שיטות הסתברותיות תרגול 7 2007 Unifor random variable Minimum of random variables Hypergeometry r.v Stochastic dynamic programming Igor Kleiner איגור קליינר Игорь Клейнер вероятностный метод занятие 7

1. ‫הסתברותיות‬ ‫שיטות‬
‫מס‬ ‫תרגול‬'7.
13.04.2007
version 1.
‫מ‬"‫אוניפ‬ ‫מ‬‫ו‬‫רמי‬)‫אחיד‬(,‫מינימום‬)‫מקסימום‬(‫מ‬ ‫סדרת‬"‫ב‬ ‫מ‬"‫ש‬ ‫ת‬"‫ה‬,
‫מ‬"‫היפר‬ ‫מ‬‫גיאומטר‬‫י‬.
‫סטוכסטי‬ ‫דינאמי‬ ‫תכנות‬.
1.‫מ‬"‫אחיד‬ ‫מ‬:
‫א‬.‫דוגמא‬:
‫אחד‬ ‫פעם‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬.‫מ‬ ‫נגדיר‬"‫מ‬X‫ל‬ ‫שהווה‬ ‫להיות‬‫ערך‬
‫ש‬‫התקבל‬.‫אזי‬:
654321X
161616161616Pr(X=x)
‫ב‬.‫נאמר‬‫כי‬‫משתנה‬‫מקרי‬‫בדיד‬X‫מפולג‬‫אחיד‬‫עם‬‫פרמטר‬‫ים‬,
‫ג‬.[a,b],‫כאשר‬a,b‫מספר‬‫ים‬‫של‬‫מים‬,‫ונסמן‬X ~ U[a,b]‫אם‬
‫ל‬-X‫פונקצית‬‫ההסתברות‬‫הבאה‬:




=
+−==
otherwise
bax
ababxXPxXP
0
,...,2,
1
1
),;()(
‫ד‬.‫קודמת‬ ‫בדוגמא‬ ‫הערה‬a=1,b=6.
‫ה‬.‫ת‬‫רגיל‬:
‫חשב‬EX,‫כאשר‬X ~ U[1,N]
‫פתרון‬:
2
)1(
2
)1(111
)Pr(
111
+
=
+
===== ∑∑∑ ===
NNN
N
x
NN
xxXxEX
N
x
N
x
N
x
‫ו‬.‫תרגיל‬:

2. ),0(
),0(
NUY
NUX
≈
≈
‫כאשר‬X‫ו‬-Y‫מ‬"‫ב‬ ‫מ‬"‫ת‬.‫נגדיר‬:YXD +=.
‫את‬ ‫מצא‬)(dPD.
‫פתרון‬:







≤<=−==
≤≤=−==
==
∑
∑
−=
=
NdNiXidYPiXP
NdiXidYPiXP
dDP N
Ndi
d
i
2)|()(
0)|()(
)(
0
‫אזי‬:







+
+−
+
+
==
2
2
)1(
12
)1(
1
)(
N
dN
N
d
dDP
2.‫מינימום‬)‫מכסימום‬(‫מ‬ ‫בין‬"‫ב‬ ‫מ‬"‫התפלגות‬ ‫שווי‬ ‫ת‬:
‫א‬.‫יהו‬nXXX ,..., 21‫מ‬"‫ב‬ ‫מ‬"‫ש‬ ‫ת‬"‫ה‬.(iid)
‫מ‬ ‫נגדיר‬"‫מ‬Z‫ידי‬ ‫על‬:),...,max( 21 nXXXZ =
‫מצא‬:)(zFZ
‫פתרון‬:
n
XXX
nn
nZ
zFzFzF
zXzXzXzX
zXXzZzF
n
)]([)(*...*)(
))Pr(*...*)Pr(),...,Pr(
)),...,Pr(max()Pr()(
11
11
1
==
=≤≤=≤≤=
=≤=≤=
‫ב‬.‫יהו‬nXXX ,..., 21‫מ‬"‫ב‬ ‫מ‬"‫ש‬ ‫ת‬"‫ה‬.
‫מ‬ ‫נגדיר‬"‫מ‬Z‫ידי‬ ‫על‬:),...,min( 21 nXXXZ =
‫מצא‬:)(zFZ
‫פתרון‬:

3. n
XXX
nn
nZ
zFzFzF
zXzXzXzX
zXXzZzF
n
])([)(*...*)(
))Pr(*...*)Pr(),...,Pr(
)),...,Pr(min()Pr()(
11
11
1
==
=>>=>>=
=>=>=
‫ג‬.‫משפט‬:
‫אם‬)( pGX ≈‫אזי‬
x
X pxF )1()( −=
‫הוכחה‬:
x
X plucknotistrialsxfirstxXxF )1()Pr()Pr()( −==>=
‫ד‬.‫תרגיל‬:
n‫אנשים‬‫הבא‬ ‫במשחק‬ ‫משחקים‬:
‫מ‬ ‫אחד‬ ‫כל‬‫השחקנים‬‫מטיל‬‫עד‬ ‫סימטרית‬ ‫קובייה‬‫אשר‬‫יקבל‬
"6"‫הראשונה‬ ‫בפעם‬.
‫מ‬ ‫סדרת‬ ‫נגדיר‬"‫מ‬
n
iiX 1}{ =,‫כאשר‬iX‫הטלות‬ ‫לכמות‬ ‫שווה‬
‫מספר‬ ‫שחקן‬ ‫שבוצע‬i.
‫מ‬ ‫נגדיר‬"‫מ‬Z‫ידי‬ ‫על‬:)}min({ 1
n
iiXZ ==
‫מצא‬:‫של‬ ‫הסתברות‬ ‫פונקצית‬Z.
‫פת‬‫ר‬‫ון‬:
‫את‬ ‫קודם‬ ‫נמצא‬)(zFZ.














−−














−=














−==
=
n
znnz
n
XZ
n
i
GZ
zFzF
XXXZ
pGX
6
1
11~
6
1
1
6
1
1])([)(
),...,min(
)(~
1
21

4. 3.‫תרגיל‬:
‫א‬.‫בערימה‬n‫אבנים‬.
‫בהסתברות‬ ‫אבן‬ ‫כל‬ ‫מערימה‬ ‫מוצאים‬ ‫ראשון‬ ‫בשלב‬p‫ב‬ ‫באופן‬"‫בשאר‬ ‫ת‬
‫האבנים‬.
‫השלב‬ ‫על‬ ‫חוזרים‬ ‫אבנים‬ ‫בערימה‬ ‫נותרו‬ ‫אם‬.‫שלא‬ ‫עד‬ ‫ממשיכים‬ ‫וכך‬
‫תישא‬‫ר‬‫בערימה‬ ‫אבן‬ ‫אף‬.
‫יהי‬X‫מ‬"‫שבוצע‬ ‫שלבים‬ ‫מספר‬ ‫הסופר‬ ‫מ‬.‫את‬ ‫חשב‬)( xXP =.
‫פתרון‬:
‫ב‬ ‫נסמן‬-iX-‫מס‬ ‫אבן‬ ‫של‬ ‫החיים‬ ‫אורך‬'i.
[ ] [ ]n
X
n
X
nnn
i
n
n
kFkF
kXXPkXXPkXXP
pGX
kXXPkXP
pXP
)1()(
)1),...,(max()),...,(max()),...,(max(
)(~
)),...,(max()(
)1(
11
111
1
−−=
=−≤−≤==
===
==
4.‫מ‬"‫היפרגאומטרי‬ ‫מ‬.
‫א‬.‫דוגמא‬:
‫בכד‬M‫כדורים‬,‫מתוכם‬K‫ו‬ ‫שחורים‬-M-K‫לבנים‬.‫מוציאים‬
‫החזרה‬ ‫ללא‬n‫כדורים‬.‫נגדיר‬‫מ‬"‫מ‬X-‫הכדורים‬ ‫מספר‬‫השחורים‬
‫במדגם‬.‫אזי‬
rangesuitablefor
n
M
xn
kM
x
K
xX












