מצגת הקורס בלוגיקה למדעי המחשב, שנה ב'. במצגת המקורית היו הרבה סימני שאלה [?] אשר נועדו לרמוז שיש צורך בהסבר נוסף. זוהי גירסה מלאה של המצגת, כל השאלות נפתרו וכל הדפים פורמטו מחדש על ידי.

1. ‫משפט 1: נוסחאות ‪ A‬ו- ‪ B‬שקולות אם ורק אם ‪ AB‬היא טאוטולוגיה.‬
‫הוכחה. נובעת מן ההגדרות:‬
‫כיוון ראשון: (נניח ‪ AB‬היא טאוטולוגיה.)‬
‫מהגדרת ‪ A  B‬נובע ש)‪ I(A  B‬אמת רק אם )‪ ,I(A)=I(B‬ומכך שזוהי‬
‫טאוטולוגיה נובע שזה נכון לכל ‪ .I‬לכן, בהכרח ל‪ A‬ול‪ B‬יש את אותם המודלים.‬
‫ולכן מהגדרת השקילות ‪.A  B‬‬
‫כיוון שני: (נניח ‪)A  B‬‬
‫אם ‪ A‬שקול ל‪ ,B‬אז יש ל‪ A‬ול‪ B‬את אותם המודלים. ומכאן שכל פירוש של ‪A‬‬
‫שווה לכל פירוש של ‪ .B‬לכן, מהגדרת ‪ ‬כל פירוש ‪ I‬יהיה מודל של ‪AB‬‬
‫ומכאן שזוהי טאוטולוגיה.‬
‫משפט 2: (שלמות פונקציונאלית). לכל פונקצית אמת קיימת נוסחה המגדירה אותה.‬
‫הוכחה.‬
‫תהיה ‪ f‬פונקצית אמת ‪-n‬מקומית.‬
‫נגדיר }‪Hf={(a1,a2,…,an){F,T}n :f(a1,…,an)=T‬‬
‫(תמונה הפוכה של ‪ T‬ביחס ל- ‪.)f‬‬
‫לכל )‪ x=(a1,a2,…,an‬נשייך נוסחה ‪ ř1ř2… řn = Ax‬כך ש:‬
‫‪ ři‬הוא ‪ ri‬אם ‪ ,T=ai‬אחרת ‪ ři‬הוא ‪ .¬ri‬אז פירוש ‪ l‬מספק את ‪ Ax‬אם"ם‬
‫))‪,x=(l(r1),...,l(rn‬‬
‫כלומר אם"ם ‪.I(r1) = a1, I(r2) = a2, …, I)rn) = an‬‬
‫מהגדרת הקוניונקציה פירוש ‪ I‬ייתן ‪ I(Ax(=T‬אם"ם ‪ I(řj(=T‬לכל ‪ j‬ומהדרך בה‬
‫הגדרנו את הליטרלים, זה יתקיים אך ורק מתי ש ‪ I(rj) = aj‬לכל ‪.j‬‬
‫נגדיר ‪ Af= Ax1Ax2 … Axk‬עבור כל ‪ xi‬מ- ‪.Hf‬‬
‫אז, לכל פירוש ‪ l(Af)=T ,l‬אם"ם קיים ‪ x  Hf‬כך ש ))‪x=(l(r1),...,l(rn‬‬
‫זאת היות ומהגדרת הדיסיונקציה ‪ l(Af)=T‬אם"ם קיים ‪ Axj‬שעבורו‬
‫‪ l(Axj)=T‬והראנו שזה מתקיים אם"ם ))‪,xj=(l(r1),...,l(rn‬‬
‫ז"א )‪.f(l(r1(,…,l)rn))=l(Af‬‬

2. ‫משפט 3: מסקנה. }‪ {¬, }, {¬, }, {¬, ‬הן קבוצות שלמות של קשרים.‬
‫הוכחה.‬
‫ממשפט השלמות הפונקציונאלית נובע שהקבוצה }‪ Q={¬, , ‬היא קבוצה‬
‫שלמה של קשרים.‬
‫( השתמשנו אך ורק בקשרים אלו והראנו שאנו יכולים לבנות כל פונקציית אמת).‬
‫ע"מ להראות שהקבוצות הנתונות הן קבוצות שלמות של קשרים, מספיק להראות‬
‫שנוכל לבנות באמצעותן את הקבוצה ‪.Q‬‬
‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג קוניונקציה ע"י (‪P  Q  ¬)¬P¬Q‬‬
‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג דיסיונקציה ע"י (‪P  Q  ¬)¬P¬Q‬‬
‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג דיסיונקציה ע"י ‪ P  Q  ¬P  Q‬וע"י כך נבנה את }‪.{¬, ‬‬

