Superficies regulares planos tangentes y normale

1. SUPERFICIES REGULARES PLANOS TANGENTES Y NORMALES
SUPERFICIE REGULAR. – Un conjunto S ⊂ ℝ3
,se denomina superficie regular y simple si
existe una región D ⊂ ℝ2
y una función inyectiva r: D ⊂ ℝ2
→ ℝ3
tal que S = r( D ) , la
función r se llama parametrización de S.
Donde r (u,v) = x (u,v )i + y (u,v)j + z (u,v)k ; las ecuaciones
{
X = X(U, V)
Y = Y(U, V)
Z = Z(U, V)
reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la superficie S.
además se cumple, ru x rv ≠ 0
Ejemplo 1
Identifique la superficie de ecuación vectorial
r(u,v) = 2cos u i + v j + 2sen u k
Solución
Las ecuaciones paramétricas de la superficie son
X = 2cos u
Y = v
Z = 2sen u
Tal que para cualquier punto (x,y,z) sobre la superficie se cumple

2. x2
+ z2
= (2cos u)2
+ (2sen u)2
= 4 (cos2
u + sen2
u) = 4
x2
+ z2
= 4 ; y = v
Esta superficie es un cilindro circular de radio r = 2 cuyo eje coincide con el eje Y.
Ejemplo 2
Determine una parametrización que defina al plano que pasa por el punto Po y cuyo
vector de posición es ro y contiene dos vectores no paralelos a y b
Solución

3. Sea p un punto cualquiera del plano y Po un punto de paso, a y b vectores no paralelos
contenidos en el plano.
Po P = ua + vb 0Po = ro vector posición
0P = r = 0Po + PoP = ro + ua + vb
Luego r = ro + ua + vb donde u y v son números reales.
r(u,v) = ro + ua + vb ecuación vectorial delplano
Reemplazando r = ˂ x , y ,z ˃, ro = ˂ xo , yo , zo ˃,
a = < 𝒂𝟏, 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 >, b = < 𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , 𝒃𝟑 >
r = ˂ x , y ,z ˃ = < 𝒙𝒐 + 𝒖𝒂𝟏 + 𝒗 𝒃𝟏 , 𝒚𝒐 + 𝒖𝒂𝟐 + 𝒗𝒃𝟐 , 𝒛𝒐 + 𝒖𝒂𝟑 + 𝒗𝒃𝟑 >
siendo las ecuaciones paramétricas del plano, las siguientes

4. x = 𝒙𝒐 + 𝒖𝒂𝟏 + 𝒗 𝒃𝟏
y = 𝒚𝒐 + 𝒖𝒂𝟐 + 𝒗𝒃𝟐
z = 𝒛𝒐 + 𝒖𝒂𝟑 + 𝒗𝒃𝟑
Ejemplo 3
Determine una representación paramétrica de la esfera
X2
+ y2
+ z2
= 𝑎2
Solución

5. Considerando las relaciones existentes entre coordenadas cartesianas y coordenadas
esféricas, se obtiene.
X = 𝒂 sen ɸ cos ϴ
Y = 𝒂 sen ɸ sen ϴ
Z = 𝒂 cos ɸ
Estas ecuaciones constituyen las ecuaciones paramétricas de una superficie esférica de
centro en el origen y radio ꝭ = 𝒂 , si elegimos los ángulos, ϴ y ɸ como los parámetros
entonces la ecuación vectorial correspondiente es
r (ϴ , ɸ) = 𝒂 sen ɸ cos ϴ i + 𝒂 sen ɸ sen ϴ j + 𝒂 cos ɸ k

6. Ejemplo 4
Determine una representación paramétrica para la superficie z = 2( x2
+ y2
)1/2
Solución
Empleando las relaciones entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares, se
obtiene las ecuaciones paramétricas de la superficie.
X = r cos ϴ
Y = r sen ϴ
Z = 2r
Donde x2
+ y2
= r2
; r ≥ 0 ; 0 ≤ ϴ ≤ 𝟐𝝅
Luego una representación paramétrica está dada por la función vectorial
r (r , ϴ ) = r cos ϴ i + r sen ϴ j + 2r k
Ejemplo 5
Determine una función vectorial que represente a la superficie definida por la ecuación
cartesiana z = x2
+ 2y2
Solución
Considerando las igualdades
X = x , Y = y , Z = f (x,y ) = x2
+ 2y2
Resulta la ecuación vectorial de la forma

7. r ( x , y ) = xi + y j + ( x2
+ 2y2
)

8. PLANOS TANGENTES
Ahora determinaremos la ecuación del plano tangente a una superficie S parametrizada
por una función vectorial
r ( u , v ) = x ( u , v )i + y ( u , v )j + z ( u , v )k
Donde las ecuaciones paramétricas son
X = X ( u ,v )
Y = y ( u, v )
Z = Z ( u, v)

