pressure exercises Πίεση -Υδροστατική -Άνωση με ασκήσεις και λύσεις

1. Bασική Φυσική /Πίεση -υδροστατική -Άνωση
Πίεση
Π.Σ. Μαυρουδής Φυσικός
1. πρότερες γνώσεις (πυκνότητα)
πυκνότητα ( ρ) 𝜌 =
𝑚
𝑉

2. παράδειγμα 1 ένα κυβικό μέτρο χρυσού έχει μάζα m ≈ 2 × 104 kg. Η
πυκνότητα του χρυσού είναι : 𝜌 = 2.10
4
1
= 2 ∙ 104 𝑘𝑔
𝑚3
παράδειγμα 2 η πυκνότητα του νερού είναι 1g∙cm−3, ένα κυβικό
εκατοστό νερού έχει μάζα 1 γραμμάριο . Σε μονάδες S.I.
ρwater = 1000
𝑘𝑔
𝑚3 .

3. 3
Π.Σ. Μαυρουδής 2ο Γυμνάσιο Σταυρούπολης
Ασκήσεις 1.
(a) ένα στερεό με σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει μάζα
18kg και διαστάσεις 0.1m × 0.15m × 0.2m. Υπολογίστε τον όγκο
και την πυκνότητά του.
(b) Η πυκνότητα του μολύβδου είναι 1 × 104 kgm−3. Υπολογίστε τη
μάζα μιας κυλινδρικής ράβδου μολύβδου μήκους L = 0.5m και
ακτίνας r = 0.02cm.
(Ο όγκος κυλίνδρου δίνεται από τη μαθηματική σχέση : V = πr2L)
(c) Πόσος είναι ο όγκος που καταλαμβάνουν 4kg νερού σε litres ; (1L
= 10−3 m3.)
(d) Η πυκνότητα του υδραργύρου είναι : ρmerc = 13,600kgm−3.
Υπολογίστε τον όγκο 4kg υδραργύρου .

4. 4
Π.Σ. Μαυρουδής 2ο Γυμνάσιο Σταυρούπολης
2. Πίεση
Περπατάμε στο χιόνι χρησιμοποιώντας χιονοπέδιλα για να μοιράζουμε
το Βάρος μας σε μεγαλύτερη επιφάνεια !Η δύναμη ανά μονάδα
επιφάνειας ονομάζεται πίεση P :
𝑃 =
𝐹
𝐴
Τα χιονοπέδιλα μειώνουν την πίεση που εξασκείται στο χιόνι. Η
μονάδα πίεσης στο σύστημα S.I. είναι (Nm−2) που λέγεται και pascals
(σύμβολο Pa).
παράδειγμα 3 Αν η μάζα σας είναι 70kg και το συνολικό εμβαδόν των
παπουτσιών σας είναι 0.2m2, πόση πίεση εξασκείτε στο έδαφος ;
F =Β= mg = 70 × 9.8 =686 Ν
(g = 9.8ms−2).

5. 5
Π.Σ. Μαυρουδής 2ο Γυμνάσιο Σταυρούπολης
.
άσκηση 2.
(a) Αν η πίεση αυξηθεί κατά 3 × 104 Pa σε ένα εμβαδό ίσο με 0.07m2
ποια είναι η αύξηση της τιμής στην εφαρμοζόμενη δύναμη ;
(b) Υπολογίστε την πίεση που παράγεται από ένα κιλό μολύβδου σε
μία οριζόντια επιφάνεια αν το εμβαδόν της επιφάνειας που δέχεται
τη δύναμη είναι 0.02m2 ;
(c) Ένας δύτης μετρά μία αύξηση πίεσης περίπου 105 Pa για
κατάδυση κατά 10 m . Πόση είναι η μεταβολή της δύναμης ανά
τετραγωνικό εκατοστό στο σώμα του δύτη ;

6. 6
Π.Σ. Μαυρουδής 2ο Γυμνάσιο Σταυρούπολης
όγκος υγρού : V = HA
η πυκνότητα του υγρού είναι , ρ, άρα η μάζα του είναι :
m = V ρ = HAρ
οπότε η πίεση
βάρος mg
P = =
εμβαδόν A
όπου g = 9.8ms−2 η επιτάχυνση της βαρύτητας στη γη. Η πίεση
εξαρτάται μόνο από το ύψος της στήλης του υγρού .
A
H

