Physics problems for exercise Προβλήματα Φυσικής για την Γ΄ Λυκείου

1. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
207
Μηχανικά Κύµατα
∆ιεύθυνση διάδοσης του κύµατος
Έστω το αρµονικό κύµα y=A·ηµ(ωt+kx). Έστω ακόµη ότι τη χρονική στιγµή t το
αρµονικό κύµα φτάνει στο σηµείο x. Τότε η φάση του σηµείου αυτού είναι φ=0 (φ0=0).
Μετά από χρονικό διάστηµα ∆t η φάση στο σηµείο x γίνεται διάφορη από το µηδέν,
ενώ το κύµα έχει φτάσει στο σηµείο x+∆x, όπου η φάση αυτού του σηµείου είναι τώρα
µηδέν. Η φάση είναι γενικά φ= ωt+kx. Ισχύει λοιπόν, τη χρονική στιγµή
t: ωt+kx=0 και τη χρονική στιγµή,
t+∆t: ω(t+∆t)+k(x+∆x)=0. Αν αφαιρέσουµε τις δυο σχέσεις κατά µέλη προκύπτει
ω∆t+k∆x=0⇒υ=
∆x
∆t
=-
ω
k
=-
λ
T
<0. Άρα έχουµε ένα κύµα που διαδίδεται προς τον
αρνητικό ηµιάξονα –x.
Αν πάλι το αρµονικό κύµα έχει εξίσωση y=A·ηµ(ωt-kx), τότε αν τη χρονική στιγµή t το
αρµονικό κύµα φτάνει στο σηµείο x, τότε η φάση του σηµείου αυτού είναι φ=0. Μετά
από χρονικό διάστηµα ∆t το κύµα έχει φτάσει στο σηµείο x+∆x, όπου η φάση αυτού
του σηµείου είναι τώρα µηδέν. Η φάση είναι γενικά φ= ωt-kx. Ισχύει λοιπόν
τη χρονική στιγµή,
t: ωt-kx=0 και τη χρονική στιγµή
t+∆t: ω(t+∆t)-k(x+∆x)=0. Αν αφαιρέσουµε τις δυο σχέσεις κατά µέλη προκύπτει
ω∆t-k∆x=0⇒υ=
∆x
∆t
=
ω
k
=
λ
T
>0. Άρα τότε έχουµε ένα κύµα που διαδίδεται προς το
θετικό ηµιάξονα +x.
Παρατηρούµε πως αν οι συντελεστές των x και t είναι ετερόσηµοι, τότε η ταχύτητα του
αρµονικού κύµατος είναι θετική, δηλαδή το κύµα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του
άξονα των x. Το αντίθετο συµβαίνει, όταν οι συντελεστές των x και t είναι οµόσηµοι.
51. Α) Να σχεδιάσετε τα στιγµιότυπα του κύµατος:
y=0,2ηµ2π(
4
t
-x) (S.I)
τις χρονικές στιγµές:
α) t=11 s, β) t=8,5 s, και γ) t=2,5 s.
Β) Να σχεδιάσετε τα στιγµιότυπα του κύµατος:
y=2ηµ2π(
6
t
-
2
x
+
4
3
) (S.I)
τις χρονικές στιγµές:

2. 208 KYMATA
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
α) t=6 s, β) t=0 s, και γ) t=12,5 s.
Γ) Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος:
y=5⋅10-2
ηµ2π(10t-x+
12
1
) (S.I)
τη χρονική στιγµή t=0,5 s.
52. Στιγµιότυπο κύµατος (ΙΙ)
Να σχεδιάσετε τα στιγµιότυπα του κύµατος:
y=0,2·ηµ2π(
t
6
-
x
2
) (S.I)
τις χρονικές στιγµές:
α) t=6 s,
β) t=3 s,
γ) t=4,5 s,
δ) t=7 s,
ε) t=2,5 s,
στ) t=4 s,
ζ) t=5,5 s.
η) t=8 s.
53. Αρµονικό κύµα (I)
Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται το
στιγµιότυπο τη χρονική στιγµή t΄=0,3s
αρµονικού κύµατος πλάτους Α=10cm, και
περιόδου Τ=0,4s, που διαδίδεται στην
αντίθετη κατεύθυνση από αυτήν του
ηµιάξονα Οx µε ταχύτητα υ=10m/s.
α) Προσδιορίστε το σηµείο Κ της ευθείας
x’x που αρχίζει να ταλαντεύεται τη
χρονική στιγµή t=0.
β) Να γράψετε την εξίσωση της
αποµάκρυνσης µε το χρόνο του
σηµείου 0, y(0)=f(t), και να την παραστήσετε γραφικά.
γ) Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος και να παραστήσετε γραφικά την
αποµάκρυνση του σηµείου Μ µε xM=-3m.
y
XX΄
Λ
Α
-Α
Ο
υ
t = s΄ 0,3

3. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
209
δ) Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t΄΄=0,5s.
54. Αρµονικό κύµα (II)
Αρµονικό κύµα διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα xox΄ µε σταθερή
ταχύτητα υ=10m/s.
Τη χρονική στιγµή t=0 το κύµα βρίσκεται στη θέση xM=-0,15m. Η πηγή (Ο) του
κύµατος βρίσκεται στη θέση x0=+0,1m. Το πλάτος ταλάντωσης της πηγής είναι Α=5cm
και η περίοδός της είναι T=0,02s. Τότε:
α) Ποια είναι η εξίσωση του κύµατος δεδοµένου πως όταν είχε ξεκινήσει η ταλάντωση
της πηγής η φάση της ήταν 0 rad;
β) Σε πόσο χρόνο ∆t το κύµα διήνυσε την απόσταση (ΟΜ);
γ) Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t=0.
δ) Να σχεδιάσετε τη φάση του σηµείου Μ µε το χρόνο t.
ε) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης του κύµατος σε συνάρτηση µε την
απόσταση x από τη πηγή τη χρονική στιγµή t=0 και τη χρονική στιγµή t=T=0,02s.
στ) Για το σηµείο Μ να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης σε
συνάρτηση µε το χρόνο.
ζ) Αν τη χρονική στιγµή t=0, η πηγή (Ο), αρχίζει να αποµακρύνεται από το σηµείο (Μ)
µε ταχύτητα v=10m/s, τότε να βρεθεί η καινούργια εξίσωση του κύµατος.
55. Στιγµιότυπο κύµατος (ΙΙΙ)
Η πηγή Ο (x=0), µιας διαταραχής
πραγµατοποιεί α.α.τ µε εξίσωση
y=0,2⋅ηµ10πt. Το κύµα διαδίδεται
προς το +x µε ταχύτητα διάδοσης
υ=10m/s. Τη χρονική στιγµή t=0,2s
το πλάτος της ταλάντωσης της
πηγής γίνεται Α΄=
A
2
=0,1m. Τότε:
α) να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο
του κύµατος τη χρονική στιγµή
t1=0,4s,
β) να σχεδιάσετε την αποµάκρυνση
ενός σηµείου Σ του µέσου που
απέχει απόσταση x=4m από την
πηγή Ο σε συνάρτηση µε το χρόνο,
0
0,1
-0,1
0,2
-0,2
λλ/4 5λ/4
υ
2λ
Γ
B
y(m)
x(m)