3. ‫משפט 4: למה. }¬,‪ {‬היא קבוצה לא שלמה של קשרים.‬
‫קוניונקציה יוצרת טבלת אמת בה יש מספר אי זוגי של שורות שנותנות ‪.T‬‬
‫נוכיח באינדוקציה על כמות הקשרים כי כל טבלת אמת עם יותר מאטום אחד‬
‫של נוסחה הבנויה מהקשרים }¬,‪ {‬הינה בעלת כמות זוגית של שורות‬
‫המקבלות את הערך ‪ ,T‬ולכן לא ניתן לבנות קוניוקציה באמצעות קשרים אלו.‬
‫בסיס: (קשר יחיד) הנוסחא היא מהצורה ‪ q  p‬או ‪. ¬p‬‬
‫במצב זה טבלאות האמת יתאימו לטענה:‬
‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪¬p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪qp‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫הנחה: נניח כי עבור נוסחאות בעלות ‪ N‬קשרים או פחות (מהקבוצה }¬,‪,){‬‬
‫הטענה מתקיימת, כלומר, יש כמות זוגית של שורות בטבלת האמת של‬
‫נוסחאות אלו המקבלות ‪.T‬‬
‫צעד: תהי ‪ A‬נוסחה בעלת 1+‪ N‬קשרים מהקבוצה }¬,‪,{‬‬
‫א. ‪ ¬B‬ב. ‪B C‬‬ ‫אז ‪ A‬היא מהצורה:‬
‫מקרה א. מהנחת האינדוקציה, ‪( B‬בעלת ‪ N‬קשרים) היא בעלת כמות זוגית‬
‫של שורות בטבלת האמת שלה שנותנות ‪ .T‬ולכן, מהגדרת השלילה, ‪A‬‬
‫תהיה בעלת מס' זוגי של שורות שיתנו ‪ ,F‬והיות ובטבלת אמת מס' זוגי של‬
‫שורות סה"כ, אז גם מס' זוגי של שורות שיתנו ‪.T‬‬
‫מקרה ב. נסמן ב*‪ B‬את קבוצת השורות של טבלת האמת של ‪ B‬שיתנו ‪,T‬‬
‫ו*‪ ,C‬באופן דומה. מהנחת האינדוקציה |*‪ |B‬ו- |*‪ |C‬זוגיים, כלומר ‪,|B*| =2k‬‬
‫‪ .|C*| =2t‬בסה"כ בטבלת האמת של ‪ A‬יש מספר זוגי של שורות ‪( 2m‬מהיותה‬
‫טבלת אמת). כמות השורות שבהן ‪ A‬אמת היא כמות השורות בהן ‪ B‬ו-‪C‬‬
‫שקר יחד, בנוסף לכמות השורות בהן ‪ B‬ו-‪ C‬אמת יחד, כלומר‬
‫|*‪ 2m - |B*C*| + |B*C‬שורות בהן ‪ A‬נותנת אמת.‬
‫אך מתקיים |*‪ ,|B*C*| = |B*| + |C*| - |B*C*| = 2k + 2t - |B*C‬ולכן‬
‫|*‪ 2 m - |B*C*| + |B*C*| = 2 m - 2k - 2t + 2 |B*  C‬זוגי.‬

4. ‫משפט 5: למה. }‪ {, ‬היא קבוצה לא שלמה של קשרים.‬
‫(כי אי אפשר ליצור שלילה)‬
‫הוכחה. להבדיל מ-‪ ,¬p‬כל נוסחה הבנויה מ- }‪ {, ‬היא אמיתית כאשר כל‬
‫הפסוקים האטומיים שלה אמיתיים. [באינדוקציה על מספר הקשרים בנוסחה – נוכיח‬
‫שתמיד אמת (אין מצב של שלילה)].‬
‫טענה: כל נוסחה הבנויה מ }‪ {, ‬היא אמיתית כאשר כל הפסוקים האטומיים‬
‫שלה אמיתיים.‬
‫הוכחה: (באינדוקציה)‬
‫בסיס: משתמשים ב-0 קשרים, אז הנוסחה היא מהצורה ‪ P‬כאשר ‪ P‬אטום ולכן‬
‫כאשר ‪ P‬אמיתי, הנוסחה אמיתית.‬
‫הנחה: כאשר אנו משתמשים ב-‪ n‬קשרים או פחות, אם כל הפסוקים האטומיים‬
‫אמיתיים, אז גם הנוסחה אמיתית.‬
‫צעד: תהי ‪ A‬נוסחה בעלת 1+‪ n‬קשרים, אם כך, ‪ A‬היא מהצורה:‬
‫‪(a) B  C (b) B  C‬‬
‫ב-‪ B‬וב-‪ C‬יש אם כך פחות מ1+‪ n‬קשרים, לכן, מהנחת האינדוקציה, כאשר כל‬
‫הפסוקים האטומיים ב‪ A‬אמיתיים, אז גם ‪ B‬ו-‪ C‬אמיתיים ומכאן שלפי הגדרת‬
‫הקשרים }‪ ,{, ‬גם ‪ A‬אמיתית.‬

5. ‫משפט 6: מסקנה 1. כל נוסחה שקולה לנוסחה בצורת ‪.DNF‬‬
‫הוכחה.‬
‫אם ‪ f‬היא פונקצית אמת המוגדרת ע"י נוסחה ‪ , B‬אז הנוסחה ‪ Af‬שבנינו‬
‫בהוכחת משפט השלמות הפונקציונאלית שקולה ל-‪ , B‬והיא בצורת ‪.DNF‬‬
‫משפט 7: מסקנה 2. כל נוסחה שקולה לנוסחה בצורת ‪.CNF‬‬
‫הוכחה.‬
‫נניח ש- ‪ f‬היא פונקצית אמת המוגדרת ע"י נוסחה ‪ ,¬B‬ו- ‪ Af‬היא הנוסחה‬
‫המקבילה ב-‪ . DNF‬אז ‪ ¬Af‬שקולה ל-‪ ,B‬וניתן להפוך ‪ ¬Af‬לנוסחה דואלית‬
‫בצורת ‪ CNF‬כי השלילה של נוסחה שקולה לנוסחה דואלית שבה כל משתנה‬
‫מוחלף בשלילה שלו, כל ‪ ‬מוחלף ב ‪ ‬ולהיפך כך שעוברים מ‪ DNF‬ל‪.CNF‬‬
‫משפט 8: אלגוריתם ‪ HORN‬מכריע בעיית ספיקות לנוסחאות הורן.‬
‫הוכחה. אם בנוסחת הורן ‪ A‬יש ‪ n‬אטומים, האלגוריתם מסיים בלא יותר מ-)1+‪(n‬‬
‫צעדים. נוכיח:‬
‫כל ‪ P‬מסומן הוא אמיתי בכל מודל של ‪ A‬באינדוקציה על מספר הצעדים של‬
‫האלגוריתם. בסיס (צעד 1): ‪ T‬אמיתי בכל מודל.‬
‫אם בפסוקית ‪ (Q1... Qn)P‬כל ‪ Qi‬מסומן, אז גם הפסוקית וגם כל ‪( Qi‬בהנחת‬
‫אינדוקציה) חייבים להיות אמיתיים בכל מודל של ‪ .A‬לכן גם ‪ P‬חייב להיות‬
‫אמיתי בכל מודל של ‪ A‬וזה נובע ישירות מהגדרת האימפליקציה.‬
‫(א) אם ‪ ‬מסומן, ‪ A‬לא ספיקה, כי ‪ ‬לא יכול להיות אמיתי.‬
‫(ב) אם ‪ ‬לא מסומן, נגדיר פירוש ‪ l‬שבו האטומים המסומנים, ורק הם, אמיתיים.‬
‫נניח ש-‪ l‬הוא לא מודל של ‪ .A‬אז קיימת פסוקית ‪ (Q1... Qn)P‬של ‪ A‬שהיא‬
‫שקרית ב- ‪.l‬אבל זה אפשרי רק כאשר כל ‪ Qi‬אמיתי (מסומן) ו-‪ P‬שקרי (לא‬
‫מסומן) – סתירה זוהי סתירה לדרך בה הגדרנו את האלגוריתם, שכן בו אם‬
‫)‪ (Q1... Qn‬מסומנים אז נסמן גם את ‪ P‬ולכן ‪ P‬חייב להיות אמיתי במודל ‪I‬‬
‫ומכאן הסתירה. לכן ‪ l‬הוא מודל של ‪ A‬ומכאן ‪ A‬ספיקה.‬

