1. Analytische meetkunde
Bijeenkomst 6
1

2. Inhoud
1) Enkele opgaven week 5
2) Hoofdstuk 5: Kegelsneden (zie ook Stewart, paragraaf 10.5)
i. 5.4: De hyperbool (opgave 5.12, 5,14 en 5.15)
ii. 5.5.1: Raaklijn in een punt (𝑥0, 𝑦0) van de parabool 𝑦2
= 4𝑝𝑥
iii. 5.5.2: Normaal in een punt (𝑥0, 𝑦0) van de parabool 𝑦2
= 4𝑝𝑥 (opgave 5.17 t/m 5.22)
2

3. Opgaven week 5
5.5. De algemene vergelijking voor een parabool met as evenwijdig aan de 𝑦-as is
𝑥 − 𝑎 2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑏). Invullen van de drie gegeven punten levert het volgende
stelsel voor de drie onbekenden 𝑎, 𝑏 en 𝑝:
1 − 𝑎 2
= 4𝑝(1 − 𝑏)
2 − 𝑎 2
= 4𝑝(2 − 𝑏)
−1 − 𝑎 2
= 4𝑝(5 − 𝑏)
Dit stelsel heeft als oplossing 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 en 𝑝 =
1
4
.
5.8. De brandpunten zijn nu 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) en 𝐹2(ℎ − 𝑐, 𝑘). Laat 2𝑎 weer de constante
waarde zijn van de som van de afstanden tot de twee brandpunten. Dan is weer
af te leiden dat de toppen van de ellips de punten (ℎ ± 𝑎, 𝑘) en (ℎ, 𝑘 ± 𝑏) zijn,
waarbij 𝑏 volgt uit 𝑏2
+ 𝑐2
= 𝑎2
. Laat nu 𝑃 𝑥, 𝑦 een punt op de ellips zijn, dan volgt
𝑥 − ℎ − 𝑐
2
+ 𝑦 − 𝑘 2 + 𝑥 − ℎ + 𝑐
2
+ 𝑦 − 𝑘 2 = 2𝑎, ofwel
𝑥 − ℎ + 𝑐
2
+ 𝑦 − 𝑘 2 + 𝑥 − ℎ − 𝑐
2
+ 𝑦 − 𝑘 2 = 2𝑎.
Dit komt overeen met de vergelijking van een ellips met middelpunt (0,0) met
daarin 𝑥 vervangen door 𝑥 − ℎ en 𝑦 vervangen door 𝑦 − 𝑘.
3

4. Kegelsneden
4

5. De hyperbool
Definitie
Een hyperbool is de
verzameling punten waarvan
het verschil van de afstanden
tot twee gegeven punten (de
brandpunten) constant is.
5

6. De hyperbool
Uitwerking definitie
𝑃 ligt op de hyperbool als
𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2 = ±2𝑎
Stelling (opgave 5.12; staat ook op formuleblad)
Een vergelijking van de hyperbool met brandpunten (𝑐, 0) en −𝑐, 0 is
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Hierbij zijn (±𝑎, 0) de snijpunten met de 𝑥-as (met 𝑐 > 𝑎) en is 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2.
6

7. De verschoven hyperbool
Stelling
De hyperbool met centrum (ℎ, 𝑘) heeft de vergelijking
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
−
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
7

8. Asymptoten
Stelling
De hyperbool
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 heeft de asymptoten 𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥.
Stelling
Als 𝑎 = 𝑏, dan staan de asymptoten loodrecht op elkaar. Dan heet de
hyperbool een orthogonale hyperbool.
8

9. Tekenen van hyperbool
Strategie
i. Bepaal centrum
ii. Bepaal snijpunten met 𝑥-as (of 𝑦-as)
iii. Bepaal vergelijking van asymptoten
9

10. Raaklijn in een punt (𝑥0, 𝑦0) van de parabool 𝑦2 = 4𝑝𝑥
Stelling
De raaklijn aan de parabool 𝑦2
= 4𝑝𝑥 in het punt (𝑥0, 𝑦0) heeft vergelijking
𝑦𝑦0 = 2𝑝𝑥 + 2𝑝𝑥0
Bewijs
De raaklijn heeft vergelijking 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) met 𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑥=𝑥0
.
Met behulp van impliciet differentiëren volgt
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑝
𝑦
, zodat 𝑚 =
2𝑝
𝑦0
.
De vergelijking van de raaklijn wordt dus 𝑦𝑦0 − 𝑦0
2
= 2𝑝𝑥 − 2𝑝𝑥0.
Omdat 𝑦0
2
= 4𝑝𝑥0 volgt nu de vergelijking 𝑦𝑦0 = 2𝑝𝑥 + 2𝑝𝑥0.
Opmerking
De vergelijking van de raaklijn is met behulp van ‘eerlijk delen’ eenvoudig te
onthouden.
10

11. Normaal in een punt (𝑥0, 𝑦0) van de parabool 𝑦2 = 4𝑝𝑥
Definitie
De normaal in een punt van een grafiek is de lijn door dat punt, die loodrecht
staat op de raaklijn in dat punt.
Stelling (opgave 5.17)
De normaal aan de parabool 𝑦2
= 4𝑝𝑥 in het punt (𝑥0, 𝑦0) heeft vergelijking
𝑦 − 𝑦0 = −
𝑦0
2𝑝
(𝑥 − 𝑥0)
11

12. Raaklijn aan parabool in gegeven richting
Stelling (opgave 5.21)
Gegeven de parabool 𝑦2 = 4𝑝𝑥 en een getal 𝑚. De raaklijn aan de parabool
met richtingscoëfficiënt 𝑚 heeft de vergelijking 𝑦 = 𝑚𝑥 +
𝑝
𝑚
.
Bewijs
Laat (𝑥0, 𝑦0) het punt zijn waar de parabool de raaklijn raakt. De raaklijn in
(𝑥0, 𝑦0) heeft vergelijking 𝑦 =
2𝑝
𝑦0
𝑥 +
2𝑝𝑥0
𝑦0
(volgt uit eerlijk delen). Omdat nu
𝑚 gegeven is, volgt 𝑦0 =
2𝑝
𝑚
. Omdat 𝑦0
2
= 4𝑝𝑥0 volgt vervolgens dat 𝑥0 =
𝑝
𝑚2.
De vergelijking van de raaklijn gaat met deze formules voor 𝑥0 en 𝑦0 over in
𝑦 = 𝑚𝑥 +
𝑝
𝑚
.
12