4. 210 KYMATA
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
γ) Αν δυο σηµεία Β και Γ απέχουν από την πηγή Ο απόσταση xB=5λ/4 και xΓ=λ/4, τότε
να υπολογίσετε,
i) τη διαφορά φάσης ∆φΓΒ των δυο σηµείων την ίδια χρονική στιγµή εφόσον έχει
φτάσει σε αυτά η διαταραχή,
ii) το λόγο των ταχυτήτων ταλάντωσης Γ
B
v
v
τη χρονική στιγµή t1=5T/4 και τη χρονική
στιγµή t2=7T/4.
δ) Για µια τυχαία χρονική στιγµή t µε 5T/4≤t≤2T, να υπολογίσετε την απόσταση d
µεταξύ των δυο σηµείων Β και Γ. Πόση γίνεται η απόσταση αυτή τη χρονική στιγµή
t=2T;
ε) Κάποια χρονική στιγµή που τη θεωρούµε πλέον αρχή των χρόνων (t=0) και ενώ η
πηγή ταλαντώνεται µε εξίσωση y=Α΄⋅ηµ10πt το πλάτος της Α΄ αρχίζει να µειώνεται
εκθετικά µε το χρόνο σύµφωνα µε τη σχέση Α΄=0,1⋅e-2t
, τότε να σχεδιάσετε το
στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t=T=0,2s. ∆ίνεται e-0,1
=0,9.
56. Αρµονικό κύµα (ΙΙΙ)
Ένα αρµονικό κύµα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα xox΄ και
περιγράφεται από την εξίσωση y=2·ηµ2π(
t
6
-
x
2
+ 0φ
2π
) (S.I).
α) Αν για t=0 η πηγή Ο µε x=0, βρίσκεται στο y=0 και έχει ταχύτητα ταλάντωσης v>0
ποια είναι η αρχική φάση του κύµατος (φάση της πηγής τη χρονική στιγµή t=0);
β) Αν όµως για t=0 το κύµα ξεκινώντας από την αρχή Ο (x=0) έχει φτάσει στο σηµείο
Μ που βρίσκεται στη θέση x=+1m, τότε να βρείτε ποια είναι η αρχική φάση φ0 του
κύµατος και να γράψετε την εξίσωσή του, δεδοµένου ότι τη στιγµή που φτάνει το κύµα
στο σηµείο Μ, τότε το εξαναγκάζει να κινηθεί κατακόρυφα προς τα κάτω (v<0).
Για πόσο χρόνο ταλαντώνεται τότε η πηγή;
γ) Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t0=0 και τη χρονική
στιγµή t1=
Τ
2
s.
δ) Πόσο έχει µεταβληθεί η φάση της πηγής Ο από τη χρονική στιγµή t0=0 µέχρι τη
χρονική στιγµή t1=
Τ
2
;
ε) Αν για t=0 η πηγή Ο µε x=0, ξεκινά να ταλαντώνεται, µε ταχύτητα ταλάντωσης v<0,
τότε ποια είναι η αρχική φάση του κύµατος; Να γράψετε την καινούργια εξίσωση του
κύµατος και να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t=3,5 s.

5. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
211
∆ιάδοση κύµατος
Η διαφορική εξίσωση του κύµατος ή απλή κυµατική εξίσωση είναι
2
2
y
x
∂
∂
- 2
1
υ
·
2
2
y
t
∂
∂
=0.
Μια λύση της παραπάνω κυµατικής εξίσωσης έχει τη µορφή y(x,t)=f(x-υt), όπου f είναι
µια τυχαία διπλά παραγωγίσιµη συνάρτηση της µεταβλητής (x-υt).
Η εξίσωση y(x,t)=f(x-υt), είναι η γενική εξίσωση που παριστάνει ένα κύµα
οποιουδήποτε σχήµατος που κινείται προς τον θετικό ηµιάξονα +x.
Τη µορφή της διαταραχής, δηλαδή τη χωρική µεταβολή του κύµατος, µπορούµε να τη
«δούµε», αν φωτογραφήσουµε το κύµα σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Αυτό σηµαίνει
ότι θα πρέπει να δώσουµε µια συγκεκριµένη τιµή π.χ t= t1 στο χρόνο, οπότε έχουµε το
στιγµιότυπο του κύµατος που είναι µια συνάρτηση µόνο του x, για τη δεδοµένη χρονική
στιγµή δηλαδή τη συνάρτηση f(x)= y(x,t1).
Η γραφική παράσταση (διάγραµµα) της f(x) τη δεδοµένη χρονική στιγµή (έστω t1),
ονοµάζεται στιγµιότυπο του κύµατος και έχει ένα ορισµένο σχήµα πάνω στη χορδή.
Tότε η f(x-υt) περιγράφει τη διάδοση αυτού το συγκεκριµένου σχήµατος µε
ταχύτητα υ κατά τη θετική διεύθυνση x (υ>0).
1. Έστω ότι η εξίσωση που περιγράφει το σχήµα – µορφή της διαταραχής τη
χρονική στιγµή t=t1=0 είναι η y(x,0)=2-x2
.
Τότε η κυµατική συνάρτηση που περιγράφει τη διάδοση της διαταραχής (εξίσωση
του κύµατος) καθώς αυτή διαδίδεται µε υ>0 είναι η y(x,t)=f(x-υt) και αν η ταχύτητα
διάδοσης του κύµατος είναι π.χ υ=2m/s είναι y(x,t)=f(x-2t).
Για να γράψουµε λοιπόν την αντίστοιχη έκφραση του κύµατος αντικαθιστούµε το x µε
x-υt (υ>0) και έχουµε την εξίσωση του κύµατος y(x,t)=2-(x-2t)2
.
Αν τώρα θέλουµε το
στιγµιότυπο του κύµατος τη
χρονική στιγµή
• t=0 s έχουµε:
y(x,0)=2-x2
και η γραφική
παράσταση για τον +y είναι

