CS Calculus, DT, 1415, les 6, GvanAlst

1. Captica Selecta Calculus
DT 14-15
Les 6
Gerard van Alst

2. Huiswerkbespreking
• Zijn er nog vragen over de
huiswerkopgaven?
• (par. 14.3: 3, 5, 7, 10, 15, 17, 23, 41, 47,
53, 62, 73, 77 )

3. Doelen
• Bij functies van twee of meer variabelen:
• Paragraaf 14.7: Het vinden van maxima en
minima bij functies van twee variabelen.

4. Maxima en minima bij functies van
één variabele.
• Uit paragraaf 4.3:
• Als 𝑓′
𝑐 = 0 en 𝑓′′
0 = 0, dan kunnen we
nog geen uitspraak doen: bijvoorbeeld:
• 𝑓(𝑥) = 𝑥3 en 𝑔(𝑥) = 𝑥4, dan is 𝑓′
𝑥 =
𝑓′′
0 = 0 en ook 𝑔′
0 = 𝑔′′
0 = 0, terwijl
𝑓 geen minimum heeft in x=0 en 𝑔 wel.

5. Maxima en minima
• We zien dus dat het nodig
is dat de partiële
afgeleiden nul zijn, maar
dit is niet (altijd) genoeg.

6. Maxima en minima (2)

7. Maxima en minima (3)
• Het geval dat D=0 is vergelijkbaar met
functies van één variabele: als 𝑓′
𝑥 =
0 en 𝑓′′
𝑥 = 0 moeten we meer
onderzoek doen.
• Dus als D=0 is er nog geen duidelijkheid.

8. Voorbeeld zadelvlak: x2-y2
• Met Geogebra:

9. Zadelvlak
• Dus als 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
− 𝑦2
, dan is 𝑓 𝑥 𝑥, 𝑦 =
2𝑥 en 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = −2𝑦, dus 𝑓𝑥 0,0 =
𝑓𝑦 0,0 = 0.
• Verder is 𝑓 𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = 2, 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 =
𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 0 en 𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = −2.
• Dus is D=-4: we hebben dus met een
zadelpunt van doen.

10. Opgave.
• v

11. Extrema op een gesloten vlakdeel
(met rand).
• Opmerking: hier wordt D voor een vlakdeel
gebruikt (dat gesloten is: d.w.z. de rand hoort
er ook bij). Dat is anders dan hiervoor.

12. Voorbeeld
op
gesloten
vlakdeel
(incl.
rand)
Ook: 𝑓 𝑥𝑥(𝑥, 𝑦 = 2, 𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 =
0, 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = −2 = 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 ,
dus 𝐷 = −4, dus 𝑧𝑎𝑑𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡.

13. Vervolg

14. Opgaven (2) Maak opg 6 en 31

15. Opgaven (3): kies er één.
Opmerking: Bij opg. 53 is het bewijs dat het
daadwerkelijk een maximum is erg bewerkelijk.

16. Opgaven en huiswerk.
week Boek
6 §14.7 m.u.v. Proof of Theorem
3 (blz. 953)
Opgaven
3, 6, 7,13 (*),15, 17, 31, 35, 39, 43, 51
(*): 7 en 13 in plaats van 15 en 17 (vanwege veel
rekenwerk in 15 en 17)