητα -6,00 m/s και αρχική μετατόπι­
ml χ0 = +0,200 m.
13-14 Η κλίμακα μιας ζυγαριάς ελατηρίου με εύρος τιμών από
Ο ως 180 Ν έχει μιjκος 9,00 cm. Παρατηρούμε ότι ένα ψάρι που
κρέμεται από τη ζυγαριά ταλαντώνεται κατακόρυφα με συχνότητα
2,20 Hz. Πόση είναι η μάζα του ψαριού; Να αγν01jσετε τη μάζα
του ελατηρίου.
13-15 Ένα αντικείμενοταλαντώνεται με απλή αρμονική κίνηση
πλάτους 18,0 cm και συχνότητας 4,00 Hz. Να υπολογίσετε a) το μέ­
γιστο μέτρο της επιτάχυνσης και της ταχύτητας, b) την επιτάχυνση
και τηνταχύτητα όταν η θέση του σώματος είναιχ = +9,0 cm, c) τον
χρόνο που απαιτείται για να κινηθεί από τη θέση ισορροπίας απευ­
θείας σε ένα σημείο που απέχει 12,0 cm από αυτήν.
13-16 Σώμα με μάζα 1,50 kg κρέμεται από το άκρο ενός ελατη­
ρίου με αμελητέα μάζα καιτοτεντώνει κατά 0,200 m. a) Ποια είναι
η σταθερά ελατηρίου; b) Ποια είναι η περίοδος της ταλάντωσης
του σώματος αν τραβηχτεί προς τα κάτω και μετά αφεθεί ελεύθε­
ρο;
13-17 Σώμα με μάζα 5,00 kg κρέμεται από το άκρο ενός ελατη­
ρίου. Όταν μετατοπιστεί από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί ε­
λεύθερο, το σώμα ταλαντώνεται με περίοδο 0,400 s. Πόσο τεντώ­
νεται το ελατήριο όταν το σώμα και το ελατιjριο βρίσκονται σε ι­
σορροπία (είναι ακίνητα);
13-18 Σώμα με μάζα 4,00 kg είναι συνδεδεμένο με ένα ελατή­
ριο και ταλαντώνεται κατακόρυφα με απλή αρμονική κίνηση. Το
πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,250 m. Στο υψηλότερο σημείο της
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 375
κίνησης το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Να υπολογίσετε
την ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου (θεωρήστε την ότι
είναι μηδενική όταν αυτό έχει το φυσικό του μήκος), την κινητική
ενέργεια του σώματος, τη βαρυτική δυναμική ενέργεια ως προς το
χαμηλότερο σημείο της κίνησης, και το άθροισμα των τριών αυτών
ενεργειών όταν το σώμα βρίσκεται a) στο χαμηλότερο σημείο,
b) στη θέση ισορροπίαςτου, c) στο υψηλότερο σημείο.
13-19 Ένα ξυπνητήρι χτυπά τέσσερις φορές το δευτερόλεπτο,
και ο κάθε χτύπος αντιστοιχεί σε μισή περίοδο. Ο σφόνδυλοςτου
ρολογιού αποτελείται από ένα λεπτό στεφάνι με ακτίνα 0,65 cm
συνδεδεμένο με τον άξονατου σφονδύλου με λεπτές ακτίνες που έ­
χουν αμελητέα μάζα. Η ολική μάζα του σφονδύλου είναι 0,800 g.
a) Πόση είναι η ροπή αδράνειας του σφονδύλου γύρω από τον άξο­
νά του; b) Να βρείτε tll σταθερά στρέψης της τρίχας του ρολογιού.
13-20 Ο σφόνδυλος ενός ρολογιού ταλαντώνεται με γωνιακό
πλάτος π/4 rad και με περίοδο 0,500 s. a) Να βρείτε τη μέγιστη
γωνιακή του ταχύτητα. b) Να βρείτε τη γωνιακή του ταχύτητα ό­
ταν η μετατόπισή του είναι το μισό του γωνιακού πλάτους. c) Να
βρείτε tll γωνιακή του επιτάχυνση όταν η γωνιακή του μετατόπιση
είναι π/8 rad.
Εδάφιο 13-4
Ο κύκλος αναφοράς
13-21 Ένα αντικείμενο εκτελείαπλή αρμονική κίνηση με πε­
ρίοδο π/2 και πλάτοςΑ = 0,300 m. Τη χρονική στιγμή ι = Ο το α­
ντικείμενο βρίσκεται στη θέση χ = Ο. Πόσο μακριά θα βρεθεί αυ­
τό από τη θέση ισορροπίας του όταν ι = π/10 s;
13-22 Ένα αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πε­
ρίοδο Τ = 0,800 s και πλάτοςΑ. Αρχικά βρίσκεται στη θέσηχ = Ο
και έχει ταχύτητα στη θετική κατεύθυνση. Να χρησιμοποιήσετε
τονκύκλο αναφοράς για να υπολογίσετε τονχρόνο που απαιτείται
για να μετακινηθεί το αντικείμενο από τη θέση χ = Ο στη θέση
χ = Α/4.