6. ‫משפט 8: אלגוריתם ‪ HORN‬מכריע בעיית ספיקות לנוסחאות הורן.‬
‫הוכחה. (גירסה 2)‬
‫טענה: במהלך האלגוריתם אנו מסמנים פסוקים ‪ P1... Pn‬הטענה שלנו היא‬
‫שכל פסוק שסומן אמיתי בכל מודל של ‪ – A( A‬הנוסחה שלנו).‬
‫נוכיח זאת באינדוקציה על מס' הצעדים של האלגוריתם.‬
‫בסיס: בצעד הראשון אנחנו מסמנים את ‪ T‬ו-‪ T‬אמיתי בכל מודל.‬
‫הנחה: בצעד ה-‪ ,n‬הפסוקים שסימנו עד כה אמיתיים בכל מודל של ‪.A‬‬
‫צעד: בצעד ה-1+‪ n‬נבדוק אם בפסוקית מסויימת מהצורה ‪(Q1... Qn)  P‬‬
‫כל ‪ Qi‬מסומן.‬
‫אם כולם מסומנים אז על מנת שהפסוקית תהיה אמת בהכרח ‪ P‬חייב‬
‫להיות אמת. אנו נמצאים ב‪ CNF‬ולכן ע"מ ש-‪ A‬יהיה אמיתי אז כל‬
‫הפסוקיות חיבות להיות אמיתיות (מתכונת הקוניונקציה), לכן על מנת ש‪A‬‬
‫יהיה אמיתי, ‪ P‬חייב להיות אמיתי ולכן ‪ P‬אמיתי בכל מודל של ‪.A‬‬
‫הוכחנו שכל פסוק שמסומן באלגוריתם אמיתי בכל מודל.‬
‫כעת נוכיח שכאשר האלגוריתם מסתיים, התשובה שהוא נותן נכונה.‬
‫מקרה א': ‪ ‬מסומן. אם כך, אז ‪ A‬לא ספיקה, כי ‪ ‬לא יכול להיות אמיתי, וזה‬
‫סותר את הטענה הקודמת.‬
‫מקרה ב': ‪ ‬לא מסומן. נגדיר פירוש ‪ l‬שבו האטומים המסומנים, ורק הם,‬
‫אמיתיים. נניח ש-‪ l‬הוא לא מודל של ‪ .A‬אז קיימת פסוקית ...‪(Q1‬‬
‫‪ Qn)P‬של ‪ A‬שהיא שקרית ב- ‪.l‬אבל זה אפשרי רק כאשר כל ‪ Qi‬אמיתי‬
‫(מסומן) ו-‪ P‬שקרי (לא מסומן) – סתירה זוהי סתירה לדרך בה הגדרנו את‬
‫האלגוריתם, שכן בו אם )‪ (Q1... Qn‬מסומנים אז נסמן גם את ‪ P‬ולכן ‪P‬‬
‫חייב להיות אמיתי במודל ‪ I‬ומכאן הסתירה.. לכן ‪ l‬הוא מודל של ‪ A‬ומכאן‬
‫‪ A‬ספיקה.‬

7. ‫משפט 9: (תכונות בסיסיות של גרירה)‬
‫הוכחה.‬
‫אם ‪ ,A ‬אז ‪. ╞ A‬‬ ‫1.‬
‫אם ‪ I‬מודל שמספק כל ‪ ,Ai ‬אז הוא בוודאי מספק גם את ‪ ,A‬כי ‪.A ‬‬
‫לכן, כל מודל שמספק את ‪ ‬מספק את ‪.A‬‬
‫אם ‪ , ╞ A‬אז ‪. ,Δ╞ A‬‬ ‫2.‬
‫נניח בשלילה ש‪ ╞ A‬אך ‪ , ,Δ╞ A‬אז קיים פירוש ‪ I‬עבורו כל ‪,Bi ‬‬
‫וכל ‪ Bj  Δ‬אמיתיים, ו-‪ A‬שקרי. אם כל ‪ B ‬אמיתי בפירוש ‪,I‬‬
‫אז מכך ש‪ ╞ A‬נובע שגם ‪ A‬אמיתי בפירוש ‪ - I‬וזוהי סתירה!‬
‫(טרנזיטיביות) אם ‪ , ╞ A‬לכל ‪ ,A Δ‬ו-‪ , Δ╞ B‬אז ‪. ╞ B‬‬ ‫3.‬
‫נניח בשלילה שלכל ‪ Ai  Δ‬מתקיים ‪ ╞ Ai‬ו- ‪ ,Δ╞ B‬אך ‪. ╞ B‬‬
‫אז קיים פירוש ‪ I‬עבורו כל נוסחה ב‪ ‬אמיתית, אך ‪ B‬שקרית. אך מכך שלכל‬
‫‪ Ai  Δ‬מתקיים ‪ , ╞ Ai‬אז כל ‪ Ai‬אמיתי בפירוש ‪ ,I‬ולכן מכך ש‪Δ╞ B‬‬
‫נובע ש‪ B‬אמיתי בפירוש ‪ – I‬סתירה.‬