7. 7
Π.Σ. Μαυρουδής 2ο Γυμνάσιο Σταυρούπολης
Η ατμοσφαιρική πίεση είναι 101.3kPa.
παράδειγμα 4 Αν η πυκνότητα του θαλασσινού νερού είναι ρ =
1,030kgm−3, πόση είναι η υδροστατική πίεση σε βάθος 10m κάτω από
την επιφάνεια της θάλασσας ;
Από την σχέση P = Hρg, η πίεση σε βάθος 10m δίνεται από :
P = 10 × 1030 × 9.8 = 100,940Pa.
Έτσι η πίεση είναι περίπου P = 101kPa δηλαδή μία τιμή πολύ κοντά
στην ατμοσφαιρική .
Η ολική πίεση 10m κάτω από τη θάλασσα είναι το άθροισμα της
ατμοσφαιρικής και της υδροστατικής πίεσης.
Pολ = 101 + 103 = 204kPa.
άσκηση 3.

8. 8
Π.Σ. Μαυρουδής 2ο Γυμνάσιο Σταυρούπολης
(a) Πόση είναι η ολική πίεση 30m κάτω από την επιφάνεια της
θάλασσας ;
(b) Σε ποιο βάθος κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας η ολική
πίεση είναι τριπλάσια της ατμοσφαιρικής ;
(c) Αν η πυκνότητα του υδραργύρου είναι ρυδρ = 13,600kgm−3, πόση
είναι η υδροστατική πίεση που εξασκεί μία στήλη υδραργύρου
ύψους 10 μέτρων ;
(d) Σε ποιο βάθος στήλης υδραργύρου η ολική πίεση γίνεται διπλάσια
της ατμοσφαιρικής ;

9. 9
Π.Σ. Μαυρουδής 2ο Γυμνάσιο Σταυρούπολης
3. Υδραυλικά συστήματα
F1 F2
Στα υδραυλικά φρένα , όταν μία
δύναμη, F1, εξασκείται σε ένα έμβολο
εμβαδού A1, παράγεται μία δύναμη , F2,
στο έμβολο εμβαδού A2, έτσι ώστε:
.
απόδειξη όταν η δύναμη, F1, ασκείται στο αριστερό έμβολο η
μεταβολή της πίεσης , ∆P, είναι:
A 1 A 2

10. 10
Π.Σ. Μαυρουδής 2ο Γυμνάσιο Σταυρούπολης
και μεταφέρεται δια μέσου του υγρού στο άλλο έμβολο ακριβώς η ίδια
!
άρα
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
F1 F2
παράδειγμα 5 Η δύναμη F1 = 100N
εφαρμόζεται στο αριστερό έμβολο
εμβαδού A1 = 0.02m2 ενώ το άλλο έμβολο
είναι A2 = 0.08m2 .Πόση δύναμη θα
παραχθεί F2 στο έμβολο Α2 ;
A 1 A 2

11. 11
Π.Σ. Μαυρουδής 2ο Γυμνάσιο Σταυρούπολης
απόδειξη
η δύναμη στα δεξιά του συστήματος θα είναι τετραπλάσια της αρχικής
.

12. 12
Π.Σ. Μαυρουδής 2ο Γυμνάσιο Σταυρούπολης
άσκηση 4. οι ερωτήσεις που ακολουθούν
αναφέρονται στο διπλανό υδραυλικό
σύστημα :
(a) αν F1 = 350N, A1 = 0.7m2
A2 = 1.2m2 F2 ;
(b) αν F1 = 210N, A1 = 0.3m2 και
F2 = 500N πόσο είναι το A2;
(c) αν F1 = 1,000N, A1 = 1m2 και A2 =
10,000cm2 πόση η δύναμη F2;
(d) F1 ; , F2 = 10,000N αν A1 = 0.75m2 και A2 = 3m2;

13. 13
4. Αρχή του Αρχιμήδη
Αν ένα αντικείμενο βρίσκεται μέσα σε υγρό, το βάρος του το τραβάει
προς τα κάτω, αλλά η πίεση του υγρού γύρω από το αντικείμενο ασκεί
μια προς τα πάνω δύναμη . Η αρχή του Αρχιμήδη δηλώνει ότι:
Η δύναμη ανύψωσης ή πλευστότητας σε ένα βυθισμένο
αντικείμενο είναι ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται από
το αντικείμενο.
Διακρίνουμε 3 περιπτώσεις:

14. 14
1) Το βάρος του εκτοπισμένου υγρού είναι ίσο
με την Άνωση που δέχεται το
αντικείμενο.Το αντικείμενο βρίσκεται σε
ισορροπία και δεν κινείται.
2) Το βάρος του εκτοπισμένου υγρού είναι
μεγαλύτερο από το βάρος του
αντικειμένου: το αντικείμενο θα ανέλθει.
3) το βάρος του εκτοπισμένου υγρού είναι μικρότερο
από το βάρος του αντικειμένου: το αντικείμενο θα βυθιστεί.
παράδειγμα 6 Η μάζα του Τιτανικού ήταν 40,000 tonnes. Πόσο
νερό εκτόπιζε ;
Εφόσον ο τόννος έχει 1,000kg, η μάζα του Τιτανικού ήταν m = 40,000
× 1,000 = 4 × 107 kg. Για να επιπλέει πρέπει το βάρος αυτό να είναι ίσο

15. 15
με το βάρος του εκτοπιζόμενου νερού, δηλαδή χρειαζόταν να εκτοπίζει
νερό ίσο με τη δικιά του μάζα ! Η πυκνότητα του νερού είναι ρwater =
1,000kgm−3, οπότε ο όγκος του εκτοπιζόμενου νερού ήταν :
𝑉 =
𝑚
𝜌
=
4 ∙107
1000
= 4 ∙ 104
𝑚3
άσκηση 5.
(a) Η μάζα του πλήρως φορτωμένου Τιτανικού ήταν 53.147 τόνους.
Πόσο επιπλέον νερό έχει μετατοπίσει;
(b) β) Βρείτε την άνωση σε ένα αντικείμενο όγκου 0.02m3 βυθισμένο
στο νερό. Τι θα συνέβαινε αν ήταν βυθισμένο σε υδράργυρο;
(c) Πόσο βαρύ θα έπρεπε να είναι αυτό το αντικείμενο ώστε να
βυθιστεί στον υδράργυρο; (ρυδρ = 13,600kgm−3.)

16. 16
5. Quiz
1. Ποιος όγκος καταλαμβάνεται από ένα κιλό χρυσού ; ρχρυσού = 2∙ 104
kgm−3.)
(a) 5×10−3 m3 (b) 2×104 m3 (c) 5×10−5 m3 (d) 5×10−4
m3
2. Μια ατμόσφαιρα ορίζεται ως 101,325 kPa. Από τις παρακάτω
απαντήσεις, επιλέξτε την πλησιέστερη προσέγγιση για τη μάζα
του αέρα πάνω από ένα τετραγωνικό μέτρο γης.
(a) 104 kg (b) 105 kg (c) 102 kg (d)
1,000kg

17. 17
3. Σε υδραυλικό ανυψωτήρα εφαρμόζεται δύναμη 5.000Ν σε ένα
έμβολο με επιφάνεια 0.0125m2. Εάν το εμβαδόν του άλλου
εμβόλου είναι 0,25m2, επιλέξτε τη δύναμη στο άλλο έμβολο.
(a) 250N (b) 1,000N (c) 105 N (d)
25,000N

18. 18
Λύσεις των ασκήσεων
άσκηση 1(a)
Ο όγκος V ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με μάζα m = 18kg, και
διαστάσεις 0.1m × 0.15m × 0.2m είναι :
V = 0.1m × 0.15m × 0.2m = 0.003m1 = 3 × 10−3m3 .
Η πυκνότητα ρ είναι : 𝜌 =
18
3∙10−3
= 6 ∙ 103 𝑘𝑔
𝑚3

19. 19
άσκηση 1(b)
Μία κυλινδρική ράβδος με μήκος 0.5m και ακτίνα
r = 0.02cm = 2 × 10−4m
έχει όγκο :
Vκυλ = πr2` = 3.14 × 4 × 10−8m × 0.5m = 6.28 × 10−8m3 .
Η πυκνότητα του μολύβδου είναι : ρμολ = 1×104 kgm−3. Έτσι η μάζα της
ράβδου ισούται με

20. 20
m = Vκυλ × ρμολ
= 6.28 × 10−8m3 × 1 × 104 kgm−3 =
6.28 × 10−4kg.
άσκηση1(c)
ξέρουμε ότι η πυκνότητα του νερού είναι :
𝜌 =
𝑚
𝑉
= 103
𝑘𝑔
𝑚3

21. 21
Ο όγκος 4kg νερού είναι :
m
V =
=
103 kgm−3
= 4 × 10−3 m3.
Aφού 1L = 10−3 m3, ο όγκος εκφρασμένος σε λίτρα είναι :
V = 4 × 10−3 m3 = 4 × 10−3 × 103L = 4L.
ρνερ
4kg