Εδάφιο 13-5
Το απλό εκκρεμές
13-23 Να βρείτε το μήκος ενός απλού εκκρεμούςπου ολοκλη­
ρώνει 100 πλήρεις ταλαντώσεις σε 75,0 s σε μια περιοχή όπουg =
9,80 m/s'.
13-24 Απλό εκκρεμές με μήκος 4,00 m ταλαντώνεται με μέγι­
στη γωνιακή μετατόπιση 0,400 rad. a) Να υπολογίσετε τη γραμμι­
κιj ταχύτητα υ στο κατώτατο σημείο του εκκρεμούς. b) Να υπολο­
γίσετε τη γραμμική του επιτάχυνση α στα άκρα της διαδρομής του.
13-25 Ένα εκκρεμές στο φεγγάρι Κάποιο απλό εκκρε­
μές έχει περίοδο 1,20 s στη Γη. Πόση είναι η περίοδός του στην ε­
πιφάνεια της Σελήνης, όπουg = J,62 m!s';
Εδάφιο 13-6
Το φυσικό εκκρεμές
13-26 Ένα γαλλικό κλειδί με μάζα 1,50 kg κρέμεται από το έ­
να άκρο του και αφήνεται να ταλαντωθεί ως φυσικό εκκρεμές. Η
περίοδός του είναι 0,820 s, ενώ ο άξονας περιστροφής απέχει από
το κέντρο μάζας του 0,200 m. a) Πόση είναι η ροπή αδράνειας του
γαλλικού κλειδιού ως προς άξονα που συμπίπτει με τον άξονα πε­
ριστροφής του; b) Αν το γαλλικό κλειδί έχει μετατοπιστεί αρχικά
0,600 rad από τη θέση ισορροπίας, πόση είναι η γωνιακή του ταχύ­
τητα καθώς περνά από τη θέση ισορροπίας;
13-27 Ένα χριστουγεννιάτικο στολίδι που έχει σχήμα συμπα­
γούς σφαίρας με μάζα Μ = 0,015 kg και ακτίναR = 0,050 m είναι
κρεμασμένο από το κλαδί ενός δέντρου με ένα μικρό δαχτυλίδι α-

3. ΣΧΗΜΑ 13-29
πό σύρμα που είναι κολλημένο στην επιφάνεια της σφαίρας (Σχ.
13-29). Αν το στολίδι μετατοπιστείκατά μίαπολύ μικρή απόσταση
και αφεθεί ελεύθερο, θα αρχίσει να ταλαντώνεται μπρος-πίσω
σαν φυσικό εκκρεμές. Να υπολογίσετε την περίοδό του. (Να α­
γνοήσετε τηντριβή στον άξονα. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας
γύρω από το άκρο στο κλαδίτου δέντρου είναι 7 MR'/5.)
Εδάφιο 1 3-7
Αποσβενόμενες ταλαντώσεις
13-28 Μια μάζα0,200kg κινείται στοάκρο ελατηρίουτο οποίο
έχει σταθερά k = 320 N/m. Η αρχική της μετατόπιση είναι 0,300
m. Όταν ασκηθεί στη μάζα δύναμη απόσβεσης Fx = - bυ το πλά­
τος της κίνησης ελαττώνεται στα 0,100 m σε χρόνο 5,00 s. Να υπο­
λογίσετετην τιμή της σταθεράς απόσβεσης b.
Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
13-34 a) Σώμα κρεμασμένο από το άκρο ελατηρίου ταλαντώνε­
ται με απλή αρμονική κίνηση. Τη στιγμή που η μετατόπιση του σώ­
ματος είναι ίση με το μισό του πλάτους, τι ποσοστό της ολικής ε­
νέργειας του συστήματος είναι κινητική και τι ποσοστό είναι δυ­
ναμική; Να υποθέσετε ότι στη θέση ισορροπίας υ = Ο.b) Όταντο
σώμα είναι σε ισορροπία, το μήκος του ελατηρίου είναι μεγαλύτε­
ροκατάs από το φυσικότου μήκος. Να αποδείξετε ότι Τ = 2π--Js/g.
13-35 Απλή αρμονική κίνηση στη μηχανή αυτοκινή­
του Η κίνηση του εμβόλου στη μηχανή ενός αυτοκινήτου (Σχ.
13-30) είναι προσεγγιστικά απλή αρμονική. a) Αν η παλινδρομική
κίνηση σε μια μηχανή (δηλαδή το διπλάσιο του πλάτους) είναι
0,100 m και αν η μηχανή λειτουργεί με 2500 reν/min, να υπολογί­
σετε την επιτάχυνση του εμβόλου στο τέλος της παλινδρομικής κί­
νησης. b) Αν το έμβολο έχει μάζα 0,400 kg ποια συνισταμένη δύ­
ναμη πρέπει να ασκείται στο έμβολο σε αυτό το σημείο; c) Πόση
είναι η ταχύτητα του εμβόλου, σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο, στο
μέσο της παλινδρομικής κίνησης;
ΣΧΗΜΑ 13-30
376
τ0,100 m
1
13-29 Μάζα 0,400 kg κινείται στοάκρο ελατηρίου το οποίο έχει
σταθεράk = 300 N/m. Στη μάζα ασκείται δύναμη απόσβεσης Fx =
- bv. a) Αν η σταθερά b έχει την τιμή 6,00 kgls, με ποια συχνότητα
ταλαντώνεται η μάζα; b) Για ποια τιμή της σταθεράς b έχουμε
κρίσιμη απόσβεση;
Εδάφιο 13-9
Χάος: Μελέτη ενός ειδικού θέματος
στη δυναμική ανάλυση
13-30 a) Για αποσβενόμενη αρμονική κίνηση, να χρησιμοποιή­
σετε τις σχέσεις υ(t) = dx!dt και τη x(t) που δίνεται στην Εξ.