8. ‫משפט 01: למות הקשרים - הוכחות‬
‫קוניונקציה‬ ‫•‬
‫)‪A,B ╞ A  B (i‬‬
‫נניח בשלילה ‪ A,B ╞ A  B‬אז קיים פירוש ‪ I‬בו ‪I(A)=T, I(B)=T, I(A  B)=F‬‬
‫וזאת בסתירה להגדרת הקוניונקציה.‬
‫)‪A  B ╞ A ; A  B ╞ B (ii‬‬
‫ללא הגבלת הכלליות, נניח בשלילה ‪ A  B ╞ A‬אז קיים ‪ I‬כך ש:‬
‫‪ I(A)=F, I(A  B)=T‬בסתירה להגדרת הקוניונקציה.‬
‫דיסיונקציה‬ ‫•‬
‫(‪B╞ A  B ; A╞ A  B )i‬‬
‫ללא הגבלת הכלליות, נניח בשלילה ‪ A╞ A  B‬אז קיים ‪ I‬כך ש:‬
‫‪ I(A)=T, I(A  B)=F‬בסתירה להגדרת הדיסיונקציה.‬
‫(‪ )ii‬אם ‪ ,A╞ C‬ו- ‪ , ,B╞ C‬אז ‪, AB╞ C‬‬
‫נניח בשלילה ש ‪ ,A╞ C‬ו- ‪ , ,B╞ C‬ו ‪ , AB╞ C‬אז קיים ‪ I‬כך ש:‬
‫לכל ‪ I(x)=T ,x‬ו- ‪ ,I(AB)=T‬אך ‪.I(C)=F‬‬
‫מהגדרת דיסיונקציה, נובע ש‪ I(A)=T‬או ‪ .I(B)=T‬ללא הגבלת הכלליות, נניח‬
‫‪ I(A)=T‬אך מכאן, שכל הנוסחאות ב‪ ,A‬מסופקות תחת פירוש ‪ I‬ולכן מהנתון‬
‫מתקיים ‪ – I(C)=T‬סתירה.‬
‫אימפליקציה‬ ‫•‬
‫)‪ (i‬אם ‪ , ,A╞ B‬אז ‪╞ A →B‬‬
‫נניח בשלילה ‪ ,A╞ B‬ו- ‪ ╞ A →B‬לכן קיים ‪ I‬כך ש:‬
‫לכל ‪ I(x)=T ,x‬ו- ‪ I(A→B)=F‬אז מהגדרת האימפליקציה ‪ I(A)=T‬ו-‪ ,I(B)=F‬אך‬
‫מכאן ש ‪ I‬מספק את ‪ ,A‬ולכן מההנחה ‪ – I(B)=T‬סתירה.‬
‫)‪A, A  B╞ B (ii‬‬
‫נניח בשלילה ‪ A, A  B╞ B‬אז קיים ‪ I‬כך ש: ‪ I(A→B)=T ,I(A)=T‬ו- ‪ I(B)=F‬וזאת‬
‫בסתירה להגדרת האימפליקציה.‬

9. ‫משפט 01: למות הקשרים – הוכחות‬
‫שלילה ושקר‬ ‫•‬
‫)‪ (i‬אם ‪ ,,A╞ ‬אז ‪╞ ¬A‬‬
‫נניח בשלילה ‪ ,,A╞ ‬ו- ‪ ╞ ¬A‬אז קיים ‪ I‬עבורו לכל ‪ I(x)=T , x‬ו- ‪I(¬A(=F‬‬
‫כלומר ‪ .I(A)=T‬מכאן ש-‪ I‬מספק את ‪ ,,A‬אך מכאן שלפי הנתון מתקיים ‪I()=T‬‬
‫וזאת בסתירה להגדרת ‪.‬‬
‫)‪¬¬A╞ A (ii‬‬
‫נניח בשלילה ‪ ¬¬A╞ A‬אז קיים ‪ I‬כך ש ‪ I(¬¬A(=T‬ו- ‪ I(A)=F‬אך מהגדרת שלילה‬
‫נובע: ‪ I(¬¬A(=T  I(¬A(=F  I(A)=T‬ולכן מ‪ I(A)=T‬נובעת סתירה.‬
‫‪╞ A‬‬ ‫)‪(iii‬‬
‫אין פירוש ‪ I‬שמספק ‪ ‬ולכן מתקיים בצורה ריקה שכל פירוש שמספק ‪ ‬מספק גם‬
‫כל דבר אחר.‬
‫משפט 11: מסקנה. ‪ A╞ B‬אם"ם ‪ A →B‬היא טאוטולוגיה.‬
‫כיוון 1: נניח בשלילה ‪ A╞ B‬אך ‪ A →B‬לא טאוטולוגיה.‬
‫אז קיים פירוש ‪ I‬שבו ‪ I(A →B(=F‬ולכן ‪,I(B)=F, I(A)=T‬‬
‫מהגדרת →, בסתירה ל ‪ A╞ B‬שאומר שעבור כל ‪ I‬שמקיים ‪ I(A)=T‬מתקיים גם‬
‫‪ .I(B)=T‬לכן הכיוון הראשון מתקיים.‬
‫כיוון 2: נניח בשלילה ‪ A╞ B‬אך ‪ A →B‬טאוטולוגיה.‬
‫אז קיים פירוש ‪ I‬כך ש ‪ I(B)=F, I(A)=T‬ולכן מהגדרת → נובע ‪I)A →B(=F‬‬
‫בסתירה להיותה טאוטולוגיה ולכן הכיוון השני מתקיים.‬