−
−






== )Pr(
‫ב‬.‫הגדרה‬
‫בדיד‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ ‫כי‬ ‫נאמר‬X‫היפרגאומטרית‬ ‫מפולג‬,‫פרמטרים‬ ‫עם‬K , M‫ו‬-
n,‫ונסמן‬X ~ HG(M,K,n)‫ל‬ ‫אם‬-X‫הבאה‬ ‫ההסתברות‬ ‫פונקצית‬:








=












−
−
⋅





==
otherwise0
n,...,1,0x
n
M
xn
KM
x
K
)n,K,M;x(
X
P)x(
X
P

5. ‫כאשר‬M‫מספר‬‫שלם‬‫חיובי‬,K‫מספר‬‫שלם‬‫לא‬‫שלילי‬‫הקטן‬/‫שווה‬
M,‫ו‬-n‫מספר‬‫שלם‬‫חיובי‬‫הקטן‬/‫שווה‬M.
‫ג‬.‫משתנה‬‫מקרי‬‫היפרגאומטרי‬‫סופר‬‫את‬‫מספר‬‫הפריטים‬‫מסוג‬‫א‬'
‫במדגם‬‫מגודל‬n‫שנלקח‬‫מאוכלוסייה‬‫מגודל‬M,‫מתוכה‬K‫פריטים‬
‫מסוג‬‫א‬'‫והיתר‬K-M‫מסוג‬‫ב‬'.
‫ד‬.‫משפט‬:
‫אם‬X ~ H(M,K,n),‫אזי‬
M
K
nXE ⋅=)(
‫הוכחה‬:
‫מ‬ ‫בעזרת‬"‫מתאים‬ ‫אינדיקאטור‬ ‫מ‬.
‫מ‬ ‫של‬ ‫סדרה‬ ‫נגדיר‬"‫מ‬kXX ,...,1‫ידי‬ ‫על‬:
‫אזי‬:
m
n
kkEXEX
M
n
XPEX ii
==
===
1
)1(
‫ה‬.‫של‬ ‫שונות‬X‫מ‬ ‫בעזרת‬ ‫למצוא‬ ‫קל‬"‫אינדיקא‬ ‫מ‬‫טור‬.
5.‫סטוכסטי‬ ‫דינאמי‬ ‫תכנות‬.
‫א‬.‫בקורס‬‫בעזרת‬ ‫אותם‬ ‫לפתור‬ ‫היה‬ ‫שניתן‬ ‫בבעיות‬ ‫נתקלנו‬ ‫אלגוריתמים‬
‫דינאמי‬ ‫בתכנות‬ ‫שימוש‬.
‫ב‬.‫מסוים‬ ‫מבנה‬ ‫היה‬ ‫האלו‬ ‫לבעיות‬:‫אופטימאליות‬ ‫תת‬.
‫ג‬.‫דטרמיניסטיות‬ ‫היו‬ ‫שפתרנו‬ ‫הבעיות‬.
‫ד‬.‫סוג‬ ‫מאותו‬ ‫בעיות‬ ‫נפתור‬ ‫היום‬,‫הסתברות‬ ‫להם‬ ‫נוסיף‬ ‫כאשר‬.