(13-39) γιανα υπολογίσετε την ταχύτηταυ(ι). b) Να υπολογίσετε
τη θέση χ και τηνταχύτηταυ για ι = Ο,π/2ω', π/ω', 3π/2ω', 2π/ω',
3π/ω' και 4π/ω'. Να καταχωρήσετε αυτά τα σημεία σε μια γραφική
παράσταση του χώρου των φάσεων, και να δείξετε ότι η γραφική
παράσταση έχει τη μορφή του Σχ. 13-23.
13-31 Να δείξετε ότι η δυναμική ενέργεια υ(χ) που δίνεται α­
πό την Εξ. (13-47) έχει δύο ελάχιστα, το έναστη θέσηχ = Οκαι το
άλλο στη θέσηχ = L.
13-32 Να αποδείξετε την Εξ. (13-48) ξεκινώντας από την Εξ.
(13-47). Να δείξετε ότιόταν χ < < L, η Εξ. (13-48) καταλήγει στη
σχέση F = - kx, και ότι για τιμές τουχ κοντά στο L, καταλήγει στη
σχέση F = - k(x - L).
13-33 Για τη δυναμική ενέργεια υ(χ) που δίνεται από την Εξ.
(13-47), να δείξετε ότι η θέση χ = L/2 είναι σημείο aσταθούς ι­
σορροπίας.
13-36 Τέσσερις επιβάτες με συνολική μάζα 350 kg μπαίνουνσε
ένα αυτοκίνητο με χαλασμένα αμορτισέρ και συμπιέζουν τα ελα­
τήριάτου κατά 5,00 cm. Αντο συνολικό βάροςπου ασκείται στα ε­
λατήρια είναι 1200 kg, να βρείτε την περίοδο με την οποία ταλα­
ντώνεται το φορτωμένο αυτοκίνητο.
13-37 Σώμα εκτελεί απλή αρμονική κίνηση επάνω σε οριζόντια
επιφάνεια χωρίς τριβές με πλάτος 0,100 m. Σε ένα σημείο 0,060 m
μακριά από τη θέση ισορροπίας η ταχύτητα του σώματος είναι
0,320 m/s. a) Πόση είναι η περίοδος; b) Πόση είναι η μετατόπιση
όταν η ταχύτητά του είναι 0,120 m/s; c) Ένα μικρό αντικείμενο με
μάζα πολύ μικρότερη από αυτήν του σώματος τοποθετείται επάνω
στο σώμα που ταλαντώνεται. Εάν το μικρό αντικείμενο είναι <<έ­
τοιμΟ>> να γλιστρήσει στο ακρότατο σημείο της διαδρομής, ποιος
είναι ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύτου μικρού αντικειμέ­
νου καιτου σώματος;
13-38 Σε ένα αντικείμενο με μάζα 0,200 kg ασκείται ελαστική
δύναμη επαναφοράς με σταθερά ελατηρίου k = 25,0 N/m. a) Να
κάνετε τη γραφική παράσταση της ελαστικής δυναμικής ενέργειας
υ συναρτήσει της μετατόπισηςχ για τιμές τουχ από -0,300 m ως
+0,300 m. Να βάλετε στον κατακόρυφο άξονα 1 cm = 0,1 J και
στον οριζόντιο άξονα 1 cm = 0,05 m. Το αντικείμενο ξεκινά την
ταλάντωση με αρχική δυναμική ενέργεια 0,500 J και με αρχική κι­
νητική ενέργεια 0,200 J. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις
αναφερόμενοι στη γραφική παράσταση. b) Πόσο είναι το πλάτος
της ταλάντωσης; c) Πόση είναι η δυναμική ενέργεια όταν η μετα­
τόπιση είναι ίση με το μισό του πλάτους; d) Σε ποια τιμή της μετα­
τόπισης είναι ίσες η κινητική και η δυναμική ενέργεια; e) Ποια εί­
ναι η γωνίαφάσης φ αν η αρχικήταχύτητα υ0 είναι αρνητική και η
αρχική μετατόπισηχ0είναι θετική;
13-39 Όπως αναφέραμε στο Κεφ. 1 1, ένα σύρμα μπορεί να τε­
ντωθεί αν ασκηθεί σε αυτό κάποια τάση εφελκυσμού. a) Να

4. συγκρίνετε τις Εξ. (13-1) και ( 11-12) για να διαμορφώσετε μια
έκφραση για τη σταθερά ελατηρίου k του σύρματος συναρτήσει
του μήκους 10, της επιφάνειας της διατομής Α και του μέτρου
Young Υ. b) Έναχάλκινο σύρμα έχει μήκος 2,00 m και διάμετρο
1,50 mm. Τι τιμή έχει η σταθερά ελατηρίου k αυτού του σύρματος;
13-40 Σώμα με μάζα 100 kg κρέμεται από το άκρο σύρματος,
του οποίουτο μήκος όταν δεν είναιτεντωμένο, 10, είναι 2,00 m. Το
σύρμα επιμηκύνεται κατά 4,00 χ 10-3 m. Η διατομή του σύρματος
που μπορεί να θεωρηθεί σταθερή είναι Ο,100 cm2 Εάν το σώμα
μετακινηθεί προς τα κάτωκατά μία μικρή πρόσθετη απόσταση και
αφεθεί ελεύθερο, να βρείτε τη συχνότητα με την οποία θα ταλα­
ντωθεί.