22. 22
άσκηση 1(d)
ο όγκος μιας μάζας m = 4kg υδραργύρου του οποίου η πυκνότητα είναι
ρυδρ = 13,600kgm−3 = 1.36 × 104 kgm−3
υπολογίζεται 𝑉 =
𝑚
𝜌
=
4
13600
= 2,9 ∙ 10−4
𝑚3
άσκηση 2(a)
Όταν η υδροστατική πίεση αυξάνεται κατά ∆P = 3 × 104 Pa σε
εμβαδό A = 0.07m2, αυτό σημαίνει ότι η αύξηση της εφαρμοζόμενης
δύναμης ∆F δίνεται από :

23. 23
∴ ∆F = ∆P × A.
Θέτοντας τα δεδομένα παίρνουμε :
∆F =3 × 104 Pa × 0.07m2
= 0.21 × 104 Pa × m2
=
Θυμηθείτε ότι 1Pa∙m2 = 1N
2.1 × 103 N.
άσκηση 2(b)
Μάζα m = 1kg μολύβδου που είναι ακίνητη σε οριζόντιο δάπεδο
εμβαδού A = 0.02m2 εξασκεί πίεση P εξαιτίας του βάρους του :

24. 24
weight
P =
area
.
Άσκηση 2(c)
Όταν ο δύτης καταδύεται κατά 10m μετρά μία αύξηση στην πίεση
κατά ∆P = 105 Pa. Η αύξηση της δύναμης κατά ∆F σε εμβαδόν A = 1cm2
στο σώμα του δύτη δίνεται από τη σχέση ∆F = ∆P × A:
∆F = ∆P × A = 105 Pa × 1cm2 = 105 Pa × 10−4m2 = 10N.

25. 25
Ας δείξουμε ότι αυτή η δύναμη είναι το επιπλέον βάρος W της
πρόσθετης στήλης νερού h = 10m πάνω από τον δύτη
V = hA = 10m×10−4 m2 = 10−3 m3. Η μάζα της πρόσθετης στήλης νερού
είναι :
m = V ρwater = 10−3 m−3 × 103 kgm−3 = 1kg.
Έτσι το βάρος του νερού είναι mg όπου g = 9,8ms-2. Το βάρος 1kg είναι
9,8Ν. ((Η διαφορά μεταξύ αυτού και του αποτελέσματος 10N δείχνει
ότι ο δύτης δεν μέτρησε τέλεια την αλλαγή πίεσης!)
Άσκηση 3(a)
Για να υπολογίσουμε την υδροστατική πίεση 30m κάτω από την
επιφάνεια της θάλασσας , θα παρουμε τη σχέση :

26. 26
P = Hρg
με H = 30m, ρ = 1,030kgm−3 και g = 9.8ms−2. Αυτά δίνουν :
P = H = 30m × 1,030kgm−3 × 9.8ms−2 = 303,000Pa
Η ολική πίεση 30m κάτω από τη θάλασσα ισούται με το άθροισμα της
υδροστατικής πίεσης και της ατμοσφαιρικής πίεσης.
Pολ = 303,000 + 103,000 = 406kPa.
Χρησιμοποιήσαμε εδώ το γεγονός ότι τα υγρά είναι δύσκολο να
συμπιεστούν, οπότε η πυκνότητα του θαλάσσιου νερού δεν αυξάνεται

27. 27
πολύ σε μεγαλύτερα βάθη. (Για τα αέρια η πυκνότητα αλλάζει με το
υψόμετρο καθώς τα αέρια είναι εύκολο να συμπιεστούν.)
Άσκηση 3(b)
Αν η ολική πίεση Pολ = Pυδρ +Pατμ κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας
είναι τριπλάσια της ατμοσφαιρικής
Pολ = 3 × Pατμ
τότε
Pυδρ = 2 × Pατμ.
Το βάθος H στο οποίο συμβαίνει αυτό υπολογίζεται :
2Pατμ
Hρg = 2 × Pατμ, ∴ H =
ρg

28. 28
και με τα δεδομένα που έχουμε
H ≈ 20m.
άσκηση 3(c)
Η υδροστατική πίεση κάτω από την επιφάνεια του υδραργύρου σε
βάθος H = 10m είναι :
Pυδρ = Hρυδρ g
= 10m × 1.36 × 104 kgm−3 × 9.8ms−2
= 1.33 × 106 Pa.