10. ‫משפט 21: טענת עזר. תהי ‪ Δ‬קבוצה עקבית-סופית ויהי ‪ A‬פסוק כלשהו, אז }‪Δ{A‬‬
‫או }‪ Δ{¬A‬היא ע"ס.‬
‫הוכחה. נניח בשלילה שקיימת קבוצה ‪ Δ‬ע"ס ופסוק ‪ A‬כך ש }‪ Δ{A‬וגם }‪ Δ{¬A‬לא‬
‫ע"ס. אז, ‪ Δ‬חייבת לכלול קבוצות סופיות +‪ Δ‬ו- -‪ Δ‬כך שגם }‪ Δ+{A‬וגם -‪Δ‬‬
‫}‪ {¬A‬לא עקביות. אבל +‪ Δ-Δ‬היא קבוצה עקבית‬
‫כי ‪ Δ-Δ+  Δ‬וסופי ו‪ Δ‬ע"ס, ולכן יש ל+‪ Δ-Δ‬מודל ‪.I‬‬
‫עכשיו, ‪ I‬מספק או ‪ A‬או ‪ ,¬A‬לכן }‪ Δ+{A‬או }‪ Δ-{¬A‬היא עקבית – סתירה.‬
‫משפט 31: הקומפקטיות.‬
‫כל קבוצה לא עקבית של פסוקים מכילה תת-קבוצה סופית לא עקבית.‬
‫הוכחה. תהי ‪ ‬קבוצה ע"ס, ונניח ש- …,‪ A1,A2,…,An‬היא מניה של כל הנוסחאות‬
‫בשפה. נגדיר רשימה של קבוצות ‪Δ0 =‬‬
‫}1+‪ ,Δn{An‬אם ע"ס‬
‫}1+‪ Δn{¬An‬אחרת‬ ‫‪‬‬ ‫1+‪= Δn‬‬
‫לפי טענת עזר, כל ‪ Δn‬היא ע"ס. נגדיר ‪ .Δ= U Δn‬אז ‪ Δ‬היא ע"ס, כי כל תת-קבוצה‬
‫סופית שלה היא גם תת-קבוצה של ‪ Δn‬כלשהי ו‪ Δn‬ע"ס.‬
‫כעת, נראה ש-‪ Δ‬היא עקבית:‬
‫‪ I(p)=T‬אם"ם ‪p Δ‬‬ ‫נגדיר פרוש ‪:I‬‬
‫אם ‪ ,A Δ‬לכל פסוק אטומי ‪ r‬ב-‪ ,A‬נגדיר ‪ ř‬כ- ‪ r‬כאשר ‪ ,r Δ‬אחרת ‪ ř‬הוא ‪.¬r‬‬
‫אז ‪ {ř1, ř2,…, řn,A}  Δ‬היא עקבית בגלל שהיא סופית ו‪ Δ‬ע"ס,‬
‫ולכן יש לה מודל שמתלכד עם ‪ I‬על אטומים של ‪.A‬‬
‫מכאן, ‪ I(A)=T‬זאת היות ו‪ A‬היא פונקציה של ‪ r1,…, rn‬ולכן הערך ש-‪ I‬יתן ל‪ A‬נקבע‬
‫חד משמעית מרגע שנקבעו ערכי האטומים והוא חייב להיות זהה לערך של המודל‬
‫שלנו. ולכן ‪ I‬הוא מודל של ‪ .Δ‬אז ‪ ‬היא עקבית.‬
‫משפט 41: מסקנה. ‪ ╞ A‬אם ורק אם ‪ ‬מכילה קבוצה סופית 0‪ ‬כך ש- ‪. 0╞ A‬‬
‫הוכחה. ‪ ╞ A‬אם"ם ‪,¬A╞ ‬‬
‫נובע מתכונות של גרירה וניתן להוכחה באופן דומה ללמות הקשרים,‬
‫אם"ם }‪  {¬A‬מכילה תת-קבוצה סופית לא עקבית }‪0 {¬A‬‬
‫כיוון 1: מכך ש ‪ ,¬A╞ ‬נובע }‪  {¬A‬לא עקבית ולכן ממשפט הקומפקטיות יש‬
‫לה תת קבוצה סופית לא ספיקה 0‪ ‬ולכן גם }‪ 0 {¬A‬לא ספיקה.‬
‫כיוון 2: מכך ש}‪ 0 {¬A‬לא ספיקה נובע שגם קבוצה שמכילה אותה לא ספיקה‬
‫(}‪ ) {¬A‬ולכן ‪ ,,¬A╞ ‬אם"ם ‪,0 ,¬A╞ ‬‬
‫אם"ם ‪ 0╞ A‬נובע מתכונות של גרירה.‬

