Trabajo Transformación de coordenadas para la materia Geometría Analítica

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
"SANTIAGO MARIÑO"
EXTENSION MATURIN
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Docente: Autor:
Ing. Ely Ramírez Alejandro González, C.I:26.317.507
Maturín, Diciembre 2021

2. Contenido del Tema de Transformación de Coordenadas
1.- Definición y concepto básico de la transformación de coordenadas.
2.- Explique cómo se transforman las coordenadas rectangulares a polares.
3.- Explique cómo se transforman las coordenadas polares a rectangulares.
4.- De un ejemplo para cada una de las transformaciones anteriores.
5.- Explique cómo se realiza la traslación de ejes.
6.- Explique cómo se realiza la rotación de ejes.
7.- Representación Gráfica de una Circunferencia y una Parábola en Coordenadas
Polares.

3. 1.- Definición y concepto básico de la transformación de coordenadas.
R= Para poder definir que son las transformaciones de coordenadas, primero
se debe conocer el concepto de “transformación”, el cual establece que: Una
transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se
cambia en otra siguiendo una ley dada. Analíticamente, la ley se expresa por una o
más ecuaciones llamadas ecuaciones de transformación.
Conociendo que es una transformación, se puede definir a la transformación
de coordenadas como el cambio de posición de los ejes de referencia en un sistema de
coordenadas, ya sea por traslación, rotación, o ambas. El propósito de dicho cambio
por lo general es simplificar la ecuación de una curva para manejo posterior. A modo
de ejemplo consideremos una circunferencia de radio r cuya ecuación está dada en la
forma ordinaria.
Siendo las coordenadas (h, k) del centro 0' diferentes de cero. Si esta circunferencia,
sin cambiar ninguna de sus características, se transforman sus coordenadas para
colocar su centro en el origen 0, su ecuación toma la forma más simple, o forma
canónica.
2.- Explique cómo se transforman las coordenadas rectangulares a polares.
R= Tomando en cuenta que las coordenadas rectangulares están
representadas de la forma “(x,y)” siendo estos valores en el eje de coordenadas y la
coordenadas polares se expresan como “(r,θ)”, siendo “r” la distancia desde el origen
y “θ” el Angulo formado entre la línea y el eje x. La forma de relacionar estos
sistemas es mediante el uso de la trigonometría.

4. Tomando como ejemplo el grafico anterior, utilizando un triángulo
rectángulo, se puede hallar la relación para las coordenadas polares en términos de las
coordenadas rectangulares. Debido a que las coordenadas en x forman la base del
triángulo rectángulo y las coordenadas en y forman la altura. Obteniendo que la
distancia “r” corresponde a la hipotenusa del triángulo. Lo que permite el uso del
teorema de Pitágoras para la transformación de coordenadas de forma tal que:
Y
Para la obtención del angulo se debe tomar en cuenta que el rango de la
función tangente inversa va desde −
𝜋
2
hasta
𝜋
2
, esto no cubre los cuatro cuadrantes del
plano cartesiano, por lo que muchas veces, una calculadora puede dar el valor
incorrecto de tan−1 . Para solucionar este error se aplica el siguiente cuadro:

5. 3.- Explique cómo se transforman las coordenadas polares a rectangulares.
R= Así mismo como las transformaciones de coordenadas rectangulares a
polares, la conversión de polar a rectangular también aplica la trigonometría, con la
diferencia de que aplica las ecuaciones del seno y coseno.
Observando el grafico anterior, se obtiene que mediante la ecuación del seno y
coseno pueden hallar se las coordenadas del eje x así como el eje y, tal que:
Y
4.- De un ejemplo para cada una de las transformaciones anteriores.
R=
Ejemplo coordenadas rectangulares a polares: transformas las coordenadas (3,4) a
polar.
𝑥 = 3, 𝑦 = 4
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 → 𝑟 = √32 + 42 → 𝑟 = √9 + 16 → 𝑟 = √25 → 𝑟 = 5
𝜃 = tan−1
𝑦
𝑥
→ 𝜃 = tan−1
4
3
→ 𝜃 = 0.927𝑟𝑎𝑑
Aplicando la ecuación de conversión de radianes a grados:
𝛼 =
𝜃𝑟𝑎𝑑 ∗ 180°
𝜋𝑟𝑎𝑑
→ 𝛼 =
0.927𝑟𝑎𝑑 ∗ 180°
3.14𝑟𝑎𝑑
𝛼 = 53.113°
Se obtiene como resultado que (3,4) rectangular equivale a (5,53.113°) en polar.

6. Ejemplo coordenadas polares a rectangulares: transformas las coordenadas (5,60°) a
rectangular.
𝑟 = 5, 𝜃 = 60° ≈
𝜋
3
𝑥 = 𝑟 cos𝜃 → 𝑥 = 5 cos
𝜋
3
→ 𝑥 = 5 ∗ 0.5 → 𝑥 = 2.5
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 → 𝑦 = 5 sin
𝜋
3
→ 𝑦 = 5 ∗ 0.87 → 𝑦 = 4.33
El resultado de transformar las coordenadas polares (5,60°) a rectangular es
(2.5,4.33).
5.- Explique cómo se realiza la traslación de ejes.
R= Para trasladar los ejes coordenados a un nuevo origen O'(h, k), y si las
coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x, y) y (x', y'),
respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo
sistema de coordenadas son:
x = x' + h
y = y' + k
Tomando como ejemplo la ecuación 𝑦 = 5𝑥 − 8, se aplicara una translación
de ejes hacia el punto (2,2), de forma que:
𝑥 = 𝑥´ + 2, 𝑦 = 𝑦´ + 2