13-41 Μια σχεδία από καουτσούκ ανεβοκατεβαίνει λόγω των
κυμάτων σε μια λίμνη χάνοντας απλή αρμονική κίνηση. Το πλάτος
της ταλάντωσης είναι 0,600 m και η περίοδος είναι 3,50 s. Δίπλα
στη σχεδίαυπάρχει σταθερή αποβάθρα σε επίπεδο ίσο με το μέγι­
στο ύψος της σχεδίας. Οι άνθρωποι που θέλουν να aποβιβασθούν
από τη σχεδία στην αποβάθρα μπορούν να το επιτύχουν με άνεση
μόνο αν το επίπεδο της σχεδίας απέχει το πολύ 0,300 m από το ε­
πίπεδο της aποβάθρας. Πόσο χρόνο έχουν διαθέσιμο αυτοί που
θέλουν να aποβιβασθούν με άνεση σε κάθε περίοδο της απλής
αρμονικής κίνησης;
13-42 Σώμα με μάζα 0,0100 kg εκτελεί απλή αρμονική κίνηση
με πλάτος 0,240 m και περίοδο 3,00 s. Η συνιστώσα της μετατόπι­
σηςτου σώματος στον άξοναχ είναι +0,240 m όταν ι = Ο. Να υ­
πολογίσετε a) τη συνιστώσα της μετατόπισης του σώματος στον
άξοναχ όταν ι = 0,500 s, b) το μέτρο και την κατεύθυνση της δύ­
ναμης που ασκείται στο σώμα όταν ι = 0,500 s, c) τον ελάχιστο
χρόνοπου απαιτείται για να κινηθείτο σώμα από την αρχική θέση
στη θέm1 όπουχ = - 0,120 m, d) την ταχύτητατου σώματος όταν
χ = -0,120 m.
13-43 Σώμα με μάζα 0,100 kg είναι κρεμασμένο από μακρύ ε­
λατήριο. Όταν το σώμα μετακινηθεί 0,100 m κάτω από τη θέση ι­
σορροπίας του και αφεθεί ελεύθερο, ταλαντώνεται με περίοδο
1,80 s. a) Πόση είναι η ταχύτητάτου καθώςπερνά από τη θέση ι­
σορροπίας; b) Πόση είναι η επιτάχυνmj του όταν βρίσκεται 0,050
m επάνω από τη θέση ισορροπίας; c) Πόσοςχρόνος απαιτείται ό­
ταν κινείται προςτα πάνω για να διανύσει την απόσταση από ένα
σημείο 0,050 m κάτω από τη θέση ισορροπίας ως ένα σημείο 0,050
m επάνω από αυτήν; d) Η κίνηση του σώματος σταματά, και το
σώμα αποσυνδέεται από το ελατήριο. Πόσο κονταίνει το ελατή­
ριο;
13-44 Δύναμη 30,0 επιμηκύνει κατακόρυφο ελατήριο κατά
0,200 m. a) Πόση πρέπει να είναι η μάζα ενός σώματος που κρέ­
μεται από αυτό για να ταλαντωθεί με περίοδο π/4 s; b) Αν το
πλάτος της κίνησης είναι 0,050 m και η περίοδος είναι αυτ1j που
καθορίστηκε στο μέρος (a), σε ποια θέση βρίσκεται το σώμα και
σε ποια κατεύθυνση κινείται π/12 s αφού έχει περάσει τη θέση ι­
σορροπίας, κινούμενο προς τα κάτω; c) Πόση δύναμη (μέτρο
και κατεύθυνση) ασκεί το ελατήριο στο σώμα όταν αυτό βρίσκε­
ται 0,030 m κάτω από τη θέση ισορροπίας, κινούμενο προς τα ε­
πάνω;
13-45 Απλή αρμονική κίνηση στη ζυγαριά του κρεο­
πώλη Ένα ελατήριο με σταθερά k = 400 N/m είναι κρεμασμένο
κατακόρυφα· ένας δίσκος ζυγαριάς με μάζα 0,200 kg είναι συνδε­
δεμένος με το κάτω άκρο του. Ο κρεοπώλης ρίχνει στη ζυγαριά
μια μπριζόλα με μάζα 1,8 kg από ύψος 0,40 m. Η μιτριζόλα χάνει
μιαεντελώςανελαστική κρούση με τη ζυγαριάκαι προκαλεί κατα­
κόρυφη αρμονική ταλάντωση του συστtjματος. a) Πόση είναι η τα­
χύτητα του δίσκου μαζί με τη μπριζόλα αμέσως μετά την κρούση;