9. En un punto Po con vector de posición r (uo , vo )
Si reemplazamos u = uo entonces r ( uo , v ) se transforma en una función vectorial de
un solo parámetro v, y define una curva C1 sobre S. El vector tangente a C1 en el punto
Po se obtiene determinando la derivada parcial de r respecto a v.
Análogamente, si hacemos v = vo obtenemos una curva C2 sobre S dada por r ( u , vo )
Y su vector tangente en Po es
Ahora si el vector producto vectorial de los vectores derivadas parciales
es diferente de cero, entonces la superficie S se llama suave (no presenta esquinas)
Para el caso de una superficie suave ,el plano tangente es el plano que contiene los vectores
Definidos por las derivadas parciales y como vector normal al vector
Luego la ecuación del plano tangente a la superficie S, en el punto de tangencia Po y P un
punto cualquiera es.
( P- Po ) . = 0

10. Ejemplo 1
Determine una ecuación del plano tangente a la superficie paramétrica dada en el punto
especificado.
r (u , v ) = u cos v i + u sen v j + v k ; u = 1 , v =
𝜋
3
solución
ru = cos v i + sen v j
rv = -u sen v i + u cos v j + k
evaluando los vectores para u = 1 , v =
𝜋
3
ru =
𝟏
𝟐
i +
√𝟑
𝟐
j
rv = -
√𝟑
𝟐
i +
𝟏
𝟐
j + k
Vector normal ru x rv =
√𝟑
𝟐
i –
𝟏
𝟐
j + k
Punto dado Po = r ( 1 ,
𝝅
𝟑
) = (
𝟏
𝟐
,
√𝟑
𝟐
,
𝝅
𝟑
)
Ecuación del plano tangente
( P – Po ) . ru x rv = 0
Ejemplo 2
Si f (x,y) = 16 – 4x2
– y2
, determine:
a) Las ecuaciones simétricas de las rectas tangentes a las curvas de intersección de la
superficie con los planos y = 2 ; x = 1
b) La ecuación del plano tangente a la superficie en el punto de tangencia.
Ejemplo 3
Identifique la superficie cuya ecuación vectorial es
a) r ( u , v ) = ( u + v ) i + ( 3 – v ) j + ( 1 + 4u + 5v )k
b) r ( u , v ) = ( u , v , v2
– u2
)
Ejemplo 4
Encuentre una representación paramétrica del plano que pasa por el punto Po( 0 , -1 , 5 ) y
contiene a los vectores < 𝟐 , 𝟏 , 𝟒 > 𝒚 < −𝟑 , 𝟐 , 𝟓 >

11. Ejemplo 5
Encuentre una representación paramétrica para la parte del hiperboloide
4 x2
– 4 y2
– z2
= 4 que se encuentra en frente al plano YZ.
Ejemplo 6
Determine una representación paramétrica de la parte de la esfera
X2
+ y2
+ z2
= 4 que se sitúa arriba del cono z = ( x2
+ y2
)1/2
AREA DE UNA SUPERFICIE
Definición. Si una superficie paramétrica suave S está dada por la ecuación
r (u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k ; (u,v) ∈ D
y S es cubierta una sola vez cuando (u,v) varia en todo el dominio D, entonces el área de
la superficie S es.
AREA DE LA SUPERFICIE DE LA GRAFICA DE UNA FUNCION
Para el caso especial de una superficie S cuya ecuación es z = f( x,y ) , donde (x,y) está
en D y f tiene derivadas parciales continuas, considerando a x y y como parámetros.
Las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial respectivamente son
X = x Y = y Z = f ( x , y )
r ( x , y ) = x i + y j + f ( x , y ) k

12. L
Ejemplo 1
calcular el área de la parte del cono z2
= x2
+ y2
, z ≥ 𝟎 que se encuentra dentro del
cilindro x2
+ y2
= 2x.

14. Ejemplo 2
Determine el área de la parte de la superficie y = 4x + z2
que se encuentra entre los planos
x = 0, x = 1, z = 0, z = 1.

15. Ejemplo 3
Encuentre el área de la parte del plano 3x + 2y + z = 6 que se encuentra en el primer
octante.

16. Ejemplo 4
Encuentre el área de la parte del plano x + 2y +3z = 1 que está dentro del cilindro
x2
+ y2
= 3.

17. Ejemplo 5
Encuentre el área de la superficie cuyas ecuaciones paramétricas son:
X = u2
, y = uv , z =
1
2
v2
, 0≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 2

