1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Estado Lara
Rojas Salas, Franyuris Carolina.
CI. V-28.406.359
DICIEMBRE-2020
UPTAEB
Plano Numérico.
2. Plano Cartesiano
Para representar puntos en un plano, definidos por
un par ordenado de números reales, se utiliza
generalmente el sistema de coordenadas
rectangulares, que se caracteriza por:
Estar formado por dos rectas reales dirigidas,
mutuamente perpendiculares , llamados ejes
coordenados: eje X (eje de las abscisas),
normalmente horizontal y eje Y (eje de las
ordenadas) normalmente vertical.
El punto de intersección de los dos ejes es el
origen del sistema y se denota por 0.
El eje X esta orientado (crece) de izquierda a
derecha, y el eje Y de abajo hacia arriba.
El numero 0 de ambos ejes se ubica en el origen
del sistema.
3. Distancia entre dos puntos del plano
La distancia entre dos puntos del plano P= ( χ1, у1) y Q= (χ2,
у2), que se denota por (P, Q) viene dada por la formula:
Punto medio de un segmento
El punto medio de un segmento cuyos puntos extremos son
Que se denota por M( P, Q), viene dada por la formula.
4. Las cónicas o también llamadas
secciones cónicas se presentan
cuando un doble cono se
interseca con planos.
6. Circunferencia
Sea 0 un punto del plano y sea ¨r¨ un numero real
positivo, se define la circunferencia como el
conjunto de P(x, y) tal que la distancia de P a 0 es
igual a ´´r´´. Es decir:
CIRCUNFERENCIA= {P(X, Y)/ d( P, O)= r}
Supongamos que O tiene coordenadas
(h, k)
La distancia entre los puntos P(x, y) de la circunferencia
y el punto C (h, k ), la cual denotamos por ´´r´´, esta dada
por 𝒓 = (𝒙 − 𝒉)𝟐 +(𝒚 − 𝒌)𝟐 entonces tenemos
(𝒙 − 𝒉)𝟐
+ (𝒚 − 𝒌)𝟐
= 𝒓𝟐
Es decir una
circunferencia con centro
O(0,0), el origen:
7. Parábola
Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define
como el conjunto de puntos P(x, y) tal que su distancia al
punto F es igual a su distancia a la recta l, es decir:
PARÁBOLA={P(x, y) / d(P, F)= d (p, l)}
Supongamos que F tiene coordenadas (0, p) y la recta l
tiene ecuación 𝑦 = −𝑝 con 𝑝 > 0. observe la grafica:
Observe que 𝑑 𝑃, 𝐹 = (𝑥 − 0)2+ (𝑦 − 𝑝)2 y que
𝑑 𝑝, 𝑙 = 𝑦 +𝑝 .
Igualando y resolviendo.
𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑 𝑃, 𝑙
(𝑥 − 0)2+(𝑦 − 𝑝)2= y + p
(𝑥 − 0)2+(𝑦 − 𝑝)2
2
= (𝑦 + 𝑝)2
𝑥2 + 𝑦2 − 2py + 𝑝2 = 𝑦2 + 2py + 𝑝2
𝑥2
= 4𝑝𝑦.
Al punto V se le denomina vértice de la
parábola.
A la recta perpendicular a la directriz ,
que contiene el vértice y al foco se le
denomina eje focal. En este caso el eje
focal es el eje y.
8. (𝑥 − ℎ)2
= −4p (y − k)
Una parábola con eje focal vertical pero cóncava
hacia abajo
Si la parábola tiene ecuación (𝑦 − 𝑘)2=
4p x − h , su eje focal será horizontal y
además será cóncava hacia a la derecha
9. Si la parábola tiene ecuación (𝑦 − 𝑘)2
=
4p(x − h), su eje focal será horizontal,
pero será cóncava hacia la izquierda.
La ecuación general de esta cónica será de la forma
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐹 = 0 con 𝐴 = 0 o con 𝐵 =
0 pero no ambos. Es decir tendremos ecuaciones de la
forma 𝐴𝑥2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐹 = 0 o de la forma 𝐵2
+
𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐹 = 0 según sea la dirección del eje focal.
10. Elipse
Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea α una constante
positiva. La elipse se define como el conjunto de puntos
𝑃 𝑥, 𝑦 tales que la suma de su distancia de F1 y su distancia
de F2 es igual a 2α, es decir : 𝐄𝐋𝐈𝐏𝐒𝐄 = {𝐏 𝐱, 𝐲 𝐝 𝐏, 𝐅𝟏 +
𝐝 𝐏, 𝐅𝟐 = 𝟐𝐚}
A F1 y F2 se les denomina focos de la elipse y
a ´´α´´ representa la medida del semieje
mayor dela elipse.
