Statistika Bisnis STIE MDP

1. REGRESI NON LINEAR
DAN TREND
Maidiana Astuti, SE, MSi

2. REGRESI LINEAR BERGANDA
Apabila terdapat lebih dari dua variabel, maka
hubungan linear dapat dinyatakan dalam
persamaan regresi linear berganda sebagai
berikut :
Y’= b0 + b1X1 + b2X2 + . . . + bkXk
Y’ = variabel tidak bebas
Terdapat k varibel bebas, yaitu X1, . . . , Xk

3. Untuk menghitung b0, b1, b2, . . . , bk kita gunakan metode
kuadrat terkecil yang menghasilkan persamaan normal
sebagai berikut :
b0 n + b1 X1 + b2 X2 + . . . + bk Xk = Y
b0 X1 + b1 X1 X1 + b2  X1X2 + . . . + bk  X1Xk = X1Y
b0 X2 + b1 X1 X2 + b2  X2X2 + . . . + bk  X2Xk = X2Y
. . . . .
. . . . .
. . . . .
b0 Xk + b1 X1 Xk + b2  X2Xk + . . . + bk  XkXk = XkY

4. Kalau persamaan ini dipecahkan, kita akan memperoleh nilai b0, b1,
b2, . . . , bk. Kemudian dapat dibentuk persamaan regresi linear
berganda.
Apabila persamaan regresi itu telah diperoleh, barulah kita dapat
meramalkan nilai Y ;
dengan syarat kalau nilai X1, X2, . . . ., Xk sebagai variabel bebas sudah
diketahui.
Misalkan: k =2, maka Y’ = b0 + b1X1 + b2X2, satu variabel tak bebas(Y),
dan dua variabel bebas (X1 dan X2), maka b0, b1, dan b2
dihitung dari persamaan normal berikut :
b0 n + b1 X1 + b2 X2 = Y
b0 X1 + b1 X1 X1 + b2  X1X2 = X1Y
b0 X2 + b1 X1 X2 + b2  X2X2 = X2Y

5. Persamaan diatas dapat dinyatakan
dalam persamaan matriks berikut :
 
   H
YX
YX
Y
b
b
b
b
A
XXXX
XXXX
XXn







































2
1
2
1
0
2
2212
21
2
11
21

6. Variabel b dapat diselesaikan dengan cara
sebagai berikut :
 
 
 
 
 
 A
A
b
A
A
b
A
A
b
det
2det
2,
det
1det
1,
det
0det
0 
















2
2212
21
2
11
21
XXXX
XXXX
XXn
A

7. det(A0) = (Y) (X1X1) (X2X2) + (X1) (X1X2) (X2Y) +
(X2) (X1Y) (X1X2) – (X2Y) (X1X1) (X2) –
(X1X2) (X1X2) (Y) – (X2X2) (X1Y) (X1)
det(A) = (n) (X1X1) (X2X2) + (X1) (X1X2) (X2) +
(X2) (X1) (X1X2) – (X2) (X1X1) (X2) –
(X1X2) (X1X2) (n) – (X2X2) (X1) (X1)
















2
2212
21
2
11
21
0
XXXYX
XXXYX
XXY
A

8. det(A2) = (n) (X1X1) (X2Y) + (X1) (X1Y) (X2) +
(Y) (X1) (X1X2) – (X2) (X1X1) (Y) –
(X1X2) (X1Y) (n) – (X2Y) (X1) (X1)














YXXXX
YXXX
YXn
A
2212
1
2
11
1
2

9. Korelasi Berganda :
Apabila kita mempunyai tiga variabel Y, X1, X2,
maka korelasi X1 dan Y dirumuskan :



22
1
1
11
iyix
iyix
yryxr

10. Korelasi X2 dan Y digambarkan
dengan rumus berikut :



22
2
2
22
ii
i
yyx
yx
yix
rr

11. Korelasi X1 dan X2 digambarkan
dengan rumus berikut :


2
2
2
1
21
1221
ii
i
xx
xx
xx
rr i

12. Untuk mengetahui kuatnya
hubungan antara variabel Y dengan
beberapa variabel X lainnya
digunakan koefisien korelasi linear
berganda (KKLB)
2
12
1221
2
2
2
1
12.
1
2
r
rrrrr
RKKLB
yyyy
y




13. Apabila KKLB dikuadratkan, maka akan
diperoleh koefisien penentuan (KP),
yaitu suatu nilai untuk mengukur
besarnya sumbangan dari beberapa
variabel X terhadap naik-turunnya Y.
Y’ = b0 + b1X1 + b2X2,
Apabila dikalikan dengan 100% akan
diperoleh persentase sumbangan X1 dan
X2 terhadap naik-turunnya Y.