=
else
redisiballthe
Xi
0
1

6. ‫ה‬.‫תרגיל‬:
‫נסתכל‬‫הבא‬ ‫במשחק‬:
‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫להטיל‬ ‫ניתן‬3‫פעמים‬.
‫לעצור‬ ‫ניתן‬ ‫זריקה‬ ‫כל‬ ‫אחרי‬‫המשחק‬ ‫את‬.
‫שקיבלנו‬ ‫אחרון‬ ‫לערך‬ ‫שווה‬ ‫שנקבל‬ ‫הפרס‬.
‫לקבל‬ ‫שניתן‬ ‫המקסימאלית‬ ‫הרווח‬ ‫ותוחלת‬ ‫אופטימאלית‬ ‫מדיניות‬ ‫מצא‬
‫זאת‬ ‫במדיניות‬ ‫משתמשים‬ ‫כאשר‬.
‫פתרון‬:
‫נגדיר‬)(zFi‫כ‬‫תו‬‫אחרי‬ ‫מייד‬ ‫לקבל‬ ‫שניתן‬ ‫האופטימאלית‬ ‫הרווח‬ ‫חלת‬
‫מסי‬ ‫זריקה‬ ‫שביצענו‬i‫ה‬ ‫כאשר‬‫תוצאה‬‫האחרונה‬‫ל‬ ‫שווה‬-z.
‫אזי‬:
zzF =)(3.‫זריקה‬ ‫ביצענו‬ ‫אם‬‫שלישית‬)‫אחרונה‬ ‫זריקה‬(‫תוחלת‬ ‫אזי‬
‫שו‬ ‫הרווח‬‫ו‬‫הזריקה‬ ‫של‬ ‫לתוצאה‬ ‫ה‬)‫השאלה‬ ‫תנאים‬ ‫לפי‬(.
‫את‬ ‫נחשב‬ ‫כאת‬)(2 zF‫בעז‬‫רת‬)(3 zF)‫דינאמי‬ ‫תכנות‬.(‫אנו‬ ‫כאשר‬
‫שנייה‬ ‫זריקה‬ ‫תוצאת‬ ‫רואים‬-z,‫להחליט‬ ‫עלינו‬:‫פרס‬ ‫ולקבל‬ ‫לעצור‬
z,‫ל‬ ‫שווה‬ ‫שלו‬ ‫שתוחלת‬ ‫פרס‬ ‫נקבל‬ ‫ואז‬ ‫להמשיך‬ ‫או‬-5.3)(3 =zEF.
‫אנ‬‫ו‬‫תוחלת‬ ‫של‬ ‫מקסימום‬ ‫לקבל‬ ‫רוצים‬‫הרווח‬‫לכן‬:
25.4)(
]5.3,[max)](,[max)(
2
,3,2
=
==
zEF
zzEFzzF continuestopcontinuestop
‫נחש‬ ‫כאת‬‫את‬ ‫ב‬)(1 zF‫בעזרת‬)(2 zF.‫כא‬‫תוצאת‬ ‫רואים‬ ‫אנו‬ ‫שר‬
‫ראשונה‬ ‫זריקה‬-z,‫להחליט‬ ‫עלינו‬:‫פרס‬ ‫ולקבל‬ ‫לעצור‬z,‫או‬
‫ל‬ ‫שווה‬ ‫שלו‬ ‫שתוחלת‬ ‫פרס‬ ‫נקבל‬ ‫ואז‬ ‫להמשיך‬-25.4)(2 =zEF.‫ולכן‬:
)6(66.4)(
]25.4,[max)](,[max)(
1
,2,1
=
==
zEF
zzEFzzF continuestopcontinustop
‫לקר‬ ‫נמצאים‬ ‫אנו‬ ‫המשחק‬ ‫בתחילת‬‫ראשונה‬ ‫זריקה‬ ‫את‬,‫תוחלת‬ ‫ולכן‬
‫ל‬ ‫שווה‬ ‫האופטימאלית‬ ‫הרווח‬-)6.(4)(1 =zEF.‫המדינ‬‫יות‬
‫בטבלה‬ ‫רשומה‬ ‫האופטימאלית‬:

7. F1(Z)F2(Z)F3(Z)z
4.25(cont)3.5(cont)1(stop)1
4.25(cont)3.5(cont)2(stop)2
4.25(cont)3.5(cont)3(stop)3
4.25(cont)4(stop)4(stop)4
5(stop)5(stop)5(stop)5
6(stop)6(stop)6(stop)6
4.66(6)4.243.5EF(Z)
‫ראשונה‬ ‫בזריקה‬ ‫קיבלנו‬ ‫אם‬ ‫למשל‬4,‫ותוחלת‬ ‫היות‬ ‫להמשיך‬ ‫עלינו‬
‫ל‬ ‫שווה‬ ‫ונמשיך‬ ‫במקרה‬ ‫הרווח‬-4.25.