Sean 𝐹1(−𝑐, 0) y 𝐹2 𝑐, 0 , observe el grafico:
De la definición tenemos:
𝑑 𝑃, 𝐹2 + d P, 𝐹2 = 2ª
(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 − 0 2 + (𝑥 − 𝑐)2+(𝑦 − 0)2= 2ª
Despejando un radical, elevando un cuadrado y reduciendo términos semejantes:
(𝑥 − 𝑐)2 +𝑦2
2
= 2𝑎 − (𝑥 + 𝑐)2+𝑦2
2
𝑥 − 𝑐 2
+ 𝑦2
= 4𝑎2
− 4𝑎 (𝑥 + 𝑐)2+𝑦2 + (𝑥 − 𝑐)2
+𝑦2
𝑥2
− 2𝑥𝑐 + 𝑐2
+ 𝑦2
= 4𝑎2
− 4𝑎 (𝑥 + 𝑐)2+𝑦2 + 𝑥2
− 2𝑥𝑐 + 𝑐2
+ 𝑦2
4𝑎 (𝑥 + 𝑐)2+𝑦2 = 4𝑎2
+ 4cx
Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:
𝑎 (𝑥 + 𝑐)2+𝑦2
2
= 𝑎2
+ 𝑐𝑥 2
𝑎2
𝑥 + 𝑐 2
+ 𝑦2
= 𝑎4
+ 2𝑎2
𝑐 + 𝑐2
𝑥2
𝑎2
𝑥2
+ 2𝑐𝑥 + 𝑐2
+ 𝑦2
= 𝑎4
+ 2𝑎2
𝑐𝑥 + 𝑐2
𝑥2
𝑎2
𝑥2
+ 2𝑎2
𝑐𝑥 + 𝑎2
𝑐2
+ 𝑎2
𝑦2
= 𝑎4
+ 2𝑎2
𝑐𝑥 + 𝑐2
𝑥2
𝑎2
𝑥2
− 𝑐2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
= 𝑎4
− 𝑎2
𝑐2
𝑎2
− 𝑐2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑎2
− 𝑐2
Dividiendo para 𝑎2
𝑎2
− 𝑐2
𝑥2
𝑎2
− 𝑐2
𝑎2 𝑎2 − 𝑐2
+
𝑎2
𝑦2
𝑎2 𝑎2 − 𝑐2
=
𝑎2
𝑎2
− 𝑐2
𝑎2 𝑎2 − 𝑐2
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑎2 − 𝑐2
= 1
Finalmente, llamando 𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
tenemos ecuación conica de la elipse con
centro 𝑜 0,0
con eje horizontal.
11. La dirección del eje focal esta indicada por
el termino que tiene el mayor denominador,
en este caso seria el valor de 𝑎2. Observe
también que 𝑎 > 𝑏. Por lo tanto, si el eje
focal fuese vertical, su ecuación seria:
𝑦 − 𝑘 2
𝑎2 +
𝑥 − ℎ 2
𝑏2 = 1
12. Hipérbola
Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea α una constante positiva. La hipérbola se
define como el conjunto de puntos 𝑃 𝑥, 𝑦 del plano tales que el valor absoluto de
la diferencia de su distancia de F1 y su distancia de F2 es igual a 2ª.
Sean 𝐹1(−𝑐, 0) y 𝐹2 𝑐, 0 , observe el grafico:
De la definición tenemos:
𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
(𝑥 + 𝑐)2+(𝑦 − 0)2 − 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦 − 0 2 = 2𝑎
Despejando una radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos.
𝑥 + 𝑐 2
+ 𝑦2
= 4𝑎2
+ 4𝑎 (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2 + (𝑥 − 𝑐)2
+𝑦2
𝑥2
+ 2𝑥𝑐 + 𝑐2
+ 𝑦2
= 4𝑎2
+ 4𝑎 (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2 + 𝑥2
− 2𝑥𝑐 + 𝑐2
+ 𝑦2
4𝑐𝑥 − 4𝑎2
= 4𝑎 (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2
Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:
𝑐𝑥 − 𝑎2 2
= 𝑎 (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2
2
𝑐2
𝑥2
− 2𝑎2
𝑐𝑥 + 𝑎4
= 𝑎2
(𝑥 − 𝑐)2
+𝑦2
𝑐2
𝑥2
− 2𝑎2
𝑐𝑥 + 𝑎4
= 𝑎2
𝑥2
− 2𝑥𝑐 + 𝑐2
+ 𝑦2
𝑐2
𝑥2
− 2𝑎2
𝑐𝑥 + 𝑎4
= 𝑎2
𝑥2
− 2𝑎2
𝑐𝑥 + 𝑎2
𝑐2
+ 𝑎2
𝑦2
𝑐2
𝑥2
− 𝑎2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑥2
− 𝑎𝑎
𝑐2
− 𝑎2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑐2
− 𝑎2
Dividiendo para 𝑎2
𝑐2
− 𝑎2
𝑥2
𝑐2
− 𝑎2
𝑎2 𝑐2 − 𝑎2
+
𝑎2
𝑦2
𝑐2 − 𝑎2
=
𝑎2
𝑐2
− 𝑎2
𝑎2 𝑐2 − 𝑎2
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑐2 − 𝑎2
= 1
Finalmente, llamando 𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Ecuación cónica de la hipérbola con centro O(0,0) y con eje focal horizontal
A F1 y F2 se les denomina focos de la
hipérbola
13. La dirección del eje focal esta indicada
por el termino positivo y además sobre
este termino estará ``𝑎2
``.
Por lo tanto, si el eje focal fuese
vertical, su ecuación seria:
𝑦 − 𝑘 2
𝑎2
−
𝑥 − ℎ 2
𝑏2
= 1
