1. Analytische meetkunde
Bijeenkomst 5

2. Inhoud
1) Enkele opgaven week 4
2) Hoofdstuk 5: Kegelsneden (zie ook Stewart, paragraaf 10.5)
i. 5.1: Inleiding (opgave 5.1)
ii. 5.2: De parabool (opgave 5.2 t/m 5.5)
iii. 5.3: De ellips (opgave 5.6 t/m 5.11)

3. Opgaven week 4
4.11. Snelste methode: 𝑎 = 0, 𝑏 = 0, 𝑥0 = −5, 𝑦0 = 15 en 𝑟 = 5 invullen in
de vergelijking
|𝑚𝑎−𝑏−𝑚𝑥0+𝑦0|
𝑚2+1
= 𝑟 en dan 𝑚 hieruit oplossen.
4.12a) Eerlijk delen toepassen.
4.12b) 𝑥 = 3𝑦 − 5 invullen in 𝑥2
+ 𝑦2
= 25 levert 𝑦 = 0 en 𝑦 = 3. Dan
bijbehorende 𝑥-waarden uitrekenen.
4.12c) Al gedaan in opgave 4.11.
4.13a) Snijpunten 𝑦-as: (0, −9) en (0,15). Vervolgens met eerlijk delen de
raaklijnen bepalen. Antwoord 5𝑥 + 12𝑦 + 108 = 0 en
−5𝑥 + 12𝑦 − 180 = 0.
4.13b) Dit zijn de lijnen 𝑦 = 16 en 𝑦 = −10 (𝑦-waarde middelpunt ± straal).
4.13c) 𝑦 = 3𝑥 + 𝑏 invullen in vergelijking van de cirkel. Dan discriminant gelijk
aan nul stellen. Dit levert (na enig rekenwerk)
𝑏2
+ −6 + 10 3 𝑏 − 592 + 30 3 = 0. Deze vergelijking heeft de
oplossingen 𝑏 = 29 − 5 3 en 𝑏 = −23 − 5 3.

4. Opgaven week 4
4.13d) Met behulp van eerlijk delen volgt −28
4
5
− 5 𝑥 − 5 = 169, ofwel
𝑥 = 0.
4.13e) Omdat we bij opgave 4.13d) de 𝑦-as gevonden hebben zijn de
raaklijnen uit het punt precies de raaklijnen aan de snijpunten met de
𝑦-as (dit volgt uit de definitie van de poollijn).
4.14. Dit bewijs staat op dia 8 van week 4.
4.18. Uit opgave 4.17. volgt de vergelijking
𝑥2
+ 𝑦2
− 25 = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑥 − 2𝑦 − 20, ofwel 4𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0.
4.19. Laat 𝐶1: 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 en
𝐶2: 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0. De middelpunten zijn dan de punten
𝑀1 −
𝑎1
2
, −
𝑏1
2
en 𝑀2 −
𝑎2
2
, −
𝑏2
2
. Hieruit volgt de richtingscoëfficiënt
van de centraal:
𝑏1− 𝑏2
𝑎1−𝑎2
. De richtingscoëfficiënt van de machtlijn is
𝑎1−𝑎2
𝑏2−𝑏1
.
Merk op dat het product van beide richtingscoëfficiënten gelijk is aan −1.

5. Opgaven week 4
4.23. Bereken eerst snijpunten van de twee cirkels: (−1, −1) en (−7,3). Stel
vervolgens stelsel van drie vergelijkingen op door de drie punten in te
vullen in 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2. Oplossen van dit stelsel geeft
𝑎 = −
16
5
, 𝑏 =
11
5
en 𝑟2 =
377
25
.
4.24a) Bereken machten met behulp van opgave 4.17.
4.24b) Berekening machtlijn analoog aan opgave 4.18.

6. Kegelsneden

7. De parabool
Definitie
Een parabool is de verzameling punten waarvoor geldt dat de afstand tot een
punt (brandpunt) en een lijn (de richtlijn) gelijk zijn.

8. De parabool
Stelling
Een vergelijking van de parabool met brandpunt (0, 𝑝) en richtlijn 𝑦 = −𝑝 is
𝑥2
= 4𝑝𝑦

9. De verschoven parabool
Stelling (parabool met horizontale as)
Een vergelijking van de parabool met top (𝑎, 𝑏), brandpunt (𝑎 + 𝑝, 𝑏) en richtlijn
𝑥 = 𝑎 − 𝑝 is
𝑦 − 𝑏 2
= 4𝑝(𝑥 − 𝑎)
Opmerking
Deze vergelijking is ook geldig indien 𝑝 < 0.
Stelling (parabool met verticale as)
Een vergelijking van de parabool met top (𝑎, 𝑏), brandpunt (𝑎, 𝑏 + 𝑝) en richtlijn
𝑦 = 𝑏 − 𝑝 is
𝑥 − 𝑎 2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑏)

10. De ellips
Definitie
Een ellips is een verzameling punten waarvan de som van de afstanden tot
twee gegeven punten (de brandpunten) constant is.

11. De ellips
Stelling
Een vergelijking van de ellips met brandpunten (−𝑐, 0) en (𝑐, 0) heeft
vergelijking
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1. Hierbij is 𝑎 ≥ 𝑏 > 0 en de snijpunten met de 𝑥-as
zijn (±𝑎, 0). Verder geldt de relatie 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2.

12. De ellips
Stelling
Een vergelijking van de ellips met brandpunten (0, 𝑐) en (0, −𝑐) heeft
vergelijking
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1. Hierbij is 𝑎 ≥ 𝑏 > 0 en de snijpunten met de 𝑦-as
zijn (0, ±𝑎). Verder geldt de relatie 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2.

13. De verschoven ellips
Stelling
Een vergelijking van de ellips met middelpunt (ℎ, 𝑘) is
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1