6. 212 KYMATA
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
η συνεχής καµπύλη του διπλανού σχήµατος.
Για τη χρονική στιγµή
• t= 2 s έχουµε:
y(x, 2 )=2-(x-2 2 )2
και η γραφική παράσταση για τον +y είναι η πρώτη
διακεκοµµένη καµπύλη του σχήµατος.
Για τη χρονική στιγµή
• t=2 2 s έχουµε:
y(x, 2 2 )=2-(x-4 2 )2
και η γραφική παράσταση για τον +y είναι η δεύτερη
διακεκοµµένη καµπύλη του σχήµατος.
Άρα η εξίσωση y(x,t)=2-(x-2t)2
είναι η εξίσωση ενός διαδιδόµενου κύµατος µε
ταχύτητα υ=2m/s κατά τη θετική κατεύθυνση x.
2. Έστω ότι η εξίσωση που περιγράφει το στιγµιότυπο ενός κύµατος, δηλαδή τη
µορφή- σχήµα της διαταραχής (χωρική µεταβολή του κύµατος) τη χρονική στιγµή
t1=7s είναι η:
y(x,t1)= y(x,7) =-0,2ηµ(πx-
7π
3
) ή
y=-0,2ηµ(πx-
7π
3
) που παριστάνεται όπως
φαίνεται στο σχήµα και έστω ότι αυτή η
διαταραχή διαδίδεται κατά µήκος της
χορδής (+x), µε υ=
1
3
m/s>0 . Τότε για να
βρούµε την εξίσωση του κύµατος δηλαδή
το πώς διαδίδεται το συγκεκριµένο σχήµα
στο χρόνο θα πρέπει να αντικαταστήσουµε
όπου x το x-υ∆t=x-υ(t-t1)=x-
t-7
3
. Έτσι έχουµε: y(x,t)= -0,2ηµ(π(x-
t-7
3
)-
7π
3
)⇔
y(x,t)=-0,2ηµ(πx-
πt
3
+
7π
3
-
7π
3
) ⇔
⇔ y(x,t)= -0,2ηµ(πx-
πt
3
)⇔ y(x,t)= 0,2ηµ(
πt
3
-πx)⇔ y(x,t)= 0,2ηµ2π(
t x
6 2
− ).
Παρακάτω φαίνεται το σχήµα του κύµατος τη χρονική στιγµή t=7s και µια επόµενη
χρονική στιγµή t+∆t.
t= s7
y
x

7. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
213
t= s7
y
x
t= + t7
y
x
Βέβαια δεν ξέρω αν υπάρχει φυσικό σύστηµα που να περιγράφεται µε αυτή τη
διαταραχή, γιατί δεν ξέρω αν υπάρχει φυσικό σύστηµα που να πραγµατοποιεί α.α.τ.
Από τη σχέση y(x,t)= 0,2ηµ2π(
t x
6 2
− ) για x=0 έχουµε την αρµονική ταλάντωση
y(0,t)= 0,2ηµ(
π
t
3
) από όπου φαίνεται ότι για t=0 είναι y=0 και v=
π
15
συν(
π
t
3
)⇔
⇔v=vmax=
π
15
m/s, δηλαδή η ταχύτητα γίνεται ακαριαία µέγιστη. Όµως άπειρη
επιτάχυνση δεν υπάρχει άρα η υλοποίηση της παραπάνω διαταραχής είναι αδύνατη.
57. ∆ιαφορά φάσης και στιγµιότυπο κύµατος.
Σηµείο Μ του ελαστικού µέσου διάδοσης ενός κύµατος βρίσκεται στη θέση xM και
ταλαντώνεται µε συχνότητα f=2Hz. Το Μ, έχει διαφορά φάσης κατά 2π rad µικρότερη
από την «πηγή» (εφόσον το κύµα έχει «φτάσει» ήδη στο Μ).
Α) Πόση πρέπει να γίνει η συχνότητα της πηγής ώστε η διαφορά φάσης του Μ µε την
«πηγή» Ο να γίνει:
i) 4π rad και
ii) π rad;

8. 214 KYMATA
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
Β) Να σχεδιάσετε τα στιγµιότυπα του κύµατος τη χρονική στιγµή t=1 s για
i) ∆φ=2π rad
ii) ∆φ=4π rad και
iii) ∆φ=π rad;
∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος υ=2m/s.
58. Στιγµιότυπο κύµατος
1.Έστω η εξίσωση «κύµατος» y=Aηµ2π(
t x 1
- +
T λ 2
). Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του
κύµατος αυτού τη χρονική στιγµή t=T και για x≥0. Το x=0 το ονοµάζουµε «πηγή» ή
αρχή του κύµατος. Στην πραγµατικότητα η παραπάνω εξίσωση περιγράφει ένα
µονοχρωµατικό κύµα και ισχύει µε την προϋπόθεση ότι -∞≤x≤∞ και ότι δεν υπάρχει
πηγή αλλά ούτε κάποια χρονική στιγµή t0 που «ξεκινά» το κύµα γιατί τότε παύει και η
µονοχρωµατικότητά του άρα δεν ισχύει η εξίσωση.
2.Έστω η εξίσωση «κύµατος» y=Aηµ2π(
t x 3
- +
T λ 2
).
Αν η ταλάντωση της «πηγής» είχε ξεκινήσει πριν τη χρονική στιγµή t=0 και έστω πως
όταν ξεκίνησε η ταλάντωση της «πηγής» η «πηγή» είχε φάση α) π rad και β) 0 rad.
Τότε για πόσο χρόνο ταλαντώνονταν η πηγή πριν τη χρονική στιγµή t=0 σε κάθε
περίπτωση;
Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος αυτού τη χρονική στιγµή t=T και για x≥0.
Το x=0 το ονοµάζουµε «πηγή» του κύµατος.
59. Φορά διάδοσης κύµατος
Ένα αρµονικό κύµα διαδίδεται στον άξονα
x΄x µε σταθερή ταχύτητα υ=10m/s. Αν τη
χρονική στιγµή t=0 το στιγµιότυπο του
κύµατος είναι αυτό του διπλανού σχήµατος
και η φάση του σηµείου K εκείνη τη
στιγµή είναι:
i) φΚ=π rad και ii) φΚ=2π rad, τότε σε κάθε
περίπτωση:
α) να βρεθεί η φορά διάδοσης του κύµατος
β) να βρεθεί η εξίσωση του κύµατος
γ) να σχεδιαστεί το στιγµιότυπο του
Ο Κ1
y(m)
x(m)
5 10
-2