29. 29
Αυτό είναι περισσότερο από δέκα φορές μεγαλύτερο από την
ατμοσφαιρική πίεση!
Άσκηση 3(d)
Όταν η ολική πίεση του υδραργύρου Pολ = Pυδρ +Pατμ είναι διπλάσια της
ατμοσφαιρικής πίεσης
Pολ = 2 × Pατμ
Η υδροστατική πίεση είναι
Pυδρ = Pατμ.
Επομένως το αντίστοιχο βάθος Η του υδραργύρου μπορεί να βρεθεί
ως:

30. 30
H = 1.36 × 104 kgm−3 × 9.8ms−2 = 0.76m.
Άσκηση 4(a)
Σε ένα υδραυλικό ανυψωτήρα, δύναμη F1 = 350N εξασκείται σε έμβολο
εμβαδού A1 = 0.7m2 . Το εμβαδόν του άλλου εμβόλου είναι : A2 = 1.2m2
Η δύναμη F2 στο δεύτερο έμβολο μπορεί να υπολογισθεί

31. 31
Αυτό δίνει
N = 600N.
Άσκηση 4(b)
Σε υδραυλικό ανυψωτήρα , στο έμβολο εμβαδού A1 = 0.3m2 εξασκείται
δύναμη F1 = 210N . Η δύναμη στο άλλο έμβολο είναι F2 = 500N . Το
εμβαδόν του εμβόλου A2 υπολογίζεται ως εξής :

32. 32
= = 0.71m2 .
210N
Άσκηση 4(c)
Θα υπολογίσουμε σε υδραυλικό ανυψωτήρα τη δύναμη F2 αν
γνωρίζουμε τα μεγέθη : A1 = 1m2 ,F1 = 1,000N , A2 = 10,000cm2. Εφόσον
1cm2 = 10−4 m2 , έχουμε A2 = 1m2. Έτσι η δύναμη F2 προκύπτει από :
∴
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
→ 𝐹2 =
𝐹1∙𝐴2
𝐴1
→ 𝐹2 =
1000∙1
1
= 1000 𝑁

33. 33
άσκηση 4(d)
Για να υπολογίσουμε τη δύναμη F1 που εφαρμόζεται στο έμβολο
εμβαδού A1 = 0.75m2 λαμβάνουμε υπόψη ότι F2 = 10,000N στο έμβολο
εμβαδού A2 = 3m2, εφαρμόζουμε τη σχέση :
.

34. 34

35. 35
Άσκηση 5(a)
Η μάζα του πλήρως φορτωμένου Τιτανικού ήταν :
mT = 53,147 × 1,000kg ≈ 5.3 × 107 kg.
ρνερού = 1,000kgm−3, ο ολικός όγκος του εκτοπιζόμενου νερού
𝑉𝛵 =
𝑚
𝜌
=
5,3 ∙ 107
1000
= 5,3 ∙ 104
𝑚3
Συγκρίνοντας τον ολικό όγκο VT με τον όγκο V που εκτοπίζεται από
τον μη φορτωμένο Τιτανικό, βλέπουμε ότι το έξτρα εκτοπισθέν
νερό ήταν :

36. 36
∆V = VT − V = 5.3 × 104 m3 − 4 × 104 m3 = 1.3 × 104 m3 .
Άσκηση 5(b)
Η Άνωση που δέχεται ένα βυθισμένο αντικείμενο με όγκο V = 0.02m3
ισούται με το βάρος του εκτοπιζόμενου από το αντικείμενο υγρού,
οπότε
Fάνωσης = mνερού × g = V × ρνερού × g = 0.02m3 ×
1,000kgm−3 × 9.8ms−2 = 196kgms−2 =
200N.

37. 37
Αν το ίδιο αντικείμενο βυθιστεί σε υδράργυρο τότε η δύναμη της
Άνωσης γίνεται :
Fάνωσης = mυδραργ × g = V × ρυδραργ × g =
0.02m3 × 13,600kgm−3 × 9.8ms−2 =
2700N.
Άσκηση 5(c)
Αντικείμενο όγκου V = 0.02m3 που είναι βυθισμένο σε υδράργυρο,
βουλιάζει όταν το Βάρος του είναι μεγαλύτερο από το βάρος του
εκτοπιζόμενου από αυτό υδραργύρου :
mαντικ × g > mυδραργ × g .

38. 38
Η μάζα του εκτοπιζόμενου υδραργύρου
mυδραργ = V × ρυδραργ
= 0.02m3 × 13,600kgm−3
= 272kg.
Επομένως, για να βυθιστεί, η μάζα του αντικειμένου πρέπει να είναι
τουλάχιστον
mαντικ > 272kg.

39. 39

40. 40