11. ‫משפט 51: אם ‪ ,├ A‬אזי ‪.╞ A‬‬
‫דדוקציה טבעית היא מערכת נאותה (מבוססת).‬
‫הוכחה. באינדוקציה על אורך ההוכחות.‬
‫בסיס: 1=‪ .n‬אז ‪ ,A ‬ולכן ‪.╞ A‬‬
‫נניח שאם ל- ‪ Δ├ B‬יש הוכחה באורך <‪ ,n‬אז ‪ .Δ╞ B‬ניקח הוכחה של ‪ A‬מ-‪‬‬
‫באורך ‪ :n‬יש 01 מיקרים בהתאם לאיזה כלל הסק הופעל אחרון כדי לקבל ‪. A‬‬
‫(‪ AB )i‬התקבל מ- ‪ A‬ו-‪ .B‬אז ‪ ╞ A‬ו- ‪ ╞ B‬כי הפעלנו פחות מ-‪ n‬צעדים ע"מ‬
‫להגיע ל-‪ A‬ול-‪ B‬ולכן מהנחת האינדוקציה הם נגררים מ‪, ‬‬
‫ולכן ‪ ╞ AB‬מלמת הקוניונקציה )‪.(i‬‬
‫(‪ A )e‬התקבל ב-‪ e‬מ- ‪ .AB‬אז ‪ ╞ AB‬בהנחת אינדוקציה, ולכן ‪╞ A‬‬
‫מלמת הקוניונקציה )‪ (ii‬וטרנזיטיביות של גרירה.‬
‫(‪ C )e‬התקבל מ- ‪ AB‬ושתי תת-הוכחות. אז מהנחת אינדוקציה ‪,╞ AB‬‬
‫‪ ,B╞ C ,,A╞ C‬ולכן ‪ , AB╞ C‬מלמת הדיסיונקציה )‪ .(ii‬מכאן נובע‬
‫‪ ╞ C‬בטרנזיטיבטות של גרירה.‬
‫)‪ AB (i‬התקבל ע"י ‪( A‬או ‪ )B‬שהופיע באחת השורות הקודמות, ולכן מהנחת‬
‫האינדוקציה ‪( ╞ A‬או ‪ )╞ B‬ומכאן שלפי למת הדיסיונקציה (‪╞ A  B )i‬‬
‫)‪ A →B (→i‬התקבל ע"י כך שניתנה בשורות הקודמות תת הוכחה, שלה נוספה‬
‫הנחה ‪ A‬ולכן מהנחת האינדוקציה ‪ , A╞ B‬ולכן מלמת האימפליקציה (‪)i‬‬
‫‪╞ A → B‬‬
‫(‪ B (→e‬התקבל ע"י ‪ A‬ו- ‪ A →B‬שהופיע בשורות קודמות ולכן מהנחת‬
‫האינדוקציה ‪ ╞ A, A →B‬ומלמת האימפליקציה (‪ A, A →B ╞ B )ii‬ולכן‬
‫מטרנזיטיביות של גרירה ‪.╞ B‬‬
‫(‪ ¬A )¬i‬התקבל ע"י כך שניתנה בשורות הקודמות תת הוכחה לה נוספה ההנחה ‪A‬‬
‫וממנה הגענו ל‪ .‬מהנחת האינדוקציה: ‪ A,╞ ‬ולכן מלמת השלילה והשקר‬
‫)‪ (i‬נובע ‪.╞ ¬A‬‬
‫(‪  )¬e‬התקבל ע"י ‪ A‬ו ‪ ¬A‬בשורות קודמות. לכן מהנחת האינדוקציה ‪ ╞ A‬לכן‬
‫מתכונות של גרירה נובע ‪ , ¬A╞ ‬כמו כן מהנחת האינדוקציה ‪ ╞ ¬A‬ולכן‬
‫מטרנזיטיביות ‪.╞ ‬‬
‫(‪ A )¬¬e‬התקבל ע"י ‪ ¬¬A‬בשורות קודמות ולכן מהנחת האינדוקציה‬
‫ומטרנזיטיביות של גרירה ‪ ╞ ¬¬A‬ולכן מלמת השלילה והשקר (‪.╞A )ii‬‬
‫(‪ A )e‬התקבל ע"י ‪ ‬בשורות קודמות ולכן מהנחת האינדוקציה ‪ ╞ ‬ולכן מלמת‬
‫השלילה והשקר )‪ (iii‬ומטרנזיטיביות של גרירה ‪.╞A‬‬

12. ‫משפט 61:‬
‫מסקנה. תהליך הרזולוציה נאות: כל פסוקית שנגזרה מקבוצת פסוקיות ‪ ‬ע"י‬
‫‪ ,‬אז ‪. A ├ ‬‬‫תהליך הרזולוציה, נובעת לוגית מ-‪ :‬אם )‪Res(A‬‬
‫הוכחה: ניתן להראות (}‪ C, C1├ (C{p})U(C1{¬p‬בדדוקציה טבעית.‬
‫נסמן: ‪C1 =B¬p ,C=Ap‬‬
‫וכמו כן, ‪ p,¬p ├ ‬בדדוקציה טבעית ולכן כל אחד מהצעדים בתהליך הרזולוציה‬
‫מוצדק ע"י דדוקציה טבעית, כך שאם הגענו ‪ ‬אז ‪.A ├ ‬‬
‫ל‬
‫‪.‬‬‫משפט 71: אם נוסחה ‪ A‬לא ספיקה, אז )‪Res(A‬‬
‫הוכחה. אינדוקציה על מספר המשתנים ב-‪.A‬‬
‫בסיס: (משתנה יחיד ‪ )p‬במקרה זה אך ורק נוסחה ‪ {{¬p},{p}}  A‬לא ספיקה.‬
‫}‪{ p} {p‬‬ ‫‪ ‬מתוך שימוש בכלל הרזולוציה‬ ‫לכן )‪Res(A‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬ונוכיח ש-‪ A‬היא ספיקה.‬ ‫צעד: תהי ‪ A‬נוסחה בעלת ‪ n‬משתנים כך ש- )‪Res(A‬‬
‫אם ‪ p‬הוא משתנה ב-‪ ,A‬אז )‪ {¬p}Res(A‬או )‪( {p}Res(A‬אחרת‬
‫‪ .)‬נניח ש- )‪( {¬p}Res(A‬מקרה )‪ {p}Res(A‬הוא דומה ללא‬ ‫)‪Res(A‬‬
‫הגבלת הכלליות, כי אם נניח )‪ {p}Res(A‬אז הטיעון ישאר זהה, רק ‪ p‬ו-‪¬p‬‬
‫יתחלפו).‬
‫}‪Ap={C¬p} | CA, pC‬‬ ‫נגדיר נוסחה‬
‫‪ ‬זאת משום שאם‬ ‫‪ ,‬כי אחרת )‪ {¬p}Res(A‬או )‪Res(A‬‬ ‫אז )‪Res(Ap‬‬
‫נבנה עץ הפרכה ל‪ Ap‬ונקבל בסופו‪ ‬אז אותו עץ ישאר זהה ב‪ A‬מלבד אולי‬
‫תוספת של ‪ ¬p‬בקבוצות השונות, לכן באותו העץ או שישאר‪ ‬או שיוחלף ב‬
‫‪ ‬ו- )‪. {¬p}Res(A‬‬‫}‪ ,{¬p‬אך נתון )‪Res(A‬‬
‫‪ Ap‬בעלת 1-‪ n‬משתנים, (הורדנו את ‪ p‬מ-‪ )A‬מהנחת האינדוקציה, ‪ Ap‬ספיקה‬
‫ולכן יש פירוש מספק ‪ I‬לכל המשתנים שלה. נרחיב ‪ I‬לפירוש של ‪ A‬ע"י קביעה‬
‫‪ .I(p)=T‬ברור שאז ‪ I‬יהיה מודל של ‪ A‬שכן לכל ‪ CA‬או ‪ pC‬ואז ‪ C‬מסופקת‬
‫או ‪ C{¬p} Ap‬ולכן מהגדרת ‪ I‬שוב ‪ C‬מסופקת ומכאן ש ‪ A‬ספיקה.‬

