Dokumen tersebut membahas tentang metode-metode untuk menentukan konvergensi atau divergensi deret positif, yaitu: uji awal, uji banding, uji nisbah D'Alembert, dan uji integral. Metode-metode tersebut diterangkan beserta contoh penerapannya.

1. 1
DERET POSITIF
adalah deret yang semua sukunya terdiri dari
bilangan konstan bertanda positif




1
321 ...
n
nn aaaaa
Beberapa untuk menentukan konvergensi deret
positif:
1.Uji awal
2.Uji banding
3.Uji nisbah D’Alembert
4.Uji integral

2. 2
UJI AWAL:
Uji awal dapat digunakan untuk mendeteksi deret yang sudah pasti divergen.
Misalkan diberikan deret sbb:




1
321 ...
n
nn aaaaa
Untuk menerapkan uji awal, dihitung nilai: n
n
a

lim
Jika:
1). ,maka deret tersebut pasti divergen
2). ,maka deret tersebut mungkin konvergen
0lim 

n
n
a
0lim 

n
n
a
Contoh 1:
1-(1/3)+(1/9)-(1/27)+…, deret konvergen karena sukunya terus menurun
menuju nol.
Contoh 2:
1+3+9+27+…, deret divergen karena sukunya terus bertambah tidak menuju
nol.
Contoh 3:
Deret harmonis: 1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+…+(1/n), limitnya:
Deret mungkin konvergen/divergen, perlu uji konvergensi yang lain.
0/1lim 

n
n

3. 3
UJI BANDING:
Deret positif akan konvergen jika setiap suku dalam deret < suku seletak pada
deret positif lain yang konvergen.(UB01)
Deret positif akan divergen jika setiap sukunya > suku seletak pada deret
positif lain yang divergen.(UB02)
Contoh 1:
Ujilah deret berikut ini: 1+(1/22)+(1/33)+(1/44)+…+(1/nn)
Diambil deret konvergen lain (deret ukur) sebagai pembanding:
1+(1/22)+(1/23)+(1/24)+…+(1/2n)
Jika dibandingkan suku leletaknya, mulai suku ketiga diperoleh:
(1/33)<(1/23), (1/44)<(1/24), …, jadi: 1/nn<1/2n untuk n=3,4,5,…
Kesimpulan: sesuai UB01, maka deret KONVERGEN.
CATATAN:
Deret pembanding: (1/1p)+(1/2p)+(1/3p)+(1/4p)+…+(1/np)
Jika p>1, maka deretnya konvergen
Jika p≤1, maka deretnya divergen

4. 4
Contoh 2:
Ujilah deret berikut ini:
(1/(1.2))+(1/(2.3))+(1/(3.4))+(1/(4.5))+…+(1/(n.(n+1)))+…
Jawab:
Jika digunakan deret pembanding untuk p=2, maka:
(1/12)+(1/22)+(1/32)+(1/42)+…
Dari pembandingan suku seletak diperoleh:
1/(1.2)<1/12, 1/(2.3)<1/22, 1/(3.4)<1/32
Kesimpulan: sesuai UB01, maka deret KONVERGEN.
…lanjutan

5. 5
UJI NISBAH D’ALEMBERT:
Untuk menentukan konvergensi/divergensi suatu deret positif:
Caranya sbb (UND):
1.Tentukan suku ke-n dari deret positif tersebut: an
2.Tentukan suku ke-(n+1): an+1
3.Hitung besaran berikut:
Jika:
<1, maka deret konvergen; >1, maka deret divergen
=1, maka deret mungkin divergen, mungkin pula konvergen (uji D’Alembert
tidak dapat digunakan)


1n
na
n
n
n a
a 1
lim 


Contoh 1:
Ujilah deret berikut ini: (1/1)+(3/2)+(5/22)+(7/23))+…=
Jawab: mengacu UND, maka:
Sehingga:
Kesimpulan: karena <1, maka deret KONVERGEN.




0 2
12
n
n
n
nn
n
a
2
12 
 11
2
32


 nn
n
a
2
1
12
2
.
2
32
lim 1



  n
n n
nn


6. 6
UJI INTEGRAL:
Untuk uji konvergensi/divergensi deret positif: dengan uji integral, lebih
dulu dihitung:
Jika:
I bernilai tertentu, maka deret konvergen
I=±∞, maka deret divergen
Contoh 1:
Ujilah deret berikut ini: 1+(1/22)+(1/32)+(1/42))+…
Jawab:
Bentuk umum suku ke-n: 1+(1/22)+(1/32)+(1/42))+…+(1/n2)=
maka:
Kesimpulan: karena I=1, maka deret KONVERGEN.


1n
na



1
dnaI n


1
2
/1
n
n




1
1
2
11/1/1|/1/1 ndnnI

7. 7
LATIHAN:
1. Ujilah kedivergenan deret berikut dengan uji awal:
a. 1/3 + 2/5 + 3/7 + …
b. 1+ 1/22 + 1/33 +1/44 + …
c. 1/2 + 2/3 + 3/4 + …
2. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji banding:
a. 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/n.(n+1) + …
b. 1 + 1/2 + 1/ 3 + …
3. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji nisbah d’Alembert:
a. ½ + (1/2).(2/22) + (1/3).(3/23) + …
b. 1 + 1/2! + 1/3! + …
4. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji integral:
a. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …
b. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/27 + …

8. 8
5. Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:
a.
b.
c.
d.
e.
…lanjutan


 1
2
9
1
n n


2 ln
1
n nn


0
3
2
3
n
n


0 !n
n
n
e


2
2/3
1
n n