b) Πόσο είναι το πλάτος της κίνησης που επακολουθεί; c) Πόση
είναιη περίοδος της κίνησης;
ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 377
13-46 Ταξίδι στο κέντρο της Γης (συνέχεια) Ένα πο­
λύ ενδιαφέρον, αλλά καθόλου πρακτικό παράδειγμα απλής αρμο­
νιχtjς κίνησης είναι εκείνη ενός αντικειμένου το οποίο αφήνεται
να πέσει σε μια τρύπα που αρχίζει από τη μία πλευρά της Γης,
περνάαπότο κέντρο της, και βγαίνει στην άλλη πλευρά. Να απο­
δείξετε ότι η κίνηση είναι απλή αρμονιχ1j και να βρείτε την περίο­
δό της. [Σημείωση: Η βαρυτιχή δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα
σαν συνάρτηση της απόστασής του ι· από το κέντρο της Γης προέ­
κυψε από την ανάλυση του Εδ. 1 2-7 και το αποτέλεσμα δίνεται
στην Εξ. (12-31). Η κίνηση είναι απλή αρμονική εάν η σχέση με­
ταξύ της επιτάχυνm1ς α και της μετατόπισης από τη θέση ισορρο­
πίας χ δίνεται από την Εξ. (13-15). Τότε η περίοδος της κίνησης
είναι τ = 2π/ω].
13-47 Σώμα με μάζα 5,00 kg είναι ακουμπισμένο στο πάτωμα,
και πάνω του είναι τοποθετημένο ένα άλλο σώμα με μάζα 0,50 kg.
Το μεγαλύτερο σώμα είναι συνδεδεμένο με ένα οριζόντιο ελατή­
ριο με σταθερά 15,0 N/m· μετατοπίζεται και εκτελεί απλή αρμονι­
κή κίνηση. Πόσο είναι το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης που μπορεί
να χάνειτο σώμα των 5,00 kg έτσι ώστε το μικρότερο σώμα να πα­
ραμείνει ακίνητο ως προς το μεγαλύτερο; Ο συντελεστής στατικής
τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων είναι 0,25. Δεν υπάρχει τριβή με­
ταξύ του μεγαλύτερου σώματος καιτου πατώματος.
13-48 Θεωρήστε τον κύκλο αναφοράς του Σχ. 13-13. a) Η ορι­
ζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του σημείου Q είναι η ταχύτητα
του σημείου Ρ. Να υπολογίσετε αυτή τη συνιστώσα και να δείξετε
ότι η ταχύτητα του Ρ είναι αυτή που δίνεται από την Εξ. (13-21).
b) Η οριζόντια συνιστώσα της επιτάχυνσης του σημείου Q είναι η
επιτάχυνση του σημείου Ρ. Να υπολογίσετε αυηj τη συνιστώσα και
να δείξετε ότι η επιτάχυνση του Ρ είναι αυηj που δίνεται από την
Εξ. (13-22).
13-49 Για να μετρήσει μια φοιτήτρια το g με ανορθόδοξο τρό­
πο, τοποθετεί τη μπίλια ενός ρουλεμάν στην κοίλη πλευρά ενός ο­
πτικού φακού (Σχ. 13-3 1). Τοποθετείτον φακό πάνω σε έναν α­
πλό αρμονικό ταλαντωτή (στην πραγματικότητα ένα μικρό ηχείο
στερεοφωνικού) του οποίου το πλάτος είναι Α ενώ η συχνότητά
τουf μπορεί να μεταβάλλεται. Έχει τη δυνατότητα να μετρtjσει το
Α και τηνfμε στροβοσκοπική πηγή φωτός. a) Αν το ρουλεμάν έ­
χει μάζα n1, να βρείτε την κάθετη δύναμη που ασκείται από τον
φακό στο ρουλεμάν συναρτήσει του χρόνου. Να εκφράσετε το α­
ποτέλεσμά σας με τη βοήθεια των μεγεθών Α, J, rn, g και της γω­
νίας φάσης φ. b) Η συχνότητα αρχίζει να αυξάνεται σιγά-σιγά.
Όταν φτάσει σε μία τιμήΛ, το ρουλεμάν ακούγεται να αναπηδά.