13. ‫משפט 81: אם ‪ ,╞ A‬אזי ‪ ├ A‬בדדוקציה טבעית.‬
‫הוכחה. אם ‪ ,╞ A‬אז ‪ ,¬A╞ ‬ולפי למת הקומפקטיות ‪ ‬מכילה קבוצה סופית‬
‫}‪ {B1, B2,…,Bn‬כך ש ‪ ¬A .B1, B2,…,Bn,¬A╞ ‬וכל ‪ Bi‬ניתן להפוך לנוסחאות‬
‫שקולות ’‪ A‬ו-‪ B’i‬בצורת ‪ CNF‬כך ש ’‪ ¬A├ A‬ו- ’‪ Bi├ Bi‬בדדוקציה טבעית‬
‫המעבר ל‪ CNF‬מתבצע ב-3 שלבים אותם הוכחנו בדוגמאות קודמות:‬
‫(1) סילוק אימפליקציה‬
‫(2) הכנסת שלילה‬
‫(3) פריסה‬
‫‪‬‬‫בגלל שקבוצה }’‪ {B’1, B’2,…,B’n, A‬היא לא ספיקה, )‪Res)A’UB’1U… UB’n‬‬
‫ממשפט הרזולוציה, ומכאן ‪ B’1, B’2,…,Bn, A’├ ‬בדדוקציה טבעית. לכן:‬
‫‪ B1, B2,…,Bn,¬A├ ‬ואז ‪( B1,B2,…,Bn ├ A‬הכנסת ¬ וסילוק ¬¬). לכן ‪.├ A‬‬
‫משפט 91: למה 1א אם }‪ {Γ,xA‬היא קבוצה ספיקה,‬
‫אז }]‪ {Γ,xA,A[c/x‬היא גם ספיקה.‬
‫הוכחה. אם ‪ M‬הוא מודל של }‪ {Γ,xA‬בהשמה ‪ ,l‬נגדיר מודל ’‪ M‬בכך שנקבע‬
‫)‪ M’ .cM=l(x‬הוא מודל של }]‪.{Γ,xA,A[c/x‬‬
‫הוכחה (גירסה שניה). מהנתון }‪ {Γ,xA‬ספיקה. לכן קיימים מודל ‪ M‬והשמה ‪ I‬כך‬
‫ש ‪ ,M,I ╞ xA‬מהגדרת הספיקות נובע שקיימת השמה '‪ I‬השונה מ- ‪ I‬לכל היותר‬
‫ב-‪ x‬כך ש ‪.M,I’ ╞ A‬‬
‫נגדיר מודל ’‪ M‬בכך שנקבע (‪cM’=I’)x‬‬
‫מכאן ש ’‪ M‬הוא מודל של }]‪{Γ,xA,A[c/x‬‬
‫משפט 02: למה 1ב. אם }‪ {Γ,¬xA‬היא ספיקה,‬
‫אז }]‪ {Γ,¬xA,¬A[c/x‬היא גם ספיקה.‬
‫הוכחה. מהנתון }‪ {Γ, ¬xA‬ספיקה. לכן קיימים מודל ‪ M‬והשמה ‪ I‬כך‬
‫ש ‪ ,M,I ╞ ¬xA‬מהגדרת הספיקות נובע שקיימת השמה '‪ I‬השונה מ- ‪ I‬לכל היותר‬
‫ב-‪ x‬כך ש ‪.M,I’ ╞ ¬A‬‬
‫נגדיר מודל ’‪ M‬בכך שנקבע (‪cM’=I’)x‬‬
‫מכאן ש ’‪ M‬הוא מודל של }]‪{Γ, ¬xA, ¬A[c/x‬‬