7. Se reemplazan los valores en la ecuación inicial, para luego desarrollar y obtener la
nueva ecuación del eje trasladado:
𝑦´ + 2 = (𝑥´ + 2) ∗ 5 − 8 → 𝑦´ + 2 = 5𝑥´ + 10 − 8
𝑦´ = 5𝑥´ + 2 − 2 → 𝑦´ = 5𝑥´
6.- Explique cómo se realiza la rotación de ejes.
R= La rotación de un eje es el cambio de la orientación de los ejes de
referencia mientras se conserva el origen, la principal razón para rotar los ejes es que
una ecuación dada es mucho más simple en el nuevo sistema de coordenadas que en
el sistema original. Si los ejes originales x y y rotan en sentido contrario al reloj un
ángulo θ, para cualquier punto P(x, y), las coordenadas originales (x, y) se convierten
en las nuevas coordenadas (x ´, y ´), que son:
𝑥´ = 𝑥 cos𝜃 + 𝑦 sin 𝜃
𝑦´ = −𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃
Para derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamos expresar las
coordenadas originales en las nuevas coordenadas:
𝑥 = 𝑥´ cos𝜃 − 𝑦´ sin 𝜃

8. 𝑦 = 𝑥´ sin 𝜃 + 𝑦´ cos 𝜃
Como ejemplo de rotación, se toma la ecuación 2𝑥2
+ √3𝑥𝑦 + 𝑦2
= 4. Si los ejes
originales x e y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo de 30°, las coordenadas
originales se pueden expresar como:
𝑥 = 𝑥 ´cos 30° − 𝑦 sin ´30° → 𝑥 =
√3
2
𝑥´ −
1
2
𝑦´
𝑦 = 𝑥´ sin 30° + 𝑦´ cos30° → 𝑦 =
1
2
𝑥´ +
√3
2
𝑦´
Sustituyendo en la ecuación original:
2(
√3
2
𝑥´ −
1
2
𝑦´)2 + √3 (
√3
2
𝑥´ −
1
2
𝑦´) (
1
2
𝑥´ +
√3
2
𝑦´) + (
1
2
𝑥´ +
√3
2
𝑦´)
2
= 4
2 (
3
4
𝑥´2
−
√3
2
𝑥´𝑦´ +
1
4
𝑦´2
) + √3 (
√3
4
𝑥´2
−
1
4
𝑥´𝑦´ +
3
4
𝑥´𝑦´ −
√3
4
𝑦´2
) + (
1
4
𝑥´2
+
√3
2
𝑥´𝑦´ +
3
4
𝑦´2
) = 4
3
2
𝑥´2
− √3𝑥´𝑦´ +
1
2
𝑦´2
+ √3 (
√3
4
𝑥´2
−
1
4
𝑥´𝑦´ +
3
4
𝑥´𝑦´ −
√3
4
𝑦´2
) +
1
4
𝑥´2
+
√3
2
𝑥´𝑦´ +
3
4
𝑦´2
= 4
3
2
𝑥´2 − √3𝑥´𝑦´ +
1
2
𝑦´2 + √3 (
√3
4
𝑥´2 +
1
2
𝑥´𝑦´ −
√3
4
𝑦´2) +
1
4
𝑥´2 +
√3
2
𝑥´𝑦´ +
3
4
𝑦´2 = 4
3
2
𝑥´2 − √3𝑥´𝑦´ +
1
2
𝑦´2 +
3
4
𝑥´2 +
√3
2
𝑥´𝑦´ −
3
4
𝑦´2 +
1
4
𝑥´2 +
√3
2
𝑥´𝑦´ +
3
4
𝑦´2 = 4
3
2
𝑥´2 − √3𝑥´𝑦´ +
1
2
𝑦´2 +
3
4
𝑥´2 +
√3
2
𝑥´𝑦´ −
3
4
𝑦´2 +
1
4
𝑥´2 +
√3
2
𝑥´𝑦´ +
3
4
𝑦´2 = 4
5
2
𝑥´2
+ 2𝑦´2
= 4 → (
5
2
𝑥´2
+ 2𝑦´2
= 4) ∗ 2
5𝑥´2
+ 𝑦´2
= 8 Siendo esta la ecuación resultante de la rotación.

9. 7.- Representación Gráfica de una Circunferencia y una Parábola en
Coordenadas Polares.
R= Un plano con estas características se lo llama plano polar, ya que tiene
como referencia ángulos y magnitudes. Consta de circunferencia concéntrica al
origen y recta concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación. A
continuación se muestra un sistema polar.
Circunferencia con centro en el polo:
La ecuación original de una circunferencia es:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2

10. Aplicando transformación se obtiene:
𝑟 = 𝑎
Como ejemplo se graficara la ecuación 𝑟 = 2.
En caso de que la circunferencia contenga al polo y centro en un punto la ecuación
seria tal que: 𝑟 = 2𝑎 cos(𝜃 − 𝜙).
Parábolas cuyo foco es el polo y su recta directriz esta a una distancia “d” del
polo:

11. Se tiene que la ecuación para graficar una parábola, hipérbola o elipse en el sistema
polar es la misma, se puede determinar el tipo grafica dependiendo del valor de “e” y
de forma tal que:
𝑟 =
𝑒 ∗ 𝑑
1 + 𝑒 ∗ cos(𝜃 + 𝜙)
𝑒 = 1 Es una parábola
0 < 𝑒 < 1 Es una elipse
𝑒 > 1 Es una hipérbola
A modo de ejemplo se graficara la ecuación 𝑟 =
6
1+cos𝜃
, ya que 𝑒 = 1, se determina
que la ecuación es una parábola.