Πόσο είναι τοg συναρτήσειτωνΑ καιΛ;
ΣΧΗΜΑ 13-31
13-50 Σώμα με μάζα rn1 είναι συνδεδεμένο με οριζόντιο ελατή­
ριο το οποίο έχει σταθερά k και κινείται με απλή αρμονική κίνηση
πλάτους Α. Τη στιγμή που το σώμα περνά από τη θέση ισορρο­
πίας, ρίχνουμε από πολύ μικρό ύψος ένα κομμάτι στόχο με μάζα
rn2 που, κολλάει πάνω στο σώμα. a) Να βρείτε τη νέα περίοδο και
το νέο πλάτος των ταλαντώσεων. b) Χάθηκε μηχανική ενέργεια;
Αν ναι, τι απέγινε; Να υπολογίσετε τονλόγοτης τελικής προς την
αρχική μηχανική ενέργεια. c) Πώς διαμορφώνονται οι απαντή­
σεις του μέρους (a) εάν ο στόχος πέσει στο σώμα όταν αυτό βρί­
σκεται σε ένα από τα ακραία σημεία της διαδρομής;

5. 378 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΣΧΗΜΑ 13-32
1 3-5 1 Συμπαγής κύλινδρος με μάζα Μ και ακτίνα R ισορροπεί
πάνω στην οριζόντια επιφάνεια ενός τραπεζιού (Σχ. 13-32). Ένα
ελατήριο με σταθερά k έχει το ένα άκρο του συνδεδεμένο με ένα
στήριγμα δεξιά. Το άλλο άκρο του είναι συνδεδεμένο με τον κε­
ντρικόάξονατου κυλίνδρου γύρω απότον οποίο ο κύλινδρος μπο­
ρεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές. (το ελατήριο συνδέεται μέσα
από μια λεπτή σχισμή που έχει ανοιχτεί στον κύλινδρο, έτσι ώστε
να μην παρεμποδίζεται η περιστροφή του κυλίνδρου γύρω από τον
άξονά του). Ο κύλινδρος μετακινείται προς τα αριστερά σε από­
στασηχ, με αποτέλεσμα να επιμηκυνθείτο ελατήριο, και αφήνεται
ελεύθερος. Υπάρχει αρκετή τριβή μεταξύ της επιφάνειας του τρα­
πεζιού και του κυλίνδρου ώστε να μπορεί ο κύλινδρος να κυλά χω­
ρίς να γλιστράει καθώς κινείται μπρος-πίσω με το άκρο του ελατη­
ρίου. Να δείξετε ότι το κέντρο μάζας του κυλίνδρου εκτελεί απλή
αρμονική κίνηση και να υπολογίσετε την περίοδο συναρτήσει της
μάζας Μ και της σταθεράς ελατηρίου k. [Υπόδειξη: Η κίνηση είναι
απλή αρμονική εάν η σχέση μεταξύ της επιτάχυνσης α και της με­
τατόπισηςχ δίνεται απότην Εξ. (13-15)· τότε η περίοδος είναι Τ=2π/ω. Να εφαρμόσετε τις εξισώσεις Σ τ =Ι,mα και Σ F = Μα,m
στον κύλινδρο για να συσχετίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μά­
ζας του κυλίνδρου α,m με τη μετατόπιση χ του κυλίνδρου από τη
θέση ισορροπίας του.]
1 3-52 Μια λεπτή και ομοιόμορφη μεταλλική ράβδος με μάζα Μ
μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα που περνά
από τοκέντροτης και είναι κάθετος σε αυτήν. Ένα ελατήριο σε ο­
ριζόντια διεύθυνση, με σταθερά k, έχει συνδεδεμένο το ένα άκρο
του με το κάτω άκρο της ράβδου, ενώ το άλλο άκρο του είναι συν­
δεδεμένο σε σταθερό στήριγμα. Αν η ράβδος μετατοπιστεί κατά
μια μικρή γωνία θ από την κατακόρυφο (Σχ. 13-33) και αφεθεί ε­
λεύθερη, να δείξετε ότι εκτελεί γωνιακή απλή αρμονική κίνηση
και να βρείτε την περίοδό της. (Υπόδειξη: Ναυποθέσετε ότι η γω­
νία θ είναιτόσο μικρή ώστε να ισχύουν οι προσεγγίσεις sin θ '"" θ
και cos θ '"" 1. Η κίνηση είναι απλή αρμονική όταν d2θ/dt2 =-ω2θ.
Τότε η περίοδος είναι Τ=2π/ω.)
1 3-53 Το πρόβλημα της καμπάνας που «χτυπά σιω­
πηλά��. Μια μεγάλη καμπάνα είναι κρεμασμένη από ξύλινο δο­
κάρι με τέτοιον τρόπο ώστε να μπορεί να κουνιέται μπρος-πίσω
με αμελητέες τριβές. Το κέντρο μάζας της καμπάνας βρίσκεται
0,60 m κάτω απότον άξονα περιστροφής και η μάζατης είναι 34,0
kg. Η ροπή αδράνειας της καμπάνας ως προς τον άξονα περιστρο-
ΣΧΗΜΑ 13-33
φής είναι 1 8,0 kg · m2• Το γλωσσίδι είναι μια μικρή μάζα 1,8 kg
κολλημένη στο κάτω άκρο λεπτής ράβδου με μήκος L και αμελη­
τέα μάζα. Το άλλο άκρο της ράβδου είναι κρεμασμένο από.το ε­
σωτερικό της καμπάνας και μπορεί να ταλαντώνεται ελεύθερα πε­
ρίτον ίδιο άξοναόπως η καμπάνα (Σχ. 13-34). Πόσο πρέπει να εί­
ναι το μήκος L αυτής της ράβδου ώστε η καμπάνα να <<χτυπά σιω­
πηλά», δηλαδή η καμπάνα και το γλωσσίδι να έχουν την ίδια πε­
ρίοδο;
ΣΧΗΜΑ 13-34
13-54 Να δείξετε ότι η x(t) όπως δίνεται στην Εξ. ( 13-39) είναι
λύση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για αποσβενόμενες ταλα­
ντώσεις (Εξ. 13-38) εάν η γωνιακή συχνότητα ω' ορίζεται από την
Εξ. ( 13-40).