19. INTEGRALES DE SUPERFICIE
Definición Sea S = 𝚪( 𝑫 ) una superficie simple parametrizada por la función
𝚪 ∶ D ⊂ ℝ2
→ ℝ3
y sea 𝒇 ∶ 𝑺 → ℝ una función continua definida sobre la superficie S.
La integral de superficie de la función 𝒇 sobre S, se denota y define como sigue
Donde
𝒅𝑺 = | 𝚪u x 𝚪v | du dv ; diferencial de área de superficie
Observación:
1. Si 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1, ∀ ( x , y , z ) 𝜖 𝑺
Entonces, el área de la superficie S está dado por
2. La Integral de Superficie de la gráfica de una función Z = g ( x , y ) se puede considerar
Como una paramétrica con ecuaciones paramétricas.
X = x , y = y , z = g (x , y), tal que 𝚪 (𝐱, 𝐲) = ( 𝒙 , 𝒚 , g(x,y) )
Luego en este caso se tiene

20. Ejemplos
1. Calcular ∬ 𝑥
S
2
dS donde S: x2
+ y2
= 1 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 1
2. Calcular la integral de superficie de la función
𝑓: 𝑈 ⊆ ℝ3
→ℝ dadas sobre la superficie indicada
a) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 , sobre S = { (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3
/ x2
+ y2
+ z2
= 1 , x ≥ 0 , z ≥ 0 }
b) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 + 𝑦 , sobre S = { (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3
/ x2
+ y2
= 2 , -1 ≤ z ≤ 1 }
c) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = x2
y, sobre la superficie del plano 2x + 3y – 5z = 1, en el
Primer octante.
3. Halle el área de la parte del cono z2
= x2
+ y2
, z ≥ 0 que se encuentra dentro del
cilindro x2
+ y2
= 2x
4. Calcular la integral de superficie para f (x,y) = x2
z + y2
z , siendo S la semiesfera
X2
+ y2
+ z2
= 4; z≥ 0
INTEGRALES DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALES

21. Definición Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una superficie orientada S
Con un vector unitario normal n , entonces la integral de superficie ( o integral de flujo)
de F sobre S es
∬ F ⋅ ⅆS
S
= ∬ 𝐹 ⋅ 𝑛 ⅆ𝑆
𝑆
Si S está definida por una función vectorial 𝚪(u,v), entonces n esta dada por
Y la integral de flujo se puede escribir como
Siendo D dominio de la función vectorial 𝚪 ∶ D ⊂ ℝ2
→ ℝ3
( parametrización de la
superficie S ). Por tanto, se tiene.
Ejemplos
1.Determine el flujo del campo vectorial F(x,y,z) = 18z i -12 j + 3y k a través de la región
del plano 2x + 3y + 6z = 12 situado en el primer octante.
2.Calcule el flujo del campo vectorial F(x,y,z) = 2xy i + z j + y k , a través de la superficie
Cilíndrica x2
+ y2
= 1 , -1 ≤ 𝑧 ≤ 1.

22. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Teorema: Sea E una región solida simple y S la superficie frontera de E, dada con
orientación positiva (hacia afuera). Sea F un campo vectorial cuyas funciones
componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a E.
Entonces,
∬ F ⋅ ⅆS
S
= ∬ 𝐹 ⋅ 𝑛 ⅆ𝑆
𝑆
Ejemplo 1
Sea E la región limitada por la esfera x2
+ y2
+ z2
= 4. Hallar el flujo al exterior del campo
vectorial F(x , y , z) = (2x3
, 2y3
, 2z3
) a través de la esfera.
Ejemplo 2
Hállese el flujo del campo vectorial F(x ,y ,z) = ( 2x , -y , 0) a traves de una parte de la
superficie cilíndrica x2
+ y2
= R2
, x ≥ 0 , y ≥ 0 , 0 ≤ z ≤ H, en dirección de la normal
exterior.
Ejemplo 3
Calcular el flujo de F(x , y , z) = (z cos y , x sen z , xz) a través del tetraedro limitado por los
planos X = 0, Y = 0, Z = 0, 2x + y +z = 2.

23. TEOREMA DE STOKES
Teorema: Sea S una superficie suave por tramos y orientada que está acotada por una
curva C suave por tramos, simple y cerrada con orientación positiva. Sea F un campo
vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta
en ℝ3
que contiene a S. Entonces,
Dado que
El teorema de Stokes establece que la integral de línea alrededor de la curva frontera de S
de la componente tangencial de F es igual a la integral de superficie de la componente
normal del rotacional de F.
Ejemplo 1
Emplear el teorema de Stokes para calcular
Si F(x ,y ,z) = z2
i + x2
j + y2
k ; S: z = 4-x2
-y2
; 0 ≤ z

24. Ejemplo 2
Emplear el teorema de Stokes para calcular
Donde F = (xy , yz , xz ), C es el triángulo de vértices (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1)
Problema 3
Utilice el teorema de Stokes para evaluar ∬ 𝑟𝑜𝑡 𝐹. ⅆ𝑆, siendo el dominio de integración la
superficie S parte del paraboloide z = x2
+ y2
que está dentro del cilindro x2
+ y2
= 4,
orientada hacia arriba. Donde F (x , y , z) = x2
z2
i + y2
z2
j + xyzk.