14. ‫משפט 12: הקומפקטיות.‬
‫כל קבוצה לא ספיקה של פסוקים מכילה תת-קבוצה סופית לא ספיקה.‬
‫הוכחה. לפי למה 1, כל ‪ Δn‬היא ע"ס. נגדיר ‪ .Δ= U Δn‬אז ‪ Δ‬היא ע"ס (למה?). נוכיח‬
‫ש- ‪ Δ‬היא ספיקה. נגדיר מודל ארברן ‪ M‬בשפה המורחבת: עבור קבוע ‪.aM=a ,a‬‬
‫)‪f M(t1,…,tn)= f (t1,…,tn‬‬ ‫עבור סימן פונקציה ‪ f‬ושמות עצם ‪,t1,…,tn‬‬
‫עבור סימן היחס ‪ PM={(t1,…,tn) | P(t1,…,tn)Δ} ,P‬אז ‪ tM=t‬לכל שם עצם סגור ‪,t‬‬
‫ולכן ‪ M‬הוא מודל של ארברן. נוכיח ש-‪ M‬הוא מודל של ‪ Δ‬באינדוקציה על מורכבות‬
‫הפסוקים.‬
‫בסיס. אם )‪ P(t1,…,tn‬הוא פסוק אטומי ו- ‪ ,]¬[P(t1,…,tn)Δ‬אז )‪M╞ ]¬[P(t1,…,tn‬‬
‫מההגדרה.‬
‫צעד אינדוקטיבי. (1) נניח ש- ‪ A Δ‬הוא פסוק מורכב מפסוקים }‪ {B1,...Bn‬בעזרת‬
‫הקשרים. נגדיר ‪ B’i‬כ- ‪ Bi‬כאשר ‪ ,Bi Δ‬אחרת ‪ B’i‬הוא ‪ .¬Bi‬אז ‪ M╞ B’i‬בהנחת‬
‫אינדוקציה. אבל ‪ {B’1,...B’n,A}  Δ‬ספיקה, ולכן יש לה מודל. מכאן,‬
‫‪ B’1,...B’n╞ A‬בתחשיב הפסוקים ולכן ‪.M╞ A‬‬
‫(2) אם ‪ ,xBΔ‬אז קיים קבוע חדש ‪ cn‬כך ש- ‪ B[cn/x]Δ‬ולכן ]‪ M╞ B[cn/x‬בהנחת‬
‫אינדוקציה. אז ‪ M╞ xB‬בהגדרת ספיקות. אותו דבר לגבי ‪.¬xBΔ‬‬
‫(3) אם ‪ ,xBΔ‬אז ‪ B[t/x]Δ‬לכל שם עצם סגור ‪ ,t‬כי }]‪ {xB,¬B[t/x‬היא קבוצה‬
‫לא ספיקה. לכן ]‪ M╞ B[t/x‬בהנחת אינדוקציה ואז ‪ M╞ xB‬בהגדרת ספיקות.‬
‫הוכחנו ש-‪ M‬הוא מודל של ‪ Δ‬ולכן ‪ ‬היא ספיקה.‬ ‫אותו דבר לגבי ‪.¬xBΔ‬‬

15. ‫משפט 22: למה. אם ‪ As‬היא סקולמיזציה של נוסחה ‪ ,A‬אז ‪ A‬ספיקה אם ורק אם‬
‫‪ As‬ספיקה.‬
‫הוכחה. נניח ש- ‪ A= x1…xk-1 xkB‬ו-‬
‫]‪.As= x1…xk-1B[f(x1,…,xk-1)/xk‬‬
‫א) נוכיח ‪ .AS╞ A‬נניח בשלילה ש‪ AS A‬אז ל-‪ As‬יש מודל ‪ M‬שאינו מודל של ‪.A‬‬
‫אז מצד אחד קיימת השמה 1‪ I‬כך ש: ‪ , M, I1 A = x1…xk-1 xkB‬ולכן‬
‫קיימות השמות ‪ I2 ,…, Ik‬כשכל ‪ Ii‬שונה מ- 1-‪ Ii‬לכל היותר ב ‪ xi‬כך שייתקבל‬
‫‪M, I2 x2…xk-1 xkB‬‬
‫⁞⁞‬
‫‪M, Ik xkB‬‬
‫מצד שני ‪ M, Ik ╞ AS‬ולכן מהגדרת הספיקות ]‪.M, Ik ╞ B[f(x1,…,xk-1)/xk‬‬
‫אז אם נגדיר ‪ I‬כהשמה הזהה ל ‪ Ik‬בכל ערך מלבד ‪ xk‬כאשר‬
‫))1-‪ ,I(xk)= Ik(f(x1 ,…,xk‬אז נקבל ‪ – M, I ╞ B‬סתירה.‬
‫כתוצאה, אם ‪ As‬ספיקה, אז ‪ A‬ספיקה.‬
‫ב) נניח ש- )‪ A= x1…xk-1 xkB(x1,…,xk-1,xk‬ספיקה. אז קיים מודל ‪ M‬שבו‬
‫לכל 1-‪ k‬אובייקטים )1-‪ (a1,…,ak‬קיים ‪ ak‬כך שמתקיים ‪.(a1,…,ak-1,ak)  BM‬‬
‫נגדיר פרוש של ‪ f‬ב-‪ M‬כך ש )1-‪ a=fM(a1,…,ak‬רק אם )‪ .BM(a1,…,ak-1,a‬אז‬
‫))1-‪ BM(a1,…,ak-1,f(a1,…,ak‬לכל 1-‪ ,a1,…,ak‬ולכן ‪ M‬הוא מודל של‬
‫]‪ ,x1…xk-1B[f(x1,…,xk-1)/xk‬ז"א ‪ AS‬ספיקה.‬
‫משפט 32: נוסחה בצורת סקולם בשפה הכוללת לפחות קבוע אחד היא‬
‫ספיקה אם ורק אם יש לה מודל של ארברן באותה שפה.‬
‫הוכחה. אם ‪ A‬היא נוסחה ספיקה בצורת סקולם, אז יש לה מודל של ארברן ‪M‬‬
‫בשפה המורחבת. נבנה מודל חדש 1‪ M‬בכך שנגביל תחום של ‪ M‬לשמות‬
‫עצם סגורים בשפה של ‪ A‬בלבד. בגלל ש-‪ A‬היא בצורת סקולם, ברור ש-‬
‫1‪ M‬הוא גם מודל של ‪.A‬‬