1 3-55 Το εκκρεμές των τριών δευτερολέπτων Θέλετε
να κατασκευάσετε ένα εκκρεμές με περίοδο 3,00 s. a) Πόσο είναι
το μήκος ενός απλού εκκρεμούς που έχει αυτή την περίοδο; b)
Υποθέστε ότι το εκκρεμές πρέπει να τοποθετηθεί σε μια βάση που
δεν ξεπερνά το ύψος των 0,50 m. Μπορείτε να επινοήσετε ένα εκ­
κρεμές με περίοδο 3,00 s που να ικανοποιεί αυτό τον περιορισμό;
* 13-56 Ένας συμπαγής δίσκος με ακτίνα R = 1 6,0 cm ταλαντώ­
νεται ως φυσικό εκκρεμές περί οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επί­
πεδοτου δίσκου σε απόσταση r από το κέντρο τόυ (Σχ. 13-35). a)
Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης (για μικρές γωνίες)
γιατις παρακάτωτιμέςτου r: R/4, R/2, 3R/4, R και 3R/2. (Υπόδειξη:
Να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα των παράλληλων αξόνωντου Εδ.
9-6.) b) Έστω Τ0 η περίοδος των ταλαντώσεων όταν r =R και Τη περίοδος για οποιαδήποτε άλλη τιμή του r. Να παραστήσετε
γραφικά τον αδιάστατο λόγο ΤΠ0 συναρτήσειτου αδιάστατου λό­
γου r/R. (Σημειώστε ότιη γραφική παράσταση στην περίπτωση αυ­
τή περιγράφει τη συμπεριφορά οποιουδήποτε συμπαγούς δίσκου,
όποια και να είναι η ακτίνα του.) c) Να βρείτε την τιμή του r/R
που ελαχιστοποιεί την περίοδο, και να υπολογίσετε την ελάχιστη
τιμή της περιόδου.
•
ΣΧΗΜΑ 13-35

6. Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
13-57 a) Ποια είναι η μεταβολή ΔΤτης περιόδου απλού εκκρε­
μούς όταν η επιτάχυνση της βαρύτητας g μεταβληθεί κατά Δg;
[Υπόδειξη: Η νέα περίοδος Τ + ΔΤ προκύπτει με την αντικατά­
σταση τουg με τοg + Δg:
Για να βρείτε την προσεγγιστική έκφραση, να αναπτύξετε τον πα­
ράγοντα (g + Δg)·'n, χρησιμοποιώντας το διωνυμικό θεώρημα
(Παράρτημα Β) και κρατώντας μόνο τους δύο πρώτους όρους:
(g + Δg)-ιn = g-ιn _ � g·'n Δg + ... .
Οι άλλοι όροι περιέχουν υψηλότερες δυνάμεις του Δg και είναι
πολύ μικροί εάν το Δg είναι μικρό.] b) Να βρείτε την ποσοστιαία
μεταβολή ΔΤ/Τστην περίοδο συναρτήσειτηςποσοστιαίας μεταβο­
λής Δg/g. c) Ένα ρολόι με εκκρεμές, που δίνει σωστή ώρα σε ένα
σημείο όπου g = 9,800 m/s', χάνει 10 s τη μέρα σε κάποιο μεγαλύ­
τερο υψόμετρο. Να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα του μέρους
(b) για να βρείτε προσεγγιστική τηντιμήτουg στη νέα αυτή θέση.
13-58 Η ενεργός σταθερά ελατηρίου για δύο ελατή­
ρια Δύο ελατήρια που έχουν το ίδιο μήκος όταν δεν είναιτεντω­
μένα, αλλά διαφορετικές σταθερές k1 και k2 είναι συνδεδεμένα με
σώμα μάζαςm που ισορροπείπάνω σε μία επίπεδη επιφάνεια χω­
ρίς τριβές. Να υπολογίσετε την ενεργό σταθερά ελατηρίου kerrγια
κάθε μια από τις τρεις περιπτώσεις (a), (b) και (c) που φαίνονται
στο Σχ. 13-36. (Η ενεργός σταθερά ελατηρίου ορίζεται από τη
σχέση Σ F = -kerrx). d) Ένα σώμα με μάζαm κρέμεται από το ά­
κρο ενός ελατηρίου με σταθερά k και ταλαντώνεται με συχνότητα
[1• Εάν κοπεί το ελατήριο στη μέση και κρεμαστείτο ίδιο σώμα α­
πό το άκρο του ενός από τα δύο κομμένα ελατήρια, η συχνότητα
είναιf2• Ποιος είναι ο λόγοςΝf1;
(a)
(b)
(c)
ΣΧΗΜΑ 13-36
13-59 Δύο ελατήρια που έχουν το ίδιο μήκος 0,200 m όταν δεν
είναιτεντωμένα, αλλάδιαφορετικές σταθερές k1 και k2, είναι συν­
δεδεμένα με τα αντίθετα άκρα ενός σώματος με μάζαm που ισορ-
ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 379
ροπεί πάνω σε οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβές. Τα εξωτερικά
άκρα των ελατηρίων είναι συνδεδεμένα σε δύο καρφίτσες Ρ1 και
Ρ2 , που απέχουν 0,100 m απότις αρχικές θέσεις των άκρων των ε­
λατηρίων. Έστω:
k1 = 1,00 N/m, k2 = 3,00 N/m,
m = 0,100 kg,
(βλ. Σχ. 13-37). Να βρείτε το μήκος του κάθε ελατηρίου όταν το
σώμα βρεθεί στη θέση ισορροπίας του αφού συνδεθούν τα ελατή­
ρια με τις καρφίτσες. b) Να βρείτε την περίοδο ταλάντωσης του
σώματος εάν αυτό μετατοπιστεί από τη νέα θέση ισορροπίας του
και μετά αφεθεί ελεύθερο.