9. ΤΟ ∆++
κύµατος τη χρονική στιγµή
60. Φορά διάδοσης κύµατος
Στο σχήµα έχουµε ένα τµήµα
στιγµή t1. Το κύµα διαδίδεται
χρονική στιγµή t1 η φάση
του σηµείου K είναι
φΚ=5π rad τότε:
α) να βρεθεί η φορά
διάδοσης του κύµατος
β) να βρεθεί η εξίσωση
του κύµατος, αν το
σηµείο Λ αρχίζει να
ταλαντώνεται τη χρονική
στιγµή t=0, ενώ το κύµα
εκτείνεται στο
υπερπέραν
γ) να σχεδιαστεί το
στιγµιότυπο του κύµατος τη
61. Σχοινί απλώµατος ρούχων
Έστω ότι το παιδί του σχήµατος
(το σχήµα είναι από το βιβλίο
των Hugh D. Young σελ.542)
παίζει µε το σχοινί
απλώµατος των ρούχων. Κρατά
το ένα άκρο τεντωµένο και
κινεί πάνω κάτω ηµιτονοειδώς
µε συχνότητα ω. Θεωρούµε
το κύµα δεν ανακλάται στην
άλλη άκρη και ζητάµε
µελετήσουµε την κίνηση
κάνει το µανταλάκι µάζας
πάνω σε αυτό. Τι είδους
ενέργεια έχει το µανταλάκι
κατά τη διάρκεια της κίνησής
του;
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
στιγµή t=
1
30
s.
κύµατος_2
τµήµα ενός στιγµιότυπου ενός αρµονικού κύµατος
διαδίδεται στον άξονα x΄x µε σταθερή ταχύτητα υ
κύµατος τη χρονική στιγµή t1.
απλώµατος ρούχων και µανταλάκι
σχήµατος
το βιβλίο
σελ.542)
σχοινί του
ρούχων. Κρατά
τεντωµένο και το
ηµιτονοειδώς
Θεωρούµε ότι
ανακλάται στην
ζητάµε να
κίνηση που
µάζας m,
Τι είδους
µανταλάκι
της κίνησής
Ο Κ
Λ
0,5
y(m)
t1
0,1
215
κύµατος τη χρονική
ταχύτητα υ=10m/s. Αν τη
x(m)

10. 216 KYMATA
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
62. Συµβολή και σύγχρονες πηγές
Αν η εξίσωση συµβολής για ένα σηµείο Μ ενισχυτικής συµβολής που βρίσκεται πάνω
στην ευθεία που ενώνει δυο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 είναι:
yΜ = 0,2ηµ(5πt-
2π
3
) (S.I) και τα κύµατα διαδίδονται µε ταχύτητα υ=7,5m/s τότε:
α. Να υπολογίσετε την απόσταση d, των δυο πηγών, αν αυτή έχει τη µικρότερη δυνατή
τιµή της.
β. Να βρείτε τη θέση του σηµείου Μ και να σχεδιάσετε την εικόνα συµβολής.
γ. Να παραστήσετε γραφικά µε το χρόνο t το πλάτος της ταλάντωσης του σηµείου Μ.
δ. Να σχεδιάσετε την αποµάκρυνση του σηµείου Μ από τη θέση ισορροπίας του σε
συνάρτηση µε το χρόνο, έως τη χρονική στιγµή t=14/15 s.
ε. Να σχεδιάσετε σε κοινό σύστηµα συντεταγµένων τα στιγµιότυπα των κυµάτων που
παράγονται από τις πηγές Π1 και Π2 τη στιγµή που τα κύµατα φτάνουν στο σηµείο Μ.
63. Σύµφωνες πηγές
Με κατάλληλο τρόπο δηµιουργούµε στην επιφάνεια υγρού δυο σύµφωνες πηγές
κυµάτων Π1 και Π2 που βρίσκονται µεταξύ τους σε απόσταση d=4m.
Κάποια χρονική στιγµή που τη θεωρούµε σαν αρχή των χρόνων οι πηγές αρχίζουν να
ταλαντώνονται παράγοντας εγκάρσια κύµατα που διαδίδονται στην επιφάνεια του
υγρού. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τα δύο κύµατα είναι αντίστοιχα:
y1=0,03⋅ηµ(πt-
2
π
x) και y2=0,03⋅ηµ(πt-
2
π
x+π) (S.I). Σε σηµείο Α, της επιφάνειας του
υγρού που απέχει από τις πηγές αντίστοιχα αποστάσεις r1=8m και r2=12m τοποθετείται
φελλός µάζας m=1g. Τότε:
α) Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων στην επιφάνεια του υγρού.
β) Να γίνει η γραφική παράσταση της ταλάντωσης του φελλού σε συνάρτηση µε το
χρόνο και για τις χρονικές στιγµές 0<t<6s, και να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης
του φελλού µετά τη συµβολή των δυο κυµάτων.
γ) Να βρείτε πόσα σηµεία πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει τις δυο πηγές
ταλαντώνονται µε µέγιστο πλάτος.

11. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
217
Η εξίσωση συµβολής σαν αποτέλεσµα σύνθεσης δυο ταλαντώσεων
1. ΣΥΜΒΟΛΗ
Για την ταλάντωση του σηµείου Σ,
εξαιτίας του κύµατος που «φτάνει» από
την πηγή Π1 έχουµε,
y1=Aηµ2π(
t
T
- 1r
λ
)=Αηµ(ωt- 12πr
λ
)⇒
y1= Αηµ(ωt-φ1) µε φ1= 12πr
λ
και t≥ 1r
υ
.
Παρόµοια για την ταλάντωση του σηµείου Σ, εξαιτίας του κύµατος που «φτάνει» από
την πηγή Π2 έχουµε:
y2=Aηµ2π(
t
T
- 2r
λ
)=Αηµ(ωt- 22πr
λ
)⇒ y2= Αηµ(ωt-φ2) µε φ2= 22πr
λ
και t≥ 2r
υ
.
Έστω r2>r1 τότε και φ2>φ1.
Άρα το σηµείο Σ όταν φτάσουν τα δυο κύµατα πραγµατοποιεί δυο ταλαντώσεις,
y1= Αηµ(ωt-φ1) και y2= Αηµ(ωt-φ2), µε την ίδια συχνότητα γύρω από την ίδια θέση
ισορροπίας και στον ίδιο άξονα y΄y, µε ∆φ=φ=φ2-φ1=2π 2 1r -r
λ
. Τότε το αποτέλεσµα της
σύνθεσης των δυο ταλαντώσεων είναι µια α.α.τ µε γενική εξίσωση y=A΄⋅ηµ(ωt±θ).
Από το διανυσµατικό διάγραµµα έχουµε:
Α΄= 2 2
1 1 1 2A +A +2A A συνφ µε
Α1=Α2=Α. Τότε:
Α΄= 2 2
2A +2A συνφ =Α 2(1+συνφ) .
Όµως συν2α=2συν2
α-1⇒
⇒1+ συν2α=2συν2
α , άρα
1+συνφ=2συν2 φ
2
. Τελικά έχουµε:
Α΄= Α 2(1+συνφ) =2Ασυν
φ
2
⇒
⇒ Α΄=2Ασυν (π 2 1r -r
λ
).
Ακόµη από το σχήµα είναι θ΄=
φ
2
= π 2 1r -r
λ
και θ=φ1+θ΄= 12πr
λ
+π 2 1r -r
λ
⇒ θ=
π
λ
(r1+r2).
Α 2
1Α
Α΄
1φ
Χ
Ο
y
2
2
1
1
Σ
Π
r
r
Π