14. Koefisien Korelasi Parsial :
Kalau variabel Y berkorelasi dengan X1 dan X2,
maka koefisien korelasi antara Y dan X1 (X2
konstan), antara Y dan X2 (X1 konstan), dan
antara X1 dan X2 (Y konstan) disebut
Koefisien Korelasi Parsial (KKP)

15. Koefisien korelasi parsial X1 dan Y, kalau X2 konstan
Koefisien korelasi parsial X2 dan Y, kalau X1 konstan
2
12
2
2
1221
2.1
11 rr
rrr
r
y
yy
y



2
12
2
1
1212
1.2
11 rr
rrr
r
y
yy
y




16. Koefisien korelasi parsial X2 dan Y, kalau X1
konstan
2
2
2
1
2112
.12
11 yy
yy
y
rr
rrr
r




17. TREND PARABOLA
Garis trend pada dasarnya adalah garis regresi di
mana variabel bebas X merupakan variabel
waktu. Baik garis regresi maupun trend dapat
berupa garis lurus maupun tidak lurus.
Persamaan garis trend parabola adalah
sebagai berikut :
Y’ = a + bX + cX2

18. Perhatikan bahwa bentuk persamaa seperti
persamaan garis regresi linear berganda
adalah Y’ = b0 + b1X1 + b2X2, di mana b0 = a,
b1 = b, b2 = c, X1 = X, dan X2 = X2. Dengan
demikian cara menghitung koefisien a, b,
dan c sama seperti menghitung b0, b1, dan
b2, yaitu menggunakan persamaan normal
sebagai berikut :

19. a n + b X + c X2 = Y
a X + b X2 + c X3 = XY
a X2 + b X3 + c X4 = X2Y

20. TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA)
Ada beberapa jenis trend yang tidak linear tetapi
dapat dibuat linear dengan jalan melakukan
transformasi (perubahan bentuk). Misalnya, trend
eksponensial : Y’ = abx dapat diubah menjadi trend
semi log:
log Y’ = log a + (log b)X;
log Y’ = Y’0; log a = a0 dan log b = b0.
Dengan demikian, Y’0 = a0 + b0X, dimana koefisien
a0 dan b0 dapat dicari berdasarkan persamaan
normal.

21. TREND EKSPONENSIAL YANG DIUBAH
Bentuk Y’ = abx dapat dikonversi dengan jalan
menambahkan bilangan konstan k. Dengan
demikian, persamaan menjadi:
Y’ = k + abx
Tergantung pada nilai a dan b, maka bentuk kurva
Y’ = K + abx dapat berubah-ubah.

22. Oleh karena bentuk trend (regresi)
eksponensial yang diubah tidak dapat
dijadikan bentuk linear dengan jalan
transformasi, maka untuk memperkirakan
atau menghitung nilai koefisien a dan b
tidak dapat digunakan metode kuadrat
terkecil. Jadi disini harus dipergunakan cara
lain, yaitu dengan memilih beberapa titik.
Caranya adalah sebagai berikut :

23. Y
k
X
0 2 4

24. Kita peroleh tiga titik, yaitu :
X = 0, X = 2, X = 4
Y1 = k + ab0 = k + a
Y2 = k + ab2
Y3 = k + ab4
Dalam 3 persamaan diatas terdapat 3
bilangan konstan yang tidak diketahui, yaitu
k, a, dan b. Dengan melakukan pemecahan
terhadap persamaan diatas, kita peroleh:

25. 12
232
2
12
1
1
YY
YY
b
b
YY
a
aYk








26. Apabila banyaknya tahun antara Y1, Y2, dan Y3
bukan 2 tahun, akan tetapi t tahun, maka
rumus untuk menghitung k, a, dan b adalah
sebagai berikut:
12
23
12
1
1
YY
YY
b
b
YY
a
aYk
t
t








27. TREND LOGISTIK
Trend logistik biasanya dipergunakan untuk
mewakili data yang menggambarkan
perkembangan/pertumbuhan yang mula-mula
cepat sekali, tetapi lambat laun agak lambat,
dimana kecepatan pertumbuhannya makin
berkurang sampai mencapai suatu titik jenuh.

28. Bentuk trend logistik misalnya sebagai berikut :
Bilangan konstan k, a, dan b dapat dicari dengan cara
seperti trend eksponensial yang diubah, yaitu
memilih beberapa titik.
bxa
k
Y


101
'

29. Kita pilih 3 titik T1, T2, T3 denngan nilai (X = 0;Y0), (X =
2; Y2), dan (X = 4; Y4).
Setelah nilai X dimasukkan ke persamaan trend
logistik, kita dapat mencari persamaan untuk T
sebagai berikut.
ba
ba
a
k
T
k
T
k
T
43
22
1
101
101
101









30. Dari 3 persamaan tersebut diatas, dapat kita
peroleh pemecahan yang memberikan nilai
b, a, dan k, sebagai berikut :
 
 123
231
log2
TTT
TTT
b



12
2
21
10
log
TT
TT
a b



 a
Tk 1011 

31. Pada umumnya, kalau titik yang diambil
berjarak t tahun, maka.
 
 123
231
log
TTT
TTT
tb



12
21
10
log
TT
TT
a tb



 a
Tk 1011 

32. TREND GOMPERTZ
Trend Gompertz biasanya dipergunakan untuk
meramalkan jumlah penduduk pada usia tertentu.
Trend Gompertz, bentuknya sebagai berikut :
Di mana k, a, dan b konstan.
k
bkaY '