0,1 m
ΣΧΗΜΑ 13-37
0,2 m 0,2 m 0,1 m
1 3-60 Ελατήριο με μη αμελητέα μάζα Σε όλα τα προη­
γούμενα προβλήματα αυτού του κεφαλαίου είχαμε υποθέσει ότι
τα ελατήρια είχαν αμελητέα μάζα. Όμως δεν υπάρχει ελατήριο
χωρίς καθόλου μάζα. Για να βρείτε την επίδραση της μάζαςτου ε­
λατηρίου, θεωρήστε ότι έχετε ένα ελατήριο με μάζα Μ, μήκος ι­
σορροπίας L0 και σταθερά k. Όταν αυτό τεντωθεί ή συμπιεστεί σε
μήκος L, η δυναμική του ενέργεια είναι i kx2, όπου χ = L - L0•
a) Θεωρήστε ένα ελατήριο όπως αυτό που περιγράψαμε· το ένα
άκρο του είναι στερεωμένο, ενώ το άλλο κινείται με ταχύτητα υ.
Υποθέστε ότι η ταχύτητα των σημείων κατά μήκος του ελατηρίου
μεταβάλλεται γραμμικά με την απόσταση ι από το στερεωμένο ση­
μείο. Υποθέστε επίσης ότι η μάζα Μ του ελατηρίου είναι ομοιό­
μορφα κατανεμημένη κατά μήκοςτου ελατηρίου. Να υπολογίσετε
την κινητική ενέργεια του ελατηρίου συναρτήσει των Μ και υ.
(Υπόδειξη: Διαιρέστετο ελατήριο σε κομμάτια με μήκος & βρείτε
την ταχύτητα του κάθε κομματιού συναρτήσει των μεγεθών I, υ
και L· βρείτε τη μάζα του κάθε κομματιού συναρτήσει των μεγε­
θών dl, Μ και L και ολοκληρώστε από Ο ως L. Το αποτέλεσμα δεν
είναι � Μυ', εφόσον ολόκληρο το ελατήριο δεν κινείται με την ίδια
ταχύτητα). b) Να πάρετε τη χρονική παράγωγο της εξίσωσης για
τη διατήρηση της ενέργειας, Εξ. (13---ό), για μια μάζα m που κινεί­
ται στο άκρο ενός ελατηρίουμε αμελητέα μάζα. Συγκρίνοντας τα
αποτελέσματά σας με την Εξ. (13-15), η οποία ορίζει το ω, να δεί­
ξετε ότι η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης είναι ω = νk/m
c) Να εφαρμόσετε τη διαδικασία του μέρους (b) για να βρείτε τη
γωνιακή συχνότητα ω με την οποία ταλαντώνεται το ελατήριο του
μέρους (a). �άνη ενεργόςμάζα Μ' του ελατηρίου ορίζεται από τη
σχέση ω = k!M' , πώς σχετίζεται η Μ' με τη Μ;
13-61 Ένας χάρακας κρέμεται από οριζόντιο άξονα στο ένα ά­
κρο του και ταλαντώνεται σαν φυσικό εκκρεμές. Ένα αντικείμενο
με μικρές διαστάσεις και με μάζα ίση με αυτήντου χάρακα μπορεί
να στερεωθεί σε αυτόν σε απόστασηy κάτω απότον άξονα. Έστω
ότι Τ είναι η περίοδος του συστήματος όταν το αντικείμενο είναι
στερεωμένο στον χάρακα και ότι Τ0είναι η περίοδος του χάρακα
μόνου του. a) Να βρείτε τον λόγο ΤΠ0 και να υπολογίσετε τις τι­
μές του γιαy μεταξύ Ο και 1,0 m σε βήματα του 0,1 m, και να κάνε­
τε μια πρόχειρη γραφική παράσταση του λόγου τιτο συναρτήσει
του y. b) Υπάρχει κάποιατιμήτουy γιατην οποία Τ = Τ0; Εάν υ­
πάρχει, να τη βρείτε και να εξηγήσετε τον λόγο για τον οποίο η
περίοδος είναι αμετάβλητη όταν η απόστασηy έχει αυτή την τιμή.