12. 218 KYMATA
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
Τελικά y=A΄⋅ηµ(ωt-θ)⇒
⇒ y=2Ασυν (π 2 1r -r
λ
)⋅ηµ2π(
t
T
-
θ
2π
)⇒
⇒ y=2Ασυν (π 2 1r -r
λ
)⋅ηµ2π(
t
T
- 1 2r r
2λ
+
)
που είναι η εξίσωση συµβολής.
2. ΣΤΑΣΙΜΟ «ΚΥΜΑ»
Έστω ότι η εξίσωση του αρµονικού κύµατος y1 που διαδίδεται κατά µήκος χορδής
(άξονας x΄x) είναι y1=Aηµ2π(
t
T
-
x
λ
) και του δεύτερου κύµατος y2 που συµβάλλει µε το
πρώτο και παράγει τη ταλάντωση της χορδής είναι, y2= Aηµ2π(
t
T
+
x
λ
). Τότε για την
ταλάντωση ενός σηµείου της χορδής στην οποία διαδίδονται τα δυο κύµατα και
εξαιτίας του κύµατος y1 σε απόσταση x από την αρχή O έχουµε, y1=Αηµ(ωt-
2πx
λ
)⇒
⇒y1= Αηµ(ωt-φ1) µε φ1=
2πx
λ
.
Παρόµοια, για την ταλάντωση του ίδιου σηµείου εξαιτίας του κύµατος y2 έχουµε,
y2= Aηµ2π(
t
T
+
x
λ
)=Αηµ(ωt+
2πx
λ
)⇒ y2= Αηµ(ωt+φ2) µε φ2=φ1=
2πx
λ
.
Άρα το σηµείο x όταν φτάσουν τα δυο κύµατα πραγµατοποιεί δυο ταλαντώσεις
y1= Αηµ(ωt-φ1) και y2= Αηµ(ωt-φ2) µε την ίδια συχνότητα γύρω από την ίδια θέση
ισορροπίας και στον ίδιο άξονα y΄y µε ∆φ=φ=φ2+φ1=2φ1. Τότε το αποτέλεσµα της
σύνθεσης των δυο ταλαντώσεων είναι µια α.α.τ µε γενική εξίσωση y=A΄⋅ηµ(ωt±θ).
Από το διανυσµατικό διάγραµµα
προκύπτει: Α΄= 2 2
1 1 1 2A +A +2A A συνφ µε
Α1=Α2=Α και φ=2φ1.
Τότε:
Α΄= 2 2
2A +2A συνφ =Α 2(1+συνφ) .
Όµως:
συν2α=2συν2
α-1⇒1+ συν2α=2συν2
α,
Άρα 1+συνφ=2συν2 φ
2
. Τελικά έχουµε:
Α΄= Α 2(1+συνφ) =2Ασυν
φ
2
= 2Ασυνφ1 ή
Α 2
1Α
Α΄ Χ
Ο
y

13. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
219
Α΄=2Ασυνφ1=2Ασυν
2πx
λ
. Ακόµη είναι θ=0, άρα έχουµε y=A΄⋅ηµ(ωt±θ)⇒
⇒ y=A΄⋅ηµ(ωt)⇒ y=2Ασυν
2πx
λ
⋅ηµ(
2πt
T
) που είναι η εξίσωση του στάσιµου
«κύµατος».
64. Συµβολή
∆ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2
απέχουν µεταξύ τους απόσταση d=1,5m και
εκτελούν απλή αρµονική ταλάντωση στην
επιφάνεια υγρού µε εξίσωση
y=2·10-2
ηµ(40πt) (S.I).
Τα εγκάρσια κύµατα που δηµιουργούνται
στην επιφάνεια του υγρού διαδίδονται µε
ταχύτητα υ=10m/s και φτάνουν στο υλικό
σηµείο Μ που απέχει από τις πηγές Π1 και Π2
αποστάσεις r1=2m και r2=1m, αντίστοιχα.
Τότε:
α) Τη χρονική στιγµή t=
19
80
s να γίνει η
γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης y(s)
για όλα τα σηµεία της υπερβολής στην οποία
ανήκει το Μ και που βρίσκονται µεταξύ των
Μ και Μ΄. Μ΄ είναι το σηµείο στο οποίο
τέµνει η υπερβολή στην οποία ανήκει το Μ το ευθύγραµµο τµήµα Π1Π2.
β) Αν η αµέσως προηγούµενη υπερβολή µε το ίδιο πλάτος ταλάντωσης τέµνει το Π1Π2
στο σηµείο Ν΄, τότε να γίνει η γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης y(s) για όλα τα
σηµεία του Π1Π2 που βρίσκονται µεταξύ των Ν΄ και Μ΄ και για τη χρονική στιγµή
t=
19
80
s.
Π
κ=0 κ=1
κ=2
1 2Π
Μ
Μ΄Ν΄

14. 220 KYMATA
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
65. Συµβολή (ΙΙ)
∆υο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στην ήρεµη επιφάνεια υγρού και
πραγµατοποιούν α.α.τ µε εξισώσεις y=0,2ηµ4πt (S.I), δηµιουργώντας εγκάρσια κύµατα
που διαδίδονται στην επιφάνεια του. Σ’ ένα σηµείο Μ της επιφάνειας του υγρού
συµβάλλουν τα δυο κύµατα. Αν το
σηµείο Μ βρίσκεται πάνω στην
υπερβολή ενισχυτικής συµβολής,
που περιγράφεται από την εξίσωση
2 2
x y
- =1
4 5
(x,y είναι οι
συντεταγµένες του σηµείου Μ (m)
ως προς το ορθογώνιο σύστηµα
συντεταγµένων µε αρχή το µέσο Ο
του ευθυγράµµου τµήµατος Π1Π2)
τότε:
α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα
διάδοσης των κυµάτων θεωρώντας
ότι το Μ βρίσκεται στη δεύτερη
υπερβολή ενισχυτικής συµβολής
µετρώντας από το Ο, καθώς και την
απόσταση d των δύο πηγών.
β) Να υπολογίσετε τον αριθµό των
σηµείων του ευθυγράµµου τµήµατος Π1Π2 που έχουν πλάτος ταλάντωσης |Α΄|=0,2 3
m.
γ) Να γράψετε την εξίσωση της υπερβολής στην οποία ανήκει το πιο κοντινό σηµείο
στο σηµείο Ο του ευθυγράµµου τµήµατος Π1Π2 που ταλαντώνεται µε πλάτος |Α΄|=0,2
3 m και βρίσκεται στον άξονα +x.
δ) Αν η φάση της ταλάντωσης κάποιων σηµείων του µέσου διάδοσης την ίδια χρονική
στιγµή διαφέρει από τη φάση των πηγών κατά ∆φ=4π rad, τότε να βρείτε την εξίσωση
της κλειστής καµπύλης (γεωµετρικός τόπος) που ορίζουν τα παραπάνω υλικά σηµεία
και να τη σχεδιάσετε.
ε) Για ποιες τιµές της ∆φ τα σηµεία του µέσου διάδοσης βρίσκονται πάνω σε µια
κλειστή καµπύλη όπως η προηγούµενη;
Π
r
x
r
O
κ=0 κ=2
1
1
2
2Π
Μ
Μ΄

15. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
221
στ) Πόσα σηµεία της υπερβολής
2 2
x y
- =1
4 5
εµφανίζουν την ίδια χρονική στιγµή
διαφορά φάσης ∆φ=4π rad, µε τη φάση των πηγών; Ποια είναι αυτά και πόσο απέχουν
από τις πηγές;
ζ) Τι ισχύει για το πλάτος ταλάντωσης των σηµείων που είναι πολύ κοντά στο Π1 ή Π2
και τι ισχύει για το πλάτος ταλάντωσης των σηµείων που βρίσκονται επάνω στην
ευθεία Π1Π2 και εκτός του ευθυγράµµου τµήµατος Π1Π2;
66. Συµβολή κυµάτων µε διαφορετικά πλάτη
∆υο σύµφωνες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού και
εκτελούν ταλαντώσεις µε εξισώσεις y1=2·10-2
ηµπt και y2=10-2
·ηµ(πt+
π
4
) (S.I).
Τα κύµατα διαδίδονται µε ταχύτητα υ=2m/s. Ένα υλικό σηµείο Μ βρίσκεται στην
επιφάνεια του υγρού και απέχει από τις πηγές αποστάσεις r1=1m και r2=
5
m
6
αντίστοιχα.
i)Να γράψετε τις εξισώσεις ταλάντωσης του σηµείου Μ, εξαιτίας του κάθε κύµατος
χωριστά καθώς και την εξίσωση ταλάντωσης του Μ µετά τη συµβολή των δύο
κυµάτων.
ii) Να υπολογίσετε την αποµάκρυνση του σηµείου Μ τη χρονική στιγµή t=1s.
67*. Συµβολή κυµάτων µε διαφορετικά πλάτη
∆υο σύµφωνες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού και
εκτελούν ταλαντώσεις µε εξισώσεις y1=2·10-2
ηµπt και y2=10-2
·ηµ(πt+
π
2
) (S.I).
Τα κύµατα διαδίδονται µε ταχύτητα υ=2m/s. Ένα υλικό σηµείο Μ βρίσκεται στην
επιφάνεια του υγρού και απέχει από τις πηγές αποστάσεις r1=2m και r2=1m αντίστοιχα.
i)Να γράψετε τις εξισώσεις ταλάντωσης του σηµείου Μ, εξαιτίας του κάθε κύµατος
χωριστά καθώς και την εξίσωση ταλάντωσης του Μ µετά τη συµβολή των δύο
κυµάτων.
ii) Να υπολογίσετε την αποµάκρυνση του σηµείου Μ τη χρονική στιγµή t=
23
6
s.

16. 222 KYMATA
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
68. Συµβολή τριών κυµάτων
Στην επιφάνεια ενός ελαστικού µέσου υπάρχουν τρεις πηγές Π1, Π2, Π3 που εκτελούν
αρµονικές ταλαντώσεις. Σε κάποιο σηµείο Κ του
ελαστικού µέσου συµβάλουν τα τρία κύµατα και
η ταλάντωση που πραγµατοποιεί το Κ εξαιτίας
του κάθε κύµατος ξεχωριστά είναι αντίστοιχα
y1 = 0,6ηµ(ωt+
4
3
π
),
y2 = 0,6ηµ(ωt+
5
2
π
) και
y3 = 0,6 3 ηµ(ωt+
5
6
π
)
(y1, y2, y3 σε m). Τότε να γράψετε την εξίσωση
ταλάντωσης του Κ µετά τη συµβολή των τριών
κυµάτων και να υπολογίσετε την αποµάκρυνση
από την θέση ισορροπίας του σηµείου Κ την
χρονική στιγµή t=0.
69. Συµβολή κυµάτων (A 3 )
∆υο σύγχρονες πηγές παραγωγής κυµάτων Π1 και Π2 που βρίσκονται στην επιφάνεια
υγρού και απέχουν απόσταση d=6m, εκπέµπουν αρµονικά κύµατα πλάτους Α και
µήκους κύµατος λ=3m.
i) Να βρείτε το πλήθος των σηµείων του Π1Π2 που ταλαντώνονται µε πλάτος Α 3 και
να σχεδιάσετε τις αντίστοιχες υπερβολές µεταξύ των Π1 και Π2.
ii) Να βρείτε την ελάχιστη οριζόντια απόσταση ανάµεσα σε ένα σηµείο του
ευθυγράµµου τµήµατος Π1Π2 που ταλαντώνεται µε πλάτος Α 3 και
α) ενός σηµείου ενισχυτικής συµβολής
β) ενός σηµείου αποσβεστικής συµβολής.
iii) Με ποιο πλάτος ταλαντώνονται τα σηµεία της ευθείας Π1Π2 που βρίσκονται εκτός
του ευθυγράµµου τµήµατος Π1Π2;

17. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
223
70. Συµβολή κυµάτων
∆ύο σύγχρονες σηµειακές πηγές Π1 και Π2
δηµιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια
κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα υ = 5
m/s.
Τη χρονική στιγµή t=1,4s εµφανίζονται οι
ΜΜ΄ και ΝΝ΄ που είναι οι δυο πρώτες
υπερβολές ενισχυτικής συµβολής µετά τη
µεσοκάθετο του Π1Π2.
Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη
χρονική στιγµή t = 0 και εκτελούν
ταλαντώσεις της µορφής y = Α·ηµωt .
α) Αν η χρονική διάρκεια εµφάνισης
(σχηµατισµού) της ΜΜ΄ είναι 0,6s και η
χρονική διάρκεια σχηµατισµού της ΝΝ΄ είναι
0,4s τότε να βρείτε τις αποστάσεις r1 και r2
του σηµείου Μ καθώς και τις αποστάσεις r1΄
και r2΄ του σηµείου Ν από τις πηγές Π1 και
Π2, αντίστοιχα.
β) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης των Μ και Ν µετά τη συµβολή των κυµάτων.
γ) Να γράψετε τις εξισώσεις των υπερβολών στις οποίες ανήκουν τα Μ και Ν
θεωρώντας ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων (xoy) µε αρχή το Ο και άξονα xx΄ που
ταυτίζεται µε την ευθεία Π1Π2.
δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση του πλάτους ταλάντωσης των Μ και Ν σε
συνάρτηση µε τον χρόνο, για t ≥ 0.
71. Ένα στάσιµο κύµα
Ένα στάσιµο κύµα περιγράφεται από την εξίσωση: y=0,4συν
5
πx
ηµ20πt (S.I),
Α. α. Να γράψετε τις εξισώσεις των δυο κυµάτων που συµβάλλουν για να
δηµιουργήσουν το στάσιµο κύµα,
β. Πόσο απέχουν δυο διαδοχικοί δεσµοί;
γ. Τι ταχύτητα ταλάντωσης και τι επιτάχυνση έχει τη χρονική στιγµή t=1/60s ένα
σηµείο του µέσου που απέχει οριζόντια απόσταση x=1,25m από τη θέση x=0;
δ. Με τι ταχύτητα διαδίδονται τα κύµατα που δηµιουργούν το στάσιµο;
Π O1 2Π
Μ
Μ΄
Ν
Ν΄

18. 224 KYMATA
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
Β. Να σχεδιάσετε τα στιγµιότυπα του στάσιµου κύµατος στις χρονικές στιγµές t1=T/4
και t2=3T/2, t3=7T/6. Τι είδους ενέργεια έχουν τα µόρια της χορδής που ταλαντώνεται
τη χρονική στιγµή t3;
Γ. α. Μεταξύ ποιών τιµών κυµαίνεται η απόσταση ενός δεσµού του στάσιµου κύµατος
από µια γειτονική του κοιλία;
β. Πόσο διαφέρουν οι φάσεις δυο σηµείων Α και Β της χορδής που απέχουν µεταξύ
τους απόσταση ∆x=5m;
γ. Αν το στάσιµο κύµα που δηµιουργείται στη χορδή έχει τρεις δεσµούς, τότε να βρείτε
το µήκος της χορδής, και τη θέση των δεσµών αυτών.
δ. Αν η συχνότητα των κυµάτων γίνει f΄=4 Hz θα έχουµε στάσιµο κύµα της ίδιας
µορφής στη συγκεκριµένη χορδή;
ε. Αν η συχνότητα των κυµάτων γίνει f΄=14Ηz, τότε πόσοι δεσµοί θα σχηµατιστούν;
72. Στάσιµο κύµα (ΙΙ)
1. Η εξίσωση y=A⋅ηµωt µπορεί να είναι εξίσωση στάσιµου κύµατος. (Σ)
2. Σε ένα στάσιµο «κύµα» έχουµε άπειρα πλάτη ταλάντωσης όσα δηλαδή και τα σηµεία
της χορδής στην οποία δηµιουργείται το στάσιµο κύµα (Σ)
3. Τα µήκη κύµατος αλλά και οι συχνότητες σ’ ένα στάσιµο κύµα που δηµιουργείται σε
χορδή δεδοµένου µήκους είναι κβαντισµένα µεγέθη. (Σ).
4. Να βρείτε τη µικρότερη απόσταση εκατέρωθεν ενός δεσµού ενός στάσιµου κύµατος
στην οποία υπάρχουν σηµεία, που το πλάτος της ταλάντωσής τους είναι ίσο µε το
πλάτος των συµβαλλόντων κυµάτων που δηµιούργησαν το στάσιµο κύµα (φ0=0).
5. Αν οι εξισώσεις των δυο κυµάτων που µε τη συµβολή τους δηµιουργούν το στάσιµο
κύµα είναι y1=Α⋅ηµ2π(
t
T
-
x
λ
) και y2=Α⋅ηµ2π(
t
T
+
x
λ
+
3
4
) τότε να βρεθεί η εξίσωση του
στάσιµου κύµατος.
73. Στάσιµο κύµα και κινητική ενέργεια χορδής
Σε γραµµικό οµογενές ελαστικό µέσο, µεγάλου µήκους διαδίδονται δυο αρµονικά
κύµατα, τα οποία δηµιουργούν στάσιµο κύµα και περιγράφονται από τις εξισώσεις
y1=0,4⋅ηµ2π(5t-
x
2
) και y2=0,4⋅ηµ2π(5t+
x
2
+
3
4
).
α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιµου κύµατος που σχηµατίζεται µετά τη
συµβολή των κυµάτων. Θεωρούµε ότι το στάσιµο κύµα δηµιουργήθηκε τη χρονική
στιγµή t0=0.

19. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
225
β) Να βρείτε τις θέσεις των δεσµών και των κοιλιών του στάσιµου κύµατος, από
την αρχή Ο (x0=0), του συστήµατος συντεταγµένων. Ποια είναι η απόσταση µεταξύ
δυο διαδοχικών δεσµών ή κοιλιών του στάσιµου κύµατος;
γ) Για ένα σηµείο Μ του ελαστικού µέσου που έχει πλάτος ταλάντωσης 0,4 3 m,
να βρείτε τη µικρότερή του απόσταση από την αρχή Ο, και να κάνετε τη γραφική
παράσταση της αποµάκρυνσής του, της ταχύτητας ταλάντωσής του καθώς και του
πλάτους του σε συνάρτηση µε το χρόνο t.
δ) Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του στάσιµου κύµατος τη χρονική στιγµή t=
3
20
s και
για την περιοχή -2≤x≤3m του ελαστικού µέσου διάδοσης.
ε) Να γίνει η γραφική παράσταση του πλάτους |Α΄| του στάσιµου κύµατος σε
συνάρτηση µε το x και για -2≤x≤3m.
στ) Αν η µάζα της χορδής από -2 έως και 3m (L=5m) είναι Μ=0,2Kg τότε να
υπολογίσετε την κινητική ενέργεια της χορδής τη χρονική στιγµή t=
1
40
s.
74. Στάσιµο κύµα. x=0 κοιλία ή δεσµός;
Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου, το οποίο εκτείνεται κατά τη
διεύθυνση x΄x, δηµιουργείται στάσιµο κύµα. Oι εξισώσεις των δυο τρεχόντων
κυµάτων που µε τη συµβολή τους δηµιούργησαν το στάσιµο κύµα είναι,
y1=A ηµ2π( 0φt x
-
T λ 2π
+ ) και y2= A ηµ2π(
t x
T λ
+ ). Ποια είναι τότε η µικρότερη κατά
απόλυτη τιµή αρχική φάση φ0, ώστε µετά τη συµβολή των δυο κυµάτων κατά
µήκος της χορδής το σηµείο x=0 να έχει πλάτος:
i) 2Α, δηλαδή να είναι κοιλία του στάσιµου κύµατος
ii) 0, δηλαδή να είναι δεσµός του στάσιµου κύµατος
iii) Α;
75. Στάσιµο κύµα και διάγραµµα φάσης
Κατά µήκος οµογενούς οριζόντιας χορδής έχει σχηµατιστεί στάσιµο κύµα. Παρακάτω
φαίνεται το στιγµιότυπο του κύµατος κάποια χρονική στιγµή t που η κινητική ενέργεια
της χορδής είναι µηδενική. Τα σηµεία Α και Β της χορδής είναι δεσµοί και απέχουν
µεταξύ τους απόσταση L.

20. 226
A
x=-L/2
Η αρχή των αξόνων(Ο) βρίσκεται
βρίσκεται τη χρονική στιγµή
φορά. Ο χρόνος που µεσολαβεί
δυναµικής ενέργειας της χορδής
κοιλίες µε διαφορά φάσης 0
βρίσκεται στη θέση x=+
2L
15
Να γίνει το διάγραµµα της φάσης
τους x τη χρονική στιγµή t=
76. Στάσιµο κύµα χωρίς δεσµούς
Ένα τρέχον κύµα παράγεται
µιας τεντωµένης χορδής πεπερασµένου
µήκους από πηγή που ταλαντώνεται
συχνότητα f=5Hz . Το
παράγεται κινείται µε
υ=0,2m/s και προσπίπτει πάνω
εµπόδιο οπότε ανακλάται
Θεωρούµε ότι η ανάκλαση γίνεται
µεταβολή της φάσης. Τα δυο
µετά την ανάκλαση κινούνται
αντίθετες διευθύνσεις και έχουν
Α2=10cm (ανακλώµενο κύµα
(παρόλο που τα πλάτη είναι άνισα
α) Να γράψετε την εξίσωση
β) Να βρείτε µεταξύ ποιων
στάσιµου κύµατος και να σχεδιάσετε
KYMATA
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
x=+L/2
y(m)
00
) βρίσκεται στο µέσο της απόστασης ΑΒ και το
στιγµή t=0 στη θέση ισορροπίας του κινούµενο κατά
µεσολαβεί ανάµεσα σε δυο διαδοχικές µεγιστοποιήσεις
της χορδής είναι 0,25 s. Η µικρότερη απόσταση ανάµεσα
φάσης 0 rad είναι 2m. Το πλάτος ταλάντωσης ενός σηµείου
2L
15
είναι ΑΜ=0,1 m.
της φάσης φ των σηµείων της χορδής σε συνάρτηση
=
1
8
s και τη χρονική στιγµή t=1s.
χωρίς δεσµούς
παράγεται κατά µήκος
χορδής πεπερασµένου
ταλαντώνεται µε
Το κύµα που
µε ταχύτητα
προσπίπτει πάνω σ’ ένα
ανακλάται µερικώς.
άκλαση γίνεται χωρίς
Τα δυο κύµατα
κινούνται σε
και έχουν διαφορετικά πλάτη Α1=30cm (προσπίπτων
ανακλώµενο κύµα). Μετά τη συµβολή τους παράγεται στάσιµο
είναι άνισα). Τότε:
εξίσωση του στάσιµου κύµατος που παράγεται.
ποιων τιµών Αmax και Αmin µεταβάλλεται το πλάτος
να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση |Α΄(x)|.
B
x(m)
x=+L/2
και το σηµείο αυτό
κινούµενο κατά τη θετική
µεγιστοποιήσεις της
απόσταση ανάµεσα σε δυο
ενός σηµείου (Μ) που
συνάρτηση µε τη θέση
προσπίπτων κύµα) και
παράγεται στάσιµο «κύµα»
το πλάτος |Α΄| του

21. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
227
γ) Να υπολογιστεί ο λόγος του στάσιµου κύµατος. (Ο λόγος του στάσιµου κύµατος
ορίζεται σαν s= max
min
A
A
). Ποια είναι η τιµή του παραπάνω λόγου για 100% ανάκλαση
καθώς και για καθόλου ανάκλαση;
δ) Βρείτε το ποσοστό ανάκλασης του παραπάνω τρέχοντος κύµατος πάνω στο εµπόδιο.
77. Ενέργεια και στάσιµο κύµα
Κατά µήκος χορδής µήκους L=17,5cm και µάζας Μ=0,2 Kg, διαδίδονται
ταυτόχρονα δυο αρµονικά κύµατα. Από τη συµβολή των δυο κυµάτων προκύπτει το
στάσιµο κύµα y=0,02 συν(20πx)ηµ(40πt) (S.I) (t=0, x=0, y=0, v>0).
Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή 1
1 T
t = s=
120 6
.
Τι είδους ενέργεια έχουν τα µόρια της χορδής εκείνη τη στιγµή; Να την υπολογίσετε.
∆ίνεται π2
=10.
x(m)
f(x)= 20 xσυν π
0
2
1
L=7λ/4